Phương pháp chỉnh hóa tikhonov và ứng dụng trong phương trình truyền nhiệt ngược thời gian

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Các kiến thức bổ trợ 1.1 Toán tử compact không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Toán tử compact 1.1.3 Nghịch đảo suy rộng hay nghịch đảo theo Moore-Penrose 12 1.2 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh, họ tốn tử chỉnh hố số ví dụ 14 1.2.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh số ví dụ 14 1.2.2 Họ tốn tử chỉnh hố tính chất 16 Chương Phương pháp chỉnh hố Tikhonov ứng dụng phương trình truyền nhiệt ngược thời gian 18 2.1 Phương pháp chỉnh hoá Tikhonov 18 2.1.1 Phương pháp chỉnh hoá Tikhonov 18 2.1.2 Đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp chỉnh hoá Tikhonov 23 2.2 Ứng dụng phương pháp chỉnh hố Tikhonov phương trình truyền nhiệt ngược thời gian 28 2.2.1 Phương trình truyền nhiệt ngược thời gian tốn đặt khơng chỉnh 28 2.2.2 Chỉnh hoá phương trình truyền nhiệt ngược thời gian phương pháp chỉnh hoá Tikhonov 29 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 LỜI NÓI ĐẦU Trong khoa học ứng dụng, nhu cầu khảo sát toán ngược đặt từ lâu Đặc trưng tốn tính đặt khơng chỉnh mà đặc biệt tính khơng ổn định nghiệm Một toán gọi đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard thoả mãn ba điều kiện a) có nghiệm, b) nghiệm nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo tơpơ đó) theo kiện tốn Nếu ba điều kiện khơng thoả mãn ta nói tốn đặt khơng chỉnh Cùng với phát triển cơng cụ tốn học, nhu cầu từ thực tiễn đòi hỏi ngành khoa học ứng dụng khác, toán ngược (hầu hết đặt không chỉnh) nhà toán học giới khảo sát cách sâu rộng Bài toán vẽ lại thơng tin hữu ích từ liệu đo đạc vật lý bị nhiễu, ta nhận tốn khơng chỉnh (nghiệm tốn khơng ổn định theo kiện ban đầu) mà phương pháp nội (từ mơ hình tốn học trực tiếp đo đạc được) dùng để ước lượng dẫn đến khuếch đại khơng thể kiểm sốt nhiễu Sự khuếch đại sai số xuất khách quan q trình đo đạc làm cho kết tính tốn mà khơng có giá trị, "kết quả" che giấu lời giải xác giao động có tần số cao, biên độ lớn Hadamard cho tốn đặt khơng chỉnh khơng có ý nghĩa vật lý Tuy nhiên nói trên, nhiều toán thực tiễn khoa học cơng nghệ dẫn đến tốn đặt khơng chỉnh Chính đặc điểm người ta phải tập trung tìm phương pháp để chỉnh hố nó, thơng thường người ta chọn hàm (xác định miền thích hợp) hội tụ đến hàm xác, để ứng dụng tính số tốn cụ thể Đầu thập niên 50 kỷ trước, nhiều cơng trình nghiên cứu đề cập đến tốn đặt khơng