Tính toán ổn định của khung có xét đến biến dạng trượt ngang bằng phương pháp phần tử hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHỊNG ĐỒN VĂN LONG TÍNH TỐN ỔN ĐỊNH CỦA KHUNG CÓ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CƠNG NGHIỆP MÃ SỐ: 60.58.02.08 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐOÀN VĂN DUẨN Hải Phịng, 11 năm 2018 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan đề tài “Tính tốn ổn định khung có xét đến biến dạng trượt ngang phương pháp phần tử hữu hạn” cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Đoàn Văn Long ii LỜI CẢM ƠN Qua trình học tập nghiên cứu, giúp đỡ, cán bộ, giáo viên Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học Sau đại học - trường Đại học Dân lập Hải phịng, tơi hồn thành chương trình học tập nghiên cứu luận văn với đề tài “Tính tốn ổn định khung có xét đến biến dạng trượt ngang phương pháp phần tử hữu hạn” Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Đồn Văn Duẩn tạo điều kiện tận tình giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu đề tài cho nhiều dẫn khoa học có giá trị thường xuyên động viên, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ tơi tìm hiểu nghiên cứu tài liệu liên quan q trình hồn thành luận văn tốt nghiệp Mặc dù nỗ lực cố gắng để hoàn thành luận văn thời gian kiến thức cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi mặt tồn định Tôi mong nhận đóng góp ý kiến từ q Thầy Cơ để hồn thiện tốt luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phịng, ngày tháng Tác giả Đồn Văn Long iii năm 2018 MỤC LỤC Mở đầu Error! Bookmark not defined CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CƠNG TRÌNH 1.1 Khái niệm ổn định 1.2 Lịch sử phát triển tình hình nghiên cứu ổn định cơng trình Thế giới Việt nam 1.2.1 Lịch sử phát triển 1.2.2 Tình hình nghiên cứu ổn định kết cấu cơng trình Thế giới 1.2.3 Tình hình nghiên cứu ổn định kết cấu cơng trình Việt nam 1.3 Ý nghĩa tầm quan trọng việc nghiên cứu ổn định cơng trình 1.3.1 Ý nghĩa việc nghiên cứu ổn định công trình 1.3.2 Tầm quan trọng việc nghiên cứu ổn định cơng trình 1.4 Các phương pháp nghiên cứu ổn định cơng trình 1.4.1 Phương pháp tĩnh (Phương pháp Euler) 1.4.2 Phương pháp lượng 1.4.3 Phương pháp động lực học 10 1.5 Bài toán ổn định uốn dọc phương pháp giải 10 1.6 Thuật tốn đơn giản để giải phương trình đa thức 15 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 19 2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn 19 2.2 Nội dung phương pháp phần tử hữa hạn theo mơ hình chuyển vị 20 2.2.1 Rời rạc hoá kết cấu: 20 2.2.2 Hàm chuyển vị: 21 PTHH bậc hai 22 2.2.4 Chuyển hệ trục toạ độ 27 2.2.5 Ghép nối ma trận độ cứng vectơ tải trọng nút toàn hệ 29 2.2.6 Xử lý điều kiện biên 31 2.2.7 Tìm phản lực gối 32 iv 2.2.8 Trường hợp biết trước số chuyển vị 33 2.3 Cách xây dựng ma trận độ cứng phần tử chịu uốn 34 2.4 Cách xây dựng ma trận độ cứng tổng thể kết cấu 37 CHƯƠNG 3: TÍNH TỐN ỔN ĐỊNH CỦA KHUNG CÓ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 41 3.1 Lý thuyết dầm có xét biến dạng trượt ngang 41 3.2 Bài toán ổn định chịu nén có xét biến dạng trượt ngang 47 3.3 Phương pháp chuyển vị cưỡng 50 3.4 Xác định lực tới hạn chịu nén 51 3.5 Tính ổn định khung chịu nén có xét đến biến dạng trượt ngang theo phương pháp phần tử hữu hạn 52 3.5.1 Ma trận độ cứng phần tử 53 3.5.2 Bài toán ổn định tĩnh 56 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 68 KẾT LUẬN: 68 Danh mục tài liệu tham khảo 69 v MỞ ĐẦU Bài toán ổn định kết cấu giải theo nhiều hướng khác nhau, phần lớn xuất phát từ nguyên lý lượng mà theo kết phụ thuộc nhiều vào cách chọn dạng hệ trạng thái lệch khỏi dạng cân ban đầu Trong công trình xây dựng nay, người ta thường dùng có chiều dài lớn, - vỏ chịu nén điều kiện ổn định miền đàn hồi có tầm quan trọng đặc biệt, địi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ mặt lý thuyết thực nghiệm Cho đến nay, đường lối xây dựng toán ổn định kết cấu chịu uốn thường không kể đến ảnh hưởng biến dạng trượt ngang có kể đến cách đặt vấn đề cách chọn ẩn chưa thật xác nên gặp nhiều khó khăn mà khơng tìm kết tốn cách xác đầy đủ Phương pháp phần tử hữu hạn chia cơng trình thành phần nhỏ gọi phần tử, tính tốn cơng trình dẫn tính tốn phần tử nhỏ sau kết nối phần tử lại với ta lại lời giải cơng trình hồn chỉnh Phương pháp ứng dụng rộng rãi lĩnh vực khoa học kỹ thuật nói chung tính tốn kết cấu xây dựng nói riêng Đối tượng, phương pháp phạm vi nghiên cứu luận văn Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương pháp Phần tử hữu hạn để tính tốn ổn định đàn hồi khung có xét đến biến dạng trượt ngang Do cần thiết việc nghiên cứu ổn định kết cấu khung có xét đến biến dạng trượt ngang, mục đích nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: Mục đích nghiên cứu luận văn “Nghiên cứu ổn định đàn hồi khung có xét đến biến dạng trượt ngang” Nhiệm vụ nghiên cứu luận văn Trình bày tổng quan lý thuyết ổn định cơng trình Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn tốn học kết cấu Trình bày lý thuyết xét biến dạng trượt toán ổn định đàn hồi kết cấu với việc dùng hai hàm chưa biết hàm độ võng y hàm lực cắt Q Dùng phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp chuyển vị cưỡng để giải tốn ổn định khung có xét đến biến dạng trượt, chịu tác dụng tải trọng tĩnh Lập chương trình máy tính điện tử cho toán nêu CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CƠNG TRÌNH Trong chương bàn lý thuyết ổn định cơng trình phương pháp nghiên cứu ổn định cơng trình phương pháp giải tốn ổn định cơng trình 1.1 Khái niệm ổn định Một cách hình dung tốt khái niệm ổn định ta xét trường hợp viên bi cứng mặt cầu cứng lõm lồi, Hình 1.1 (a) (b) Hình 1.1 Các trường hợp ổn định (c) Rõ ràng trường hợp (a), mặt cầu lõm, cân viên bi ổn định kích khỏi vị trí cân ban đầu (đáy cầu) thả trở vị trí đáy cầu lân cận với vị trí (nếu có ma sát) Trong trường hợp (b), mặt cầu lồi, cân khơng ổn định, kích viên bi khỏi vị trí cân ban đầu thả bi viên bi khơng trở lại vị trí ban đầu Trong trường hợp (c), kích viên bi khỏi vị trí cân ban đầu lăn mặt phẳng ngang đến ngừng chuyển động, có vị trí cân khác với trạng thái cân ban đầu Trong trường hợp ta nói trạng thái cân ban đầu phiếm định (khơng phân biệt) Ở ta nói đến trạng thái cân viên bi Suy rộng ta nói trạng thái cân hệ phức tạp, ví dụ trạng thái ứng suất biến dạng, trạng thái nội lực chuyển vị trạng thái lượng Trở lại hình 1.1a Khi lệch khỏi vị trí cân bằng, trọng tâm viên bi lên cao, tăng Trạng thái cân ổn định trạng thái tối thiểu Ở hình 1.1b, lệch với trị số nhỏ, trọng tâm viên bi giảm, giảm Trạng thái cân không ổn định ứng với lớn Hình 1.1c, lệch khỏi vị trí cân bằng, trọng tâm viên bi khơng thay đổi, trạng thái cân phiếm định không phân biệt Như hình 1.1, để biết trạng thái cân hệ có ổn định hay khơng ta phải kích khỏi vị trí cân ban đầu Phương pháp chung để đánh giá ổn định hệ là: Đưa hệ khỏi vị trí cân ban đầu kiểm tra xem có tồn trạng thái cân khơng Nếu tìm trạng thái cân khác với trạng thái cân ban đầu hệ ổn định lực giữ cho hệ trạng thái cân gọi lực tới hạn, trường hợp ngược lại hệ ổn định 1.2 Lịch sử phát triển tình hình nghiên cứu ổn định cơng trình Thế giới Việt nam 1.2.1 Lịch sử phát triển Vấn đề ổn định kết cấu cơng trình nghiên cứu thực nghiệm Piter Musschenbroek công bố năm 1729, đến kết luận “lực tới hạn tỷ lệ nghịch với bình phương chiều dài thanh” Người đặt móng cho việc nghiên cứu lý thuyết tốn ổn định Leonhard Euler qua cơng trình cơng bố vào năm 1744 Tuy nhiên, cho đến cuối kỷ XIX vấn đề cơng trình phát triển mạnh mẽ qua nhũng cống hiến nhà khoa học Giáo sư F.s Iaxinski, Viện sỹ A N Đinnik, Viện sỹ V G Galerkin Cho đến nay, có nhiều cơng trình nghiên cứu lĩnh vực giải tốt yêu cầu thực tế Mặc dù vậy, tồn nhiều vấn đề chưa đứợc giải đến cịn tiếp tục lơi quan tâm nhà nghiên cứu 1.2.2 Tình hình nghiên cứu ổn định kết cấu cơng trình Thế giới Cách khoảng gần 300 năm, Euler tìm công thức xác định lực tới hạn giải toán tượng ổn định xảy uốn dọc chịu nén thời gian dài đề tài thảo luận Các tranh luận kéo dài gần 70 năm Một nguyên nhân tranh luận số trường hợp cơng thức Euler khơng thí nghiệm xác nhận Điều giải thích xác định công thức xác định lực tới hạn Euler giả thiết vật liệu làm việc miền đàn hồi tuân theo định luật Hook Trong trường hợp làm việc miền đàn hồi, việc xác định ứng suất tới hạn lý thuyết vô phức tạp Vì người ta phải tiến hành nghiên cứu thực nghiệm Trên sở kết thực nghiệm F.s Iasinski đưa công thức thực nghiệm để xác định ứng suất tới hạn cho trường hợp Ngoài L.Euler, F S Iasinski nghiên cứu ổn định cho chịu nén làm việc miền đàn hồi cịn có A M Liapunov đưa định nghĩa toán học ổn định chuyển động xem tổng quát bao trùm cho lĩnh vực Euler- Lagrange đưa định nghĩa ổn định cơng trình, độc lập với định nghĩa ổn định chuyển động Liapunov đủ để giải phần lớn tốn ổn định cơng trình Chúng ta đặc biệt quan tâm đến định nghĩa ổn định chuyển động Liapunov gặp toán ổn định hệ khơng bảo tồn, ổn định động ổn định khơng đàn hồi 1.2.3 Tình hình nghiên cứu ổn định kết cấu cơng trình Việt nam Trước kinh tế nghèo nàn nên cơng trình xây dựng chủ yếu xây dựng loại vật liệu gỗ, đá cường độ loại vật liệu tương đối thấp, cấu kiện cần phải có tiết diện lớn nên việc tính tốn ổn định chưa phải vấn đề cấp thiết người kỹ sư thiết kế chưa thu hút quan tâm nhà nghiên cứu Ngày nay, cán khoa học nghiên cứu giảng dạy động lực học, Bảng 3.1 Lực tới hạn khung tính cho hai trường hợp h/l Mỗi khung có phần tử, phần tử lực cắt nút Dãy lực tới hạn Pth Tỷ lệ h/l P1th P2th P3th P4th P5th 1/100 7,770 EJ l2 31,948 EJ l2 74,956 EJ l2 138,677 EJ l2 262,756 EJ l2 1/5 5,795 EJ l2 27,687 EJ l2 70,156 EJ l2 135,504 EJ l2 261,197 EJ l2 Sai số % 25,48 15,39 6,4% 2,29% 0,59% Ta thấy kết với kết phân tích theo giải tích với lực tới hạn kết thay đổi lớn h/l thay đổi, h/l=1/5 lực tới hạn giảm tới 25,48% Ví dụ 3.2: Khung siêu tĩnh bậc Xác định lực tới hạn Pth cho khung chịu lực (hình 3.4) Biết độ cứng uốn EJ=const Chia cột dầm khung làm npt phần tử (hình 3.4) Khi lệch khỏi vị trí cân bằng, lực P gây mơmen uốn M p cột (2) Mp=P(y2  W 0) W0 chuyển vị ngang nút đầu cột 60 Hình 3.4 Khung siêu tĩnh bậc SO DO DAM NGANG nút 21 21 22 22 23 23 nw2 SO DO AN CHUYEN VI CHIEU DAI PHAN TU SO DO AN LUC CAT SO DO NUT DAM 20 SO DO AN GOC XOAY 14 15 16 17 18 19 24 31 nwx2 33 34 35 36 37 38 39 nqx2 25 26 27 28 29 30 SO DO AN GOC XOAY 32 SO DO AN LUC CAT 13 10 11 12 3 2 