Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN =======o0o======= NGUYỄN HUY TUẤN BÀI TOÁN NHIỆT NGƯC THỜI GIAN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 62.46.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành Phố Hồ Chí Minh-2009 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết số liệu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận án Nguyễn Huy Tuấn LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy, PGS.TS Đặng Đức Trọng Thầy tận tình dạy dỗ, động viên, quan tâm dẫn dắt nhiều học tập nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, TS.Phạm Hoàng Quân, giúp đỡ tận tình Thầy dành cho học tập sống Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Quý Thầy, Cô hội đồng đánh giá luận án, cho nhận xét bình luận quý giá, tạo điều kiện để hoàn thành luận án cách tốt Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Quý Thầy, Cô tận tình dạy dỗ từ thû ấu thơ bậc đại học nghiên cứu sinh Tôi kính gửi đến Quý Thầy, Cô trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM, trường Đại Học Sài Gòn trường Đại Học Tôn Đức Thắng, tận tình giúp cho hoàn tất chương trình học tập bảo vệ luận án tiến só, lời cám ơn chân thành trân trọng Tôi xin cảm ơn anh chò bạn bè đồng nghiệp quan tâm, giúp đỡ nhiều học tập sống Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình nuôi nấng, dạy dỗ, chăm lo tạo điều kiện tốt cho học tập động viên, khích lệ Nghiên cứu sinh Nguyễn Huy Tuấn MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 12 CHƯƠNG BÀI TOÁN NHIỆT NGƯC THỜI GIAN PHI TUYẾN 1.1 Chỉnh hóa toán (1.1)-(1.3) phương pháp Quasi boundary value 1.2 26 30 Chỉnh hóa toán (1.1)-(1.3) phương pháp phương trình tích phân 48 CHƯƠNG BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯC THỜI GIAN PHI TUYẾN 2.1 62 Phương pháp Stabilized quasi-reversibility cho toán parabolic (2.1)-(2.2) 2.2 65 Phương pháp chuỗi Fourier cho toán parabolic ngược thời gian phi tuyến CHƯƠNG CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 76 91 3.1 Trường hợp tuyến tính không 91 3.2 Trường hợp toán nhiệt phi tuyến chiều 95 KẾT LUẬN 101 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO 105 LỜI NÓI ĐẦU Nội dung luận án tập trung khảo sát nghiệm toán parabolic nhiệt phi tuyến ngược thời gian Bài toán nhiệt ngược thời gian tức toán xác đònh phân bố nhiệt độ thời điểm ban đầu từ phân bố nhiệt độ thời điểm cuối Hai dạng toán phi tuyến ngược thời gian mà khảo sát luận án Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến Bài toán parabolic phi tuyến Như biết, toán parabolic, ta lấy toán tử A toán tử Laplace không gian hàm đó, toán trở thành toán nhiệt Điều có nghóa dạng thứ hai tổng quát so với dạng thứ Các toán nêu toán không chỉnh theo nghóa Hadamard, nghóa ba trường hợp sau xảy ra: i) Bài toán nghiệm, ii) Bài toán có nghiệm nghiệm không nhất, iii) Bài toán có nghiệm nghiệm không ổn đònh Việc nghiên cứu toán ngược bắt nguồn từ thực tế, lónh vực học, vật lý, nhiều nhà toán học quan tâm Thật vậy, Đòa Vật Lý, thường gặp phải toán xác đònh phân bố nhiệt độ trái đất phần trái đất thời điểm t0 > từ nhiệt độ đo từ thời điểm t1 > t0 Cũng tương tự vậy, toán phát triển nhiều tình như: phun núi lửa, nổ hạt nhân, , nhiệt độ thời điểm ban đầu (thời điểm phun nổ) cao thuận lợi đo nhiệt độ thời điểm sau t1 > t0 Thông thường, toán có nghiệm nghiệm không phụ thuộc liên tục vào nhiệt độ cuối Trong