nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều

0 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Nhã NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Nhã NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN ĐỀU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Đình Thanh Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 Lời cảm ơn Qua năm học Cao học trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, giảng dạy tận tình quý Thầy, Cô giúp đỡ phòng Sau đại học Nhờ vậy, tiếp thu nhiều kiến thức kỹ bổ ích để thực luận văn Hoàn thành luận văn, xin trân trọng cảm ơn: TS Trần Đình Thanh PGS - TS Nguyễn Bích Huy, người dẫn dắt vào đường nghiên cứu khoa học giúp đỡ suốt trình làm luận văn Ban lãnh đạo chuyên viên phòng Sau đại học tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu; giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Giải Tích khoá 21 hết lòng truyền thụ kiến thức cho suốt khoá học Ban giám hiệu, lãnh đạo khoa Sư phạm tập thể quý thầy cô đồng nghiệp tổ Tự Nhiên khoa Sư phạm trường Đại học Tiền Giang tạo điều kiện để học tập hoàn thành tốt nhiệm vụ thời gian học Cao học Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn bạn lớp Cao học Giải Tích khoá 21 chia sẻ khó khăn trình học tập thực luận văn Nguyễn Thanh Nhã Mục lục Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu .4 Nội dung Không gian .6 1.1 Các khái niệm không gian 1.1.1 Cấu trúc .6 1.1.2 Tôpô sinh cấu trúc .12 1.1.3 Tính liên tục .15 1.1.4 Tính đầy đủ 19 1.2 Họ giả metric liên kết với không gian 21 1.2.1 Giả metric cấu trúc sinh giả metric 21 1.2.2 Họ giả metric liên kết với không gian .22 Nguyên lí ánh xạ co không gian .27 2.1 Nguyên lí ánh xạ co không gian .27 2.2 Một số mở rộng .32 2.3 Định lý Caristi – Kirk không gian 40 Kết luận kiến nghị 44 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Nguyên lí ánh xạ co Banach – Caccioppli định lí điểm bất động tìm sớm nhất, có chứng minh đơn giản số định lí lý thuyết điểm bất động Định lí không cho biết tồn tại, điểm bất động mà dãy lặp đơn giản hội tụ điểm bất động Do nguyên lí Banach – Caccioppli tìm ứng dụng đa dạng nghiên cứu định tính định lượng cho nhiều lớp phương trình xuất phát từ nhiều lĩnh vực khoa học Do quan trọng nó, nguyên lí Banach – Caccioppli nhà Toán học quan tâm nghiên cứu mở rộng theo hướng khác Hướng thứ mở rộng điều kiện ánh xạ giảm nhẹ điều kiện co xét dạng co khác; hướng giới thiệu nhiều tài liệu Hướng thứ hai mở rộng lớp không gian, rộng không gian metric không gian đều; hướng chưa biết đến nhiều Do việc tìm hiểu giới thiệu hướng mở rộng nguyên lý ánh xạ co không gian đề tài có ý nghĩa cho luận văn Thạc sĩ Toán học Trong luận văn này, trình bày khái niệm không gian đều, nguyên lý ánh xạ co mở rộng không gian Nội dung Nội dung luận văn bao gồm phần chính: phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận Cụ thể sau: Phần mở đầu: Đặt vấn đề khái quát nội dung luận văn Phần nội dung: Bao gồm chương a Chương - Không gian Nội dung chương bao gồm: 1.1 Các khái niệm không gian 1.2 Họ giả metric liên kết với không gian b Chương - Nguyên lí ánh xạ co không gian Nội dung chương bao gồm: 2.1 Nguyên lí ánh xạ co không gian 2.2 Một số mở rộng 2.3 Định lý Caristi - Kirk không gian Phần kết luận: Tổng kết kết nghiên cứu đưa nhận xét vấn đề mở cho hướng nghiên cứu tới Chương 1 Không gian Nội dung chương trình bày khái niệm cấu trúc đều, không gian đều, tôpô sinh cấu trúc tập hợp ánh xạ liên tục không gian Qua nghiên cứu quan hệ liên tục liên tục tính đầy đủ, Hausdorff không gian Phần cuối chương trình bày mối liên hệ họ giả metric cấu trúc tâp hợp đưa sở lí thuyết cho vấn đề trình bày