Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp lặp landwerber

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian mêtric 1.2 Bài tốn chỉnh, tốn khơng chỉnh 1.3 Các không gian hàm 1.4 Biến đổi Fourier 1.5 Bất đẳng thức Holder 10 Phương trình tích phân chỉnh hóa 11 2.1 Bài tốn thuận 11 2.2 Bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt 12 2.3 Chỉnh hóa tốn nhiệt ngược thời gian phương pháp lặp Landweber 13 2.4 Thực nghiệm tính tốn Kết luận 21 26 Tài liệu tham khảo 28 MỞ ĐẦU Trong thực tế có nhiều tốn liệu đo đạc khơng xác dẫn đến tốn khơng tồn nghiệm nghiệm không nghiệm không ổn định (tức sai số liệu nhỏ sai số nghiệm lại lớn) Ví dụ toán lĩnh vực địa chất, vật lý, Những toán Hadarmard gọi tốn khơng chỉnh Cụ thể, Hadarmard định nghĩa, tốn Kx = y thỏa ba tính chất sau • Tính tồn nghiệm • Tính nghiệm • Tính ổn định nghiệm gọi tốn chỉnh Ngược lại, tốn khơng thỏa ba tính chất gọi tốn khơng chỉnh Bài tốn cịn coi tốn điều khiển: toán điều khiển phân bố nhiệt ban đầu (t = 0) để nhận phân bố nhiệt độ ý muốn thời điểm t = Đây tốn khơng chỉnh theo nghĩa không luôn tồn nghiệm nghiệm tốn tồn lại khơng phụ thuộc liên tục theo kiện Bài toán nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát Chúng ta tham khảo [3], ngồi tài liệu trích dẫn phong phú , tác giả cịn cho ta nhìn tổng quan phương pháp khảo sát vấn đề cịn bỏ ngỏ tốn nhiệt thời gian cho phương trình nhiệt Cụ thể, [7], tác giả đưa nghiệm chỉnh hóa tổ hợp tuyến tính số hữu hạn hàm riêng toán tử - ∆ [?], tác giả chỉnh hóa tốn trường hợp tổng qt phương trình vi phân khơng gian Hilbert trừu tượng Để ý miền phân bố nhiệt khảo sát [7] [?] miền bị chặn Bài tốn chuyển phương trình tích phân loại tích chập chỉnh hóa phương pháp lặp Landweber đưa đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác Cụ thể chứng minh sai số kiện xác kiện nhận đo đạc δ sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa có bậc : ln δ → √1 δ Một vấn đề mà nhà toán học quan tâm khắc phục tính khơng ổn định tốn khơng chỉnh Cụ thể, ta cần đưa nghiệm xấp xỉ ổn định cho toán đánh giá sai số cụ thể nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác Một tốn khơng chỉnh có nhiều ứng dụng thực tế tốn nhiệt ngược thời gian Do đó, chúng tơi chọn đề tài là: "Chỉnh hóa tốn nhiệt ngược thời gian phương pháp lặp Landweber" Trong luận văn này, chúng tơi xét tốn nhiệt ngược thời gian sau ∂ u ∂u = , (x, t) ∈ R × R+ ∂x ∂t (1) u(x, T ) = g(x), x ∈ R (2) g ∈ L2 (R) liệu cho trước Bài tốn ngược thời gian cho phương trình nhiệt khảo sát nhằm xác định hàm v = u(., 0) thỏa toán (1) - (2) Bài toán (1) - (2) không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa nghiệm u(x, 0) tồn tại, trường hợp nghiệm tồn nghiệm khơng phụ thuộc liên tục vào liệu cho trước g Do đó, cần đưa sơ đồ chỉnh hóa tốn (1) - (2) Trong luận văn này, sử dụng phương pháp lặp Landweber để chỉnh hóa tốn (1) - (2) đưa đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa ứng với liệu nhiễu nghiệm xác toán (1) (2) Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức giải tích hàm, tốn khơng chỉnh Chương 2: Phương trình tích phân chỉnh hóa Trong chương này, chúng tơi đưa tốn (1) - (2) sử dụng phương pháp lặp Landweber để chỉnh hóa tốn nhiệt ngược thời gian (1) - (2) nghiệm xác Chương 3: Thực nghiệm tính tốn Trong chương này, chúng tơi đưa số ví dụ nhằm minh họa cho phần lý thuyết xây dựng chương Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình PGS TS Phạm Hồng Quân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm Tốn học q thầy tổ Giải tích Trường Đại học Vinh, Trường Đại học Sài Gịn giúp đỡ tơi thời gian học tập, rèn luyện hoàn thành luận văn Qua đây, tác giả gửi lòng cảm ơn đến Ban giám hiệu THPT Nguyễn Thị Diệu Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập Cuối xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 21 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hồn thiện TP Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015 Tác giả Trần Thị Thanh Nhãn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm tốn chỉnh, tốn khơng chỉnh, chỉnh hóa, bất đẳng thức, mệnh đề, định lý, định nghĩa, phép biến đổi sử dụng luận văn 1.1 Không gian mêtric 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng Một mêtric X ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn tính chất (i) d(x, y) 0; d(x, y) = ⇔ x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x); (iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X Tập X với mêtric d gọi không gian mêtric (X, d) 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian mêtric (X, d) Dãy (xn ) X gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn Nε ∈ N cho với n, m Nε d(xn , xm ) < ε Dãy (xn ) X gọi hội tụ x0 ∈ X với ε > 0, tồn Nε ∈ N cho với n Nε d(xn , x0 ) < ε 1.1.3 Định nghĩa Không gian mêtric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ phần tử thuộc X 1.2 Bài toán chỉnh, toán khơng chỉnh 1.2.1 Bài tốn chỉnh Cho X Y hai không gian mêtric, K : X → Y ánh xạ Phương trình Kx = y gọi chỉnh thỏa điều kiện sau 1) Sự tồn tại: Với y ∈ Y , có x ∈ X cho Kx = y 2) Sự nhất: Với y ∈ Y , có nhiều x ∈ X với Kx = y 3) Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào liệu y , tức với dãy (xn ) ⊂ X cho Kxn → Kx (tức dãy liệu nhiễu hội tụ đến dãy liệu xác n → ∞) xn → x (tức dãy nghiệm nhiễu hội tụ đến nghiệm xác n → ∞.) 1.2.2 Bài tốn khơng chỉnh Bài tốn gọi khơng chỉnh khơng thỏa điều kiện tốn 1.3 Các khơng gian hàm Ta kí hiệu Ω tập đo Rk 1.3.1 Định nghĩa (Định nghĩa không gian Lp (Ω)) Cho f đo Ω Nếu | f |p (1 p < ∞) khả tích Ω ta định nghĩa f Lp (Ω) p |f | dx = p Ω 1.3.2 Định lý (Lp (Ω), Lp (Ω) ) với p ∞ không gian Banach 1.3.3 Định nghĩa Cho tập mở Ω ⊆ Rk , k ∈ N∗ Ta đặt L1loc (Ω) = {f : Ω → R đo : f ∈ L1 (ω) với ω ⊆ Rk thỏa ω tập compact chứa trongΩ.