Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp lặp Landweber

Bài viết khảo sát một bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt. Bài toán được quy về việc khảo sát một phương trình tích phân loại tích chập và được chỉnh hóa bằng phương pháp lặp Landweber với các đánh giá sai số.

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 CHỈNH HĨA BÀI TỐN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP LANDWEBER Phạm Hoàng Quân*, Phan Trung Hiếu Lê Minh Triết, Nguyễn Quang Huy† Mở đầu Bài tốn ngược thời gian cho phương trình nhiệt nhằm xác định phân bố nhiệt độ thời điểm ban đầu t = từ phân bố nhiệt độ đo thời điểm sau đó, chẳng hạn t = Bài tốn coi toán điều khiển: toán điều khiển phân bố nhiệt độ ban đầu (t = 0) để nhận phân bố nhiệt độ ý muốn thời điểm t = Đây toán khơng chỉnh theo nghĩa khơng ln ln tồn nghiệm nghiệm toán tồn lại khơng phụ thuộc liên tục theo kiện Bài toán nhiều nhà tốn học quan tâm khảo sát Chúng ta tham khảo [1], ngồi tài liệu trích dẫn phong phú, tác giả cho ta nhìn tổng quan phương pháp khảo sát vấn đề bỏ ngỏ tốn ngược thời gian cho phương trình nhiệt Cụ thể, [2], tác giả đưa nghiệm chỉnh hóa tổ hợp tuyến tính số hữu hạn hàm riêng toán tử -  [3], tác giả chỉnh hóa tốn trường hợp tổng quát phương trình vi phân không gian Hilbert trừu tượng Để ý miền phân bố nhiệt khảo sát [2] [3] miền bị chặn Trong báo này, khảo sát tốn ngược thời gian cho phương trình nhiệt Bài toán chuyển phương trình tích phân loại tích chập chỉnh hóa phương pháp lặp Landweber đưa đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác Cụ thể, chúng tơi chứng minh sai số kiện xác kiện nhận đo đạc  sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa có bậc     ln      * † TS, Đại Học Sài Gòn Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM 10 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Hồng Qn tác giả Phương trình tích phân chỉnh hóa 2.1 Bài tốn thuận Xét phương trình nhiệt  u u  , x t ( x, t )    (1) với điều kiện u(x,0) = v(x) x (2) Bài toán thuận cho phương trình nhiệt khảo sát nhằm xác định u(x,t) thỏa hệ thống (1) - (2) với v(x) hàm liên tục, bị chặn cho trước Ta dễ dàng tìm nghiệm tốn   x     u ( x, t )   exp   v ( )d  4t    t   (3) 2.2 Bài tốn ngược thời gian cho phương trình nhiệt Xét phương trình nhiệt  2u u  , x t ( x, t )    (4) với điều kiện u(x,0) = v(x) x (5) u(x,1) = g(x) x (6) Bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt khảo sát nhằm xác định ẩn hàm v cho hệ thống (4) - (5) - (6) có nghiệm u với g kiện cho trước Từ (3), thay t = 1, kết hợp với (6), ta có 11 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM  Số 18 năm 2009   ( x   )2   v( )exp   d  g ( x)  (7) Đây phương trình tích phân loại tích chập theo v ( ) tốn khơng chỉnh Thật vậy, ta đặt  x2  K ( x)   exp    4 (8) Ta có, với x  ( K  v)( x )  2   v( ) K ( x   )d      ( x   )2  v (  ) exp   d    (7) viết lại thành ( K  v)( x)  g ( x) (9) Từ (8), ta có Kˆ ( )  2   K ( x)e  ix dx  2 e  (10)  lấy biến đổi Fourier hai vế (9), ta nhận đẳng thức Kˆ ( )vˆ( )  gˆ ( ) Xét phương trình P (vˆ )  gˆ P : L2 ( )  L2 ( ) (11) ˆ ˆ vˆ  P(vˆ)  Kv