thực tế, đo đạc cách xác nhiệt độ, nghóa đo đạc phải có sai số Khi có sai số nhỏ nhiệt độ thời điểm cuối, xảy chênh lệch nhiệt độ lớn thời điểm ban đầu, chí sai lệch tới số lớn Khi ta đo đạc liệu, thường nhận liệu xác, mà nhận liệu tương đối gần với liệu xác Như mục 0.3, thay đổi nhỏ liệu thời điểm cuối dẫn đến sai số lớn thời điểm ban đầu Điều gây nhiều khó khăn việc tính toán số liệu Vì thế, nhiệm vụ để khảo sát toán phải chỉnh hóa nghiệm cho toán Trường hợp tuyến tính toán không chỉnh nghiên cứu nhiều vài thập kỉ qua Các phương pháp nghiên cứu toán có nhiều, năm 1960 với công trình [44] F.John Tiếp theo đó, nghiên cứu Lattes Lions [48], tác giả đưa phương pháp quasi- reversibility (phương pháp QR ) Ý tưởng phương pháp QR thay A toán tử A = f (A) Ngay từ đầu, f (A) = A − A2, dẫn đến toán chỉnh ut + Au − A2u = 0, t ∈ [0, T ], (1) u(T ) = ϕ Bậc ổn đònh phương pháp ec −1 Trong [70], toán xấp xỉ ut + Au + Aut = 0, t ∈ [0, T ], (2) u(T ) = ϕ Trong [61], dùng phương pháp stabilized quasi-reversibility (SQR), K.Miller nghiên cứu toán xấp xỉ ut + f (A)u = 0, t ∈ [0, T ], (3) u(T ) = ϕ Có thể thấy (1) (2) trường hợp đặc biệt (3) f (x) = x − x2 f (x) = x/(1 + x) theo trình tự Chú ý nghiệm toán (3) có dạng e(T −t)f(A) ϕ Và từ hàm f bò chận c/ , ta biết bậc ổn đònh ec/ Do đó, bậc ổn đònh trường hợp lớn Để cải thiện kết ổn đònh toán (3), Miller đưa điều kiện cho trước toán tử f (A) nhận ổn đònh có bậc c −1 Phương pháp QR SQR xuất báo [1, 3, 5, 7, 12, 27, 32, 39, 43, 48, 62, 61, 70] Năm 1983, Showalter [68] đưa phương pháp gọi Quasiboundary value (QBV), chỉnh hóa toán Khác với ý tưởng phương pháp Quasi-reversibility thay đổi phương trình chính, phương pháp thay đổi giá trò biên thời gian Showalter phương pháp xấp xỉ tốt loại phương pháp Quasi-reversibility khác Dùng QBV, Clark-Oppenheimer [22], Denche-Bessila [25], chỉnh hóa toán ngược cách thay giá trò cuối u(T ) + u(0) = ϕ, u(T ) − u (0) = ϕ Phương pháp quasi-boundary value tỏ hiệu việc chỉnh hóa toán ngược Gần nhất, tìm báo Đinh Nho Hào đồng tác giả [36] Có thể liệt kê thêm số phương pháp khác phương pháp chỉnh hóa Tikhonov [13, 28, 51], phương pháp nửa nhóm [3, 41, 42, 46, 57, 58, 66], phương pháp số [29, 38, 45, 51, 59, 60] Ta nêu lên ý tưởng phương pháp chỉnh hóa Xét phương trình Au = f, u ∈ D(A) ⊂ X, f ∈ Y, X Y không gian metric với metric d , A toán tử từ X vào Y Giả sử uex (gọi nghiệm xác, exact solution) fex ( liệu xác, exact data) thỏa Auex = fex Cho W lân cận mở fex Y Toán tử Rα : W → X (phụ thuộc vào tham số α không tuyến tính) gọi toán tử chỉnh DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ [1] [N1] D D Trong and N H Tuan (2006), Regularization and error estimates for nonhomogeneous backward heat problems, Electron J Diff Eqns Vol 2006 , No 04, 1-10 [2] [N2] D D Trong, P H Quan, T V Khanh and N H Tuan (2007), A nonlinear case of the 1-D backward heat problem: Regularization and error estimate, Zeitschrift Analysis und ihre Anwendungen Volume 26, Issue 2, 231-245 [3] [N3] D D Trong and N H Tuan (2008), A nonhomogeneous backward heat problem: Regularization and error estimates, Electron J Diff Eqns Vol 2008, No 33, 1-14 [4] [N4] D D Trong and N H Tuan (2008), Stabilized quasireversibility method for a class of nonlinear ill-posed problems, Electron J Diff Eqns Vol 2008, No 84, 1-12 103 104 [5] [N5] D D Trong and N H Tuan (2009), Regularization