Mô phỏng biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng trong công nghiệp vật liệu

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ Mô biến dạng đàn hồi phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng công nghiệp vật liệu Học viên: Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Lê HOÀNG TS Tạ Thị Thanh MAI Luận văn thực chương trình Thạc sĩ khoa học Tốn Tin Viện Toán ứng dụng Tin học Ngày 22 tháng 10 năm 2020 i Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Tạ Thị Thanh Mai, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình thực luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào tạo Sau đại học, Đại học Bách Khoa Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu Xin cảm ơn thầy cô, bạn sinh viên, học viên cao học Viện Toán ứng dụng Tin học giúp đỡ, trao đổi tác giả kiến thức kinh nghiệm quý báu để giúp cho luận văn hoàn thiện Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn Nguyễn Thế Hùng cộng tác giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu thực đề tài Cuối cùng, tác giả xin kính tặng người thân yêu niềm hạnh phúc vinh dự to lớn này! Tóm tắt luận văn Trong luận văn này, tác giả trình bày thuật tốn giải số cho tốn biến dạng đàn hồi Phần kiến thức cần chuẩn bị Phần hai trình bày mơ số cho phương trình đàn hồi dựa phương pháp phần tử hữu hạn số ví dụ mơ số cho phương trình đàn hồi Phần ba vài ứng dụng công nghiệp vật liệu Mã nguồn chương trình phát triển phần mềm Freefem++, dựa phương pháp phần tử hữu hạn Từ khóa: học vật liệu, phương trình đàn hồi, phương pháp phần tử hữu hạn, Freefem++ Chữ ký: Ngày: ii Mục lục Lời nói đầu Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Bài tốn yếu khơng gian Hilbert Chương Giải toán biến dạng đàn hồi phương pháp phần tử hữu hạn 2.1 Phương trình đàn hồi 2.2 Công thức biến phân 10 2.3 Rời rạc hóa không gian 12 2.4 Hệ phương trình tuyến tính 12 2.5 Các ví dụ mơ số 13 2.5.1 Thứ nguyên 13 2.5.2 Mơ thí nghiệm với lực kéo 14 2.5.3 Mô thí nghiệm với lực nén 16 2.5.4 Mơ thí nghiệm với áp suất 17 Kết luận 18 2.6 Chương 3.1 Ứng dụng công nghiệp vật liệu 23 Ứng dụng toán tối ưu dạng 23 3.1.1 Bài toán tối ưu dạng 24 3.1.2 Thuật toán tối ưu dạng 29 Xác định bước giảm hn 31 Điều kiện dừng 32 iii 3.1.3 3.2 Các ví dụ mơ số 32 Kết luận 37 Kết luận chung 38 Các hướng nghiên cứu 39 Danh mục cơng trình liên quan đến luận văn cơng bố 40 Tài liệu tham khảo 43 iv Danh sách hình vẽ Hình 2.1 Trạng thái ban đầu kim loại 14 Hình 2.2 Tấm kim loại tác dụng lực kéo F=100 15 Hình 2.3 Tấm kim loại tác dụng lực kéo F=5e3 15 Hình 2.4 Tấm kim loại tác dụng lực kéo F=1e4 15 Hình 2.5 Tấm kim loại trạng thái ban đầu 16 Hình 2.6 Tấm kim loại tác dụng lực nén 16 Hình 2.7 Tấm kim loại × với lỗ r = 0.5 + 0.2sin(kt) 17 Hình 2.8 Hướng dịch chuyển kim loại 17 Hình 2.9 Tấm kim loại sau bị biến dạng 18 Hình 2.10 Khuyên kim loại chịu tác động áp suất bên 19 Hình 2.11 Lưới khởi tạo khuyên kim loại 19 Hình 2.12 Sự biến dạng khuyên kim loại 20 Hình 2.13 Lưới khởi tạo ống kim loại 20 Hình 2.14 Ống kim loại trước bị biến dạng 21 Hình 2.15 Ống kim loại sau bị biến dạng 21 Hình 3.1 Hình dạng ban đầu đường ống 24 Hình 3.2 Dịng chảy miền D có vật cản ω 25 Hình 3.3 Biến