} 1.3.4 Định nghĩa (Đạo hàm suy rộng) Cho f ∈ L1loc (Ω), α = (α1 , , αk ∈ Zk , αi 0(i = 1, , k) Hàm gα ∈ L1loc (Ω) gọi đạo hàm riêng suy rộng thứ α f f Dα ϕdx = (−1)|α| Ω gα ϕdx, Ω với ϕ ∈ Cc∞ (Ω) Ở đây, |α| = α1 + + αk Dα ϕ = ∂αϕ α α ∂x1 ∂xk k 1.3.5 Định nghĩa (Không gian Sobolev) Với m ∈ N, p ∞, ta định nghĩa W m,p (Ω) = {f ∈ Lp (Ω) : Dα f ∈ Lp (Ω), |α| với chuẩn f W m,p (Ω) Dα f pLp (Ω) = |α| m p m} Đặc biệt, p = 2, ta kí hiệu H m (Ω) = W m,2 (Ω) 1.3.6 Định lý Không gian H m (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Dα f Dα gdx f, g = |α| m Ω 1.3.7 Định lý Cho T > X không gian Banach với chuẩn X Không gian C([0, T ]; X) không gian Banach gồm tất hàm liên tục u : [0, T ] → X với chuẩn u C ([0, T ]; X) = sup u(t) X t∈[0,T ] Khi X = R, ta viết C([0, T ]; X) = C[0, T ] 1.4 Biến đổi Fourier 1.4.1 Định nghĩa Cho f ∈ L1 (R), ta định nghĩa biến đổi Fourier f +∞ f (ω) = √ 2π f (x)e−iωx dx, với ω ∈ R −∞ Khi đó, ta định nghĩa biến đổi Fourier ngược f +∞ f ∨ (ω) = √ 2π f (x)eiωx dx −∞ 1.4.2 Tính chất Cho f, g ∈ L1 (R), c số thuộc R Khi đó, ta có i) f + g = f + g, ii) cf = cf , +∞ iii) f ∗ g = f g với (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y)dy −∞ 1.4.3 Định nghĩa ( Định lý Plancherel)Với f ∈ L2 (R), N > 0, ta đặt N FN {f }(ω) = √ 2π f (x)e−iωx dx, −N với ω ∈ R Khi đó, a) FN {f } hội tụ L2 (R) đến hàm F {f } N → ∞ Hơn nữa, +∞ F {f } 2 +∞ |F {f }(ω)|2 dω = = −∞ |f (x)|2 dx = f −∞ b) Nếu f ∈ L2 (R) ∩ L1 (R) F {f } = f h.k.n R c) Đặt N gN (x) = √ 2π F {f }(ω)eiωx dω, −N gN hội tụ L2 (R) đến f N → ∞ d) F toán tử đẳng cấu từ L2 (R) vào L2 (R) 2 10 1.5 Bất đẳng thức Holder Giả sử p, q ∞, p1 + 1q , Ω ⊂ R Khi đó, f ∈ Lp (Ω) g ∈ Lq (Ω) f.g ∈ L1 (Ω) |fg |dx Ω f Lp (Ω) g Lq (Ω) 14 Chứng minh Từ (2.10), ta có P : L2 (R) → L2 (R) P (v) = P (P (v)) = P (K v) = K K v = K v Ta có dãy lặp theo phương pháp lặp Landweber 1 m−1 P )v + Kg 2π 2π 1 m−1 + K g = (1 − K )v 2π 2π v = v m = (I − (2.11) Bằng cách quy nạp theo m, ta thấy v m có dạng sau v m = Kg 2π m−1 k K ) , với m = 1, 2, 2π (1 − k=0 (2.12) Từ (2.12), ta có nghiệm chỉnh hố ứng với kiện đo đạc vδm = K gδ 2π m−1 (1 − k=0 k K ) với m = 1, 2, 2π (2.13) nghiệm chỉnh hố ứng với kiện xác m vex K gex = 2π m−1 ((1 − k=0 k K ) với m = 1, 2, 2π (2.14) Ta có vδm − vex 2= vδm − vex Trước tiên, ta chứng minh m vδm − vex m vδm − vex 2→ + m vex − vex (2.15) δ → Từ (2.13) (2.14), ta có m vδm − vex = K(gδ − gex ) 2π m−1 ((1 − k=0 k K ) với m = 1, 2, 2π (2.16) 15 Hơn nữa, ý đến ( 2.9), ta có 0< 2 1 (K(ω))2 = 2πe−2ω = e−2ω < 1, với ω ∈ R 2π 2π (2.17) Suy (K(ω)2 < 1, với ω ∈ R 2π Từ (2.16) (2.18), ta có 0 rδ2 , suy | vex (ω) |2 dω < R\D rδ2 ω2 < rω2 , | λ(ω)vex (ω) |2 dω R\D rδ2 | λ(ω)vex (ω) |2 dω = R\D rδ2 λvex 2 (2.34) Từ (2.33) (2.34) ta | vex (ω) |2 (1 − e−2ω )2m dω < R\D rδ2 λvex 2 (2.35) Từ (2.30), (2.31) ( 2.35), ta m vex − vex 2< (1 − e−2rδ )2m vex 2 + rδ2 λvex 2, 19 suy m vex − vex (1 − e−2rδ )m vex + rδ λvex (2.36) Từ (2.15), (2.21), (2.36), ta vδm − vex 2 1 √ mδ + (1 − e−2rδ )m vex + rδ 