of the nonlinear backward heat problem using a method of integral equation, Nonlinear Anal Volume 71, 4167-4176 [6] [N6] D D Trong and N H Tuan (2009), Remarks on a 2D nonlinear backward heat problem using a truncated Fourier series method Electron J Diff Eqns Vol 2009, No 77, 1-13 [7] [N7] D D Trong and N H Tuan (2009), A new regularized method for two dimensional nonhomogeneous backward heat problem, Appl Math Comput Volume 215, Issue 3, 873-880 [8] [N8] D D Trong, P H Quan, and N H Tuan (2009), A quasiboundary value method for regularizing nonlinear ill-posed problems, Electron J Diff Eqns Vol 2009, No 109, 1-16 [9] [N9] D D Trong, N H Tuan and P H Quan (2009), A new version of quasi-boundary value method for a 1-D nonlinear illposed heat problem, J Inv Ill-Posed Problems Vol 17, 911–929 [10] [N10] D D Trong, N H Tuan and P H Quan (2009), Note on a paper of nonlinear inverse time heat equation in the unbounded region, ROMAI Journal, accepted for publication [11] [N11] D D Trong and N H Tuan (2009), A nonlinear backward parabolic equation: regularization with new error estimates, Nonlinear Analysis, submitted TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S M Alekseeva, N I Yurchuk (1998), The quasi-reversibility method for the problem of the control of an initial condition for the heat equation with an integral boundary condition, Differential Equations 34 , no 4, 493-500 [2] O M Alifanov (1998 ), Inverse heat transfer problem, SpringerVerlag [3] K A Ames, R J Hughes (2005), Structural stability for ill-posed problems in Banach space, Semigroup Forum Vol 70, 127-145 [4] K A Ames, L E Payne (1994), Stabilizing the backward heat equation against errors in the initial time geometry.Inequality and applications, World Sci Ser Appl Anal.3 World Sci Publishing, River Edge, NJ, 47-52 [5] K A Ames, L E Payne (1998), Asymptotic for two regular- izations of the Cauchy problem for the backward heat equation, Math Models Methods Appl Sci 187-202 105 106 [6] K A Ames, G W Clark, J F Epperson, and S F Oppenheimer (1998), A comparison of regularizations for an ill-posed problem, Math Comp 67, no 224, 1451-1471 [7] K A Ames, L E Payne (1999), Continuous dependence on modelling for some well-posed perturbations of the backward heat equation, J Inequal Appl Vol , 51-64 [8] K A Ames, L E Payne, P W Schafer (2004), Energy and pointwise bounds in some non-standard parabolic problem, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A 134, 1-9 [9] K A Ames and B Straughan (1997), Non-standard and Im- properly Posed Problems, Academic Press, San Diego [10] K A Ames and J F A Epperson (1997), Kernel-based Method for the Approximate Solution of Backward Parabolic Problems, SIAM J Num Anal Vol 34, no 4, 1997, 1357-1390 CMP 97:16 [11] P K Anh and L C Loi (2006), On discrete analogues of nonlinear implicit differential equations Adv Difference Equ Art 43092, 1-19 [12] D D Ang (1990), On the backward parabolic equation: a critical survey of some current methods, Numerical Analysis and Mathematical Modelling Vol 24 , 509-515 107 [13] D D Ang (1985), Stabilized approximate solution of the inverse time problem for a parabolic evolution equation, J Math Anal Appl Vol 111, 148-155 [14] D D Ang and D D Hai (1990), On the backward heat equation, Annales Polonici Mathematici LII [15] D D Ang, R Gorenflo, L K Vy