chương 1.1 Các khái niệm không gian 1.1.1 Cấu trúc Định nghĩa 1.1 Cho tập X ≠ ∅ Với A ⊂ X , V ,W ⊂ X ta định nghĩa: V −1 {( y , x ) : ( x, y ) ∈V } Tập V gọi đối xứng V −1 = V = W = °V {( x, y ) : ∃z,( x, z ) ∈V ,( z, y ) ∈ W } V [ x ] ={ y : ( x, y ) ∈V }, V [ A] =  V [ x ] x∈A ∆ {( x, x ) : x ∈ X } gọi đường chéo X = Từ định nghĩa ta thu kết sau: Mệnh đề 1.1 Với A ⊂ X , V ,U ,W ⊂ X × X ta có: • (W °V ) −1 =V −1 °W −1 , • (W °V )[ A] = W [V [ A]], • (W °V )°U = W °(U °V ), • V °∆ = ∆°V = V ,  • Nếu V tập đối xứng V= °W °V V [ p ] × V [q] ( p ,q )∈W Chứng minh Áp dụng định nghĩa 1.1 • Với W ,V ⊂ X × X , ta có: ( x, y ) ∈ (W °V ) −1 ⇔ ( y , x ) ∈ W °V ⇔ ∃z : ( y , z ) ∈ V , ( z , x ) ∈ W ⇔ ∃z : ( z, y ) ∈V −1 , ( x, z ) ∈ W −1 ⇔ ( x, y ) ∈V −1 °W −1 • Với A ⊂ X , ta có: (W °V )[ A] =  (W °V )[ x ] x∈A W [V [ A]] =  W [ z] z∈V [ A ] + Lấy y ∈ (W °V )[ A], đó: y ∈ W °V [ x ], x ∈ A Suy ra: ( x, y ) ∈ W °V nên ∃z : ( x, z ) ∈V , ( z, y ) ∈ W hay ∃z : z ∈V [ x ] ⊂ V [ A], y ∈ W [ z ] Do đó, y ∈ W [V [ A]] Vậy, (W °V )[ A] ⊂ W [V [ A]] + Lấy y ∈ W [V [ A]], đó: y ∈ W [ z ], z ∈V [ A] Ta được, ( z, y ) ∈ W Vì z ∈V [ A] nên z ∈V [ x ] với x ∈ A hay ( x, z ) ∈V Suy ra: ( x, y ) ∈ W °V hay y ∈ W °V [ x ], x ∈ A Do đó, y ∈ (W °V )[ A] Vậy, W [V [ A]] ⊂ (W °V )[ A] • Ta có: ( x, y ) ∈ (W °V )°U ⇔ ∃z : ( x, z ) ∈ U , ( z, y ) ∈ W °V ⇔ ∃z , t : ( x , z ) ∈ U , ( z , t ) ∈ V , ( t , y ) ∈ W ⇔ ∃t : ( x, t ) ∈V °U , (t , y ) ∈ W ⇔ ( x, y ) ∈ W °(V °U ) • Lại có: ( x, y ) ∈V °∆ ⇔ ∃z : ( x, z ) ∈ ∆, ( z, y ) ∈V ⇔ ( x, y ) ∈V Vậy, V °∆ = V Tương tự, ∆°V = V • Ta có: ( x, y ) ∈V °W °V ⇔ ∃( p, q) ∈ W : ( x, p ) ∈V , ( q, y ) ∈V ⇔ ∃( p, q) ∈ W : ( p, x ) ∈V , ( q, y ) ∈V (V đối xứng) ⇔ ∃( p, q) ∈ W : x ∈V [ p ], y ∈V [ q] Vậy, V= °W °V  V [ p ] × V [q]  ( p ,q )∈W Bổ đề 1.1 Lấy U1 ,U , ,U n V1 ,V2 , ,Vn tập X × X Đặt U = n Ui , V = n V Khi đó: i =i =i i) Nếu Vi ⊂ U i−1 với i V ⊂ U −1 ii) Nếu Vi °Vi ⊂ U i với i V °V ⊂ U Định nghĩa 1.2 Một họ  ≠ ∅ gồm tập X gọi cấu trúc X nếu: ∆ ⊂ V , ∀V ∈ V ∈  ,V ⊂ W ⇒ W ∈  V1 ,V2 ∈  ⇒ V1 ∩ V2 ∈  V ∈  ⇒ V −1 ∈  ∀V ∈  ⇒ ∃W ∈  : W °W ⊂ V Khi cặp ( X ,  ) gọi không gian Ví dụ 1.1 Ta có ví dụ cấu trúc sau: Nếu X tập hợp số thực cấu trúc thông thường X họ tập U X × X thoả {( x, y ) : | x − y |< r} ⊂ U với r > Họ tất tập X , chứa ∆ cấu trúc X gọi cấu trúc rời rạc Mệnh đề 1.2 ∀W ∈  , ∃V ∈  : V đối xứng, V °V °V ⊂ W Chứng minh Với W ∈ , theo tính chất 5) định nghĩa cấu trúc tồn tập U ∈ thoả mãn U °U ⊂ W Nếu ta đặt V=′ U ∩ U −1 V ′ ∈ , V ′ đối xứng thoả V ′°V ′ ⊂ W Với tập V ′ này, ta lại tìm tập V ∈ , V đối xứng thoả V °V ⊂ V ′ Khi đó, V °V °V ⊂ W  Nhận xét 1.1 Có nhiều cấu trúc tập hợp X Ta nói cấu trúc  lớn cấu trúc   ⊂  Cấu trúc lớn X cấu trúc rời rạc, cấu trúc nhỏ họ gồm tập X × X Nhìn chung, hợp giao cấu trúc X chưa cấu trúc X Định nghĩa 1.3 Cho không gian ( X ,  ) Họ β gọi sở cấu trúc  β ⊂  với V ∈ tồn W ∈ β cho W ⊂ V Họ γ gọi tiền sở cấu trúc  γ ⊂  họ giao hữu hạn phần tử γ sở  Ví dụ 1.2 Ta có ví dụ sở cấu trúc đều: a) Họ β = {∆} sở cấu trúc rời rạc b) Họ β= {V ∈ : V đối xứng } sở  Thật vậy, β ⊂  với V ∈ bất kỳ, ta chọn W= V ∩ V −1 W ∈ β W ⊂ V 33 Suy ra: τ= τ= x0  -lim xn  -lim S p n →∞ Do đó: ρα ( xn , x0 ) → với α ∈ I Ta chứng minh x0 ∈ A Lấy số nguyên dương n2 , chọn G lân cận mở x0 tôpô τ  Vì {ρα } = A* ( ) nên họ {H (α ,  ) : α ∈ I ,  > 0} sở  Do đó, tồn r > α ∈ I cho x0 ∈ H (α , r )[ x0 ] ⊂ G + Ta có, ρα ( xn , x0 ) → nên tồn số nguyên dương N1 thoả ρα ( xn , x0 ) < r với n ≥ N1 + Do δ α ( X n ) → nên tồn số nguyên dương N thoả δ α ( X n ) < r với n ≥ N2 Đặt N = max{N1 , N } Theo giả thiết dãy { X n } có giao hữu hạn, ta tìm u∈      X N ∩ X n2 Khi đó: ρα (u, x0 ) ≤ ρα (u, x N ) + ρα ( x N , x0 ) ≤ δα ( X N ) + ρα ( x N , x0 ) < r r + = r 2 Do đó, u ∈ X n2 ∩ G điều kéo theo x0 ∈ X n2 = X n2 Vì ta chọn n2 nên x0 ∈ A hay A ≠ ∅  Định nghĩa 2.4 Cho không gian ( X ,  ) {ρα : α ∈ I } = A* ( ) Lấy x ∈ X , với r > α ∈ I , ta đặt: Sr (α , x ) = H (α , r )[ x ] = { y ∈ X : ( x, y ) ∈ H (α , r )} Theo định nghĩa ta có, = Sr (α , x ) { y : ρα ( x, y ) < r} Định lý 2.2 Cho ( X ,  ) không gian đều, đầy đủ, Hausdorff ánh xạ T :    X → X Giả sử với α ∈ I r > tồn δ (α , r ) > cho T [ Sr (α , x )] ⊂ Sr (α , x ) với x ∈ X thoả ≠ ρα ( x, T ( x )) < δ (α , r ) Khi đó, với α ∈ I , ρα (T n (u ), T n +1 (u )) → với u ∈ X dãy {T n (u ) : n = 1,2, } hội tụ điểm bất động T 34 Chứng minh Đặt u1 T= = (u ), un T (= un −1 ), n 2,3, Lấy  > α ∈ I , theo giả  thiết ta có: ρα (un , un +1 ) → Do đó, tồn N cho ρα (un , un +1 ) < δ (α , ) với  n ≥ N Như vậy, ρα (uN , uN +1 ) < δ (α , ) nên theo giả thiết ta có, T ( S  (α , uN ) ⊂ S  (α , uN ) 2 Do đó,= uN +1 T (uN ) ∈ S  (α , uN ) Theo cách xác định dãy {un } ta được: T k (u= uN +k ∈ S  (α , uN ) với k ≥ N) Với m, n ≥ N , ta có: ρα (um , un ) ≤ ρα (um , uN ) + ρα (uN , un ) <   + =  2 Vậy, dãy {un } dãy ρα − Cauchy với α ∈ I Đặt = K {= S p : p 1,2, } với = S p {un : n ≥ p} K lọc Cauchy Do ( X ,  ) đầy đủ nên lọc Cauchy K hội tụ điểm x0 ∈ X ta có ρα (un , x0 ) → với α ∈ I Ta chứng minh T ( x0 ) = x0 Giả sử ngược lại, T ( x0 ) ≠ x0 , ( X ,  ) Hausdorff nên tồn α ∈ I cho ρα ( x0 , T ( x0 ))= r > Do ρα (un , x0 ) → nên tồn n1 cho un ∈ S r (α , x0 ) với n ≥ n1 Theo chứng minh ta tìm r n2 cho ρα (un , un +1 ) < δ (α , ) với n ≥ n2 Chọn M = max{n1 , n2 } ta được, r uM ∈ S r (α , x0 ) ρα (uM , uM +1 ) < δ (α , ) 3 Theo giả thiết ta có, T [ S r (α , uM )] ⊂ S r (α , uM ) T ( x0 ) ∈ S r (α , uM ) Ta gặp 3 mâu thuẫn vì, 2r ρα (T ( x0 ), uM ) ≥ ρα ( x0 , T ( x0 )) − ρα ( x0 , uM ) = , tức T ( x0 ) ∉ S r (α , uM ) 35 Vậy, T ( x0 ) = x0 hay x0 điểm bất động T  Cho ρ metric X Với x ∈ X r > 0, ta đặt: Sr ( x ) = { y ∈ X : ρ ( x, y ) < r} Cho I = {1} định lý 2.2 ta thu kết sau, Hệ 2.2 Cho ( X , ρ ) không gian metric đầy đủ ánh xạ T : X → X Giả sử với  > , tồn δ ( ) > cho T [ S ( x )] ⊂ S ( x ) với x∈ X thoả ρ ( x, T ( x )) < δ ( ) Khi đó, ρ (T n (u ), T n +1 (u )) → với u dãy {T n (u )} hội tụ điểm bất động T Nhận xét 2.3 Định lý 2.2 dạng tổng quát nguyên lí ánh xạ co Banach không gian Tức ánh xạ T : ( X ,  ) → ( X ,  ) thoả điều kiện A* ( ) − co X T thoả điều kiện định lý 2.2 Thật vậy, với α ∈ I  > ta chọn δ (α ,  )=  − r (α )· (với r (α ) số co ứng với α ∈ I định nghĩa 2.3) Lấy y ∈ T [ S (α , x )] , y = T (u ) với $ u ∈ S (α , x ) Nếu ρα ( x, T ( x )) < δ (α ,  ) , ta có: ρα ( y= , x ) ρα (T (u ), x ) ≤ ρα (T (u ), T ( x )) + ρα (T ( x ), x ) ≤ r (α )· +  − r (α= )·  Suy ra, y ∈ S (α ,  ) hay T [ S (α ,  )] ⊂ S (α ,  ) với ρα ( x, T ( x )) < δ (α ,  ) Như vậy, ánh xạ T thoả điều kiện định lí 2.2 Định lý 2.3 Cho ( X ,  ) không gian đều, đầy đủ, Hausdorff ánh xạ T : X → X Với α ∈ I , tồn hàm đơn điệu tăng φα :  + →  + cho φαn (t ) → với t cố định dương ρα (T ( x ), T ( y )) ≤ φα [ ρα ( x, y )] Khi đó, T có điểm bất động u thoả T n ( x ) → u với x ∈ X Chứng minh Với α ∈ I bất kỳ, lấy số thực t>0, ta chứng minh: φα (t ) < t Giả sử ngược lại, φα (t ) ≥ t , tính đơn điệu tăng hàm φ ta được: t ≤ φα (t ) ≤ φα2 (t ) ≤ ≤ φαn (t ) ≤ Suy ra: t ≤ , ta gặp mâu thuẫn Vậy, φα (t ) < t với α ∈ I 36 Cố định α ∈ I , theo giả thiết ta có: ρα (T n ( x ), T n +1 ( x )) ≤ φαn [ ρα ( x, T ( x ))] Ta giả sử ρα ( x, T ( x )) ≠ Khi đó, ρα (T n ( x ), T n +1 ( x )) → với x ∈ X (do φαn (t ) → ) Lấy  > , chọn δ (α ,  ) = [ − φα ( )] > Nếu ρα ( x, T ( x )) < δ (α ,  ) với y ∈ S (α , x ) , ta có: ρα (T ( y ), x ) ≤ ρα (T ( y ), T ( x )) + ρα (T ( x ), x ) ≤ φα [ ρα ( x, y )] + δ (α ,  ) (*) Vì y ∈ S (α , x ) φα đơn điệu tăng ta có, ρα ( x, y ) < $,$φα [ ρα ( x, y )] < φα ( ) Thay vào (*) ta được: ρα (T ( y ), x ) < φα ( ) + δ (α ,  ) < φα ( ) +  − φα ( ) =  Do đó, T ( y ) ∈ S (α ,  ) Vậy, T [ S (α , x )] ⊂ S (α , x ) Như vậy, điều kiện định lý 2.2 thoả ρα (T n ( x ), T n +1 ( x )) → nên theo định lý 2.2 dãy {T n ( x ) : x ∈ X } hội tụ điểm bất động T Ta chứng minh điểm bất động T Với x, y ∈ X , x ≠ y , đặt T n ( x ) → u T n ( y ) → v Giả sử u ≠ v , X Hausdorff nên tồn α ∈ I cho ρα (u, v )= r > Theo giả thiết ta có, r= ρα ( u, v ) = ρα (T (u ), T ( v )) ≤ φα [ ρα (u, v )] =< φα ( r ) r (vô lý r > 0) Vậy, u =v T có điểm bất động  Hệ 2.3 Cho ( X , ρ ) không gian metric đầy đủ ánh xạ T : X → X Giả sử tồn hàm đơn điệu tăng φ :  + →  + cho φ n (t ) → với t >0 ρ (T ( x ), T ( y )) ≤ φ [ ρ ( x, y )] với x, y ∈ X Khi đó, T có điểm bất động u thoả T n ( x ) → u với x ∈ X Chứng minh Áp dụng dịnh lý 2.3 với I = {1}  Định lý 2.4 Cho ( X ,  ) không gian đều, đầy đủ, Hausdorff ánh xạ T : X → X Với α ∈ I , giả sử ρα (T ( x ), T ( y )) ≤ ψ α ( x, y ) ρα ( x, y ) với x, y ∈ X , ψ : X × X →  + thoả điều kiện: Với tập đóng ) ≤ b} r (α )( a, b) < [a, b] ⊂  + ╲{0} thì, sup{ψ α ( x, y ) : a ≤ ρα ( x, y= Khi đó, T có điểm bất động u ∈ X thoả T n ( x ) → u với x ∈ X 37 Chứng minh Theo giả thiết, ρα ( x, y ) = ρα (T ( x ), T ( y )) = Cố định α ∈ I , với x ∈ X ta có: ≤ ρα (T n ( x ), T n +1 ( x )) ≤ ψ α ( x, T ( x )) ρα (T n −1 ( x ), T n ( x )) ≤ ρα (T n −1 ( x ), T n ( x )) với số nguyên dương n Vậy, dãy {ρα (T n ( x ), T n +1 ( x ))} giảm bị chặn nên hội tụ số thực tα ≥ Ta chứng minh: tα = Giả sử ngược lại, tα > , tồn số nguyên dương N cho | ρα (T n ( x ), T n +1 ( x )) − tα |< với n ≥ N Suy ra, ρα (T N ( x ), T N +1 ( x )) ∈ [tα , tα + 1] = Đặt cα r (α )(tα , tα + 1) cα < Với số nguyên k>0 ta có: tα ≤ ρα (T N +k ( x ), T N +k +1 ( x )) ≤ cαk ρα (T N ( x ), T N +1 ( x )) ≤ cαk (tα + 1) Vì cα < nên cαk → , ta chọn k đủ lớn để cαk < tα Thay vào bất đẳng thức tα + ta được, tα ≤ cαk (tα + 1) < tα (Mâu thuẫn tα > ) Vậy, tα =   Lấy  > , ta đặt rα = r (α )( ,  ) Chọn = δ (α ,  ) min{ , (1 − rα )} Lấy x ∈ X 2 thoả ≠ ρα ( x, T ( x )) < δ (α ,  ) y ∈ S (α , x ), ta có: ρα (T ( y ), x ) ≤ ρα (T ( y ), T ( x )) + ρα (T ( x ), x ) Ta xét trường hợp: i) ρα ( y , x ) <  Khi đó, ρα (T ( y ), x ) ≤ ψ α ( x, y ) ρα ( y , x ) + ρα (T ( x ), x ) < ii)   + =  2  ≤ ρα ( y , x ) <  Khi đó, ρα (T ( y ), x ) ≤ ψ α ( x, y ) ρα ( y , x ) + ρα (T ( x ), x ) < rα  + (1 − rα ) =  Suy ra, T ( y ) ∈ S (α , x ) hay T [ S (α , x )] ⊂ S (α , x ) với ≠ ρα ( x, T ( x )) < δ (α ,  ) 38 Như vậy, điều kiện định lý 2.2 thoả ρα (T n ( x ), T n +1 ( x )) → nên theo định lý 2.2 dãy {T n ( x ) : x ∈ X } hội tụ điểm bất động T Ta chứng minh điểm bất động T Với x, y ∈ X , x ≠ y , đặt T n ( x ) → u T n ( y ) → v Giả sử u ≠ v , X Hausdorff nên tồn α ∈ I cho ρα (u, v )= r > Theo giả thiết ta có, r = ρα (u, v ) = ρα (T (u ), T ( v )) ≤ ψ α (u, v ) ρα (u, v ) < ρα (u, v ) = r (vô lý r > 0) Vậy, u =v T có điểm bất động  Hệ 2.4 Cho ( X , ρ ) không gian metric đầy đủ ánh xạ T : X → X Cho ρ (T ( x ), T ( y )) ≤ ψ ( x, y ) ρ ( x, y ) với x, y ∈ X , ψ : X × X →  + thoả điều kiện: với khoảng đóng [a, b] ⊂  + ╲{0} sup{ψ ( x, y ) : a ≤ ρ ( x, y ) ≤ b= } r ( a , b) < Khi đó, T có điểm bất động u ∈ X thoả T n ( x ) → u với x ∈ X Chứng minh Áp dụng định lý 2.4 với I = {1}  Định lý 2.5 Cho ( X ,  ) không gian đều, đầy đủ, Hausdorff Với α ∈ I , lấy φα : X →  + hàm không âm thoả: inf{φα ( x ) + φα ( y ) : ρα ( x, y ) ≥ a= } µα ( a ) > với a>0 (*) Khi đó, φα ( xn ) → với α ∈ I dãy {xn } hội tụ điểm u∈ X Cố định α ∈ I , với số nguyên dương n ta đặt Chứng minh Aα ( n ) = {x ∈ X : φα ( x ) ≤ φα ( xn )} Ta có, Aα ( n ) ≠ ∅ xn ∈ Aα ( n ) Cố định n0 , φα ( xn ) → nên tồn N cho φα ( xn ) < φα ( xn ) với n ≥ N Do đó, dãy { Aα ( n ) : n = 1,2, } có giao hữu hạn với δ α ( Aα ( n )) sup{ρα ( x, y ) : x, y ∈ Aα ( n )} Lấy Ta chứng minh δ α ( Aα ( n )) → 0=  > cho trước, µα ( ) > φα ( xn ) → nên tồn số nguyên dương n1 cho φα ( xn ) < µα ( ) với n ≥ n1 Khi đó, φα ( x ) + φα ( y ) < µα ( ) với 39 n ≥ n1 x, y ∈ Aα ( n ) Kết hợp với (*) ta được, ρα ( x, y ) <  với x, y ∈ Aα ( n ) Do đó, δ α ( Aα ( n )) <  với n ≥ n1 hay δ α ( Aα ( n )) → Đặt δ α ( Aα ( n )) → An =  Aα (n) = α∈I {x ∈ X : φα ( x ) ≤ φα ( xn ), ∀α ∈ I } Với n, ta có An ⊂ Aα ( n ) δ α ( An ) ≤ δ ( Aα ( n )) nên δ ( An ) → Như vậy, dãy tập đóng { An } thoả bổ đề 2.2 nên ∞ A n n =1 = {u} với u ∈ X Vì xn , u ∈ An δ α ( An ) → nên ρα ( xn , u ) → với α ∈ I Vậy, xn → u Lấy dãy { yn } ⊂ X thoả φα ( yn ) → với α ∈ I Theo chứng minh yn → v ∈ X Cố định α ∈ I , ta có φα ( xn ) + φα ( yn ) → Lấy  > cho trước, tồn số nguyên dương N cho φα ( xn ) + φα ( yn ) < µα ( ) với n ≥ N Kết hợp với(*) ta suy ra, ρα ( xn , yn ) <  với n ≥ N hay ρα ( xn , yn ) → Do đó, ρα (u, v ) = với α ∈ I Vì X Hausdorff nên u = v  Hệ 2.5 Cho ( X , ρ ) không gian metric đầy đủ φ : X →  + hàm không âm thoả: inf{φ ( x ) + φ ( y ) : ρ ( x, y ) ≥ a}= µ ( a ) > với a>0 Khi đó, φ ( xn ) → dãy {xn } hội tụ điểm u ∈ X Chứng minh Áp dụng định lý 2.5 với I = {1} Định lý 2.6 Cho ( X ,  ) không gian đều, đầy đủ, Hausdorff ánh xạ liên tục T : X → X Với α ∈ I , giả sử φα ( x ) = ρα ( x, T ( x )) thoả điều kiện: i) inf{φα ( x ) + φα ( y ) : ρα ( x, y ) ≥ a= } µα ( a ) > với a>0 ii) inf{ρα ( x, T ( x )) : x ∈ X } = Khi đó, T có điểm bất động X Chứng minh Cố định α ∈ I Vì inf{ρα ( x, T ( x )) : x ∈ X } = nên với số nguyên dương n ta tìm xn ∈ X thoả ρα ( xn , T ( xn )) < Khi đó, φα ( xn ) → nên theo định lý 2.5 ta xn → u ∈ X n 40 Do ρα ( xn , T ( xn )) → với α ∈ I nên ρα (u, T (u )) = Vì X Hausdorff nên u = T (u ) Vậy, u điểm bất động T n Giả sử T có điểm bất động khác v Với n ∈  , ta đặt = yn T= (v ) v Khi đó, φα ( yn ) = với n nên theo định lý 2.5 yn → u Do đó, u =v Vậy T có điểm bất động X  Hệ 2.6 Cho ( X , ρ ) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ liên tục Giả sử φ ( x ) = ρ ( x, T ( x )) thoả điều kiện • inf{φ ( x ) + φ ( y ) : ρ ( x, y ) ≥ a}= µ ( a ) > với a>0 • inf{ρ ( x, T ( x )) : x ∈ X } = Khi đó, T có điểm bất động X Chứng minh Áp dụng định lý 2.6 với I = {1} Nhận xét 2.4 Định lý 2.6 dạng tổng quát Nguyên lí ánh xạ co Banach không gian Tức là, môt ánh xạ T : X → X thoả điều kiện A* ( ) − co X thoả điều kiện định lý 2.6 Thật vậy, T A* ( ) − co X theo bổ đề 2.1, ta có T ánh xạ liên tục Lấy α ∈ I , với x, y ∈ X , ta có ρα (T ( x ), T ( y )) ≤ r (α ) ρα ( x, y ) Do đó, [1 − r (α )]ρα ( x, y ) ≤ ρα ( x, y ) − ρα (T ( x ), T ( y )) ≤ ρα ( x, T ( x )) + ρα ( y , T ( y )) Đặt φα ( x ) = ρα ( x, T ( x )) , ta được: φα ( x ) + φα ( y ) ≥ [1 − r (α )]ρα ( x, y ) Suy ra, φ thoả điều kiện i) định lý 2.6 Với x ∈ X , ta có: ≤ inf{ρα ( x, T ( x )) : x ∈ X } ≤ ρα (T n ( x ), T n +1 ( x )) Vì ρα (T n ( x ), T n +1 ( x )) → nên inf{ρα ( x, T ( x )) : x ∈ X } = Vậy, T thoả điều kiện ii) định lý 2.6 2.3 Định lý Caristi – Kirk không gian * Định nghĩa 2.5 Cho ( X ,  ) không gian A = ( ) {ρα : α ∈ I } Với α ∈ I , lấy φα : X →  hàm thực Ta định nghĩa quan hệ tiền thứ tự ≤α X sau: với x, y ∈ X 41 x ≤α y ⇔ ρα ( x, y ) ≤ φα ( x ) − φα ( y ) Nhận xét 2.5 Quan hệ ≤α quan hệ tiền