Bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯU HỒNG PHONG BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯU HỒNG PHONG BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. PHẠM HOÀNG QUÂN NGHỆ AN - 2014 i Mục lục Lời cám ơn 2 Lời nói đầu 3 Chương 1. Các kiến thức liên quan 8 1.1 Các không gian hàm cơ bản và tích phân Lebesgue . . . . . . . . . 8 1.2 Định lí ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Các bất đẳng thức áp dụng trong luận văn . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian 19 2.1 Các kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 1 LỜI CÁM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại Đại Học Sài Gòn dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Phạm Hoàng Quân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa toán ứng dụng Trường Đại Học Sài Gòn. Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong Khoa Toán của hai Trường Đại Học Vinh và Đại học Sài Gòn nói chung, tổ Giải tích nói riêng, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là bạn bè trong lớp Cao học 20 - chuyên ngành Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tâp và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, ngày 10 tháng 05 năm 2014 Tác giả 2 LỜI NÓI ĐẦU Trong khoa học ứng dụng, nhu cầu khảo sát bài toán ngược đã được nêu ra từ lâu. Bài toán ngược được quan tâm vì ứng dụng thực tế trong lĩnh vực địa lí, cơ học, xử lý ảnh Một trong những bài toán ngược được xét đến là bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic. Hơn nữa, khi xét sự truyền nhiệt trong vật thể một trong các yếu tố quyết định là vật liệu của vật thể. Mỗi vật liệu có một hệ số dẫn nhiệt khác nhau và các vật liệu thì có sự biến đổi theo thời gian và môi trường do sự ăn mòn, oxy hóa Trong thực tế, dữ liệu thu nhập được do việc đo đạc và xử lý qua máy tính hay một số thiết bị hỗ trợ nào đó, nên không tránh khỏi những sai số, dù sai số của dữ liệu là rất nhỏ nhưng lại dẫn đến sự khác biệt rất lớn về nghiệm. Vì thế, chúng ta cần chỉnh hóa bài toán, nghĩa là đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho nghiệm chính xác của bài toán và đánh giá sai số cụ thể giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa. Do đó, trong luận văn này, chúng tôi xét "BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN." Mục đích của luận văn là thông qua tìm hiểu một bài báo về bài toán parabolic ngược, trình bày một cách hệ thống và chứng minh chi tiết các kết quả liên quan tới vấn đề nghiên cứu mà tác giả bài báo chứng minh còn vắn tắt và một ví dụ số để minh họa cho kết quả chỉnh hóa. Với mục đích đó, luận văn này chia thành hai chương. Chương 1: Các kiến thức liên quan. Chương này trình bày các kí hiệu, các khái niệm về bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh, sự chỉnh hóa, các bất đẳng thức: bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski-Schwarz, bất đẳng thức H¨older, không gian các hàm và tích phân Lebesgue, mệnh đề, định nghĩa, nguyên lí, hệ quả, các bổ đề, các phép biến đổi Fourier trong không gian L 1 (R), L 2 (R), định lý Plancherel được sử dụng trong trình bày luận văn. 3 Chương 2: Chỉnh hóa và ước lượng sai số cho bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian. Đây là phần chính yếu, cốt lõi nhất của luận văn với các nội dung sau: Phần 1: Chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán chỉnh hóa, chứng minh tính ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa, ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa. Phần 2: Ví dụ minh họa cho kết quả chỉnh hóa. Trong những năm gần đây, bài toán truyền nhiệt ngược đã được nhiều tác giả quan tâm như Lattes và Lions [10], Showalter [8], Tautenhahn và Schr¨oter [9], Đinh Nho Hào [2]. Cụ thể, Showalter đã dùng phương pháp tựa toán tử để khảo sát bài toán giá trị cuối năm 1974 (trong [8]). Năm 1996, Tautenhahn và Schr¨oter nghiên cứu bài toán truyền nhiệt ngược thời gian (trong [1]) và đã đưa ra ước lượng sai số tối ưu cho bài toán (trong [9]). Gần đây, trong năm 2007, Fu, Xiong và Qian đã sử dụng phép biến đổi Fourier cho bài toán truyền nhiệt ngược và đã đưa ra ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ. Tuy nhiên, các tác giả trên chỉ xét bài toán parabolic với hệ số hằng. Trong luận văn này, chúng tôi đề xuất việc nghiên cứu bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số không là hằng. Gần đây, có vài bài báo xem xét về bài toán truyền nhiệt ngược với hệ số không là hằng. Cụ thể, trong [7], các tác giả xét bài toán ngược cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc vào thời gian, nghĩa là tìm nhiệt độ u(x, t) thỏa mãn a(t)u t (x, t) = u xx (x, t), (x, t) ∈ R ×[0, T ), u(x, T ) = g(x), x ∈ R, với a(t), g(x) là các hàm cho trước sao cho a(t) > 0, ∀t ∈ [0.T ). Hơn nữa, các tác giả đã đưa ra ước lượng sai số dạng H¨older tại thời điểm ban đầu t = 0 và dạng logarit tại thời điểm t > 0 giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa. 4 Trong [2], Đinh Nho Hào và Nguyễn Văn Đức đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa cho bài toán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian  u t + A(t)u = 0, 0 < t < T, u(T ) −f  H ≤ , f ∈ H, trong đó H là một không gian Hilbert và A(t) (0 < t < T ) là toán tử dương tự liên hợp không bị chặn từ D(A(t)) ⊂ H đến H và f là hàm dữ liệu cho trước. Trong [2], các tác giả xem xét bài toán sau (trong [2] trang 8)  ω t + B(t)ω = 0, 0 < t < T, ω(T ) = f, α > 0, trong đó B(t) =  A(t), 0 ≤ t ≤ T, A(2T − t), T < t ≤ 2T. Khi đó họ đặt ω(2T ) = g và đề nghị nghiệm chỉnh hóa của bài toán như sau  υ t + B(t)υ = 0, 0 < t < T, αυ(0) + υ(2T ) = g, α > 0. Trong [2], họ đã chứng minh được bài toán trên là một trường hợp tốt và đưa ra được dạng H¨older của ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác (xem trong [2], định lý 3.4) với một vài giả thiết (xem trong [2], điều kiện 3.1, 3.2 trang 7) của hàm A. Đến nay có nhiều bài viết nghiên cứu về bài toán parabolic ngược với hệ số là hằng (xem [3]-[5],[9]). Mặt khác, rất ít bài viết nghiên cứu trong trường hợp hệ số phụ thuộc vào thời gian (như [2],[7]). Vì thế, chúng tôi xét bài toán parabolic ngược u t (x, t) − a(x, t)u xx (x, t) = f (x, t, u, u x , u xx ), (x, t) ∈ R ×[0, T ) , (1.1) u(x, T ) = g(x), x ∈ R, (1.2) trong đó tồn tại các số p, q, L > 0 sao cho f(x, t, u, u x , u xx ) và a(x, t) thỏa mãn 0 < p ≤ a(x, t) ≤ q (1.3) 5 và |f(x, t, u 1 , v 1 , ω 1 ) −f(x, t, u 2 , v 2 , ω 2 )| ≤ L(|u 1 − u 2 | + |v 1 − v 2 | + |ω 1 − ω 2 |), với mọi (x, t, u 1 , v 1 , ω 1 ), (x, t, u 2 , v 2 , ω 2 ) ∈ R × [0; T ] × R 3 . Trong luận văn này, chúng tôi xét nghiệm và dữ liệu của bài toán (1.1) và (1.2) lần lượt trong không gian H 2 (R) và không gian L 2 (R). Chúng ta có thể thấy rằng hệ số truyền nhiệt a(x, t) của (1.1) là một hàm phụ thuộc vào không gian và