SO DO AN CHUYEN VI SO DO NUT COT TRAI 1 SO DO COT TRAI nút nw1 nwx1 nqx1 CHIEU DAI PHAN TU Hình 3.5 Đánh số nút, số ẩn Đối với phần tử i cột (cột có lực nén dọc trục P đặt đầu thanh) ta có Mpi = P[WXi  W0] (a) Xi thông số chuyển vị phần tử i Mômen M pi gây biến dạng uốn i thành phần lượng cưỡng ta viết thêm npt x x PWX  dx    PW0 Xi i dx  i i i 1 1 i 1 1 npt  MP i dx   (b) Đối với phần tử dầm ngang (2) ta có Mpi = Pwxi với (i=1npt) (c) Lượng cưỡng toán dầm viết sau Z x npt x npt   M i  i dx    V  i dx  i 1 1 i 1 1 (d) Lượng cưỡng toán cột viết sau Z1  x npt x npt   M i  M Pi  i dx    V  i dx  i 1 1 i 1 1 (e) Điều kiện dừng phiếm hàm lượng cưỡng (d) là: x npt x npt   M i   i dx    V  i dx  i 1 1 i 1 1 npt        x  npt    M i  i  dx    V  i  dx   Z   i 1 1  i 1 1  X i   X i   Z  hay Điều kiện dừng phiếm hàm lượng cưỡng (e) là: 61 (d’) x npt x npt   M i  M Pi   i dx    V  i dx  i 1 1 i 1 1 npt        x  npt Z     M i  M Pi  i dx    V  i dx   i 1 1  i 1 1  X i   X i   Z  hay (e’) Gọi nw1, nw2 số thông số chuyển vị nút cột 1, dầm có chuyển vị; nwx1, nwx2, số thơng số góc xoay nút dầm có góc xoay, nqx1, nqx2, số thông số lực cắt Dựa vào điều kiện ta xây dựng ma trận độ cứng khung có bậc: nxn (n=nw12+nwx12+nqx12), toán n=39 (sau bỏ hàng cột tương ứng có chuyển vị góc xoay không) Bây xét điều kiện liên kết chân cột 1, đầu bên phải dầm, liên kết nút cứng khung điều kiên liên tục góc xoay phần tử Chân cột ngàm nên góc xoay khơng, phiếm hàm mở rộng điều kiện ràng buộc viết sau  dy1    Q1    dx GF  x 0 1  Điều kiện góc xoay đầu cột đầu trái dầm nhau, phiếm hàm mở rộng điều kiện ràng buộc viết sau  dy1     dy    Q1     Q2     dx GF  x l  dx GF  x 0  2  Điều kiện liên tục góc xoay phần tử cột dầm viết sau  dy     dy    Q   Q 0 dx GF dx GF      nut phan tu truoc nut phan tu sau   i  với [i=2(npt-1)], ví dụ ta chia cột dầm thành phần tử nên số điều kiện liên tục góc nút phần tử [i=2(4-1)=6], ứng với 3, 8 Theo phương pháp chuyển vị cưỡng vị trí (nút) dầm, ta cho lệch khỏi vị trí cân chuyển vị y0 Chẳng hạn nút thứ k ta cho chuyển vị cưỡng y0 ta có: 62 w xk  y0  (f) Điều kiện chuyển vị vị trí cột y 0, phiếm hàm mở rộng điều kiện ràng buộc viết sau 9 w xk  y0   19 thừa số Lagrange hai ẩn tốn Như vậy, ma trận a có kích thước (n+9)(n+9) hay [(39+9)x(39+9)] Vậy ta có ma trận độ cứng tổng thể toàn khung [A]=[48x48] Ma trận vế phải B lúc có bậc: [48x1] với giá trị hệ số [B(48)=y0] hệ số lại khơng Giải phương trình [A]X=B ta tìm ẩn số chuyển vị nút phần tử thừa số Largrange Tiếp theo, ta cho thừa số Largrange tương ứng với chuyển vị cưỡng không, trường hợp 9, ta tìm giá trị lực P tương ứng giá trị tới hạn lực nén lên khung Khi chia cột, dầm thành bốn phần tử hình 3.5, ta nhận 9(P) đa thức bậc P, giải phương trình 9(P) =0 theo ẩn số P ta tìm giá trị lực tới hạn Pth, đưa lực tới hạn là: Bảng 3.1 Lực tới hạn khung tính cho hai trường hợp h/l Mỗi khung có phần tử, phần tử lực cắt nút Tỷ lệ Dãy lực tới hạn Pth h/l P1th P2th P3th P4th P5th 1/100 6,030 EJ l2 27,467 EJ l2 68,511 EJ l2 132,590 EJ l2 248,385 EJ l2 1/5 5,901 EJ l2 27,201 EJ l2 68,182 EJ l2 132,295 EJ l2 247,688 EJ l2 Sai số % 2,14 0,97 0,48 0,22 0,28 Ta thấy kết với kết phân tích theo giải tích với ba lực tới hạn kết thay đổi nhỏ h/l thay đổi, h/l=1/3 lực tới hạn giảm lớn 2,14% 63 Ví dụ 3.1: Khung siêu tĩnh bậc ba Xác định lực tới hạn Pth cho khung chịu lực (hình 3.6) Biết độ cứng uốn EJ=const Chia cột dầm khung làm npt phần tử (hình 3.7) Khi lệch