chỉnh Các nhà tốn học A N Tikhonov, M M Lavrent’ev, F John, C Pucci, V K Ivanov người tiên phong lĩnh vực Kể từ năm 1963, sau Tikhonov đưa phương pháp chỉnh hố tốn đặt khơng chỉnh tiếng ơng, tốn đặt khơng chỉnh toán ngược trở thành ngành riêng phương trình vật lý tốn khoa học tính tốn Tikhonov đề xuất phương án chỉnh hố phương trình Au=f không gian Hilbert H cách lấy tối thiểu hoá phiếm hàm Au − f H+ αl2 (u) theo u phiếm hàm l xác định không âm: l(u) ≥ 0, nhất, l(λu) = |λ|l(u) cho tập{u ∈ H|l(u) ≤ m} với số dương m tuỳ ý tập compact Phiếm hàm l gọi phiếm hàm hiệu chỉnh gọi tham số hiệu chỉnh Có thể chứng minh tốn tối thiểu hố có nghiệm ổn định với cách chọn α hợp lý nghiệm xấp xỉ nghiệm phương trình tốn tử Ngồi sử dụng cách đánh giá ổn định, ta tìm sai số lời giải xấp xỉ với lời giải α Trong báo On Tikhonov’s Method for III-posed Joel N Franklin áp dụng phương pháp chỉnh hoá Tikhonov toán truyền nhiệt ngược thời gian Trên sở đọc tài liệu tham khảo, mục đích luận văn tìm hiểu trình bày phương pháp chỉnh hoá Tikhonov áp dụng phương pháp chỉnh hố Tikhonov phương trình truyền nhiệt ngược thời gian Frankin Luận văn có cấu trúc sau: - Mục lục - Lời mở đầu Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ Chương 2: Phương pháp chỉnh hoá Tikhonov ứng dụng phương trình truyền nhiệt ngược thời gian Vì khả thân cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức, giúp đỡ thầy giáo tổ Giải tích, khoa Tốn-Trường Đại học Vinh với gia đình bạn bè Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Đức- người dành cho tác giả quan tâm giúp đỡ nhiệt tình suốt q tình nghiên cứu hồn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa, thầy khoa Tốn-trường Đại học Vinh trang bị kiến thức kinh nghiệm bổ ích cho tác giả thời gian học, xin cảm ơn tập thể cao học 18-Giải tích tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trình học tập hồn thành luận văn Vinh, năm 2012 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Tốn tử compact khơng gian Hilbert Trong phần này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Hilbert, tốn tử compact không gian Hilbert, nghịch đảo suy rộng hay nghich đảo theo Moore- Penrose 1.1.1 Không gian Hilbert Cho E không gian vectơ trường K 1.1.1 Định nghĩa (1) Ánh xạ , : E × E → K gọi tích vơ hướng (i) x, y = y, x , ∀x, y ∈ E ; (ii) Ánh xạ x → x, y tuyến tính với y ∈ E ; (iii) x, x 0; (iv) x, x = ⇔ x = Trên E xác định chuẩn x = x|x , chuẩn gọi chuẩn sinh tích vơ hướng E Khơng gian tuyến tính E với tích vơ hướng gọi không gian tiền Hilbert Không gian Hilbert không gian Banach với chuẩn sinh tích vô hướng 1.1.2 Định nghĩa (1) Cho không gian tiền Hilbert E 1) Hai vectơ x, y ∈ E gọi trực giao x, y = Kí hiệu x⊥y 2) Giả sử A ⊂ E , A gọi hệ trực giao ∈ A với vectơ x, y ∈ A x⊥y 3) Giả sử F ⊂ E Kí hiệu F ⊥ = {x ∈ E : x⊥F }, F ⊥ gọi phần bù trực giao F 1.1.3 Mệnh đề (1) Cho không gian Hilbert E 1) Nếu x⊥y y⊥x Vectơ trực giao với vectơ x ∈ E 2) Nếu x ⊥ y1 , y2 , , yn x ⊥ α1 y1 + α2 y2 + + αn yn với vectơ x, y1 , y2 , , yn ∈ E , với α1 , α2 , , αn ∈ K 3) Nếu x⊥yn , yn → y , (n → ∞) x⊥y với vectơ x, y, yn ∈ E 4) F ⊥ khơng gian đóng E 5) Nếu x⊥y x + y = x+y với vectơ x, y ∈ E (định lý Pythagore) 1.1.4 Định nghĩa (1) Cho E không gian Hilbert F khơng gian đóng E Khi 1) Với x ∈ E tồn y ∈ F cho x − y = d x, F = inf{ x − z , z ∈ F } Ta gọi y hình chiếu trực giao x lên F 2) Ánh xạ PF : E → F với PF (x) = y hình chiếu trực giao x lên F, với x ∈ E gọi phép chiếu trực giao E lên F 1.1.5 Định lý (1) Cho E không gian Hilbert F ⊂ E không gian đóng E Khi phần tử z E phân tích cách dạng: z = x + y với x ∈ F, y ∈ F ⊥ 1.1.6 Định nghĩa (1) Cho không gian Hilbert E, hệ {en } phần tử E gọi hệ trực chuẩn nếu: ei , ej = 0, δi,j = ei , ej = 1, i=j i = j 1.1.7 Mệnh đề Cho không gian Hilbert E, {en } hệ trực chuẩn E Ta có ∞ x, ei ≤ x , i=1 với x ∈ E (bất đẳng thức Bessel) 1.1.8 Mệnh đề (1) Cho không gian Hilbert E, {en }n∈N hệ trực chuẩn E Các mệnh đề sau tương đương: 1) {en } hệ đầy đủ, ∞ x, ei ei với x ∈ E , 2) x = i=1 ∞ 3) x = | x, ei |2 với x ∈ E , i=1 4) span{ei , i ∈ N} (không gian sinh) trù mật E 1.1.9 Mệnh đề (1) Cho E không gian Hilbert F khơng gian đóng E {ei }i∈I ⊂ F hệ đầy đủ F P phép chiếu trực giao E lên F Khi đó: x, ei ej , với x ∈ E PF (x) = i∈N 1.1.10 Định lý (1) (Riesz-Fischer) Cho {en } hệ trực chuẩn đầy đủ không gian Hilbert E Nếu dãy số {ξi } thoả mãn ∞ ξi2 < ∞, i=1 có x ∈ E nhận ξi làm hệ số Fourier ∞ x= ∞ ξi ei , x i=1 ξi2 = i=1 1.1.11 Mệnh đề (1) (Riesz) Cho E khơng gian Hilbert Khi 1) Với a ∈ E , ánh xạ fa : E → K với fa (x) = x, a với x ∈ E tuyến tính liên tục fa (x) = a 2) Nếu f ánh xạ tuyến tính liên tục E tồn a ∈ E cho f (x) = x, a , với x ∈ E 1.1.12 Định nghĩa (1) Cho không gian Hilbert E (i) Nếu f : E → E tốn tử tuyến tính liên tục Khi tồn ánh xạ f ∗ : E → E tuyến tính liên tục thỏa mãn f (x), y = x, f ∗ (y) , ∀x, y ∈ E Ánh xạ f ∗ gọi ánh xạ liên hợp f (ii) f tự liên hợp f ∗ = f 1.1.2 Toán tử compact 1.1.13 Định nghĩa (1) Cho E, F hai không gian Hilbert