Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng phương trình sobolev

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1:Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm 1.2 Không gian Sobolev Chương 2: Phương pháp dùng phương trình Sobolev chỉnh hóa phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian 14 2.1 Giới thiệu toán 14 2.2 Tính đặt chỉnh tốn 15 2.3 Chỉnh hóa tốn 17 Chương 3: Phương pháp dùng phương trình Sobolev chỉnh hóa phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian 20 3.1 Giới thiệu toán 20 3.2 Tính đặt chỉnh toán 22 3.3 Chỉnh hóa tốn 28 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 LỜI NĨI ĐẦU Bài tốn ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất nhiều lĩnh vực khác công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, sinh học, xử lý ảnh, Đó tốn kiện q trình vật lý khơng đo đạc trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ kiện đo đạc gián tiếp nên chúng không tránh khỏi sai số Chính ta cần có phương pháp giải toán này, cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm ban đầu xuất phát Trong luận văn này, đề cập tới lời giải phương trình Parabolic tuyến tính ngược thời gian phương trình Parabolic phi tuyến ngược thời gian điều kiện ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện cuối Bài toán kể gọi tắt đặt khơng chỉnh Tính đặt khơng chỉnh tốn làm cho việc tìm lời giải gặp nhiều khó khăn Để xấp xỉ cách ổn định tới nghiệm toán, ta cần đề xuất phương pháp chỉnh hố Trong luận án tiến sỹ ([3]), Ewing đề xuất chỉnh hoá số phương trình Parabolic ngược thời gian phương trình Sobolev ý tưởng nhiều nhà khoa học phát triển Một điều thú vị kể việc dùng phương trình Sobolev để chỉnh hố phương trình phi tuyến ngược thời gian ([2], [3], [4], [5]) Vì ngồi việc cho ta phương pháp chỉnh cịn chứng minh tính tồn nghiệm số phương trình Parabolic ngược thời gian, thuận nghịch thời gian Đây vấn đề mở quan trọng có ý nghĩa việc xử lý ảnh ([6], [7]) Khóa luận có cấu trúc sau: - Mục lục - Lời mở đầu - Luận văn chia làm chương Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức cuả giải tích hàm giải tính thực cần thiết cho luận văn Chương 2: Phương pháp dùng phương trình Sobolev để chỉnh hóa phương trình Parabolic tuyến tính ngược thời gian Chúng tơi xét tốn tìm hàm u : [0, T ] → H cho { ut + Au = 0, < t < T, ∥u(T ) − f ∥ ε (1) với toán tử dương tự liên hợp không bị chặn A, với giả thiết ∥u(0)∥ E, (2) sai số tìm sau: ∥uα (t) − wα (t)∥ exp(−2)α(T − t)E , ∀t ∈ (0, T ] t2 Sai số tốt nhiều so với sai số mà Ewing đưa Chương 3: Phương pháp dùng phương trình Sobolev để chỉnh hóa phương trình Parabolic phi tuyến ngược thời gian Ta xét toán { ut + Au = f (t, u(t)), < t < T, ∥u(T ) − φ∥ ϵ với ràng buộc ∥u(0)∥ (3) E, A tốn tử dương, khơng bị chặn, tự liên hợp, E > ϵ > số thực cho