khỏi vị trí cân bằng, lực P gây mơmen uốn M p cột (1) Mp=P(y1  W 0) W0 chuyển vị ngang nút đầu cột Hình 3.6 Khung siêu tĩnh bậc ba SO DO DAM NGANG nwx2 33 34 35 36 37 38 39 nqx2 32 SO DO AN LUC CAT CHIEU DAI PHAN TU 31 SO DO AN GOC XOAY SO DO COT PHAI SO DO AN CHUYEN VI SO DO AN LUC CAT 25 26 27 28 29 30 SO DO AN GOC XOAY 24 52 53 54 55 56 57 58 59 nút3 nw3 nwx3 nqx3 SO DO AN CHUYEN VI nw2 44 45 46 47 48 49 50 51 43 21 21 22 22 23 23 40 40 41 41 42 42 nút2 4 3 SO DO NUT COT PHAI SO DO NUT DAM CHIEU DAI PHAN TU SO DO AN LUC CAT 13 14 15 16 17 18 19 20 10 11 12 SO DO AN GOC XOAY 3 2 SO DO AN CHUYEN VI SO DO NUT COT TRAI 1 nút1 nw1 nwx1 nqx1 SO DO COT TRAI CHIEU DAI PHAN TU Hình 3.7 Đánh số nút, số ẩn Đối với phần tử i cột (cột có lực nén dọc trục P đặt đầu thanh) ta có Mpi = P[WXi  W0] (a) Xi thông số chuyển vị phần tử i Mômen M pi gây biến dạng uốn i thành phần lượng cưỡng ta viết thêm npt x x PWXi i dx     PW0 Xi i dx i 1 1 i 1 1 npt  MP i dx   (b) Đối với phần tử dầm ngang (2) cột (3) Mpi = Pwxi với (i=1npt) (c) Lượng cưỡng toán dầm cột viết sau Z x npt x npt   M i  i dx    V  i dx  i 1 1 i 1 1 Lượng cưỡng toán cột viết sau 64 (d) Z1  x npt x npt   M i  M Pi  i dx    V  i dx  i 1 1 i 1 1 (e) Điều kiện dừng phiếm hàm lượng cưỡng (d) là: x npt x npt   M i   i dx    V  i dx  i 1 1 i 1 1 npt        x  npt    M i  i  dx    V  i  dx   hay Z   i 1 1  i 1 1  X i   X i   Điều kiện dừng phiếm hàm lượng cưỡng (e) là: Z  x npt x npt     M  M   dx   i   V  i dx  Pi i i 1 1 i 1 1 npt        x  npt Z     M i  M Pi  i dx    V  i dx   i 1 1  i 1 1  X i   X i   (d’) Z  hay (e’) Gọi nw1, nw2 nw3 số thông số chuyển vị nút cột 1, dầm cột có chuyển vị; nwx1, nwx2, nwx3 số thơng số góc xoay nút dầm có góc xoay, nqx1, nqx2, nqx3, số thông số lực cắt Dựa vào điều kiện ta xây dựng ma trận độ cứng khung có bậc: nxn (n=nw123+nwx123+nqx123), toán n=59 (sau bỏ hàng cột tương ứng có chuyển vị góc xoay không) Bây xét điều kiện liên kết hai chân cột 1, dầm, liên kết nút khớp, nút cứng khung điều kiên liên tục góc xoay phần tử Chân cột ngàm nên góc xoay không, phiếm hàm mở rộng điều kiện ràng buộc viết sau  dy1    Q1    dx GF  x 0 1  dy3    Q3    dx GF  x 0 2  Điều kiện góc xoay đầu cột đầu trái trái dầm không, phiếm hàm mở rộng điều kiện ràng buộc viết sau 65  dy1     dy    Q1     Q2     dx GF  x l  dx GF  x 0  3  Điều kiện góc xoay đầu cột đầu phải dầm nhau, phiếm hàm mở rộng điều kiện ràng buộc viết sau  dy2    dy     Q2     Q3     dx GF  x l  dx GF  x l  4  Điều kiện góc chuyển vị ngang đầu cột nhau, phiếm hàm mở rộng điều kiện ràng buộc viết sau 5  y1  xl   y3  xl   Điều kiện liên tục góc xoay phần tử cột 1, dầm viết sau  dy     dy    Q   Q 0  dx GF  nut phan tu truoc  dx GF  nut phan tu sau  i  với [i=3(npt-1)], ví dụ ta chia hai cột 1, dầm thành phần tử nên số điều kiện liên tục góc nút phần tử [i=3(4-1)=9], ứng với 6, 14 Theo phương pháp chuyển vị cưỡng vị trí (nút) dầm, ta cho lệch khỏi vị trí cân chuyển vị y0 Chẳng hạn nút thứ k ta cho chuyển vị cưỡng y0 ta có: w xk  y0  (f) Điều kiện chuyển vị vị trí cột y 0, phiếm hàm mở rộng điều kiện ràng buộc viết sau 15 w xk  y0   115 thừa số Lagrange hai ẩn tốn Như vậy, ma trận a có kích thước (n+15)(n+15) hay [(59+15)x(59+15)] Vậy ta có ma trận độ cứng tổng thể toàn khung [A]=[74x74] 66 Ma trận vế phải B lúc có bậc: [74x1] với giá trị hệ số [B(74)=y0] hệ số lại khơng Giải phương trình [A]X=B ta tìm ẩn số chuyển vị nút phần tử thừa số Largrange Tiếp theo, ta cho