and D D Trong (2002), Moment theory and some Inverse Problems in Potential Theory and Heat Conduction, Lecture Notes in Mathematics 1792 Springer [16] D D Ang, A P N Dinh and D N Thanh (1996), An inverse Stephan problem: identification of boundary value, J of Comp and Appl Math 66, 75-84 [17] D D Ang, A P N Dinh and D N Thanh (1998), Regularization of an inverse two-phase Stefan problem, Nonlinear Anal 34, no 5, 719 731 [18] J Baumeister (1987), Stable solution of Inverse Problems, Vieweg [19] N Boussetila, F Rebbani (2006), Optimal regularization method for ill-posed Cauchy problems, Electron J Diff Eqns Vol 2006, No 147, 15 [20] G Bulman, V Shtelen (2004), Nonlocal transformations of Kolmogorov equations into the backward heat equation, J Math Anal Appl 291, No.2, 419-437 108 [21] A S Carraso (1999), Logarithmic convexity and the ``slow evolution'' constraint in ill-posed initial value problems, SIAM J Math Anal Vol 30, No 3, 479-496 [22] G Clark and C Oppenheimer (1994), Quasireversibility Methods for Non-Well-Posed Problems, Electron J Diff Eqns Vol 1994 , no.08, 1-9 [23] D Colton (1988), Partial Differential equations, Random House, New York [24] M Denche and K Bessila (2001), Quasi-boundary value method for non-well posed problem for a parabolic equation with integral boundary condition, Math Probl Eng 7, n0 2, 129-145 [25] M Denche and K Bessila (2005), A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems, J Math Anal Appl Vol.301, 419-426 [26] R Dorville, O Nakoulima, A Omrane (2004), Low-regret control of singular distributed systems: the ill-posed backward heat problem Appl Math Lett no 5, 549-552 [27] R E Ewing (1975), The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations, SIAM J Math Anal Vol 6, No 2, 283-294 109 [28] X L Feng, Z Qian, C L Fu (2008), Numerical approximation of solution of nonhomogeneous backward heat conduction problem in bounded region Math Comput Simulation, 79, no 2, 177-188 [29] C L Fu, X T Xiong, Z Qian (2006), Two numerical methods for solving a backward heat conduction problem, Applied Mathematics and Computation Vol 179, 370-377 [30] C L Fu, X T Xiong, Z Qian (2007), On three spectral regularization method for a backward heat conduction problem, J Korean Math Soc 44 , No 6, pp 1281-1290 [31] C L Fu, Z Qian and R Shi (2007), A modified method for a backward heat conduction problem, Applied Mathematics and Computation 185, 564-573 [32] H Gajewski and K Zaccharias (1972), Zur Regularisierung einer Klass nichtkorrekter Probleme bei Evolutiongleichungen, J Math Anal Appl no 38 , 784-789 [33] X Gao, X T Xiong, Y Nie, C L Fu (2006), Fourier regularization method for solving a backward heat conduction problem (Chinese) J Lanzhou Univ Nat Sci 42, no 4, 119-120 [34] D N Hao (1994), A mollification method for ill-posed problems, Numer.math 68, 469-506 110 [35] D N Hao (1996), A mollification method for a noncharacteristic Cauchy problem for a parabolic equation, J Math Anal Appl 199, 873-909 [36] D N Hao, N V Duc and H Sahli (2008), A non-local boundary value problem method for parabolic equations backward in time, J Math Anal Appl 345, 805-815 [37] D N Hao and N V Duc (2009), Stability results for the heat equation backward in time, J Math Anal Appl 353, 627-641 [38] A Hassanov, J L Mueller (2001), A numerical method for backward parabolic problems with non-selfadjoint elliptic operator, Applied Numerical Mathematics 37, 55-78 [39] B M Campbell H and R J Hughes (2007), Continuous dependence results for inhomogeneous ill-posed problems in Banach space, J Math Anal Appl Volume 331, Issue 1, 342-357 [40] B M Campbell H, R Hughes, E McNabb.