thời gian. Trong suốt bài luận văn, chúng ta xác định phép biến đổi Fourier F : L 2 (R) → L 2 (R) xác định bởi: F(f )(ξ) = 1 √ 2π +∞  −∞ f(x)e −iξx dx. Trong bài luận văn này, chúng ta giả sử k(t) = lim x→∞ a(x, t) và đặt b(x, t) = a(x, t) −k(t), Từ (1.3), chúng ta có được 0 < p ≤ k(t) ≤ q. Từ đó, ta có được |b(x, s)| = |a(x, s) −k(s)| ≤ |a(x, s)| + |k(s)| ≤ 2q, (1.4) ∀(x, s) ∈ R × [0; T ]. Sau đó, ta có được phương trình mới u t (x, t) − k(t)u xx (x, t) = ϕ(u, u x , u xx )(x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ) , (1.5) u(x, T ) = g(x), x ∈ R, (1.6) trong đó ϕ(u, u x , u xx )(x, t) = b(x, t)u xx (x, t) + f(x, t, u, u x , u xx ). Sử dụng phép biến đổi Fourier, chúng ta có thể tìm ra được nghiệm của bài toán (1.1) và (1.2) như sau u(x, t) = P (x, t) − K(x, t, u), (1.7) 6 trong đó P (x, t) = 1 √ 2π +∞  −∞ e ξ 2 (η(T )−η(t)) F(g)(ξ)e iξx dξ, (1.8) K(x, t, u) = 1 √ 2π +∞  −∞   T t e ξ 2 (η(s)−η(t)) F(ϕ(u, u x , u xx ))(ξ, s)ds  e iξx dξ, (1.9) và η(t) = t  0 k(s)ds. (1.10) Trong bài luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân để chỉnh hóa nghiệm (1.7) của bài toán (1.1) và (1.2). Khi đó, chúng tôi đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho (1.7) như sau u  (x, t) = P  (x, t) − K  (x, t, u  ), (1.11) trong đó P  (x, t) = 1 √ 2π ∞  −∞ e ξ 2 (η(T )−η(t)) F(g)(ξ)χ [−a  ,a  ] (ξ)e iξx dξ, (1.12) K  (x, t, u  ) = 1 √ 2π ∞  −∞   T t e ξ 2 (η(s)−η(t)) F(ϕ(u  , u x , u xx ))(ξ, s)ds  χ [−a  ,a  ] (ξ)e iξx dξ, (1.13) trong đó, ta chọn hàm a  thỏa mãn a  → ∞ khi  → 0. 7 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức liên quan được sử dụng trong quá trình trình bày luận văn. 1.1. Các không gian hàm cơ bản và tích phân Lebesgue Không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa. Cho (X, +, ·) là một không gian vectơ trên R. Một ánh xạ  · : X → R x → x được gọi là một chuẩn trên X nếu các tính chất sau thỏa với mọi x, y ∈ X, α ∈ R, i) x ≥ 0 và x = 0 nếu và chỉ nếu x = 0, ii) αx = |α|x, iii) x + y ≤ x+ y. Không gian vectơ (X, +, ·) với chuẩn · được gọi là không gian định chuẩn (X, +, ·,  · ), hay vắn tắt là (X,  · ), hay vắn tắt là X, khi các phép toán, hàm chuẩn được ngầm hiểu và không nhầm lẫn. 1.1.2 Định nghĩa. Cho (x n ) là một dãy các phần tử của một không gian định chuẩn (X,  ·). Ta nói Dãy (x n ) trong X được gọi là dãy Cauchy nếu ứng với mỗi  > 0, tồn tại n 0 ∈ N sao 8 [...]... gi l mt khụng gian tin Hilbert Do nh lớ 1.1.16, ta cú X l mt khụng gian nh chun v l mt khụng gian mờtric vi mờtric sinh bi chun Nu khụng gian mờtric ny y , ta gi (X, ã, ã ) l mt khụng gian Hilbert 1.1.18 nh lớ Cho l tp con ca Rn o c, t 1 2 |f (x)|2 f (x)g(x)dx v f = f, g = , f, g L2 () Khụng gian L2 () l mt khụng gian Hilbert Khụng gian Sobolev W m,p () (1 p ) 1.1.19 nh ngha Cho tp m Rk , k ... 2 + f (1) 2 2 1 + f (2) 2 ) 2 2 1.1.23 nh lớ Khụng gian H m () l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng D f D gdx f, g = ||m 14 1.1.24 nh ngha Cho T > 0 v X l khụng gian Banach vi chun ã X Khụng gian C([0, T ]; X) l khụng gian Banach gm cỏc hm liờn tc u : [0, T ] X vi chun |||u||| = sup u(t) X t[0,T ] 1.2 nh lớ ỏnh x co 1.2.1 nh ngha Cho X l mt khụng gian Banach vi chun ã X Mt ỏnh x f : X X sao cho tn... khụng nhm ln 1.1.12 nh ngha Cho khụng gian mờtric (X, d) Ta núi dóy phn t (xn ) X 11 hi t v phn t x X nu lim d(xn , x) = 0 Kớ hiu n d xn x Ngha l, ng vi mi > 0, tn ti n0 N sao cho d(xn , x) < , vi