Phương trình P (vˆ )  gˆ khơng chỉnh khơng thỏa tính tồn Thật vậy, lấy gˆ gˆ  Kˆ , vˆ   1 L2 ( ) Kˆ 12 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Hồng Qn tác giả 2.3 Chỉnh hóa toán nhiệt ngược thời gian phương pháp lặp Landweber Bây giờ, gọi vex nghiệm xác cần tìm (9) ứng với kiện xác g ex vế phải gọi g kiện bị nhiễu nhận đo đạc, ta kết sau Định lí Giả sử vex  L2 ( ) g  gex   với chuẩn L2 ( ) Khi đó, tồn nghiệm xấp xỉ ổn định v (9) cho v  vex 0   Hơn nữa, vex  H ( ) ,   (0,1) v  vex  C   ln      với C số thỏa C  max 1, E1 , E2  , E1 , E2 số dương cho vˆex  E1 ,  vˆex  E2 , với  ( x)  x Chứng minh Từ (11), ta có P : L2 ( )  L2 ( ) ˆ ˆ )  P( K  v)  Kˆ K  v  KKv ˆ ˆ ˆ  K vˆ P (vˆ)  P  P(vˆ )   P( Kv Ta có dãy lặp theo phương pháp lặp Landweber : vˆ  vˆ m  ( I  m1 ˆ m1 ˆ P )vˆ  Kgˆ  (1  K )vˆ  Kgˆ (12) 2 2 2 2 Bằng cách quy nạp theo m, ta thấy vˆ m có dạng sau 13 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 k ˆ m 1  2 vˆ  Kgˆ    K  , với m = 1, 2,… 2 2  k 0  m (13) Từ (13), ứng với kiện đo, ta có k ˆ m1  2 vˆ  Kgˆ   1  K  , với m = 1, 2,… , 2 2  k 0  m  (14) ứng với kiện xác, ta có k vˆexm  ˆ m1  2 Kgˆ ex  1  K  , với m = 1, 2,… 2 2  k 0  (15) Ta có vm  vex  vˆm  vˆex Trước tiên, ta chứng minh vˆm  vˆexm 2  vˆm  vˆexm  vˆexm  vˆex (16)    Từ (14) (15), ta có k m 1 ˆ 2  vˆ  vˆ  K ( gˆ   gˆ ex ) 1  K  , với m = 1, 2,… 2 2  k 0  m  m ex (17) Hơn nữa, ý đến (10), ta có 0 K ( ) 2    2 2 e 2  e 2  2 với   , suy 1 K ( )  2   (18) Từ (17) (18), ta có vˆm  vˆexm  14 2 k 2 e  m 1 2  ˆ ˆ ( g  g ex )    K   m gˆ   gˆ ex    k 0  Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Hoàng Quân tác giả Vậy vˆm  vˆexm  2 m gˆ   gˆ ex 2 (19) Hơn nữa, ( gˆ   gˆ ex )  L2 ( ) nên (vˆm  vˆexm )  L2 ( ) (20) Từ (19) (20), ta có vˆm  vˆexm  m g  g ex 2  m 2 Bây giờ, ta chọn m( ) cho m( )  (21) m( )  (khi 2   ) Ta chọn m( ) cho 1 Vậy ta chọn m( )  2   2  m( )       (22)  2   số nguyên lớn khơng vượt q     2  Khi  0 m( )    vˆm ( )  vˆexm ( )  1 m( )    2  Vậy vˆm  vˆexm    Tiếp theo, ta chứng minh vˆexm  vˆex (23)  m   Ta có 15 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 m m 2 2     K   K  k    m 1 2  2 2     K     1  2 1 2  k 0   (1  K ) K 2 2 (24) Từ (15) kết hợp với (24), ta có m 2   1  K  ˆ ˆ 2 m    vˆ 1  (1  K ) m  , vˆex  K ( Kvˆex ) ex   2    K 2 (25) m m  vˆexm  vˆex  vˆex   (1  K )   vˆex  vˆex (1  K ) 2 2   (26) suy Từ (26) (18), ta có m ex vˆ  vˆex 2   vˆex   K   2  m  vˆex m ex vˆ  vˆex 2   (vˆex ) 1  K   2  2m  m   Vì vˆex  L2 ( ) nên theo Định lí hội tụ bị chặn, ta có  vˆ m ex  vˆex   L2 ( ) (27) vˆexm  vˆex  m   Từ (16), (23), (28), ta vm  vex    16 (28) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Hoàng Quân tác giả Đặt v  vm Như vậy, ta chứng minh v  vex    Bây giờ, với giả thiết vex  H ( )  ( x)  x , ta có vex  L2 ( ) , suy vex  L2 ( ) Hơn nữa, ta có vex ( )  ivˆex ( ), suy 2 2 vex ( )  ivˆex ( )  vˆex ( )   ( )vˆex ( ) Vậy vˆex  L2 ( ) Từ (27) (26), ta có m ex vˆ  vˆex 2    vˆex ( )  e2 D 2m 2     vˆex ( )   K ( )  d    vˆex ( )  e 2  2  2    2m d     vˆex ( )  e2   2m d 2m d (29) \D D   :   r2  với r  , r chọn sau 2 