thứ tự X Tức là, với α ∈ I , quan hệ ≤α có tính phản xạ tính bắc cầu Với α ∈ I z ∈ X , ta đặt Tα ( z ) = {x ∈ X : z ≤α x} Định nghĩa 2.6 Ta định nghĩa quan hệ thứ tự ≤ X sau: ∀x, y ∈ X , x ≤ y ⇔ x ≤α y với α ∈ I Phần tử x ∈ X gọi phần tử tối đại (theo quan hệ ≤ ) x ≤ y ⇒ x = y Định nghĩa 2.7 Cho (X,d) không gian metric Ta nói hàm u : X →  nửa liên tục tập {x ∈ X : u ( x ) < c} mở X với c ∈  Hàm v gọi nửa liên tục –v nửa liên tục Ta có định nghĩa tương ứng với ( X , ρ ) không gian giả metric Định lý 2.7 Cho ( X ,  ) không gian đều, đầy đủ, Hausdorff {ρα : α ∈ I } họ giả metric liên kết bổ sung với  Với α ∈ I , lấy φα : X →  hàm nửa liên tục với cận hữu hạn Khi đó, với x0 ∈ X cho trước có phần tử tối đại x thoả x0 ≤ x Chứng minh Với α ∈ I z ∈ X , ta xét hàm số ψ α : X →  định * ( ) {ρα : α ∈ I } nên ρα liên tục X, φα ψ= φα ( x ) + ρα ( z, x ) Vì A= α ( x) hàm nửa liên tục X nên ta suy ψ α hàm nửa liên tục X Ta có: Tα ( z ) ={x ∈ X : z ≤α x} ={x ∈ X : φα ( x ) + ρα ( z, x ) ≤ φα ( z )} Như vậy, từ tính nửa liên tục hàm ψ α , ta suy Tα ( z ) tập đóng X Đặt T ( z ) = {x ∈ X : z ≤ x} =  Tα ( z ) Khi đó, T(z) tập đóng T(z) khác rỗng α∈I z ∈ T ( z ) Lấy x0 ∈ X cho trước, theo giả thiết hàm φα nửa liên tục có cận hữu hạn không phụ thuộc α nên ta đặt: = a inf{φα ( x ) : x ∈ T ( x0 )} với α ∈ I 42 Khi đó, tồn x1 ∈ T ( x0 ) cho: φα ( x1 ) ≤ + a Với x1 ∈ T ( x0 ) , ta tiếp tục + inf{φα ( x ) : x ∈ T ( x1 )} với trình tìm x2 ∈ T ( x1 ) thoả: φα ( x2 ) ≤ α ∈ I Cứ tiếp tục trình ta tìm dãy {xn } thoả: x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ và, φα ( xn ) ≤ + inf{φα ( x ) : x ∈ T ( xn −1 )} n với α ∈ I Khi đó, T ( x0 ) ⊃ T ( x1 ) ⊃ T ( x2 ) ⊃ dãy tập đóng lồng khác rỗng Ta chứng minh δ α (T ( xn )) → với α ∈ I Lấy α ∈ I u ∈ T ( xn ) ⊂ T ( xn −1 ) , ta có: φα (u ) ≥ inf{φα ( x ) : x ∈ T ( xn −1 )} ≥ φα ( xn ) − n Vì xn ≤ u nên xn ≤α u đó, ρα ( xn , u ) ≤ φα ( xn ) − φα (u ) ≤ φα ( xn ) − φα ( xn ) + 1 = n n Với u, v ∈ T ( xn ) ta có, ρ α ( u , v ) ≤ ρ α ( u , xn ) + ρ α ( xn , v ) ≤ Suy ra: δ α= (T ( xn )) sup{ρα (u, v ) : u, v ∈ T ( xn )} ≤ n n Vậy, δ α (T ( xn )) → với α ∈ I Theo bổ đề 2.2, ta ∞  T ( x ) = {x } n Vì x ∈ T ( xn ) với n nên n =0 x0 ≤ xn ≤ x Nếu có y ∈ X cho x0 ≤ x ≤ y xn ≤ y với n Do đó, ∞ y ∈  T ( xn ) Suy ra, y = x Vậy, x phần tử tối đại  n =0 Hệ 2.7 Cho ( X , ρ ) không gian metric đầy đủ φ : X →  hàm nửa liên tục với cận hữu hạn 43 Khi đó, với x0 ∈ X cho trước tồn phần tử tối đại x thoả x0 ≤ x , quan hệ ≤ X định x ≤ y ⇔ ρ ( x, y ) < φ ( x ) − φ ( y ) Chứng minh Áp dụng định lý 2.7 với I = {1}  Định lý 2.8 (Định lý Caristi - Kirk không gian đều) * Cho ( X ,  ) không gian đều, đầy đủ, Hausdorff A = ( ) {ρα : α ∈ I } Với α ∈ I , lấy φα : X →  hàm nửa liên tục với cận hữu hạn Cho ánh xạ T : X → X thoả, với α ∈ I , với x ∈ X , ρα ( x, T ( x )) ≤ φα ( x ) − φα (T ( x )) Khi đó, T có điểm bất động X Chứng minh Lấy x0 ∈ X , theo định lý 2.7 tồn phần tử tối đại x thoả x0 ≤ x Với α ∈ I , ta lại có ρα ( x , T ( x )) ≤ φα ( x ) − φα (T ( x )) Suy ra, x ≤α T ( x ) với α ∈ I Do đó, x0 ≤ x ≤ T ( x ) Vì x phần tử tối đại có tính chất nên x = T ( x ) Vậy, x điểm bất động T  Hệ 2.8 Cho ( X , ρ ) không gian metric đầy đủ φ : X →  hàm nửa liên tục với cận hữu hạn Cho ánh xạ T : X → X thoả ρ ( x, T ( x )) ≤ φ ( x ) − φ (T ( x )) với x ∈ X Khi đó, T có điểm bất động X Chứng minh Áp dụng định lý 2.8 với I = {1}  44 Kết luận kiến nghị Sau gian nghiên cứu tài liệu góp ý Thầy hướng dẫn, hoàn thành luận văn Trong luận văn này, sử dụng kiến thức Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến học chương trình Sau đại học trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh số tài liệu tham khảo Bài viết trình bày, xây dựng lại theo hiểu biết sở tài liệu [8], [11] Một số mệnh đề, định lý thu gọn chứng minh lại Ngoài ra, trình bày thêm vài kết nhỏ mà thu trình học tập trường góp ý Thầy hướng dẫn trình làm luận văn Các khái niệm Không gian hệ thống chi tiết đầy đủ chương Bên cạnh đó, trình bày thêm phần họ giả metric liên kết với không gian để làm sở lí thuyết cho chương Các kết luận giả metric chương ta thay metric tương ứng Các định lý Nguyên lí ánh xạ co Banach mở rộng chương trình bày lớp không gian đều, đầy đủ Hausdorff Việc nghiên cứu thêm tính đầy đủ tính compact lớp không gian đòi hỏi cần nhiều thời gian nên xem hướng nghiên cứu luận văn Từ đó, nghiên cứu thêm mở rộng Nguyên lí ánh xạ co Banach thêm vào điều kiện cho không gian hướng nghiên cứu luận văn Bài viết hoàn thành khoảng thời gian tương đối ngắn với vốn kiến thức có thân nên chắn không tránh khỏi 45 thiếu sót trình soạn thảo vài kết luận hạn chế Tôi mong nhận góp ý chân thành từ quý thầy cô bạn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2012 Nguyễn Thanh Nhã 46 Tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp (2008), Tôpô đại cương, Nhà xuất Giáo Dục [2] D Boyd and J S W Wong (1969), “On nonlinear contractions”, Proc Amer Math Soc., 20, pp 458-464 [3] A Bronsted (1974), “On a lemma of bishop and phelps”, Pacific J Math., 55, pp 335-341 [4] J Caristi and W Kirk (1975), “Geometric fixed point theory and inwardness conditions”, Proc Conf on Geometry of Metric and Linear spaces, Michigan, 1974, Lecture Notes in Mathematics 490, Berlin: SpringerVerlag [5] S C Chu and J B Diaz (1965), “Remark on a generalization of Banach's principle of contraction mapping”, J Math Anal Appl., 11, pp 440-446 [6] J Dugundji and A Grannas(1982), Fixed point theory, volume 1, Warszawa [7] A H Frink (1937), “Distance functions and the metrization prolem”, Bull Amer Math Soc., 43, pp 133-142 [8] J L Kelley (1955), General Topology, Princetion: Van Nostrand [9] C M Lee (1977), “A development of contraction mapping principles in Hausdorff uniform spaces”, Transactions Amer Math Soc., 226, pp 147159 [10] E Tarafdar (1974), “An approach to fixed point theorems on uniform spaces”, Transactions Amer Math Soc., 191, pp 209-225 [11] E Tarafdar and M.Chowdhury (2008), Topological Methods for Setvalue Nonlinear Analysis, World Scientific 47 [12] W W Taylor (1972), “Fixed-point theorem for non-expainsive mappings in linear topological spaces”, J Math Annal Appl., 40, pp 164173 [13] W J Thron (1966), Topological structures, New York: Holt, Rinehart, pp 177-179 [...]... } là một tập con hữu hạn tuỳ ý của tập chỉ số I thì ta được một họ các giả metric mới liên kết bổ sung với cấu trúc đều   27 Chương 2 2 Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều Chương 2 sẽ trình bày nội dung nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều và các mở rộng của nó Phần cuối của chương sẽ giới thiệu về nội dung và chứng minh chi tiết của định lý Caristi - Kirk trong không gian đều Ngoài ra,... trúc đều  ′ thì  ⊂  ′  Định nghĩa 1.7 Cho không gian đều ( X ,  ) và Y ⊂ X Một họ các tập con  của Y × Y được gọi là cấu trúc đều liên kết  và Y (hoặc cấu trúc đều liên kết với Y ) nếu  là cấu trúc đều nhỏ nhất sao cho ánh xạ đồng nhất từ (Y ,  ) đến ( X ,  ) là liên tục đều Khi đó, ta gọi không gian đều (Y ,  ) là không gian đều con của ( X ,  ) Định nghĩa 1.8 Cho các không gian đều. .. trong không gian metric đầy đủ sẽ được trình bày dưới dạng một hệ quả sau mỗi định lý của chương này Trong chương này ta xét không gian đều ( X ,  ) và β là cơ sở của cấu trúc đều  Ta ký hiệu tô pô trên X sinh bởi