2π 1 √ mδ + (1 − e−2rδ )m E1 + E2 rδ 2π 1 C1 √ mδ + (1 − e−2rδ )m + rδ 2π λvex (2.37) với C1 = max{1, E1 , E2 } Hơn nữa, ta có e−2rδ m m ( = (1 + 2) ) , ∀m ∈ R − e−2rδ − e−2rδ (2.38) Theo bất đẳng thức Bernoulli, ta có 2 e−2rδ m (1 + 2) − e−2rδ me−2rδ 1+ , ∀m ∈ R − e−2rδ (2.39) Từ (2.38) (2.39), ta (1 − e−2rδ )m 1+ me−2rδ 1−e−2rδ < , ∀m ∈ R + me−2rδ (2.40) Từ (2.37) ( 2.40) ta vδm − vex 2< 1 C1 √ mδ + + + me−2rδ rδ 2π Với cách chọn m(δ) (2.22) m(δ) → ∞ δ → 0), ta chọn rδ cho rδ → ∞ Ta chọn rδ cho e−2rδ = √ m(δ) δ→0 rδ −−→ ∞ 1+m(δ)e−2rδ , suy rδ = √1 m(δ)δ 2π (2.41) → (khi → (khi δ → 0) √ ln( m(δ)) , 1 δ→0 −−→ = −2r + m(δ)e δ + m(δ) 20 √ √2π δ Như vậy, từ (2.41) với cách chọn m(δ) = √ ln( , rδ = m(δ)) , ta vδm − vex √ 2< C1 δ+ 1+ m(δ) + ln( m(δ)) , (2.42) với C1 C1 = max{1, E1 , E2 } vδm − vex Bây giờ, ta chứng minh với δ ∈ (0, 1) C = max{1, E1 , E2 } Vì δ ∈ (0, 1) nên < √ δ < 1, suy √1 δ 2< C , ln( √1δ ) với > Ta dễ dàng có 1 ln √ < √ , δ δ (2.43) suy √ δ ln √ < δ < 1, δ Vì vậy, ta √ δ< ln Vì < √ √1 δ √ √2π δ √ với δ ∈ (0, 1) √ √ 2π 2π−1 2π − nên > Ta dễ dàng có √ √ √ 2π 2π 2π √ = √ √ < √ −1< √ = m(δ) δ 2π δ δ δ δ< Từ (2.43) (2.45), ta có ln √ < m(δ), δ suy ln √ < δ (2.44) m(δ) < m(δ) + (2.45) 21 Vì vậy, ta ln √ 2π với δ ∈ (0, 1) với m(δ) = √ δ m(δ) + 1 > √1 δ (2.46) Từ (2.45), ta có ln(m(δ)) > ln √ , δ suy ln( 1 ln √ , δ m(δ)) > Vì vậy, ta ln( m(δ)) < ln √1 δ √ 2π với δ ∈ (0, 1) m(δ) = √ δ (2.47) Từ (2.42), (2.44), (2.46) ( 2.47), ta vδm − vex 2< C1 ln √1 δ + ln √1 δ + ln √1 δ = C ln √1 δ , C = 4C1 = max{1, E1 , E2 } Như vậy, ta chứng minh vδ − vex 2< C ln( √1δ ) với δ ∈ (0, 1) Định lý chứng minh 2.4 Thực nghiệm tính tốn Các kết tham khảo báo [9] Đưa ví dụ số để minh họa kết 2.4.1 Ví dụ Ta xét ví dụ cụ thể minh họa cho lý thuyết chương 22 Xét toán nhiệt ngược thời gian ∂ u ∂u = , (x, t) ∈ R × R+ , ∂x ∂t (2.48) u(x, 1) = g(x), x ∈ R (2.49) với điều kiện Xét kiện xác −x2 gex (x) = √ e , +∞ gex 2= e −2x2 dx −∞ √ √ π √ = 2 = π , 10 nghiệm xác tốn (2.48 - 2.49) tương ứng vex (x) = e−x , suy +∞ vex (ω) = √ 2π −∞ −ω2 e−x e−ixω dx = √ e Xét kiện bị nhiễu gδ (x) = + gδ − gex 2= 10 δgex π 2= 4 10 πδ 10 δ π gex , ta có gex 2= Khi đó, nghiệm chỉnh hóa +∞ vδ (x) = √ 2π vδ (ω)eiωx dω, −∞ 10 δ π π = δ 10 23 vδ (ω) = vδm (ω) = K(ω)gδ (ω) 2π = gδ (ω) m−1 1− k=0 − (1 − e−2ω )m √ 2πe−ω (K(ω))2 2π k , với K(ω) = √ −ω 2πe √ 2π ,m = √ , δ +∞ gδ (ω) = √ 2π −∞ gδ (x)e−iωx dx = √ + −5ω 10 δ e π Ta tính sai số đánh giá sai số cho bảng sau 24 trang 24 25 vδ − vex 2= vδ − vex 2, C √ √ = 2 2π 26 Kết luận Luận văn thu kết sau: Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu chỉnh hố tốn ngược thời gian cho phương trình nhiệt phương pháp lặp Landweber Bài toán quy việc khảo sát phương trình tích phân loại tích chập Ngồi ra, chúng tơi cịn đưa ví dụ số hình vẽ cụ thể minh họa cho kết chỉnh hóa phương pháp lặp Landweber với đánh giá sai số 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.Lattes