Với   D , ta có   r2 , suy  e 2   e 2 r , 17 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009   2  vˆex ( )  e  2m  d   vˆex ( )  e 2 r D  2m d D Hơn nữa, ta có  2 r  vˆex ( )  e   2m  d   e 2 r  2m D  2 r  vˆex ( ) d   e   2m vˆex D Vậy  2  vˆex ( )  e  2m  d   e 2 r  2m vˆex (30) D Mặt khác, từ (10) (18), ta có    e 2  2m  1, (31) suy  vˆex ( )  e 2   2m d   \D  \D r2  ()vˆex () d   (32) \D Hơn nữa, với   D  ( )    r2 , suy vˆex () d  vˆex ( ) d \D 1  ,  r2 2 1 ˆ ˆ  v  (  ) v (  ) d   ex ex (33) r2  r2 Từ (32) (33), ta   vˆex ( )  e 2 2m   2m d  \D ˆ  v ex r2 Từ (29), (30), (34), ta vˆexm  vˆex suy 18 2    e 2 r vˆex 2   vˆex , r (34) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM vˆexm  vˆex Phạm Hoàng Quân tác giả    e 2 r  m vˆex   vˆex r (35) Từ (16), (21), (35), ta vm  vex 2 m   e 2 r 2   m   e 2 r 2    m vˆex  m  E1    C1  m   e 2 r  2    vˆex r E2 r 1  r  m  (36) với C1 số thỏa C1  max 1, E1 , E2  Hơn nữa, ta có m e 2 r     1      e 2 r    e 2 r    m m  (37) m  (38) Theo bất đẳng thức Bernoulli, ta có  e 2 r   2 r2  1 e m  me 2 r     e 2 r  Từ (37) (38), ta   e 2 r  m  2 r2 me 1  e 2 r   me 2 r m  (39) Từ (36) (39), ta vm  vex  1  C1  m    r  me  r  2    (40) 19 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 m( )  (khi 2 Với cách chọn m( ) (22) m( )    ), ta chọn r cho r   Ta chọn r cho e 2 r   m( )e 2 r  (khi   ) ln( m( )) , suy r  , m( )  0 r   1  m( )e 2 r   0   m( )  2   Như vậy, từ (40), với cách chọn m( )    ln( m( )) , ta  , r   vm ( )  vex    C1       m( ) ln( m( ))   (41) với C1 số thỏa C1  max 1, E1 , E2  Bây giờ, ta chứng minh với   (0,1) vm ( )  vex C  ,   ln      với C  4max 1, E1 , E2  Vì   (0,1) nên    1, suy   , ln       suy 20  Ta dễ dàng có  (42) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Hoàng Quân tác giả    ln      1,    vậy, ta   với   (0,1) (43)   ln      Vì    2  nên 2 2  Ta dễ dàng có  2   2  2 2   1     m( )  2      (44) Từ (42) (44), ta có   ln    m( ) ,    suy   ln    m( )  m( )  ,    vậy, ta   ln        2  với   (0,1) với m( )    m( )     (45) Từ (44), ta có   ln( m( ))  ln  ,    suy 21 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009   , ln( m( ))  ln     vậy, ta  ln( m( ))   ln       2   với   (0,1) m( )      (46) Từ (41), (43), (45), (46), ta     1 C   m ( ) v  vex  C1    ,  1 1          ln  ln  ln  ln                      C  4C1  4max 1, E1 , E2  Như vậy, ta chứng minh v  vex  C với   (0,1)   ln      Định lí chứng minh 2.4 Ví dụ minh họa Ta xét ví dụ cụ thể minh họa cho tính tốn lý thuyết mục Xét phương trình nhiệt  2u u  , x t với điều kiện u(x,0) = v(x) 22 x ( x, t )    Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Hoàng Quân tác giả x u(x,1) = g(x) Xét kiện xác 5x g ex ( x )  e , 1   2 x      g ex    e dx    4 ,  5  10      nghiệm xác tương ứng vex ( x )  e  x , suy vˆex ( )  2 e   x  ix e  Xét kiện bị nhiễu g ( x )  (1  g  gex  4 dx  e 10  ) g ex ( x) , ta có  10 10 10   g ex   gex       10 Khi đó, nghiệm chỉnh hố v ( x )  2   vˆ ( )e i x  d ,  k m 1 ˆ 1  (1  e 2 ) m   , vˆ ( )  vˆ ( )  K ( ) gˆ  ( ) 1  K ( )   gˆ  ( ) 2 2  2 e  k 0  m    với 23 