(2008), Regularization of the backward heat equation via heatlets, Electron J Diff Eqns Vol 2008, No.130, 1-8 [41] Y Huang, Z Quan.(2004), Regularization for ill-posed Cauchy problems associated with generators of analytic semigroups J Differential Equations Vol 203 no 1, 38 54 111 [42] Y Huang and Z Quan (2005), Regularization for a class of ill-posed Cauchy problems, Proc Amer Math Soc Vol 133, 3005-3012 [43] Y Huang (2008), Modified quasi-reversibility method for final value problems in Banach spaces, J Math Anal Appl 340, 757769 [44] F John (1955), Numerical solution of the equation of heat conduction for preceding times, Ann.Math.Pura Appl 40, 129-142 [45] M Jourhmane and N S Mera (2002), An iterative algorithm for the backward heat conduction problem based on variable relaxation factors, Inverse Probl Sci Eng 10, no.4, 469-506 [46] S M Kirkup and M Wadsworth (2002), Solution of inverse diffusion problems by operatorsplitting methods, Applied Mathematical Modelling, no 10, 1003-1018 [47] L C Evans (1997), Partial Differential Equation, American Mathematical Society, Rhode Island [48] R Lattes, J L Lions (1967), Methode de Quasi-Reversibilite et Applications, Dunod, Paris [49] M M Lavrentiev (1973), Some Improperly Posed problem of Mathematical Physics, Springer Tracts in Natural Phisolophy, vol 11, 161-171 112 [50] M Lees and M H Protter (1961), Unique continuation for parabolic differential equations and inequality, Duke Math.J 28, 369-382 [51] J J Liu (2002), Numerical solution of forward and backward problem for 2-D heat equation, J Comput Appl Math., 145, 459-482 [52] J J Liu and D J Lou (2003), On stability and regularization for backward heat equation, Chinese Ann Math 24B(1) 35-44 [53] J J Liu (2001), Determination of temperature field for backward heat transfer, Comm Korean Math Soc 16(3), 385-397 [54] C S Liu (2004), Group preserving scheme for backward heat conduction problems, Int J Heat Mass Transfer 47 (2004), 2567–2576 [55] J J Liu (2005), On ill-posedness and inversion scheme for 2-D backward heat conduction, Frontiers and prospects of contemporary applied mathematics, 227 241,Ser Contemp Appl Math CAM, 6, Higher Ed Press, Beijing [56] N T Long, A P N Dinh (1994), Approximation of a parabolic non-linear evolution equation backwards in time, Inv Problems 10 , 905-914 [57] I V Mel'nikova (1989), Regularization of ill-posed differential problem (in Russian), Sibirks, Mat Zh 33 126-134 113 [58] I V Mel'nikova, Q Zheng and J Zheng (2002), Regularization of weakly ill-posed Cauchy problem, J Inv Ill-posed Problems Vol 10 (2002), No 5, 385-393 [59] N S Mera, L Elliott, D B Ingham, and D Lesnic (2001), An iterative boundary element method for solving the onedimensional backward heat conduction problem, International Journal of Heat and Mass Transfer 44, no 10, 1937-1946 [60] N S Mera (2005), The method of fundamental solutions for the backward heat conduction problem, Inverse Probl Sci Eng 13, no 1, 65-78 [61] K Miller (1973), Stabilized quasi-reversibility and other nearlybest-possible methods for