cấu trúc đều  là τ  2.1 Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều Định nghĩa 2.1 Cho ánh xạ f : X → X Một điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f(a) =a Định nghĩa 2.2 Cho ánh. .. minh trên thì ta có f là τ  − liên tục Vậy, nếu f là ánh xạ A* ( ) − co trên X thì f là τ  − liên tục  Định lý 2.1 (Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều) Cho ( X ,  ) là một không gian đều, đầy đủ, Hausdorff và {ρα : α ∈ I } = A* ( ) Lấy f là một ánh xạ A* ( ) − co trên X Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động a ∈ X thoả f n ( x ) → a trong tôpô τ  với mọi x ∈ X Chứng minh Lấy x0 ∈ X... α 0 với mọi β  β 0 (b) y β = xα β 5 Nếu ( X ,τ ) là không gian compact thì mỗi lưới {xα }α∈D ⊂ X đều có một lưới con hội tụ Định lý 1.6 Cho các không gian đều ( X , X ), (Y , Y ) và ánh xạ f : X → Y thoả mãn: 1 X với tôpô sinh bởi X là T2 - không gian compact 2 f liên tục Khi đó f liên tục đều Chứng minh 17 Giả sử ngược lại f không liên tục đều, tức là tồn tại W0 ∈Y sao cho với mọi V ∈X thì... của S p ta có τ  -lim xn = a hay f n ( x0 ) → a với mọi x0 ∈ X  Nhận xét 2.2 Khi I = {1} thì ta thu được Nguyên lí ánh xạ co Banach trong một không gian metric đầy đủ Hệ quả 2.1 Cho ( X ,  ) là không gian đều, đầy đủ, Hausdorff Lấy một ánh xạ f : X → X sao cho f n , n ∈ * là ánh xạ A* ( ) − co trên X Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động trên X Chứng minh Ta chứng minh với n ≥ 2 Theo định lý... x, tồn tại A ∈ µ sao cho A ⊂ U Kí hiệu là µ → x 20 • Không gian đều ( X ,  ) được gọi là đầy đủ nếu mỗi lưới Cauchy đều có giới hạn Nhận xét 1.2 Nếu không gian đều ( X ,  ) là đầy đủ thì mọi lọc Cauchy trong X đều có giới hạn Mệnh đề 1.6 Cho không gian đều ( X ,  ) Ta có kết quả sau: 1 Mọi lưới hội tụ là lưới Cauchy 2 Nếu lưới Cauchy có lưới con hội tụ về a thì nó hội tụ về a Chứng minh Xét lưới... cơ sở của cấu trúc đều trong không gian giả metric ( X , ρ ) Giả sử  là một cấu trúc đều khác trên X, theo định lý 1.8 một giả metric ρ là liên tục đều trên X × X theo cấu trúc đều tích ứng với  nếu Vρ ,r ∈  với mỗi r>0 Khi đó, ánh xạ đồng nhất từ ( X ,  ) vào ( X , ρ ) là liên tục đều nếu Vρ ,r ∈  với mọi r>0 Như vậy, cấu trúc đều  là nhỏ nhất sao cho với mỗi ρ ∈ P , ánh xạ đồng nhất từ X vào... trúc đều tích trên không gian ∏ Xα là cấu trúc đều nhỏ nhất sao cho phép chiếu lên mỗi không gian toạ độ là liên tục đều Họ tất cả các tập {( x, y ) : ( xα , yα ) ∈ U } với α ∈ A và U ∈α là tiền cơ sở của cấu trúc đều tích 1.1.4 Tính đầy đủ Ở phần này chúng ta chỉ giới thiệu một vài khái niệm cơ bản liên quan đến tính đầy đủ của không gian đều như: Lưới Cauchy, lọc, lọc Cauchy Định nghĩa 1.9 Cho không. .. 21 1.2 Họ giả metric liên kết với không gian đều 1.2.1 Giả metric và cấu trúc đều sinh bởi giả metric Định nghĩa 1.11 Một hàm thực không âm d : X × X →  thoả với mọi x, y và z thuộc X, a) d(x,y) = d(y,x) b) d ( x, y ) + d ( y , z ) ≥ d ( x, y ) c) d(x,y) = 0 nếu x=y được gọi là một giả metric trên X Khi đó, không gian (X,d) gọi là không gian giả metric Cho không gian giả metric (X,d), với mỗi số thực ... với không gian 21 1.2.1 Giả metric cấu trúc sinh giả metric 21 1.2.2 Họ giả metric liên kết với không gian .22 Nguyên lí ánh xạ co không gian .27 2.1 Nguyên lí ánh xạ co không. .. f ánh xạ A* ( ) − co X f τ  − liên tục  Định lý 2.1 (Nguyên lí ánh xạ co không gian đều) Cho ( X ,  ) không gian đều, đầy đủ, Hausdorff {ρα : α ∈ I } = A* ( ) Lấy f ánh xạ A* ( ) − co. .. Chương 2 Nguyên lí ánh xạ co không gian Chương trình bày nội dung nguyên lí ánh xạ co không gian mở rộng Phần cuối chương giới thiệu nội dung chứng minh chi tiết định lý Caristi - Kirk không gian