Toán tử f : E → F goi compact thoả mãn ba điều kiện sau 1) f (B) = {f (x): x ≤ 1} tập compact tương đối F, 2) f (K) tập compact tương tập K ⊂ E bị chặn, 3) Với dãy bị chặn {xn } ⊂ E tồn dãy {xnk } để {f (xnk )} hội tụ 1.1.14 Định nghĩa (1) Cho E, F hai không gian Hilbert L(E, F ) = {f : E → F tuyến tính liên tục} , K(E, F ) = {f : E → F compact} , E = F ⇒ L(E, F ) = L(E, E) : = L(E) , E = F ⇒ K(E, F ) = K(E, E) : = K(E) 1.1.15 Bổ đề Mọi tốn tử tuyến tính compact bị chặn 1.1.16 Định lý (1) Cho f tốn tử tuyến tính hai khơng gian Hilbert Hai mệnh đề sau tương đương 1) f toán tử compact, 10 2) Tồn dãy toán tử fn hữu hạn chiều cho fn − f → n → ∞ 1.1.17 Định lý (1) Cho E, F, G không gian Hilbert 1) K(E, F ) không gian định chuẩn với chuẩn sinh tích vơ hướng 2) Nếu f ∈ L(E, F ), g ∈ K(F, G) f g gf tốn tử compact 3) K(E, F ) đóng L(E, F ) 4) Ánh xạ đồng I :E → E ánh xạ compact dim E < ∞ 5) Nếu f : E → F ánh xạ compact khả nghịch E vô hạn chiều f −1 khơng liên tục 6) Nếu f ánh xạ compact f ∗ ánh xạ compact 7) Nếu {fn } dãy toán tử compact L(E, F ), fn − f → f tốn tử compact 1.1.18 Định nghĩa (1) Cho không gian Hilbert E, f ∈ L(E) 1) λ ∈ C gọi giá trị quy toán tử f f − λI có nghịch đảo liên tục Kí hiệu Rλ = (f − λI)−1 giải thức f 2) Tập σ(f ) = {λ ∈ C|λ giá trị quy củaf σ(f ) gọi phổ f 3) Giá trị λ ∈ σ(f ) gọi giá trị riêng f tồn x ∈ E, x = cho f (x) = λ(x) Khi x gọi vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ 4) Tập hợp Ker(f −λI) khơng gian đóng bất biến f gọi không gian riêng ứng với giá trị riêng λ Số chiều không gian gọi số bội giá trị riêng λ 1.1.19 Định lý (1)Cho không gian Hilbert E, f ∈ L(E) 1) Nếu λ ∈ σ(f ) |λ| ≤ f 2) σ(f ) tập compact C 1.1.20 Bổ đề (1) Cho không gian Hilbert E, f ∈ L(E), λ ∈ C, λ = 21 Từ (T ∗ T + αI)−1 T ∗ = T ∗ (T T ∗ + αI)−1 , tính sau T T ∗ zαδ + αzαδ = y δ , xδα = T ∗ zαδ Cho toán tử compact K với hệ kì dị {δn , , un }, (2.11 ) có dạng +∞ xδα = n=1 δn < y δ , un > δn + α 2.1.2 Định lý (5 ) Cho xδα xác định (2.11) xδα cực tiểu hàm Tikhonov x → T x − yδ + α x (2.12) Chứng minh: Kí hiệu fα (x) kí hiệu hàm (2.12) Cho α > 0, fα lồi ngặt, lim fα (x) = +∞ Do fα cực tiểu nên x →+∞ fα (x)h = với h ∈ χ Ta lại có fα (x)h = 2( T x − y δ , T h ) + α x, h ) = T ∗ T x − T ∗ y δ + αx, h Vậy fα (x)h ≡ xδα 2.1.3 Định lý (5 ) Cho xδα xác định (2.11) ,y ∈ R(T ), y − y δ ≤ δ Nếu α = α(δ) cho δ2 lim α(δ) = lim , δ→0 δ→0 α(δ) (2.13) lim xδα(δ) = T ∗ y (2.14) δ→0 22 Chứng minh: Cho δn → 0, α := α(δn ), yn := y δn , xn := xδαnn Từ fn , xác định hàm Tikhonov (2.12) cho αn , tức fn (x) = T x − yn + αn x Theo Định lý 2.1.2., xn cực tiểu fn Do với x+ := T + y , αn xn ≤ fn (xn ) ≤ fn (x+ ) = T x + − yn 2 ≤ cho xn + αn x + ≤ αn2 + αn x+ , δn2 + x+ αn (2.15) Do xn bị chặn nên có dãy hội tụ yếu xnk z ∈ χ Khi Txnk Tz (2.16) Tiếp tục áp dụng định lý Định lý 2.1.2., tương tự Txnk − ynk ≤ fnk (xnk ) ≤ δn2 k + αnk x+ → k → +∞ Áp dụng (2.16) ta có T z = y (2.17) Vì cực tiểu fn ∈ N (T )⊥ xn ∈ N (T )⊥ z ∈ N (T )⊥ Từ (2.16) z = x+ xnk → x+ ta suy xn → x+ Bây giả sử (2.18) > dãy xnk thỏa mãn xnk ≤ x+ − với k ∈ N dãy có dãy hội tụ yếu tới z với z ≤ x+ − , mâu thuẫn với (2.18) Do lim inf xn ≥ x+ n→∞ (2.19) 23 Từ (2.13) (2.15), ta có lim sup xn ≤ x+ (2.20) n→∞ Từ (2.18),(2.19),(2.20) suy xn → x+ Cho δn → 0, (2.14) 2.1.2 Đánh giá tốc độ hội tụ chỉnh hóa Tikhonov 2.1.4 Định lý (5 ) Giả sử gα xác định theo định lý Định lý 2.1.1., xα xδα xác định theo (2.2 ) (2.3 ) α > 0, đặt Gα := sup{|gα (δ)| |δ ∈ [0, T ]} (2.21) Khi T xα − T xδα ≤ Cδ, (2.22) xα − xδα = δ CGα , (2.23) cố định Chứng minh: Đầu tiên ta chứng minh (2.22), từ gα (T ∗ T )T ∗ = T ∗ gα (T T ∗ ), (2.24) ta có T xα − T xδα = T gα (T ∗ T )T ∗ (y − y δ ) ≤ T T ∗ gα (T T ∗ ) y − y δ Suy T xα − T xδα ≤ δ T T ∗ gα (T T ∗ ) (2.25) 24 Giả sử Fα phổ T T ∗ , ∀y ∈ Y với y = ta có T T T ∗ gα (T T ∗ )y 2 + (λgα (λ))2 d Fλ y = T c2 d F λ y ≤ 2 = c y Do T T ∗ gα (T T ∗ )y ≤ c2 , (2.26) cố định Từ (2.25) (2.26),(2.22) chứng minh Từ(2.26), ta có gα (T T ∗ ) ≤ Gα (2.27) Mặt khác theo (2.24), suy xα − xδα = xα − xδα , T ∗ gα (T T ∗ )(y − y δ ) = T xα − T xδα , gα (T T ∗ )(y − y δ ) ≤ T xα − T xδα gα (T T ∗ ) δ áp dụng (2.22) (2.27),(2.23) 2.1.5 Định lý (5 ) Cho gα xác định Định lý 2.1.1., rα (2.26), µ, ρ > Giả sử ωµ : (0, α0 ) → R cho ∀α ∈ (0, α0 ) λ ∈ [0, T ], λµ |rα (λ)| ≤ ωµ (α), (2.28) xα − x+ ≤ ωµ (α)ρ, (2.29) cố định Khi đó, với x+ ∈ χµ,ρ 25 T xα − T x+ ≤ ωµ+ 21 (α), (2.30) cố định, xα xác định (2.2) x+ := T + y Chứng minh: Giả sử ω ∈ χ cho x+ = (T ∗ T )µ ω , ω ≤ ρ Từ (2.4) ta có x+ − xα = rα (T ∗ T )(T ∗ T )µ ω T x+ − T xα = T rα (T ∗ )(T ∗ )µ ω Áp dụng bất đẳng thức Tz = T z, T z = T ∗ T z, z 1 = (T ∗ T ) z, (T ∗ T ) z = (T ∗ T ) 2 Suy (2.29) (2.30) chứng minh 2.1.6 Hệ (5 ) Giả sử ωµ (α) = cαµ , với c > giả sử gα xác định Định lý 2.1.4 thỏa mãn Gα = o( ) khiα → α Khi với quy tắc chọn tham số α δ 2µ+1 α∼ ρ (2.31) bậc tối ưu χµ,ρ Chứng minh: Từ định lý 2.1.4 định lý 2.1.4 ta có xδα − x+ ≤ cαµ ρ + δ c α 26 2µ Vế phải (2.31) bị chặn δ 2µ+1 ρ 2µ+1 