non-well-posed problems, Symposium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity (Heriot- Watt Univ., Edinburgh, 1972), pp 161-176.Lecture Notes in Math Vol 316, Springer, Berlin, [62] N V Nhan; T T Le; D N Thanh; D D Trong (1998), A moment approach to some problems in heat conduction, Proceedings of the International Conference on Inverse Problems and Applications (Quezon City, 1998) Matimyas Mat 21 , Special Issue, 148-153 [63] N V Nhan, N V Huy and D D Trong (2002), Reconstruction of analytic functions on the unit disc from a sequence of moments: regularization and error estimates Acta Math Vietnam, no 3, 307 320 114 [64] N V Nhan, N Cam, A P N Dinh (2004), The backward heat equation: regularization by cardinal series, Arch Inequal Appl 2, 355-363 [65] A Pazy ( 1983), Semigroups of linear operators and application to partial differential equations, Springer-Verlag [66] S Piskarev (1987), Estimates for the rate of convergence in the solution of ill-posed problems for evolution equations, Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat, 51, 676-687 [67] M Renardy, W J Hursa and J A Nohel (1987), Mathematical Problems in Viscoelasticity, Wiley, New York [68] R E Showalter (1974) The final value problem for evolution equations, J Math Anal Appl, 47, 563-572 [69] R E Showalter (1983), Cauchy problem for hyper-parabolic partial differential equations, in Trends in the Theory and Practice of Non-Linear Analysis, Elsevier [70] R E Showalter (1975), Quasi-reversibility of first and second order parabolic evolution equations, Improperly posed boundary value problems (Conf., Univ New Mexico, Albuquerque, N M., 1974), 76-84 Res Notes in Math., n0 1, Pitman, London [71] T I Seidman (1996), Optimal filtering for the backward heat equation, SIAM J Numer Anal 33, 162–170 115 [72] P H Quan and N Dung (2005), A backward nonlinear heat equation regularization with error estimates, Applicable Analysis Vol.4, No.4, 343-355 [73] P H Quan, D N Thanh, D D Trong (2005), Recovering the surface temperature history of a two layer composite body, Applicable Analysis Vol 84, No.8, pp 833-842 [74] P H Quan, D D Trong (2006), A nonlinearly backward heat problem: uniqueness, regularization and error estimate, Applicable Analysis Vol 85, Nos 6-7, 641-657 [75] P H Quan, T N Lien and D D Trong (2005), A discrete form of the backward heat problem on the plane, Int J Evol Equ, no 3, 265-279 [76] U Tautenhahn and T Schroter (1996), On optimal regularization methods for the backward heat equation, Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen 15, no 2, 475–493 [77] D N Thanh; N V Nhan; A P N Dinh; T T Le (2002), Surface temperature determination from borehole measurements: regularization by cardinal series, Nonlinear Anal 50, no 7, Ser A: Theory Methods, 1055 1063 [78] D D Trong and T N Lien (2007), Regularization of a discrete backward problem using coefficients of truncated Lagrange polynomials, Electron J Diff Eqns Vol 2007, No 51, 14 116 [79] D D Trong and N H Tuan (2006), Regularization and error estimates for nonhomogeneous backward heat problems, Electron J Diff Eqns Vol 2006, No 04, 1-10 [80] D D Trong, P H Quan, T.V.Khanh and N.H Tuan (2007), A nonlinear case of the 1-D backward heat problem: Regularization and error estimate, Zeitschrift Analysis und ihre Anwendungen Volume 26, Issue 2, 231-245 [81] D D