f thỏa mãn điều kiện Lipschitz Và ta cho wα (t) nghiệm yếu toán { wαt + αAwαt + Awα = f (t, wα (t)), wα (T ) = u(T ), α > Khi ta có wα (t) = +∞ ∑  λ (T −t) n e 1+αλn ⟨u(T ), ϕn ⟩ − n=1 ∫T t < t < T, (4)  λn (s−T ) e 1+αλn ⟨f (s, wα (s)), ϕn ⟩ ds ϕn + αλn (5) Giả sử u(t) nghiệm (3) wα (t) nghiệm yếu (4) sai số tìm ∥u(t) − wα (t)∥2 k T ek T (T −t) ∫ t T ( Cα s2 )2 E 2e 2(s−t) α ( Cα ds + t2 )2 E , ∀t > - Kết luận - Tài liệu tham khảo Luận văn bắt đầu thực từ tháng năm 2011 Sau thời gian học tập, nghiên cứu thực đến luận văn hoàn thành Để có kết mong muốn tơi ln nhận quan tâm, bảo, giúp đỡ tận tình thầy giáo hướng dẫn: Tiến sĩ Nguyễn Văn Đức Nhân dịp này, xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn thầy cô giáo thuộc khoa toán - Đại học vinh Người truyền đạt kiến thức bổ ích cho tơi học viên cao học khóa 17 - Nơi tơi học tập nghiên cứu suốt năm qua Mặc dù có nhiều cố gắng, xong luận văn khơng thể tránh khỏi hạn chế thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thầy bạn để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Hoàng Thị Hải CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm 1.1.1 Khơng gian Banach Cho X khơng gian tuyến tính thực Định nghĩa 1.1 Ánh xạ ∥∥ : X → R gọi chuẩn (i) ∥u∥ 0, ∀u ∈ X; (ii) ∥u∥ = ⇔ u = 0; (iii) ∥λu∥ = |λ|∥u∥, ∀u ∈ X, λ ∈ R; (iv) ∥u + v∥ ∥u∥ + ∥v∥, ∀u, v ∈ X Không gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn Khơng gian Banach X khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ 1.1.2 Khơng gian Hilbert Cho H khơng gian tuyến tính thực Định nghĩa 1.2 Ánh xạ ⟨·, ·⟩ : H × H → R gọi tích vơ hướng (i) ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ , ∀u, v ∈ H; (ii) ánh xạ u → ⟨u, v⟩ tuyến tính với v ∈ H; (iii) ⟨u, u⟩ 0; (iv) ⟨u, u⟩ = ⇔ u = Không gian Hilbert không gian Banach với chuẩn sinh tích vơ hướng (i) Hai phần tử u, v ∈ H trực giao ⟨u, v⟩ = 0; (ii) Một sở đếm {wk }k ⊂ H sở trực chuẩn, { ⟨wk , wl ⟩ = 0, (k, l = 1, 2, , k ̸= l) ∥wk ∥ = 1, (k = 1, 2, ) Nếu u ∈ H {wk }k u= +∞ ∑ ⊂ H sở trực chuẩn ⟨u, wk ⟩ wk ∥u∥ = n=1 1.1.3 +∞ ∑ ⟨u, wk ⟩2 n=1 Tốn tử tuyến tính bị chặn a Tốn tử tuyến tính khơng gian Banach Cho X Y không gian Banach thực Định nghĩa 1.3 (i) Ánh xạ A : X → Y gọi tốn tử tuyến tính A(λu + µv) = λAu + µAv, ∀u, v ∈ X, λ, µ ∈ R (ii) Tốn tử tuyến tính A : X → Y bị chặn ∥A∥ := sup{∥Au∥Y |∥u∥X 1} < ∞ b Tốn tử tuyến tính không gian Hilbert Cho H không gian Hilbert với tích vơ hướng ⟨., ⟩ Định nghĩa 1.4 (i) Nếu A : H → H tốn tử tuyến tính bị chặn, tốn tử liên hợp A∗ : H → H thỏa mãn ⟨Au, v⟩ = ⟨u, A∗ v⟩ , ∀u, v ∈ H (ii) A tự liên hợp A∗ = A Định lý 1.5 Giả sử A : H → H toán tử tự liên hợp Khi đó, (i) Giá trị riêng A số thực; (ii) Các vectơ riêng ứng với giá trị riêng khác trực giao 1.1.4 Ánh xạ co nguyên lý điểm bất động Định nghĩa 1.6 Cho không gian metric X Một