phân ( I + θ ) dạng Ω cho trước 26 Hình 3.4 Mô lực tác dụng lên vành bánh xe 33 Hình 3.5 Hình dạng vành bánh xe tối ưu 34 Hình 3.6 Vành bánh xe 34 Hình 3.7 Kết vành bánh xe tối ưu sau tăng thể tích V0 35 Hình 3.8 Hình dạng ban đầu vành bánh xe 35 Hình 3.9 Kết vành bánh xe tối ưu 36 v Hình 3.10 Vành bánh xe thực tế 36 vi Danh sách bảng Bảng 2.1 Bảng thứ nguyên 14 Lời nói đầu Bài tốn biến dạng đàn hồi có ứng dụng rộng rãi học vật liệu đặc biệt vấn đề liên quan đến độ bền, ứng suất biến dạng Độ bền vật liệu khả chịu đựng không bị nứt, gãy, phá hủy hay biến dạng dẻo tác động ngoại lực bên Tùy theo ngoại lực khác mà đặc tính độ bền vật liệu khác nhau: độ kéo, độ bền nén, độ bền cắt, độ bền uốn, độ bền mỏi, độ bền va đập, giới hạn chảy Phương pháp phần tử hữu hạn giải toán đàn hồi bắt nguồn từ năm 1950 kỹ sư phát triển để giải vấn đề học liên tục ngành hàng không ([1], [2], [3], [4]) Những vấn đề liên quan đến hình học phức tạp khơng thể xử lý dễ dàng kỹ thuật hữu hạn cổ điển Trong thời gian đó, nghiên cứu lý thuyết gần phương trình đàn hồi tuyến tính thực [5] Năm 1960, Clough đưa thuật ngữ "các phần tử hữu hạn" báo liên quan đến độ co giãn tuyến tính theo hai chiều [6] Trong luận văn này, tác giả nhóm nghiên cứu trình bày phương pháp phần tử hữu hạn giải toán biến dạng đàn hồi ứng dụng độ bền nén, độ bền va đập vật liệu Nội dung luận văn trình bày ba chương: i Chương 1: trình bày vài kiến thức ii Chương 2: trình bày phương pháp phần tử hữu hạn giải toán biến dạng đàn hồi Phần trình bày chi tiết bước xây dựng lược đồ giải số cho phương trình đạo hàm riêng nói chung, phương trình đàn hồi nói riêng phương pháp Phần tử hữu hạn, sở lý thuyết phục vụ cho ví dụ chương ứng dụng tốn tối ưu dạng trình bày chương iii Chương 3: giới thiệu toán tối ưu dạng vài ứng dụng tốn biến dạng đàn hồi cơng nghiệp vật liệu Mã nguồn chương trình thí nghiệm giải số phát triển phần mềm Freefem++ Đây công cụ mã nguồn mở giải toán đạo hàm riêng phương pháp phần tử hữu hạn [7] Các kết hình ảnh sử dụng luận văn hỗ trợ phần mềm mã nguồn mở gnuplot (http://www.gnuplot.info/) Medit (http://www.ann.jussieu.fr/frey/software.html) Luận văn hồn thành chương trình Thạc sĩ khoa học Toán Tin Viện Toán ứng dụng Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội hướng dẫn TS Tạ Thị Thanh Mai Chương luận văn tóm tắt cơng bố Journal of Mathematical Applications số vol XVI năm 2018, trang 37 - 50 với tiêu đề "Simulation of linear elastic equation and application in mechanics of materials" Tác giả tiếp tục nghiên cứu mở rộng thêm ứng dụng cho toán biến dạng đàn hồi mơ hình học vật liệu khác Mặc dù hoàn thành với nhiều cố gắng hạn chế thời gian kinh nghiệm, luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ thầy cô bạn học viên để luận văn hoàn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Trong khơng gian có tích vơ hướng V, ta xét chuẩn ||u||V = (u, u) Khi khơng gian vectơ V không gian định chuẩn Không gian định chuẩn gọi không gian tiền Hilbert Không gian Hilbert không gian tiền Hilbert đầy đủ Một số không gian hàm Cho Ω ⊂ Rn bị chặn C (Ω) không gian hàm liên tục Ω với ||u||C(Ω) = max |u( x )| x ∈Ω Không gian C m (Ω) = {u| D α u( x ) ∈ C (Ω), ∀α ≤ m} |α| = α1 + α2 + + αn Trong α = (α1 , α2 , , αn ), Dα u( x ) = ∂|α| u ∂αx11 ∂αx22 ∂αxnn Khơng gian hàm bình phương khả tích L2 (Ω), Ω ⊂ Rn u ∈ L2 ( Ω ) ⇔ Ω u2 ( x )dx < +∞, dx = dx1 dx2 dxn Chương Ứng dụng công nghiệp vật liệu 29 Đạo hàm dạng hàm mục tiêu Giả sử Ω miền vật dẳng hướng tuyến tính Chúng ta giả sử Ω cố định biên Γ D , tác dụng lực g lên biên Γ N phần biên cần phải tối ưu Γopt , với ∂Ω = Γ D ∪ Γ N ∪ Γopt Sự biến dạng vật thể nghiệm phương trình đàn hồi:     div(A(u)) =       u = Ω, Γ D , (3.6) Γ N    A(u)n = g       A(u)n = Γopt Chúng ta cần tối ưu hóa hình dạng vật thể với thể tích cố định cho trước Kết hợp với 3.2 3.6 ta có tốn tối ưu ràng buộc: J (Ω) = Ω ΓN g.u(Ω)ds tát tập mở Ω thỏa mãn Γ N ∪ Γ D ⊂ ∂Ω tích V0 Ta có đạo hàm dạng hàm mục tiêu J (Ω): < J (Ω), θ >= − 3.1.2 Γopt (2µ|e(u(Ω))|2 + λ(div u(Ω))2 )(θ.n)ds Thuật toán tối ưu dạng Phương pháp gradient giải toán tối ưu Phương pháp gradient thuật toán giải toán tối ưu dựa đạo hàm bậc để xác định hướng giảm hàm mục tiêu Cho F ánh xạ từ không gian Hilbert X vào R Phương pháp gradient sử dụng để xây dựng chuỗi phần tử ( xn )n≥0 ∈ X: x n +1 = x n − h n d n Chương Ứng dụng công nghiệp vật liệu 30 với hn ∈ R số dương nhỏ dn định nghĩa sau: ( d n , y ) X = F ( x n ), y X ∗,X ∀y ∈ X Trong trường hợp dn gradient F, hay dn = Fxn Nếu F ( xn ) = hn đủ nhỏ F ( xn + 1) < F ( xn ) Nếu F hàm lồi mạnh tồn x∗ thỏa mãn: F ( x∗ ) = F ( x ) x∈X Trong tối ưu dạng, tập X không gian Hilbert mà tập R N (với N = N = 3) khơng dễ dàng để tính đạo hàm Tuy nhiên, phương pháp gradient áp dụng cách hiệu Tính tốn hướng giảm gradient • Chọn điểm bắt đầu x0 • Lặp nghiệm hội tụ n = nmax – Xác định dn = ∇ F – Tính xn+1 = xn − hn dn với hn > bé Tối ưu hàm mục tiêu Để có thẻ áp dụng phương pháp gradient cho tối ưu dạng, ta cần phải tìm hướng giảm d dựa vào đạo hàm dạng J (Ω) Trong trường hợp này, xét không gian H (Ω) N , hướng giảm d ∈ H (Ω) N thỏa mãn với θ ∈ H (Ω) N , ta có: Ω (∇d.∇θ + d.θ )dx =< J (Ω), θ > Ta thực hiên tối ưu hàm mục tiêu phương pháp gradient theo bước sau: • Chọn dạng khởi đầu Ω0 • Lặp hội tụ với n ≥ (3.7) Chương Ứng dụng cơng nghiệp vật liệu 31 – Tính tốn dn kết toán 3.7 với Ω = Ωn – Đặt Ωn+1 = ( I − hn dn )(Ωn ) với hn bước nhỏ Phương pháp Lagrange giải ràng buộc thể tích Nhiều tốn tối ưu dạng đặt ràng buộc thể tích vật Để xử lý ràng buộc này, đề cập phần trước, ta đưa nhân tử Lagrange l vào hàm mục tiêu Cụ thể hơn, ta tính hướng giảm hướng giảm phương trình Lagrange J (Ω) + lV (Ω), với V (Ω) = |Ω| thể tích dạng Ω Giá trị nhân tử Lagrange đặt lại vòng lặp, đó, hình dạng ln thỏa mãn điều kiện ràng buộc mặt thể tích Tại thời điểm, giá trị thể tích lớn giá trị thể tích dự kiến, ta tăng giá trị nhân tử Lagrange tương ứng ngược lại, giảm giá trị thể tích nhỏ giá trị dự kiến Tuy nhiên, cách dẫn đến dao động thể tích dạng Do đó, ta nới lỏng với giá trị nhân tử Lagrange tính tốn với giả thiết điều kiện tối ưu thỏa mãn, tức J (Ω) + lV (Ω) = Chi tiết ta có: l n+1 = (l n + l )/2 + l (V − V0 ) với l đủ nhỏ Xác định bước giảm hn Việc chon hn yếu tố ảnh hưởng trực tiếp đến tốc độ tính ổn định thuật tốn Nếu giá trị q lớn thuật tốn khơng hột tụ được, cịn giá trị q nhỏ tốc độ hội tụ thuật tốn chậm