thừa số Largrange tương ứng với chuyển vị cưỡng không, trường hợp 15, ta tìm giá trị lực P tương ứng giá trị tới hạn lực nén lên khung Khi chia cột, dầm thành bốn phần tử hình 3.7, ta nhận 15(P) đa thức bậc 12 P, giải phương trình 15(P) =0 theo ẩn số P ta tìm 12 giá trị lực tới hạn Pth, đưa lực tới hạn là: Bảng 3.1 Lực tới hạn khung tính cho hai trường hợp h/l Mỗi khung có phần tử, phần tử lực cắt nút Tỷ lệ h/l Dãy lực tới hạn Pth P1th P2th P3th P4th P5th 1/100 14,592 EJ l2 27,877 EJ l2 70,934 EJ l2 133,062 EJ l2 250,952 EJ l2 1/3 13,455 EJ l2 27,369 EJ l2 70,800 EJ l2 132,358 EJ l2 250,707 EJ l2 Sai số % 7,79 1,82 0,19 0,53 0,09 Ta thấy kết với kết phân tích theo giải tích với ba lực tới hạn kết thay đáng kể h/l thay đổi, h/l=1/3 lực tới hạn giảm tới 7,79% 67 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN: Qua kết nghiên cứu tác giả rút số kết luận sau: Tác giả áp dụng thành công phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp chuyển vị cưỡng toán khung chịu uốn dọc, có xét đến biến dạng trượt ngang Khi chia khung thành bốn phần tử nhận ba lực tới hạn hoàn tồn xác so với kết giải phương pháp truyền thống Nếu muốn tìm nhiều kết xác ta chia thành nhiều phần tử Những nghiên cứu ổn định khung, có tiết diện khơng đổi cho thấy: Lực tới hạn Euler khung xét biến dạng trượt ngang (trường hợp h/l=l/3; l/5 ) thường nhỏ thua so với trường hợp không xét biến dạng trượt ngang (trường hợp h/l=l/100) Lực tới hạn nhận khung hai trường hợp có xét khơng xét biến dạng trượt sai khác đáng kể, có trường hợp lên tới 25% KIẾN NGHỊ: Có thể dùng kết nghiên cứu luận văn làm tài liệu tham khảo, nghiên cứu học tập, ứng dụng thực tế tính tốn kết cấu cơng trình 68 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt Hà Huy Cương (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, IV/ Tr 112 118 [1] Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phương Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [2] Nguyễn Phương Thành (2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suet-biến dạng nhiều lớp chịu tải trọng động có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [3] Vương Ngọc Lưu (2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng sàn Sandwich chịu tải trọng tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [4] Trần Hữu Hà (2006), Nghiên cứu toán tương tác cọc tác dụng tải trọng, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [5] Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp Tính tốn hệ dây mái treo, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [6] Vũ Hoàng Hiệp (2007), Nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng dầm nhiều lớp chịu tải tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Hà nội [7] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [8] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [9] Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình(2006), Giáo trình ổn định cơng trình, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [10] Vũ Hồng Hiệp (2008), Tính kết cấu có xét biến dạng trượt, Tạp chí xây dựng số [11] Đoàn Văn Duẩn, Nguyễn Phương Thành (2007), Phương pháp tính tốn ổn định thanh, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr41-Tr44) 69 [12] Đồn Văn Duẩn (2007), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss tốn ổn định cơng trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [13] Đoàn Văn Duẩn (2008), Phương pháp tính tốn ổn định khung, Tạp chí Xây dựng số 01 (Tr35-Tr37) [14] Đoàn Văn Duẩn (2008), Nghiên cứu ổn định uốn dọc có xét biến dạng trượt, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr33-Tr37) [15] Đoàn Văn Duẩn (2009), Phương pháp nghiên cứu ổn định tổng thể dàn, Tạp chí Xây dựng số 03 (Tr86-Tr89) [16] Đoàn Văn Duẩn (2010), Phương pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu ổn định uốn dọc thanh, Tạp chí kết cấu Cơng nghệ xây dựng, số 05, Qúy IV(Tr30-Tr36) [17] Đoàn Văn Duẩn (2011), Nghiên cứu ổn định đàn hồi hệ thanh, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [18] Đoàn Văn Duẩn (2012), Phương pháp tính tốn dây mềm, Tạp chí kết cấu công nghệ Xây dựng số 09, Qúy II (Tr56-Tr61) [19] Đoàn Văn Duẩn (2014), Phương pháp chuyển vị cưỡng giải toán trị riêng véc tơ riêng, Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr82-Tr84) [20] Đoàn Văn Duẩn (2015), Phương pháp nghiên cứu ổn định động lực học thanh, Tạp chí Xây dựng số 01 (Tr86-Tr88) [21] Đồn Văn Duẩn (2015), Bài tốn học kết cấu dạng tổng quát, Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59-Tr61) [22] Đoàn Văn Duẩn (2015), Phương pháp so sánh nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ dầm, Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr56-Tr58) [23] Đồn Văn Duẩn (2015), Tính tốn kết cấu khung chịu uốn phương pháp so sánh, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr62-Tr64) [24] Trần Thị Kim Huế (2005), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật 70 [25] Nguyễn Thị Liên (2006), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss tốn động lực học cơng trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [26] Vũ Thanh Thủy (2009), Xây dựng toán dầm xét đầy đủ hai thành phần nội lực momen lực cắt Tạp chí Xây dựng số [27] Vũ Thanh Thủy (2009), Dao động tự dầm xét ảnh hưởng lực cắt Tạp chí Xây dựng, số [28] Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Người dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội II Tiếng Pháp [29] Robert L’Hermite (1974), Flambage et Stabilité - Le flambage élastique des pièces droites, édition Eyrolles, Paris III Tiếng Anh [30] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability, McGraw-Hill Book Company, Inc, New york – Toronto – London, 541 Tr [31] William T.Thomson (1998), Theory of Vibration with Applications (Tái lần thứ 5) Stanley Thornes (Publishers) Ltd, 546 trang [32] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part one, Prentice – Hall International, Inc, 484 trang [33] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice – Hall International, Inc, 553 trang [34] Ray W.Clough, Joseph Penzien(1993), Dynamics of Structures (Tái lần thứ 2), McGraw-Hill Book Company, Inc, 738 trang [35] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang 71 [36] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1964) [37] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity, McGrawHill, New york (Bản dịch tiếng Nga, G Shapiro chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1979), 560 trang [38] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge Press Lt [39] Lars Olovsson, Kjell Simonsson, Mattias Unosson (2006), Shear locking reduction in eight-node tri-linear solid finite elements, J ‘Computers @ Structures’,84, trg 476-484 [40] C.A.Brebbia, Techniques Theory J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element and Applications in Engineering Nxb Springer – Verlag.