Phương trình truyền nhiệt ngược với nguồn lipschitz địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thái Bảo PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thái Bảo PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 i LỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin kính gửi lời cám ơn sâu sắc chân thành tới Thầy, GS TS Đặng Đức Trọng, Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh Thầy tận tình giúp đỡ, bảo dẫn dắt thời gian học tập làm luận văn Tôi xin kính gửi lời cám ơn đến q Thầy, Cơ Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy tơi suốt bậc đại học cao học Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn – Tin, Phịng Sau đại học – Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy, Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho tơi hồn thành luận văn cách hoàn chỉnh Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln quan tâm động viên giúp tơi hồn thành luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2015 Học viên Trần Thái Bảo ii MỤC LỤC Trang LỜI CÁM ƠN i MỤC LỤC ii MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN Chương PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG TRÊN TỒN KHƠNG GIAN  n 15 Chương PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG TRÊN NỬA KHƠNG GIAN TRÊN  n−1 ×  + 47 Chương BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG 64 KẾT LUẬN 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 MỞ ĐẦU Tốn học có nguồn gốc từ thực tiễn có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn Ngày nay, ứng dụng toán học đóng vai trị đặc biệt quan trọng ngành khoa học, công nghệ, sản xuất đời sống Mặc dù xã hội ngày phát triển, có nhiều phát minh đời tốn học khơng tụt hậu, đáp ứng yêu cầu xã hội, đặc biệt ứng dụng toán học ngày mở rộng nhanh chóng trở thành công cụ thiết yếu cho nhiều ngành khoa học khác Phương trình truyền nhiệt phương trình cổ điển có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật nghiên cứu nhiều Trong luận văn này, chúng tơi quan tâm đến tốn phương trình truyền nhiệt ngược thời gian Đây loại tốn tìm nhiệt độ thời điểm ban đầu từ nhiệt độ thời điểm cuối Cụ thể, chúng tơi xét tốn sau Cho T số thực dương cho f :  n × [ 0, T ] ×  hàm liên tục thỏa điều kiện f ( x, t , ) = Chúng tơi xét tốn tìm hàm u ( x, t ) cho ut =∆u + f ( x, t , u ( x, t ) ) , x ∈  n , < t < T , (1) u= ( x, T ) g ( x ) , x ∈  n , (2) g hàm cho Bài toán (1)-(2) trường hợp cụ thể toán Parabolic ngược thời gian wt Aw + h ( t , w ( t ) ) , = (3) w (T ) = ϕ , (4) A toán tử tự liên hợp, xác định không gian D ( A ) trù mật khơng gian Hilbert H Bài tốn (3)-(4) tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa ba trường hợp sau xảy ra: i) Bài tốn khơng có nghiệm, ii) Bài tốn có nghiệm nghiệm khơng nhất, iii) Bài tốn có nghiệm nghiệm khơng ổn định Do đó, phép chỉnh hóa cho Bài tốn (3)-(4) cần đưa Đã có nhiều nghiên cứu Bài tốn (3)-(4), ví dụ báo [1], [8], [10], [14], [21], [22] Trong tất báo bên trên, ngoại trừ báo Ames-Hughes (xem [1]), ta thấy giả thiết quan trọng h (t, u ) − h (t, v ) H ≤ k u−v H Điều có nghĩa h hàm Lipschitz toàn cục theo biến u Các kết cho trường hợp Lipschitz địa phương Gần đây, [23], tác giả có đưa phương pháp chỉnh hóa dựa số điều kiện h ( t , ) , có điều kiện h (t, u ) − h (t, v ) với u H , v H H ≤ k (M ) u − v H , ≤ M , M số thực dương cho trước Bài toán sau áp dụng cho trường hợp h ( u ) = u u H Tuy nhiên, điều hạn chế cho nhiều trường hợp, chẳng hạn h ( u ) = au − bu ( b > ) phương