ánh xạ P từ X vào gọi ánh xạ co, có số θ < cho với x1 , x2 ∈ X, ta có ρ(P (x1 ), P (x2 )) θρ(x1 , x2 ), ρ metric khơng gian metric X Trong phép ánh xạ từ X vào có điểm mà ảnh trùng với nó, tức điểm x cho P (x) = x gọi điểm bất động ánh xạ Định lý 1.7 Mọi ánh xạ co P từ không gian metric đủ X vào có điểm bất động 1.2 Không gian Sobolev 1.2.1 Không gian C k (Ω) Với Ω miền Rn , ta có định nghĩa ký hiệu sau Định nghĩa 1.8 (i) C k (Ω) tập hợp tất hàm xác định Ω cho đạo hàm đến cấp k tồn liên tục Ω C(Ω) = C (Ω) tập hợp tất hàm liên tục Ω (ii) Ta gọi giá hàm f xác định Ω, ký hiệu suppf tập hợp suppf = {x ∈ Ω : f (x) ̸= 0} Khi suppf ⊂ Ω suppf tập compact ta nói f có giá compact nằm Ω (iii) C0k (Ω) tập tất hàm khả vi liên tục đến cấp k có giá compact nằm Ω k (iv) C ∞ (Ω) := ∩∞ k=1 C (Ω) tập hợp tất hàm khả vi vô hạn Ω k (v) C0∞ (Ω) := ∩∞ k=1 C0 (Ω) tập hợp tất hàm khả vi vô hạn với giá compact nằm Ω (vi)C k (Ω) tập hợp hàm có đạo hàm đến cấp k Ω liên tục Ω 1.2.2 Không gian Lp Trong khơng gian định chuẩn có lớp khơng gian Banach đặc biệt quan trọng, khơng gian Lp Định nghĩa 1.9 Cho không gian Ω độ đo µ σ đại số F tập Ω Họ tất hàm số f (x) thỏa mãn ∫ |f |p dµ < +∞ với (1 p < ∞) Ω gọi khơng gian Lp (Ω, µ) Khi Ω tập đo Lebesgue Rn µ độ đo Lebesgue, ta viết Lp (Ω) Tập hợp Lp (Ω, µ) khơng gian vectơ định chuẩn với phép tốn thơng thường cộng hàm số, nhân hàm số với số với chuẩn   p1 ∫ ∥f ∥p =  |f |p dµ , ∀f ∈ Lp (Ω, µ) Ω Định lý 1.10 Giả sử Ω miền Rn , p < ∞ Khi đó, ta có tính chất sau: (i) Lp (Ω) không gian Banach (ii) Tập hợp tất hàm liên tục Ω với giá compact trù mật Lp (Ω) (iii) Tồn tập đếm phần tử không gian Lp (Ω) cho bao tuyến tính trù mật Lp (Ω) 1.2.3 Đạo hàm suy rộng Định nghĩa 1.11 Giả sử Ω miền Rn Một hàm u(x) ∈ Lp (Ω) gọi đạo hàm suy rộng cấp α hàm v(x) ∈ Lp (Ω) ∫ ∫ |α| u(x).φ(x)dx = (−1) v(x).Dα φ(x)dx, ∀φ ∈ C0∞ (Ω), Ω Ω α = (α1 , α2 , , αn ) gọi đa số vectơ với tọa độ ∂ |α| α nguyên không âm, |α| = α1 + α2 + + αn D = α α ∂ ∂ ∂ αn Định lý 1.12 Đạo hàm suy rộng có tính chất sau đây: (i) Đạo hàm suy rộng cấp α v tồn xác định (sai khác tập có độ đo khơng) (ii) Nếu f ∈ C |α| (Ω) f có đạo hàm suy rộng cấp α Dα f = ∂ |α| f ∂ α1 ∂ α2 ∂ αn Nếu fi , i = 1, 2, có đạo hàm suy rộng Dα fi c1 f1 +c2 f2 , ci số, có đạo hàm suy rộng cấp α Dα (c1 f1 +c2 f2 ) = c1 Dα f1 +c2 Dα f2 (iii) Đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm (iv) Một hàm có đạo hàm thơng thường (đạo hàm theo nghĩa cổ điển) cấp α có đạo hàm suy rộng cấp α điều ngược lại không (v) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α miền Ω có đạo hàm suy rộng cấp α miền Ω′ ⊂ Ω (vi) Đạo hàm suy rộng Dα v tồn không cần giả thiết đạo hàm cấp thấp tương ứng tồn (các đạo hàm cấp thấp khơng tồn tại) Ví dụ 1.13 Xét hàm số f (x) = |x| khoảng (−1, 1) * f (x) có đạo hàm thơng thường x ̸= 0; * Tại