and J.L.Lions, 1967, Méthode de quasi-reversibilite et applications, Dunod, Paris [2] Dang Dinh Ang (1985), Stabilized approximate solutions of the inverse time problem for a parabolic evolution, J.Math Anal Appl, 1, 148 -155 [3] Dang Dinh Ang (1990), On the backward parabolic equation: A critical surveyof some current methods, Numerical Analysis and Mathematical Modelling, Warsaw, 509 -515 [4] Dang Dinh Ang and Dang Dinh Hai (1990), On the backward heat equation, Annales, Polomici Mathematici, LII, 29 -32 [5] U.Tautenhahn and T.Schroter, (1996), On optimal regularization methods for the backward heat equation, Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen no 15, 475-493 [6] Đặng Đình Áng (1997), Lý thuyết Tích phân, NXB Giáo dục [7] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Phạm Hoàng Quân (2007), Biến đổi Tích phân, NXB Giáo dục [8] D.D.Trong, P.H.Quan, T.V.Khanh and N.H.Tuan, (2007), A nonlinear case of the 1-D backward heat problem: Regularization and error estimate, Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen 26, no 2, 231 - 245 [9] Phạm Hoàng Quân, Phan Trung Hiếu, Lê Minh Triết, Nguyễn Quang Huy (2008), Chỉnh hóa tốn nhiệt ngược thời gian phương pháp lặp Landweber, Tạp chí khoa học Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, số 18, trang 28 [10] W.Cheng, C.L.Fu, (2009), A spectral method for an axisymmetric backward heat equation, Inverse Problems is Science and Engineering, 17, 1085 - 1093 [11] D.D.Trong, P.H.Quan and N.H.Tuan, (2010), A final value problem for heat equation: Regularization by truncation method and new error estimates, Acta Universitatis Apulensis, no 22 , 41-52 [12] P.H.Quan, D.D.Trong, L.M.Triet, N.H.Tuan, (2011), A modified quasi-boundary value method for regularizing of a backward problem with time-dependent coefficient, Inverse Problems in Science and Engineering 19, no 3, 409-423 [13] Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Qn, Đặng Hồng Tâm, Đinh Ngọc Thanh (2011), Giáo trình giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [14] P.H.Quan, D.D.Trong, L.M.Triet, (2014), On a backward nonlinear parabolic equation with time and space dependent thermal conductivity: Regularization and error estimates, J.Inverse III-Posed Probl, J.inverse ILL - Posed probl.22 (2014) n0.3, 375 -401 ... thời gian Do đó, chúng tơi chọn đề tài là: "Chỉnh hóa tốn nhiệt ngược thời gian phương pháp lặp Landweber" Trong luận văn này, xét toán nhiệt ngược thời gian sau ∂ u ∂u = , (x, t) ∈ R × R+ ∂x ∂t... hàm, tốn khơng chỉnh Chương 2: Phương trình tích phân chỉnh hóa Trong chương này, chúng tơi đưa tốn (1) - (2) sử dụng phương pháp lặp Landweber để chỉnh hóa tốn nhiệt ngược thời gian (1) - (2)... thu kết sau: Trong luận văn này, nghiên cứu chỉnh hố tốn ngược thời gian cho phương trình nhiệt phương pháp lặp Landweber Bài toán quy việc khảo sát phương trình tích phân loại tích chập Ngồi