khơng đổi Do đó, (2.31) bậc tối ưu χµ,ρ Gα xác định (2.21) có dạng , α để ước lượng hệ số ổn định, (2.23) trở thành Gα = δ xα − xδα ≤ √ α Hơn rα (λ) = α , λ+α dễ dàng suy ωµ (α) = αµ , µ ≤ cα, µ ≤ Trong (2.28) chỉnh hoá Tikhonov xác định µ0 = Từ (2.29) có xα − x+ = O(αµ ) với x+ ∈ χµ µ ≤ Từ Hệ 2.1.5 với µ ≤ 1, chỉnh hoá Tikhonov với quy tắc lựa chọn tham số (2.31) tối ưu Khả hội tụ tốt µ = α α ∼ ( )3 , ρ xδα − x+ = O(α2/3 ), (2.32) x+ ∈ χ1,ρ Hơn với cách lựa chọn tham số sup{ xδα − x+ Q(y − y δ ) ≤ δ} = o(δ 2/3 ), cố định x+ = 0, miễn R(T ) khơng đóng (2.33) 27 2.1.7 Mệnh đề (5 ) Cho K tập compact vô hạn chiều, xδα xác định (2.11) với K thay cho T Cho α = α(δ, y δ ) hàm số (2.33) dẫn đến x+ = Chứng minh: Cho (σn , , un ) hệ kỳ dị K Do dim R(T ) = +∞, lim = Đặt n→+∞ δn := σn3 , yn := y + δn un y − n − y ≤ δn Hơn xác định n αn := α(δn , yn ), xn = xαn , xδn := xδαn xδn − x+ = xn − x+ , δn (K ∗ K + αn I)−1 K ∗ un Ta có xδn − x+ = xn − x+ + σ n δn 2δn σn + < x − x , v > +( ) n n αn + σn2 αn + σ n Theo cách chọn δn ta có (δn−2/3 xδn −x + ≥ 2/3 αn + σn + < xn − x , > +( 2/3 δn αn + 2/3 σn )2 Bây từ (2.11) suy (K ∗ + αn I)(x+ − xδn ) = K ∗ y + αn x+ − K ∗ yn , nên αn x+ = O(δn + x+ − xδn ) (2.34) 2/3 Áp dụng giả thiết x+ − xδn = O(δn ), x+ = 0, từ (2.34) ta có lim αn δn−2/3 = (2.35) n→0 Do đó, số hạng thứ hai vế phải (2.33) dần đến 1, áp dụng giả thiết vế trái (2.33) dần đến O Do có −2/3 ≥ lim sup n→0 δn + αn + −2/3 δn < xn − x+ , > +1 (2.36) 2/3 Bây áp dụng giả thiết (2.33) x+ − xδn = O(δn ), x+ = 0, từ (2.35) (2.36) dẫn đến mâu thuẫn > Do x+ = Do chỉnh hố Tikhonov cho tốn tuyến tính khơng chỉnh mang lại tốc độ hội tụ O(δ 2/3 , bậc hội tụ lớn 28 2.2 ứng dụng phương pháp chỉnh hoá Tikhonov cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian Trong phần chúng tơi trình bày chứng minh cách chi tiết phương trình truyền nhiệt ngược thời gian tốn đặt khơng chỉnh Và ứng dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov phương trình truyền nhiệt ngược thời gian J.N.Franklin đưa tài liệu (4) 2.2.1 Phương trình truyền nhiệt ngược thời gian tốn đặt khơng chỉnh Xét phương trình parapolic ngược thời gian ut + Au = 0, < t < T, u(T ) − f ≤ 0, với tốn tử khơng bị chặn A sở gồm vecto riêng trực chuẩn {φ1 }i không gian Hilbert H với chuẩn , tương ứng với giá trị riêng {λ1 }i cho < λ1 ≤ λ2 , ≤ , lim λi = +∞, i→+∞ > cho Ta thấy (t) = −λn (t−T ) φn ; λn e ≤ t ≤ T nghiệm phương trình tt + Av = 0, < t < T, v(T ) = λ1n φn , v(t) = 0, ≤ t ≤ T nghiệm phương