Trong and N H Tuan (2008), A nonhomogeneous backward heat problem: Regularization and error estimates, Electron J Diff Eqns Vol 2008, No 33, 1-14 [82] D D Trong and N H Tuan (2008), Stabilized quasi-reversibility method for a class of nonlinear ill-posed problems , Electron J Diff Eqns Vol 2008, No 84, 1-12 [83] D D Trong and N H Tuan (2009), Regularization of the nonlinear backward heat problem using a method of integral equation, Nonlinear Anal Volume 71, 4167-4176 [84] D D Trong and N H Tuan (2009), Remarks on a 2-D nonlinear backward heat problem using a truncated fourier series method Electron J Diff Eqns Vol 2009 , 1-13 [85] D D Trong and N H Tuan (2009), A new regularized method for two dimensional nonhomogeneous backward heat problem, Appl Math Comput Volume 215, Issue 3, 2009, 873-880 117 [86] D D Trong, P H Quan, and N H Tuan (2009), A quasiboundary value method for regularizing nonlinear ill-posed problems, Electron J Diff Eqns Vol 2009 , No 109, 1-16 [87] D D Trong, N H Tuan and P H Quan (2009), A new version of quasi-boundary value method for a 1-D nonlinear ill-posed heat problem, J Inv Ill-Posed Problems Vol.17 , 911–929 [88] D D Trong and N H Tuan (2009), A nonlinear backward parabolic equation: regularization with new error estimates, submitted to Journal Nonlinear Analysis [89] X T Xiong, C L Fu, Z Qian and X Gao (2006), Error estimates of a difference approximation method for a backward heat conduction problem, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences Volume 2006, Article ID 45489, Pages 1–9 [90] X T Xiong, C L Fu (2007), Error estimates on a backward heat equation by a wavelet dual least squares method, Int J Wavelets Multiresolut Inf Process, no 3, 389 397 [91] B Yildiz , M Ozdemir (2000), Stability of the solution of backward heat equation on a weak compactum, Applied Mathematics and Computation 111, 1-6 [...]... các bài toán truyền nhiệt ngược thời gian thuần nhất Trong [91], các tác giả đã biến đổi bài toán tuyến tính trở thành bài toán tìm u thỏa phương trình toán tử Au = f với A : L2(0, π) → L2 (0, π) là toán tử tuyến tính liên tục, cụ thể π K(x, s)u(s)ds = f (x), 0 < x < π, Au = 0 2 K(x, s) = π ∞ e−k 2 T sin(kx) sin(ks) k=1 Do toán tử nghòch đảo A−1 : L2(0, π) → L2 (0, π) không liên tục nên bài toán nhiệt. .. Trường hợp f (x, t, u(x, t)) = f (x, t), bài toán tuyến tính không thuần nhất trên đã được công bố trong [28, 79, 81] Như vậy, không kể đến bài toán phi tuyến thì số lượng bài toán nhiệt ngược tuyến tính không thuần nhất cũng rất hiếm Vì nội dung chính của luận án là nghiên cứu bài toán phi tuyến, nên chúng tôi không đi sâu vào các chi tiết của bài toán tuyến tính Tuy nhiên, để tiện cho việc so sánh ưu... biết, có rất nhiều các bài báo và công trình nghiên cứu giải quyết triệt để bài toán tuyến tính thuần nhất, nhưng các bài toán tuyến tính không thuần nhất và phi tuyến thì vẫn chưa được nghiên cứu nhiều và đầy đủ Bài toán tuyến tính không thuần nhất được chúng tôi nghiên cứu trong [79, 81, 85] Ta có thể liệt kê một số bài báo xét trường hợp phi tuyến như [62, 72, 74] Tuy nhiên, các bài báo này vẫn có những... L2(0,π) π = 2 ∞ |R(p, s, t)|2|hp(s)|2 p=1 ∞ π ≤ L2 |hp (s)|2 = L2 h 2 p=1 Vậy G(t, s) ≤ L Áp dụng Đònh lý 0.6.2 ta có đpcm 2 L2(0,π) bò chặn CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN NHIỆT NGƯC THỜI GIAN PHI TUYẾN Trong chương