Để xác định giá trị hn cho bước lặp, ta so sánh hướng giảm dn hướng giảm vịng lặp trước dn−1 thưc tăng giảm theo quy tắc sau: • (dn , dn−1 ) H1 (Ω) < 0: Ta giảm hn xuống quay trở hình dạng trước cách gán Ωn = Ωn−1 • (dn , dn−1 ) H1 (Ω) < α với α số dương bé ta tăng giá trị hn • Nếu có phần tử bị đảo ngược thực cập nhật lại lưới ta tăng hn Chương Ứng dụng công nghiệp vật liệu 32 Điều kiện dừng Tiêu chí hội tụ để dừng vịng lặp tối ưu giá trị | J (Ω)| < Tuy nhiên, việc ta sử dụng đạo hàm liên tục nên kỳ vọng vào giá trị đạo hàm nhỏ khó xảy lỗi sai số Còn vấn đề nghiêm trọng ta sử dụng tiêu chí hội tụ liên quan đến việc khơng thể thay đổi hình dạng vật thể, điều xảy hai phần tách rời vật có xu hướng hợp thành Trong trường hợp này, bước dịch chuyển giảm xuống để tránh tình trạng phần tử tam giác bị đảo ngược Nó gần đạo hàm J (Ω) lớn hình dạng tối ưu khơng đạt Do đó, ta khơng thể sử dụng tiêu chí để dừng thuật tốn mà cố định vịng lặp thực thuật tốn Nếu số vịng lặp q bé ta sử dụng hình dạng lần chạy thuật tốn trước để làm hình dạng ban đầu chạy tiếp thuật tốn 3.1.3 Các ví dụ mơ số Vành bánh xe Bánh xe người phát minh vào khoảng 4500-3000 năm trước công nguyên (thời kỳ đồ đồng) Đó bánh xe ngựa gỗ đặc (có lỗ cho trục) thơ sơ nặng Cho đến ngày nay, với phát triển công nghệ, chế tác bánh xe đại phải đáp ứng thơng số sau cách hồn hảo: • Dẻo dai Các bánh xe phải chịu áp lực lớn, nhiều nỗ lực tập trung vào việc phát triển hợp kim siêu bền cho lĩnh vực sản xuất vành bánh xe, để tạo bánh xe ổn định an tồn • Trọng lượng nhẹ Việc giảm trọng lượng vành bánh xe giúp xe nhẹ hơn, ảnh hưởng đến tốc độ động tác phanh xe Trọng lượng đĩa nhỏ hơn, moment quán tính tác động nhỏ Để vành bánh xe đáp ứng yêu cầu kể trên, ta cần chọn chất liệu phù hợp dùng để làm vành với kích thước bánh xe hợp lý giúp tăng hiệu xe Chương Ứng dụng cơng nghiệp vật liệu 33 Vậy hình dạng vành bánh xe hợp lý, chịu lực khối lượng lại không lớn? Bằng cách sử dụng thuật toán tối ưu dạng để tìm hình dạng hợp lý vành bánh xe Kết thực nghiệm Ta thực tối ưu hình dạng vành bánh xe từ hình tròn với lực tác dụng lên vành bánh mơ tả sau: HÌNH 3.4: Mơ lực tác dụng lên vành bánh xe Trong đó: • Biên Γ N chịu tác dụng lực quay trục xe • Giả sử thời gian ngắn, vành bánh xe giữ cố định Do ta đặt biên Γ D vành bánh xe • Γopt phần biên ta cần tối ưu Sau chạy thuật toán ta thu hình dạng vành bánh xe sau: Ta thấy hình dạng tối ưu vành bánh xe có tương đồng với vành bánh xe thực tế (hình 3.6) Nhưng ta tăng thể tích ràng buộc lên ta lại kết tối ưu khác có phần khác so với thực tế (hình 3.7) Chương Ứng dụng cơng nghiệp vật liệu HÌNH 3.5: Hình dạng vành bánh xe tối ưu HÌNH 3.6: Vành bánh xe 34 Chương Ứng dụng cơng nghiệp vật liệu 35 HÌNH 3.7: Kết vành bánh xe tối ưu sau tăng thể tích V0 Tương tự trên, ta thay đổi hình dạng ban đầu vành bánh xe (hình 3.8) Ta dạng tối ưu khác vành bánh xe (hình 3.9) thực tế chúng (hình 3.10) HÌNH 3.8: Hình dạng ban đầu vành bánh xe Chương Ứng dụng công nghiệp vật liệu HÌNH 3.9: Kết vành bánh xe tối ưu HÌNH 3.10: Vành bánh xe thực tế 36 Chương Ứng dụng công nghiệp vật liệu 3.2 37 Kết luận Trong chương này, ta giới thiệu bái tốn tối ưu dạng cho phương trình đàn hồi