x = không tồn đạo hàm Ta chứng minh f (x) = |x| có đạo hàm suy rộng khoảng (−1, 1) 10 Xét ∫1 −1 ∂v |x| dx = − ∂x ∫1 ωvdx −1 với v ∈ C0∞ ((−1, 1)) Lấy { x < ω= −1 − < x < Do ω ∈ L1 (−1, 1) nên ∫1 ∫0 ωdx = −1 Khi ∫1 ωdx = − ωdx + −1 ∫1 −1 ∫0 ∫0 −1 dx + −1 ∂v |x| dx = ∂x ∫1 ∂v |x| dx + ∂x dx = ∫1 |x| ∂v dx ∂x hay ∫1 −1 ∂v |x| dx = − ∂x ∫0 −1  ∂v x dx + ∂x ∫0 = −  (−1).vdx + −1 ∫1 ∂v x dx = ∂x ∫1 ∫0 vdx − −1  1.vdx = − ∫1 vdx ∫1 ωvdx −1 Như vậy, hàm f (x) = |x| khơng có đạo hàm thơng thường (−1, 1) có đạo hàm suy rộng khoảng 1.2.4 Khơng gian Sobolev Nửa cuối kỷ 20, S.L Sobolev giới thiệu khái niệm đạo hàm suy rộng, đưa số lớp không gian Lp , mà sau gọi không gian Sobolev thiết lập tính chất quan trọng chúng Định nghĩa 1.14 Cho k số nguyên không âm, p số thực thỏa mãn p ∞ Ta định nghĩa: 19 Do đó, ) −λn t − αλ2n T exp(−λn t) − exp + αλn ( ) λn t + αλ2n T exp(−λn t) −λn t + + αλn αλ2n (T − t) exp(−λn t)αλ2n (T − t) = exp(−λn t) + αλn ( (2.14) Tiếp theo, ta đánh giá đại lượng exp(−λn t)λ2n Xét hàm số h(x) = exp(−xt)x2 , x > Ta có ′ h (x) = −tx2 exp(−xt) + 2x exp(−xt) = x exp(−xt)(2 − tx) Từ suy exp(−λn t)λ2n ( ) = exp(−2) sup h(x) = h t t x>0 (2.15) Từ đánh giá (2.12), (2.14) (2.15) ta kết luận ∥u(t) − wα (t)∥ exp(−2)α(T − t)E , ∀t ∈ (0, T ] t2 2.2.3 Định lý Nếu u(t) nghiệm toán (2.1) thỏa mãn điều kiện (2.3) vα (t) nghiệm tốn (2.2) ) ( exp(−2)α(T − t)E T −t ∥u(t) − vα (t)∥ ε, ∀t ∈ (0, T ] + exp t2 α Chứng minh Sử dụng Định lý 2.2.1, 2.2.2 bất đẳng thức tam giác chuẩn ta suy điều phải chứng minh 2.2.4 Định lý Bằng cách chọn α = T / ln(E/ε), ta có đánh giá sai số kiểu logarithm với t ∈ (0; T ] ∥vα (t) − u(t)∥ t t exp(−2)T (T − t)E T E 1− T + ε t2 ln(E/ε) (2.16) 2.2.5 Nhận xét Đánh giá (2.16) tốt đánh giá (2.4) Ewing CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG DÙNG TRÌNH SOBOLEV ĐỂ CHỈNH HĨA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN Trong chương này, chứng minh tính đặt chỉnh phương trình Sobolev { vαt + αAvαt + Avα = f (t, vα (t)), vα (T ) = φ, α > 0 < t < T, (3.1) đưa đánh giá sai số nghiệm phương trình với nghiệm phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian { ut + Au = f (t, u(t)), < t < T, ∥u(T ) − φ∥ ϵ A tốn tử dương, không bị chặn, tự liên hợp, E > ϵ > số thực cho f thỏa mãn điều kiện Lipschitz ∥f (t, w1 ) − f (t, w2 )∥ với số k 3.1 k∥w1 − w2 ∥ không phụ thuộc vào t, w1 , w2 Giới thiệu toán Cho H khơng gian Hilbert với tích vơ hướng ⟨·, ·⟩ chuẩn ∥ · ∥, A : D(A) ⊂ H → H toán tử tự liên hợp H Giả sử ϵ < E hai số dương cho trước Với số thực dương T , xét toán tìm hàm u : [0, T ] → H thỏa mãn { ut + Au = f (t, u(t)), < t < T, ∥u(T ) − φ∥ ϵ 20 (3.2) 21 với φ thuộc H Chúng giả sử A có sở vectơ riêng trực chuẩn {ϕi }i H, tương ứng với giá trị riêng {λi }i < λ1 < λ2 < , 1 cho lim λi = +∞ (3.3) i→+∞ Ngoài ra, ta giả