này, chúng ta xét bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến như sau ut − uxx = f (x, t, u(x, t)), u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, T ) = ϕ(x), (x, t) ∈ (0, π) × (0, T ), t ∈ (0, T ), x ∈ (0, π), (1.1) (1.2)... phương nhỏ nhất, xét bài toán không chỉnh phi tuyến tổng quát dưới dạng F (x) = y0 , biến đổi bài toán trở thành phương trình toán 7 tử và như vậy, chỉ mới chứng minh được sự tồn tại nghiệm chỉnh hóa, chưa đánh giá được sai số hội tụ và cũng chưa chỉ ra thuật toán để tính số Vì sự ứng dụng rất quan trọng của các loại bài toán nhiệt ngược thời gian, nên yêu cầu quan trọng nhất là phải tính toán bằng số liệu... xấp xỉ nghiệm của các loại bài toán phi tuyến ngược thời gian 8 Phương pháp Quasiboundary value (QBV) và Phương pháp phương trình tích phân được dùng ở chương 1, để chỉnh hóa bài toán một chiều Phương pháp SQR, Phương pháp Fourier được sử dụng trong chương 2 cũng cho ta nhiều kết quả thú vò về mặt lý thuyết Sở dó, chúng tôi chọn các phương pháp này để nghiên cứu bài toán phi tuyến là vì các phương pháp... thiệu, bài toán này là bài toán không chỉnh Trường hợp f (x, t, u(x, t)) = 0, bài toán trên đã được nghiên cứu rất nhiều 26 27 bằng các phương pháp khác nhau Chúng ta có thể liệt kê một số bài báo liên quan đến bài toán nhiệt ngược thuần nhất trong những năm gần đây như [1, 7, 64, 29, 30, 31, 33, 37, 40, 45, 51, 52, 53, 54, 59, 60, 75, 76, 78, 89, 90, 91] Trường hợp f (x, t, u(x, t)) = f (x, t), bài toán. .. tôi xét bài toán nhiệt phi tuyến sau ut − uxx = f (x, t, u(x, t)), u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, T ) = ϕ(x), (x, t) ∈ (0, π) × (0, T ), (4) (5) t ∈ (0, T ), (6) x ∈ (0, π), với f là hàm Lipschitz toàn cục Chương này được chia làm 2 phần với 2 phương pháp khác nhau để cùng chỉnh hóa một bài toán Trong Phần 1.1, chúng tôi dùng Phương pháp Quasiboundary value để xấp xỉ bài toán phi tuyến bởi bài toán chỉnh... đưa ra cách tính toán cụ thể trên số liệu vì các không gian quá trừu tượng và không chọn được tham số chỉnh hóa cụ thể Như vậy, có lẽ khó dùng phương pháp Tikhonov để nghiên cứu bài toán phi tuyến Bởi vì lúc đó bài toán đưa về bài toán biến phân hoặc bài toán cực tiểu để khảo sát Công trình liên quan đến phương pháp này, xuất hiện gần đây trong bài báo của Phạm Hoàng Quân và Nguyễn Dũng [72] Các tác... dụng một vài điều kiện Theo cách thao tác xử lý trên các yếu tố bài toán, ta có thể phân thành ba loại bài toán chỉnh hóa Thứ nhất, ta xấp xỉ dữ kiện hay thu hẹp không gian để bài toán trở thành chỉnh và giải bài toán như phương pháp mollification của tác giả Đinh Nho Hào, được dùng trong [34, 35] Thứ hai, ta xấp xỉ phương trình để được bài toán chỉnh và giải, ví dụ như các phương pháp quasi-reversibility, ... toán parabolic nhiệt phi tuyến ngược thời gian Bài toán nhiệt ngược thời gian tức toán xác đònh phân bố nhiệt độ thời điểm ban đầu từ phân bố nhiệt độ thời điểm cuối Hai dạng toán phi tuyến ngược. .. ngược thời gian mà khảo sát luận án Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến Bài toán parabolic phi tuyến Như biết, toán parabolic, ta lấy toán tử A toán tử Laplace không gian hàm đó, toán trở... Đònh lý 0.6.2 ta có đpcm L2(0,π) bò chặn CHƯƠNG BÀI TOÁN NHIỆT NGƯC THỜI GIAN PHI TUYẾN Trong chương này, xét toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến sau ut − uxx = f (x, t, u(x, t)), u(0, t) =