(Bản dịch tiếng Nga, 1987) [41] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood Cliffs, New – Jersey 07632 [42] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering University of California at Berkeley (2002) Three – Dimensional Static and Dynamic Analysis of structures, Inc Berkeley, California, USA Third edition, Reprint January [43] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi (1971) “Incompatible Displacement Models”, Proceedings, ORN Symposium on “Numerical and Computer Method in Structural Mechanics” University of Illinois, Urbana September Academic Press [44] Strang, G (1972) “Variational Crimes in the Finite Element Method” in “The Mathematical Foundations of the Finite Element Method” P.689 -710 (ed A.K Aziz) Academic Press 72 [45] Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) “The isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis”, Proc Conf “Recent Advances in Stress Analysis” Royal Aeronautical Society London [46] Kolousek Vladimir, DSC Professor, Technical University, Pargue (1973) Dynamics in engineering structutes Butter worths London [47] Felippa Carlos A (2004) Introduction of finite element methods Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University of Colorado Boulder, Colorado 80309-0429, USA, Last updated Fall [48] Wang C.M, Reddy J.N, Lee K.H.( 2000), Shear deformable beems and plates – Relationships with Classical Solutions ELSEVIER, Amsterdam – Lausanne- New York – Oxford –Shannon – Singapore – Tokyo [49] Barbero Ever J, Department of Mechanica & Aerospace Engineering, West Virgina University, USA (1999), Introduction to Composite Materials Design Taylor and Francis [50] Decolon C (2002) Analysis of Composite Structures Hermes Penton, Ltd, UK [51] Fu-le Li, ZHI-zhong Sun, Corresponding author, Department of Mathematics, Shoutheast University, Nanjing 210096, PR China (2007) A finite difference scheme for solving the Timoshenko beem equations with boundary feedback Journal of Computational and applied Mathematics 200, 606 – 627, Elsevier press Avaiable online at www.sciencedirect.com [52] Khaji N., Corresponding author, Shafiei M., Civil Engineering DepartmentTarbiat Modares University, P O Box 14155-4838, Tehran, Tran ((2009)) Closed - form solutions for crack detection problem of Timoshenko beems with various boundary conditions International Journal of Mechanical Sciences 51, 667-681 Contents lists available at Science Direct journal hompage: www.elsevier.com/locate/ijmecsci 73 [53] Antes H Institute of Applied Mechanics, University Carolo Wilhelmina, D-38023Braunschweig, Germany (2003) Fundamental solution and integralequations for Timoshenko beems Computers and Structures 81, 383396 Pergamon press Available online at www.sciencedirect.com [54] Nguyen Dinh Kien (2007) Free Vibration of prestress Timoshenko beems resting on elastic foundation Viet nam Journal of Mechanics, VAST, Vol.29, No 1,pp 1-12 [55] Grawford F (1974) Waves, Berkeley physics course, volume McGraw – hill Book Company 74 ... hàm có sẵn Matlab 18 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp số đặc biệt có hiệu để tìm dạng gần hàm chưa biết miền xác định. .. 51 3.5 Tính ổn định khung chịu nén có xét đến biến dạng trượt ngang theo phương pháp phần tử hữu hạn 52 3.5.1 Ma trận độ cứng phần tử 53 3.5.2 Bài toán ổn định tĩnh ... cứng phần tử chịu uốn 34 2.4 Cách xây dựng ma trận độ cứng tổng thể kết cấu 37 CHƯƠNG 3: TÍNH TỐN ỔN ĐỊNH CỦA KHUNG CĨ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 41