mi n n0 1.1.13 nh ngha Khụng gian mờtric (X, d) c gi l khụng gian mờtric y nu mi dóy Cauchy trong X u hi t Khụng gian Hilbert 1.1.14 nh ngha Cho X l mt khụng gian vect trờn trng s K (K = C hoc K... vo L2 (R) 1.5.7 nh lớ (ng thc Plancherel) Cho f L2 (R) v F{f }() l bin i Fourier ca f trong L2 (R) Khi ú, ta cú F{f } 2 = f 18 2 CHNG 2 CHNH HểA V C LNG SAI S BI TON PARABOLIC NGC THI GIAN PHI TUYN VI H S PH THUC VO THI GIAN V KHễNG GIAN Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by chng minh tớnh duy nht nghim ca bi toỏn chnh húa, chng minh tớnh n nh nghim ca bi toỏn chnh húa, c lng sai s gia nghim chớnh xỏc... c f (x) trờn A vi o à l A Khụng gian Lp f (x)dà f + (x)dà f (x)dà = A A (1 p ) Trong phn ny, ta kớ hiu l mt tp o c trong Rn 1.1.8 nh ngha Cho f o c trờn , nu |f |p (1 p ) kh tớch trờn ta nh ngha 1 p f Lp () |f |p = Khụng gian cha tt c cỏc hm f tha |f |p (1 p ) kh tớch trờn gi l khụng gian Lp () 10 Trong bi lun vn ny ngn gn, ta kớ hiu chun trong khụng gian L2 (R) l ã 2 Ta nh ngha 1 2... lớ Vi o c trong Rn v 1 p thỡ khụng gian (Lp (), Lp () ) l mt khụng gian Banach Khụng gian mờtric y 1.1.11 nh ngha Cho tp X = Mt ỏnh x d:X ìX R (x, y) d(x, y) c gi l mt mờtric trờn X nu cỏc iu kin sau c tha món x, y, z X, i) d(x, y) 0 v d(x, y) = 0 x = y , ii) d(x, y) = d(y, x), iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Tp X vi mt mờtric d trờn X c gi l khụng gian mờtric (X, d) hay vn tt l X khi mờtric... õy, || = 1 + + k v D = || x1 1 xk k 1.1.22 nh ngha (Khụng gian Sobolev) Vi m N, 1 p , ta nh ngha W m,p () = {f Lp () : D f Lp (), || m} vi chun f W m,p () D f = 1 p p Lp () ||m c bit, nu p = 2, ta kớ hiu H m () = W m,2 () Trong lun vn ny, chỳng tụi xột nghim ca bi toỏn (1.1)-(1.2) trờn khụng gian H 2 (R) = W 2,2 (R) l khụng gian cỏc hm f (x) L2 (R) sao cho f cú o hm n cp 2 v f (n) L2... hng trờn mt khụng gian vect X , vi mi x, y X , ta cú i) Bt ng thc Schwarz | x, y |2 x, x y, y 12 ii) Bt ng thc Minkowski x + y, x + y 1 2 x, x 1 2 1 2 + y, y 1.1.16 nh lớ Nu ã, ã l mt tớch vụ hng trờn X thỡ ỏnh x ã :XR x x, x 1 2 l mt chun trờn X , c gi l chun sinh bi tớch vụ hng 1.1.17 nh ngha Cho ã, ã l mt tớch vụ hng trờn khụng gian vect X thỡ cp (X, ã, ã ) gi l mt khụng gian tin Hilbert Do... x0 X , kớ hiu l xn x0 khi n , nu lim xn x0 = 0, ngha l ng vi mi n > 0, tn ti n0 N sao cho xn x0 < , n n0 1.1.3 nh ngha Khụng gian nh chun X c gi l khụng gian Banach nu mi dóy Cauchy trong X u hi t Tớch phõn Lebesgue 1.1.4 nh ngha Mt tớnh cht P (x), x thuc khụng gian Rn gi l ỳng hu khp ni nu tn ti mt tp A cú o khụng, sao cho P (x) ỳng vi mi x thuc Rn \A 1.1.5 nh ngha (Tớch phõn ca hm n gin)... 4+ ln 1 + C,m (1) + (t)+ m 2 1 ln( 1 ) C,m 1 ln( 1 ) (t)+ m 2 T ú, chỳng ta cú 2 1 4+ 6e[ln(ln( ))] (t) + C,m 1 ln( 1 ) (t)+ m 2 Kt thỳc chng minh 2.2 V D MINH HA Xột bi toỏn parabolic phi tuyn vi h s ph thuc vo thi gian sau ut (x, t) 1 (t + 1)uxx (x, t) = f (x, t, u, ux , uxx ), x R ì [0, T ], 10 1 u(x, T ) = 2 + T + 1 ix e d, x R, exp( 6 ) 33 (2.19) (2.20) trong ú, T = 1 v + 1 f (x, t, . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯU HỒNG PHONG BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ. 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯU HỒNG PHONG BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN. . . . . . . . . . 16 Chương 2. Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian 19 2.1 Các kết quả chỉnh hóa . . . .