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009  2  Kˆ ( )  2 e , m =  ,    gˆ  ( )  2  g  ( x )e  i x   10  54 dx   e 1    2 Ta tính sai số đánh giá sai số cho bảng sau v  vex  m vˆ 10 1 k ˆ  2 Kgˆ     K  2 2  k 0  102 ˆ 24  2 Kgˆ     K  2 2  k 0  k 25 k 79 ˆ 78  2 Kgˆ     K  2 2  k 0  k 250 ˆ 249  2 Kgˆ     K  2 2  k 0  k 792 ˆ 791  2 Kgˆ     K  2 2  k 0  250662 ˆ 250661  2 Kgˆ   1  K  2    k 0 2.50662 8.10150 ˆ 2.506628.10 Kgˆ   2 k 0  10 3 104 10 5 10 10 10 300 150 1 C   ln      24 2 4.1735 0.008484 2.9511 0.007992 2.4096 0.007623 2.0867 0.007356 1.8664 0.007172 1.3198 0.006813 0.2410 0.006729 k   K  1   2  v  vex v  vex  vˆ  vˆex , C  2 2 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Hoàng Quân tác giả Hình vẽ biến đổi Fourier nghiệm xác biến đổi Fourier nghiệm chỉnh hóa TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dang Dinh Ang (1990), On the backward parabolic equation: A critical survey of some current methods, Numerical Analysis and Mathematical Modelling, Warsaw, 509-515 [2] Dang Dinh Ang and Dang Dinh Hai (1990), On the backward heat equation, Annales, Polomici Mathematici, LII, 29-32 [3] Dang Dinh Ang (1985), Stabilized approximate solutions of the inverse time problem for a parabolic evolution, J Math Anal Appl, 1, 148-155 [4] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Phạm Hồng Qn (2007), Biến đổi tích phân, NXBGD 25 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 [5] Andreas Kirsch (1996), An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer [6] Nguyễn Cam, Phạm Hồng Qn (1998), Chỉnh hóa tốn ngược thời gian cho phương trình nhiệt, Tạp chí Phát triển Khoa học & Công nghệ, Tập 1, số [7] P.H.Quan, T.N.Lien, D.D.Trong (2005), A discrete form of the backward heat problem on the plane, International Journal of evolution equations, Volume 1, Number 3, September [8] Pham Hoang Quan, Nguyen Dung (2005), A backward nonlinear heat equation: regularization with error estimates, Applicable Analysis, Vol.84, No.4, April Tóm tắt Chúng tơi khảo sát toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt Bài tốn quy việc khảo sát phương trình tích phân loại tích chập chỉnh hóa phương pháp lặp Landweber với đánh giá sai số Abstract Regularization of an inverse time problem for the heat equation with Landweber method We consider an inverse time problem for the heat equation The problem is formulated as an integral equation of the convolution type and is regularized via the Landweber method with error estimates 26 ... April Tóm tắt Chúng tơi khảo sát toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt Bài tốn quy việc khảo sát phương trình tích phân loại tích chập chỉnh hóa phương pháp lặp Landweber với đánh giá sai số... 2.2 Bài tốn ngược thời gian cho phương trình nhiệt Xét phương trình nhiệt  2u u  , x t ( x, t )    (4) với điều kiện u(x,0) = v(x) x (5) u(x,1) = g(x) x (6) Bài toán ngược thời gian. .. 1 L2 ( ) Kˆ 12 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Hồng Qn tác giả 2.3 Chỉnh hóa toán nhiệt ngược thời gian phương pháp lặp Landweber Bây giờ, gọi vex nghiệm xác cần tìm (9) ứng với kiện xác g