trình vt + Av = 0, < t < T, v(T ) = 0, Rõ ràng (T ) − v(T ) = λn φn = với t ∈ [0, T ) ta có (t) − v(t) = 1 λn φn = λn n → ∞ −λn (t−T ) φn = λ1n (T − t) → λn e +∞ n → ∞ Điều chứng tỏ lời giải tốn khơng liên tục vào kiện thời điểm t = T Vậy phương trình truyền nhiệt ngược thời gian tốn đặt khơng chỉnh 29 2.2.2 Ứng dụng phương pháp chỉnh hố Tikhonov cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian Xét phương trình tryền nhiệt ∂ψ ∂ 2ψ = , ∂t ∂x2 với < x < π < t < T Cho ψ xác định liên tục, bị chặn ∂ψ = 0, x = x = π ∂x Nhiệt độ ban đầu cuối xác định u0 (x) = ψ(x, 0), g0 (x) = ψ(x, T ) Ta áp dụng phương pháp Tikhonov cho toán đặt không chỉnh u0 (x) từ hàm g(x) gần với g0 (x) g(x) − g0 (x) ≤ Giả sử ω(u0 ) < ∞ với ω có dạng ω (u) = p dj u(x) ] dx aj (x)[ j dx j=0 Nếu u0 (x) biểu diễn dạng dãy Fourier ∞ u0 (x) = An cos nx, g0 (x) có dạng ∞ An e−n g0 (x) = T cos nx Khi u0 (x) liên hệ với g0 (x) tích phân π ku0 (x) ≡ k(x, y)u0 (y)dy = g0 (x), 30 ∞ k(x, y) = (1 + e−n T cos nx cos ny) π n=1 Trong phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, chọn tham số α > chọn u cực tiểu ku − g + αω (u) Nếu σ( , α) u0 g xác định ω(u0 ) ≤ ku0 − g ≤ , sup u − u0 = ωδ( ω, α) Thông thường δ( , α) bị chặn tập hợp modun chỉnh hoá ρ( ) Bây cho hàm (x) sử dụng để xác định ω , thoả mãn bất đẳng thức ≤ mi ≤ (x) ≤ Mi , (i = 1, p) Để thu cận ρ( ) ta sử dụng cực tiểu mi Cho ϕ(x) có khai triển Fouries ∞ cn cos nx, (0 ≤ x ≤ π), ϕ(x) = n=0 ω(ϕ) ≤ π [m0 ϕ2 + + mp (ϕp )2 ]dx ≤ ω (ϕ) ≤ Chúng ta xác định đa thức F (z) = m0 + m1 z + + mp z p (2.37) 31 Từ (2.37) dẫn đến π πm0 c + ∞ F (n2 )c2n ≤ Giả sử kϕ ≤ (2.38) n=1 ∞ πc20 e−2n T c2n ≤ + n=1 Cho s = s( ) số dương xác định F (s2 ) = e−2s Số s( ) xác định m0 T −2 (2.39) < Nếu giảm tới 0, hàm s( ) tăng tới vơ hạn Ta có ϕ π π c2n + c2n n≤s n>s π 2 ≤(πc20 + e−2n T c2n )e2s T n≤s π F (n2 )c2n ).(F (s2 ))−1 +( n>s =πc20 + Từ bất đẳng thức (2.38),(2.39) suy ϕ ≤ 2s2 T e + (F (s2 ))−1 = 2(F (s2 ))−1 Ta cần xác định hàm s( ) Từ (2.39), ta có log F (s2 ) + 2s2 T = log Do với →0 s2 T (1 + o(1)) = log , điều dẫn đến s2 ∼ 1 log → T (2.40) 32 Do →0 1 F (s2 ) ∼ mp s2p ∼ mp ( log )p T Từ bất đẳng thức (2.40) dẫn đến ϕ ≤ (1 + o(1))21/2 m−1/2 T p/2 (log )−p/2 , p o(1) kí hiệu hàm tiến đến (2.41) → Vì bất đẳng thức cố định với ϕ thoả mãn Ω(ϕ) ≤ Kϕ ≤ , vế phải (2.41) cận modun chỉnh hoá ρ( ) Để thu cận ρ( ) lấy G(z) = M0 + M1 z + + Mp z p Cho t nghiệm phương trình G(t2 ) = e−2t T −2 Hàm t = t( ) tăng tới ∞ → Cho n = n( ) số nguyên thoả mãn