Cụ thể sau: • Giới thiệu tốn tối ưu dạng cho phương trình đàn hồi • Giới thiệu thuật toán để giải toán tối ưu dạng • Trình bày ví dụ mơ cho toán tối ưu dạng 38 Kết luận chung Luận văn trình bày lược đồ giải số cho toán biến dạng đàn hồi giới thiệu tốn tối ưu dạng cho phương trình đàn hồi Cụ thể, luận văn giải vấn đề sau: • Xây dựng lược đồ mô số cho hệ phương trình đàn hồi dựa phương pháp phần tử hữu hạn Có thể dễ dàng mở rộng cho mơ hình học khác phương trình đàn hồi phi tuyến, tải trọng phụ thuộc hình dạng vật • Ứng dụng phương trình đàn hồi cơng nghiệp vật liệu • Giới thiệu thuật tốn giải số cho tốn tối ưu dạng cho phương trình đàn hồi • Mơ thí nghiệm giải số minh họa 39 Các hướng nghiên cứu Tác giả đề xuất hướng nghiên cứu liên quan tiếp tục phát triển từ nội dung luận văn này: • Mơ thí nghiệm giải số cho hệ phương trình đàn hồi tuyến tính phi tuyến cho toán tối ưu dạng khơng gian ba chiều • Nghiên cứu thêm lược đồ để giải toán ứng dụng tối ưu dạng nhiều mơ hình vật lý khác nhau, chẳng hạn cấu trúc truyền nhiệt [26], dòng đối lưu tự nhiên [27], dòng chảy Navier-Stokes [28], toán khác liên quan đến đàn hồi [29], [30] Dựa cách tiếp cận thuật toán đề xuất, trình thực luận văn này, tác giả nghiên cứu xây dựng lược đồ giải số cho toán tối ưu dạng cấu trúc đàn hồi tuyến tính đạt kết định Tuy nhiên, hạn chế thời gian thực nên nghiên cứu trình tiếp tục hồn thiện 40 Danh mục cơng trình liên quan đến luận văn cơng bố T.T.Mai Ta, L.Hoang Nguyen, T.Hung Nguyen and X.Ly Le “Simulation of linear elastic equation and application in mechanics of materials” Journal of Mathematical Applications Vol XVI, No2, 2018, pp 37-50 “Linear elastic deformations and its application in shape design“, (preprint) 41 Tài liệu tham khảo [1] S Levy, “Structural analysis and influence coefficients for delta wings”, J Aeronaut Sci, vol 20, 1953 [2] J Argyris and S Kelsey, “Energy theorems and structural analysis”, Aircraft Engrg, vol 26, pp 347–356, 383–387, 394, 410–422, 1954 [3] ——, “Energy theorems and structural analysis”, Aircraft Engrg, vol 27, pp 42– 58, 80–94, 125–134, 145–158, 1955 [4] J Tinsley Oden, “Finite elements: An introduction”, vol 2, 1991 [5] M Turner, R Clough, H Martin, and L Topp, “Stiffness and deflection analysis of complex structures”, J Aero Sci, vol 23, pp 805–823, 1956 [6] R Clough, “The finite element method in plane stress analysis”, Proc 2nd ASCE Conference on Electronic Computation, 1960 [7] F Hecht, “New development in freefem++”, J Numer Math., vol 20, no 3-4, pp 251–265, 2012, ISSN: 1570-2820 [8] S Larsson and V Thomée, The mathematical theory of finite element methods Texts in Applied Mathematics Springer, 2009 [9] P G Ciarlet, The finite element method for elliptic problems Amsterdam: NorthHolland, 1987 [10] D Yu, “A system of plane elasticity canonical integral equations and its application”, J Comp Math., vol 4, pp 200–211, 1986 [11] K Feng and Z Shi, “Mathematical theory of elastic structures”, Science Press, 1996 Tài liệu tham khảo 42 [12] G Allaire, F Jouve, and A Toader, “Structural optimization using shape sensitivity analysis and a level-set method”, Journal of Computational Physics, vol 194, pp 363–393, 2004 [13] H Xie, K Ito, Z Li, and J Toivanen, “A finite element method for interface problems with locally modified triangulation.”, Contemporary Mathematics, vol 466, pp 179–190, 2008 [14] C Borgers, “A triangulation algorithm for fast elliptic solvers based on domain imbedding”, SIAM J Numer Anal., vol 27, pp 1187–1196, 1990 [15] T Ích Thịnh and N N Khoa, Phương pháp phần tử hữu hạn Hà Nội, 2007 [16] H XIE, Z LI, and Z QIAO, “A finite element method for elasticity interface problems with locally modified triangulations”, International Journal Of Numerical Analysis And Modeling, vol 8, no 2, pp 189–200, 2011 [17] O Pironneau, Optimal Shape Design for Elliptic Systems Springer, 1984 [18] B Mohammadi and O Pironneau, Applied Shape Optimization for Fluids, 2nd Oxford University Press, 2010 [19] M R Hestenes, “Multiplier and gradient methods”, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 4, no 5, pp 303–320, 1969, ISSN: 1573-2878 [20] J Hadamard, “Mémoire sur le problème d’analyse relatif l’équilibre des plaque élastiques encastrées”, Bull Soc Math France, Tech Rep., 1907 [21] J Sokolowski and J.-P Zolesio, Introduction to Shape Optimization; Shape Sensitivity Analysis, ser Series in Computational Mathematics Heidelberg: Springer, 1992, vol 16 [22] F Murat and S Simon, “Etudes de problèmes d’optimal design”, in Springer Verlag, Berlin, 1976, pp 54–62, Lecture Notes in Computer Science 41 [23] J Simon, “Differentiation with respect to the domain in boundary value problems”, Numer Funct Anal Optim., vol 2, pp 649–687, 1980 [24] G Allaire, Conception optimale de structures, Mathematiques et Applications Springer, Heidelberg, 2006, vol 58 Tài liệu tham khảo 43 [25] A Henrot and M Pierre, Shape Variation and Optimization A Geometrical Analysis European Mathematical Society, 2018 [26] W Yan, A Wang, and Y Ma, “The application of shape gradient for the incompressible fluid in shape optimization”, Mathematical Problems in Engineering, vol 2013, 2013 [27] A Joe, A Niels, A Schousboe, and S Ole, “Topology optimisation for natural convection problems”, International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol 76, no 10, pp 699–721, 2014 [28] X Duan, Y Ma, and R Zhang, “Shape-topology optimization for Navier-Stokes problem using variational level set method”, Journal of Computational and Applied Mathematics, vol 222, pp 487–499, 2008 [29] S P Timoshenko and J N Goodier, Theory of Elasticity McGraw-Hill, New York, 1985 [30] M Sadd, Elasticity: Theory, Application and Numerics Amsterdam: Elsevier Butterworth Heinemann, 2005 ... bị biến dạng HÌNH 2.15: Ống kim loại sau bị biến dạng 21 Chương Giải toán biến dạng đàn hồi phương pháp phần tử hữu hạn 22 • Phát biểu tốn biến dạng đàn hồi • Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn. .. trình đàn hồi dựa phương pháp phần tử hữu hạn số ví dụ mơ số cho phương trình đàn hồi Phần ba vài ứng dụng công nghiệp vật liệu Mã nguồn chương trình phát triển phần mềm Freefem++, dựa phương pháp. .. Trong chương này, ta trình bày lược đồ giải số cho toán biến dạng đàn hồi Phần 2.1 phát biểu phương trình biến dạng đàn hồi Phần 2.2 dẫn dắt đưa toán ban đầu dạng biến phân Phương pháp phần tử