thiết thêm f thoả mãn điều kiện Lipschitz ∥f (t, w1 ) − f (t, w2 )∥ với số k k∥w1 − w2 ∥ (3.4) không phụ thuộc vào t, w1 , w2 nghiệm u(t) toán (3.2) thỏa mãn ràng buộc ∫ T ∥u(0)∥2 + T e2sλn | ⟨f (s, u(s)), ϕn ⟩ |2 ds E (E > 0) (3.5) Bằng phép biến đổi, ta đưa toán (3.2) dạng phương trình tích phân có dạng   ∫T +∞ ∑ u(t) = e(T −t)λn ⟨u(T ), ϕn ⟩ − e(s−T )λn ⟨f (s, u(s)), ϕn ⟩ ds ϕn n=1 t (3.6) Để ý tăng nhanh e(T −t)λn λn → +∞ dẫn đến tính khơng ổn định phương trình Chỉnh hóa tốn (3.2)–(3.5) phương trình Sobolev (3.1) ta chứng minh nghiệm v (3.1) thoả mãn phương trình v(t) = +∞ ∑ n=1 λ (T −t)  n e 1+αλn ⟨φ, ϕn ⟩ − ∫T t  λn (s−T ) e 1+αλn ⟨f (s, v(s)), ϕn ⟩ ds ϕn , ∀t ∈ [0, T ] + αλn (3.7) 22 3.2 Tính đặt chỉnh tốn (3.1) Trong phần này, chúng tơi nghiên cứu tính tồn tại, tính tính ổn định nghiệm yếu toán (3.1) Trước hết, ta chứng minh mối liên hệ giữa nghiệm (3.1) (3.7) 3.2.1 Định lý Nếu v(t) nghiệm (3.1) v(t) nghiệm (3.7) Chứng minh Lấy tích phương trình đầu (3.1) ϕn , ta có d λn (t) + (t) = fn (v)(t), dt + αλn + αλn (t) = ⟨v(t), ϕn ⟩ fn (v)(t) = ⟨f (t, v(t)), ϕn ⟩ Khi đó, ta có (t) = e− 1+αλn (0) ∫t λn (s−t) + e 1+αλn ⟨f (s, v(s)), ϕn ⟩ ds, ∀t ∈ [0, T ] + αλn λn t (3.8) Do đó, ta khẳng định với t ∈ [0, T ]   ∫t +∞ ∑ λn (s−t) λn t e− 1+αλ n v (0) + v(t) = e 1+αλn ⟨f (s, v(s)), ϕn ⟩ ds ϕn n + αλn n=1 (3.9) Bây thay t = T vào (3.8) ta tính (0) = e λn T 1+αλn ∫T (T ) − λn s e 1+αλn ⟨f (s, v(s)), ϕn ⟩ ds + αλn (3.10) Thay (3.10) vào (3.9) với ý (T ) = ⟨v(T ), ϕn ⟩ = ⟨φ, ϕn ⟩ suy v(t) nghiệm (3.7) 3.2.2 Định lý Nếu v ∈ C([0, T ]; H) ∩ C ([0, T ]; H) thoả mãn (3.7), v nghiệm (3.1) 23 Chứng minh Trước hết thay t = T vào (3.7) ta nhận ∞ ∑ v(T ) = ⟨φ, ϕn ⟩ ϕn = φ n=1 Như vậy, phương trình thứ hai (3.1) thỏa mãn Bây ta chứng minh v(t) thỏa mãn phương trình thứ (3.1) Thật vậy, với < t < T ta có   T ∫ +∞ ∑ −λn λn (T −t) λn (s−T ) vt = e 1+αλn ⟨φ, ϕn ⟩ − e 1+αλn ⟨f (s, v(s)), ϕn ⟩ ds ϕn + αλn + αλn n=1 t + +∞ ∑ n=1 fn (v)(t)ϕn + αλn (3.11) Từ (3.7), (3.11) đẳng thức Aϕn = λn ϕn , ∀n ∈ N∗ , ta thu vt + αAvt + Av = +∞ ∑ fn (v)(t)ϕn = f (t, v(t)), < t < T n=1 Như vậy, v(t) thỏa mãn phương trình (3.1) 3.2.3 Định nghĩa Nghiệm v ∈ C([0, T ]; H) (3.7) gọi nghiệm yếu (3.1) 3.2.4 Bổ đề (Bất đẳng thức Gronwall) Cho f (t) hàm không âm, liên tục [0,T] i) Nếu ∫ f (t) T k f (s)ds + b, t với k, b > bek(T −t) f (t) ii) Nếu b(t) hàm không âm, liên tục [0,T] cho ∫ T f (t) k f (s)ds + b(t), t với k > f (t) ke k(T −t) ∫ T b(s)ds + b(t) t 24 3.2.5 Định lý Nếu v1 (t) v2 (t) hai nghiệm yếu phương trình (3.1) tương ứng với giá trị cuối φ1 φ2 √ ∥v1 (t) − v2 (t)∥ 2eT k (T −t) e T −t α ∥φ1 − φ2 ∥, ∀t ∈ [0, T ] Chứng minh Giả sử v1 v2 hai nghiệm (3.1) tương ứng với giá trị cuối φ1 φ2 Từ (3.7) sử dụng bất đẳng thức (a + b)2 2(a2 + b2 ) ta có ∥v1 (t) − v2 (t)∥ 2 +∞ ( ∑ e λn (T −t) 1+αλn | φ1n − φ2n | )2 n=1  T ∫ +∞ ∑ λn (T −t)  e 1+αλ n +2 n=1 2e 2(T −t) α t +∞ ∑ 2 λn (s−T ) e 1+αλn | fn (v1 )(s) − fn (v2 )(s) | ds + αλn | φ1n − φ2n |2 n=1  T 2 ∫ +∞ ∑ (s−t)  e α | fn (v1 )(s) − fn (v2 )(s) | ds +2 n=1 t 2(T −t) α ∥φ1 − φ2 ∥2   T ∫ ∫ +∞ T ∑ 2(s−t)  12 ds e α | fn (v1 )(s) − fn (v2 )(s) |2 ds +2 2e t n=1 t 2(T −t) α ∥φ1 − φ2 ∥2 ) ∫T (∑ +∞ −2t 2s + 2e α T e α | fn (v1 )(s) − fn (v2 )(s) |2 ds 2e t n=1 2(T −t) α ∥φ1 − φ2 ∥2 ∫T −2t 2s + 2e α T e α ∥f (s, v1 (s)) − f (s, v2 (s)∥2 ds 2e t (3.12) 25 Kết hợp (3.4) (3.12), ta có đánh giá 2T 2t e α ∥v1 (t) − v2 (t)∥2 2e α ∥φ1 − φ2 ∥2 ∫T 2s + 2T k e α ∥v1 (s) − v2 (s)∥2 ds (3.13) t Sử dụng Bổ đề 3.2.4 từ (3.13), ta suy 2t 2T e α ∥v1 (t) − v2 (t)∥2 2e α ∥φ1 − φ2 ∥2 e2T k (T −t) (3.14) Từ (3.14) ta suy ∥v1 (t) − v2 (t)∥ √ 2eT k (T −t) e T −t α ∥φ1 − φ2 ∥, ∀t ∈ [0, T ] Định lý 3.2.5 kéo theo tính nghiệm yếu phụ thuộc liên tục nghiệm yếu toán (3.1) vào kiện φ tốn 3.2.6 Định lý Bài tốn (3.1) có nghiệm yếu vα ∈ C([0, T ]; H) Chứng minh Đặt +∞ ∫ ∑ T G(w)(t) = φ(t) − n=1 t với w ∈ C([0, T ]; H) φ(t) = +∞ ∑ λn (s−t) e 1+αλn fn (w)(s)dsϕn , + αλn λn (T −t) e 1+αλn ⟨φ, ϕn ⟩ϕn n=1 Ta chứng minh rằng, với w1 , w2 ∈ C([0, T ]; H), m 1, ta có ( T )2m ((T − t)C)m m m ∥G (w1 )(t) − G (w2 )(t)∥ eα k |∥w1 − w2 ∥|2 , m! (3.15) C= max{T,1} |∥.∥| chuẩn supremum C([0, T ]; H) Ta chứng minh bất đẳng thức cuối quy nạp Thật vậy, 26 Với m = 1, ta có 2  T λn (s−t) ∫ e 1+αλn  (fn (w1 )(s) − fn (w2 )(s))ds + αλ n n=1 +∞ ∑ ∥G(w1 )(t) − G(w2 )(t)∥2 +∞ ∫T ∑ ( n=1 t +∞ ∫T ∑ λn (s−t) 1+αλn e + αλn ( e (s−t) α )2 t ∫T |fn (w1 )(s) − fn (w2 )(s)|2 ds ds t ∫T )2 |fn (w1 )(s) − fn (w2 )(s)|2 ds ds n=1 t t +∞ ∫ ∑ ∫T T e 2(T −t) α n=1 t = (T − t)e 2(T −t) α t ∫T +∞ ∑ t (T − t)e |fn (w1 )(s) − fn (w2 )(s)|2 ds ds |fn (w1 )(s) − fn (w2 )(s)|2 ds n=1 ∫T 2T α ∥f (s, w1 (s)) − f (s, w2 (s))∥2 ds t ∫T 2T α ∥w1 (s) − w2 (s)∥2 ds (T − t)e k 2T α t C(T − t)e k |∥w1 − w2 ∥|2 Vậy (3.15) với m = Giả sử (3.15) với m = j Ta chứng minh (3.15) với m = j + ∥Gj+1 (w1 )(t) − Gj+1 (w2 )(t)∥2  T 2 λn (s−t) ∫ +∞ ∑ e 1+αλn  (fn (Gj (w1 ))(s) − fn (Gj (w2 ))(s))ds + αλn n=1 t (T − t)e 2T α ∫T ∑ +∞ t n=1 |fn (Gj (w1 ))(s) − fn (Gj (w2 ))(s)|2 ds 27 (T − t)e 2T α ∫T ∥f (s, (Gj (w1 )(s)) − f (s, (Gj (w2 )(s))∥2 ds t ∫T 2T α (T − t)e k ∥Gj (w1 )(s) − Gj (w2 )(s)∥2 ds t ∫T 2T ∥Gj (w1 )(s) − Gj (w2 )(s)∥2 ds Ce α k t 2T α Ce k ( ∫T ( )2j ((T − s)C)j |∥w1 − w2 ∥|2 ds e k j! T α t )2(j+1) ((T − t)C)(j+1) T α e k |∥w1 − w2 ∥|2 (j + 1)! Như vậy, qui nạp ta chứng minh ( T )2m ((T − t)C)m ∥Gm (w1 )(t) − Gm (w2 )(t)∥2 eα k |∥w1 − w2 ∥|2 , m! với w1 , w2 ∈ C([0, T ]; H) Xét ánh xạ G: C([0, T ]; H) → C([0, T ]; H) Dễ thấy ( T )2m (T C)m lim e α k = m→∞ m! Do đó, tồn số nguyên dương m0 cho Gm0 ánh xạ co Từ dẫn đến phương trình Gm0 (w) = w có nghiệm v ∈ C([0, T ]; H).Ta khẳng định G(w) = w Thật vậy, ta có G(Gm0 (v)) = G(v) Do Gm0 (G(v)) = G(v) Từ tính điểm bất động Gm0 , ta có G(v) = v, phương trình G(w) = w có nghiệm v ∈ C([0, T ]; H) 28 3.3 Đánh giá sai số Giả sử u(t) nghiệm toán (3.2) thỏa mãn điều kiện (3.5) Ta ký hiệu wα (t) nghiệm yếu toán { wαt + αAwαt + Awα = f (t, wα (t)), wα (T ) = u(T ), α > 0 < t < T, (3.16) 3.3.1 Định lý Nếu vα (t) nghiệm yếu toán (3.1) wα (t) nghiệm yếu tốn (3.16) √ T k2 (T −t) T −t ∥vα (t) − wα (t)∥ 2e e α ε, ∀t ∈ [0, T ] Chứng minh Sử dụng Định lý 3.2.5, ta có √ T k2 (T −t) T −t 2e e α ∥u(T ) − φ∥, ∀t ∈ [0, T ], ∥vα (t) − wα (t)∥ √ T k2 (T −t) T −t 2e e α ε, ∀t ∈ [0, T ] 3.3.2 Định lý Nếu u(t) nghiệm toán (3.2) thỏa mãn điều kiện (3.5) wα (t) nghiệm yếu tốn (3.16) tồn số C > cho ∥u(t) − wα (t)∥2 k Te k T (T −t) ∫ t T ( Cα s2 )2 E e 2(s−t) α ( Cα ds + t2 )2 E , ∀t > Chứng minh Ta có cơng thức sau với ∀t ∈ [0, T ]   T ∫ +∞ ∑ u(t) = e(T −t)λn ⟨u(T ), ϕn ⟩ − e(s−T )λn ⟨f (s, u(s)), ϕn ⟩ ds ϕn , n=1 wα (t) = +∞ ∑ n=1 t  e λn (T −t) 1+αλn ⟨u(T ), ϕn ⟩ − ∫T t (3.17)  λn (s−T ) e 1+αλn ⟨f (s, wα (s)), ϕn ⟩ ds ϕn + αλn (3.18) 29 Thay t = vào (3.17), ta có   T ∫ +∞ ∑ u(0) = eT λn ⟨u(T ), ϕn ⟩ − e(s−T )λn ⟨f (s, u(s)), ϕn ⟩ ds ϕn (3.19) n=1 Từ (3.19) suy  ⟨u(0), ϕn ⟩ = eT λn ⟨u(T ), ϕn ⟩ − ∫T  e(s−T )λn ⟨f (s, u(s)), ϕn ⟩ ds hay ⟨u(T ), ϕn ⟩ = e−T λn ⟨u(0), ϕn ⟩ + ∫T e(s−T )λn ⟨f (s, u(s)), ϕn ⟩ ds (3.20) Thay (3.20) vào (3.17) (3.18), ta có   ∫t +∞ ∑ e−tλn ⟨u(0), ϕn ⟩ + e(s−t)λn ⟨f (s, u(s)), ϕn ⟩ ds ϕn , u(t) = n=1 wα (t) = +∞ ∑  e λn (T −t) 1+αλn e−T λn ⟨u(0), ϕn ⟩ + n=1 − +∞ ∫T ∑ n=1 t ∫T (3.21)  e(s−T )λn ⟨f (s, u(s)), ϕn ⟩ ds ϕn λn (s−t) e 1+αλn ⟨f (s, wα (s)), ϕn ⟩ dsϕn + αλn (3.22) Tiếp theo, sử dụng định lý Lagrange để có đánh giá sau λn (T −t) |e−tλn − e 1+αλn e−T λn | (−tλn + T λn − λn (T − t) −tλn )e + αλn (T − t)αλ2n −tλn e = + αλn Cα , ∀t > 0, t2 λn (T −t) Cα sλn |e(s−t)λn − e 1+αλn e(s−T )λn | e , ∀t > 0, t2 (T − t)αλ2n e−tλn 30 | λn (s−t) λn (T −t) e 1+αλn − e 1+αλn e(s−T )λn | + αλn λn (T −t) λn (s−t) |e 1+αλn − e 1+αλn e(s−T )λn | + λn (s−t) αλn e 1+αλn + αλn λn (s − t) λn (T − t) − − (s − T )λn |e(s−t)λn + αλn e(s−t)λn + αλn + αλn Cα , ∀s t > 0, t2 | C số Bây giờ, ta sử dụng bất đẳng thức (a + b + c + d)2 4(a2 + b2 + c2 + d2 ) để có đánh giá sau ( )2 ( ) ∫ T Cα ∥u(t) − wα (t)∥2 ∥u(0)∥2 + T e2sλn | ⟨f (s, u(s)), ϕn ⟩ |2 ds t ) ( λn (s−t) ∫T ∑ +∞ e 1+αλn | ⟨f (s, u(s)), ϕn ⟩ − ⟨f (s, wα (s)), ϕn ⟩ |2 ds + (T − t) + αλn n=1 t ( Cα t2 )2 E2 + T ∫T ∑ +∞ t ( Cα =4 t2 )2 E +T 2(s−t) α e 2(s−t) α Cα =4 t2 )2 ∫T E2 + T +∞ ∑ | ⟨f (s, u(s)), ϕn ⟩ − ⟨f (s, wα (s)), ϕn ⟩ |2 ds n=1 t ( | ⟨f (s, u(s)), ϕn ⟩ − ⟨f (s, wα (s)), ϕn ⟩ |2 ds n=1 ∫T e e 2(s−t) α ∥f (s, u(s)) − f (s, wα (s))∥2 ds t ( Cα t2 )2 ∫T E + T k2 e 2(s−t) α ∥u(s) − wα (s)∥2 ds, ∀t > (3.23) t Đánh giá (3.23) kéo