t( ) ≤ n( ) < + t( ) Bây xác định hàm ϕ(x) = A cos nx = A( ) cos n( )x π A( ) = ( G(n2 ( )))−1/2 , ω (ϕ) ≤ π A G(n2 ) = Hơn nữa, từ n( ) ≥ t( ) Kϕ π 2 = A2 e−2n T = (G(n2 ))−1 e−2n T 2 ≤(G(t2 ))−1 e−2t T = e2 Bây từ ω(ϕ) Kϕ ≤ 1, ta có π ρ( ) ≥ ϕ = ( A2 )1/2 33 Do n = n( ), ρ( ) ≥ (G(n2 ))−1/2 (2.42) Để đánh giá tốc độ hội tụ T ( ) tiến hành với s( ), thay F G sau cho t2 ∼ →0 1 1 log , G(t2 ) ∼ Mp ( log )p T T Vì n( ) ∼ t( ), ta có G(n2 ) ∼ G(t2 ) Từ bất đẳng thức (2.42) suy ρ( ) ≥ (1 + o(1))Mp−1/2 T p/2 (log )−p/2 Ta thấy cận cận trên, từ (2.41)điều dẫn đến ρ( ) ≤ (1 + o(1))Mp−1/2 T p/2 (log )−p/2 Để ước lượng tốc độ hội tụ, sử dụng bất đẳng thức ωρ( /ω) ≤ ωδ( /ω, α) ≤ ω δ( /ω , α), λ = αω / Công thức cuối cho thấy sai số tiến đến với tốc độ ∼ o(log(1, ))P/2 , p bậc cao xuất hàm Ω2 (u) 34 KẾT LUẬN Kết đạt Luận văn : - Trình bày số kiến thức nêu ví dụ tốn đặt khơng chỉnh - Chứng minh tốn parapolic ngược thời gian ut + Au = 0, < t < T, u(T ) − f ≤ , (2.43) với toán tử dương liên hợp không bị chặn A tốn đặt khơng chỉnh - Trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp chỉnh hóa Tikhonov - Trình bày ứng dụng phương pháp chỉnh hóa chỉnh hóa Tikhonov phương trình truyền nhiệt ngược thời gian TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm Tập II, Nhà xuất Giáo dục [2] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Trần Đức Vân (2001), Phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Joel N Franklin( 2009) , On Tikhonov’s Method for Ill- Posed Problems,Mathematics of Computation, Vol 28 No.128 889–90 [5] Heinz W Engl, Martin Hanke, Andreas Neubauer (1980), Regularization of Inverse Problems, Kluwer Academic Publishers 72–80, 117– 125 [6] A N Tikhonov (1963), On the solution of ill-posed problems and the method of regularization, Dokl Akad Nauk SSS 151, 501–504 35 ... khơng chỉnh - Trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp chỉnh hóa Tikhonov - Trình bày ứng dụng phương pháp chỉnh hóa chỉnh hóa Tikhonov phương trình truyền nhiệt. .. khơng chỉnh Và ứng dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov phương trình truyền nhiệt ngược thời gian J.N.Franklin đưa tài liệu (4) 2.2.1 Phương trình truyền nhiệt ngược thời gian tốn đặt khơng chỉnh. .. TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN Phần này, chúng tơi trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, đánh giá tốc độ hội tụ chỉnh hóa Tikhonov Ứng dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov phương trình truyền nhiệt