theo 2t e α ∥u(t) − wα (t)∥2 ) ( ∫T 2s Cα 2 2t α + T k2 α ∥u(s) − w (s)∥2 ds, ∀t > E e e α t t (3.24) 31 Áp dụng bất đẳng thức Gronwall (xem Bổ đề 3.2.4), ta có ∥u(t) − wα (t)∥2 k Te k T (T −t) ∫ t T ( Cα s2 )2 E e 2(s−t) α ( Cα ds + t2 )2 E , ∀t > 3.3.3 Định lý Nếu u(t) nghiệm toán (3.2) thỏa mãn điều kiện (3.5) vα (t) nghiệm yếu toán (3.1) √ T −t 2eT k (T −t) e α ε ) ( ) ∫ T ( Cα 2 Cα 2 2(s−t) k T (T −t) + k Te E e α ds + E , ∀t > s t2 t ∥u(t) − vα (t)∥2 Chứng minh Sử dụng Định lý 3.3.1, 3.3.2 bất đẳng thức tam giác 32 KẾT LUẬN Luận văn giải kết sau: Hệ thống lại khái niệm tích vơ hướng, phần tử trực giao, tốn tử tuyến tính, tốn tử bị chặn không gian Banach, không gian Hilbert, không gian Sobolev Xây dựng chứng minh chi tiết bổ đề, định lý việc chỉnh hóa phương trình Parabolic tuyến tính phi tuyến ngược thời gian như: Bổ đề 2.1.1, Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.3, Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.2, Bổ đề 3.2.4, Định lý 3.2.5, Định lý 3.3.2 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Barenblatt G I., Bertsc h M., Passo R D and Ughi M (1993), "A degenerate pseudo Parabolic regularization of a nonlinear forwardbackward heat equation arising in the theory of heat and mass exchange in stably stratified shear flow", SIAM J Math Anal., 24, pp 1414 - 1439 [2] Dinh Nho Hao (1990) , "Notess on the Benjamil-Bona-Mahony equation " , Appl Anal., 35, pp.221-246 [3] Ewing R E.(1975), "The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations", SIAM J Math.Anal., 6(1975), 283–294 [4] Hollig K (1983) , "Existelce infinitely many solution for a forward backward heat equation " , Trams Amer Math Soc., 278, pp.299316 [5] Long N T and Dinh A P N (1994) , "approximation of a Parabolic non-linear evolution equation backward in time", Inverse problem, 10, pp 905-914 [6] Padron V (1990) , "Sobolev regularization of some nonlinear illposed problem ", PhD thesis University of Minnensota, Minneapolis [7] Padron V (1998) , "Sobolev regularization of a nonlinear ill-posed Parabolic problem as a model for aggregating populations" , Comun Partial Differential equations, 23(3,4), pp 457-486 33 ... dùng phương trình Sobolev để chỉnh hố phương trình phi tuyến ngược thời gian ([2], [3], [4], [5]) Vì ngồi việc cho ta phương pháp chỉnh cịn chứng minh tính tồn nghiệm số phương trình Parabolic ngược. .. Ewing CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG DÙNG TRÌNH SOBOLEV ĐỂ CHỈNH HĨA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN Trong chương này, chúng tơi chứng minh tính đặt chỉnh phương trình Sobolev { vαt... tơi trình bày lại số kiến thức cuả giải tích hàm giải tính thực cần thiết cho luận văn Chương 2: Phương pháp dùng phương trình Sobolev để chỉnh hóa phương trình Parabolic tuyến tính ngược thời gian