trình loại Ginzburg-Landau (xem [23]) Do đó, chúng tơi tìm phương pháp chỉnh hóa khác cho tốn nguồn hàm Lipschitz địa phương Như vậy, chọn đề tài: “Phương trình truyền nhiệt ngược với nguồn Lipschitz địa phương” để thực luận văn thạc sĩ Dựa báo [24], luận văn trình bày chỉnh hóa cho tốn (1)-(2) số toán tương tự Bằng cách xây dựng xấp xỉ cho hàm f , sau chúng tơi sử dụng phương pháp Fourier phương pháp tựa biên để đưa nghiệm xấp xỉ tốt cho toán Từ đó, nghiệm chỉnh hóa xây dựng với đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm xác đưa Tương tự, chúng tơi giải cho số kết mở rộng khác tốn Luận văn trình bày thành chương Chương 1: Trình bày số định nghĩa, định lý công thức quan trọng áp dụng luận văn Chương 2: Tập trung trình bày toán nhiệt ngược với nguồn Lipschitz địa phương không gian  n Bằng phương pháp trên, chúng tơi xây dựng tốn xấp xỉ nghiệm cho toán trên, đồng thời đưa kết đánh giá sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ Chương 3: Sẽ trình bày toán truyền nhiệt ngược với nguồn Lipschitz địa phương nửa khơng gian  n−1 ×  + Chương 4: Trình bày tốn parabolic ngược thời gian với nguồn Lipschitz địa phương Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN 1.1 Không gian hàm Định nghĩa 1.1.1 Không gian L2 (  n ) tập hợp tất hàm f :  n →  bình phương khả tích  n , tức ∫ f dx < +∞ Trong n L2 (  n ) , ta không phân biệt hàm hầu khắp nơi, L2 (  n ) khơng gian vectơ định chuẩn với chuẩn f  f = ∫ f d µ L2 (  n ) n không gian Banach Định nghĩa 1.1.2 Không gian L∞ (  n ) tập hợp tất hàm f :  n →  bị chặn hầu khắp nơi  n Trong L∞ (  n ) , ta không phân biệt hàm hầu khắp nơi, L∞ (  n ) không gian vectơ định chuẩn với chuẩn f ∞ { } ess sup f ( x ) = inf k > : f ( x ) k hầu khắp nơi n = x∈  n Định nghĩa 1.1.3 Cho H không gian vectơ, H xác định hàm hai biến ( x, y )  x, y , gọi tích vơ hướng thỏa: i x, y = y, x ii x + y, z = x, z + y, z x, y λ x, y , ∀λ ∈ R iii λ= iv x, x > 0, x ≠ x, x = x = ( Với chuẩn x = x, x H H , ) không gian định chuẩn Nếu ( H , ) đầy đủ ta gọi H khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4 Cho G mở, G ⊂  n Không gian L2 ( G ) tập hợp tất hàm f : G →  bình phương khả tích, với tích vơ hướng f , g = ∫ f g dx L2 ( G ) với tích vơ hướng không gian G Hilbert Không gian Sobolev H ( G ) không gian Hilbert hàm f : G →  có ,g f , ∇f bình phương khả tích, với tích vơ hướng f= ∫ ( f g + ∇f ∇g ) dx G Không gian Sobolev H ( G ) không gian Hilbert hàm f : G →  cho Dαf , với α = 0, 1, bình phương khả tích, với tích vơ hướng f , g = ∫ ∑ Dαf Dgα dx G α =0 Định nghĩa 1.1.5 (xem [13, tr.13]) Cho X không gian Banach với chuẩn Không gian L2 ( 0, T ; X ) gồm tất hàm đo T ∫ u : ( 0, T ) → X thỏa điều kiện u ( t ) dt < +∞ Khi L2 ( 0, T ; X ) không gian vectơ định chuẩn với chuẩn T u= L2 0, T ; L2 R n ( ( )) ∫ u ( t ) dt < +∞ ( ( )) tập hợp 2 n Cụ thể với X = L2 (  n ) Không gian định chuẩn L 0, T ; L  tất hàm đo u : ( 0, T ) → L2 (  n ) với chuẩn T ∫ = u L2 0, T ; L2 n ( ( )) u (t ) ( ) L2 R n dt < +∞ Định nghĩa 1.1.6 Cho X không gian Banach với chuẩn Không gian L∞ ( 0, T ; X ) gồm tất hàm đo u : ( 0, T ) → X bị chặn hầu khắp nơi X L∞ ( 0, T ; X ) không gian định chuẩn, với chuẩn u L∞ ( 0, T ; X ) = ess sup u ( t ) t∈( 0, T ) { X = inf a ∈ R : u ( t ) X } a hầu khắp nơi trªn ( 0, T ) < +∞ Định nghĩa 1.1.7 Cho X không gian Banach với chuẩn Không gian C ([ 0, T ]; X ) không gian định chuẩn, gồm tất hàm liên tục u : [ 0, T ] → X với chuẩn u= max u ( t ) < ∞ C ([ 0, T ]; X ) 0≤t ≤T ( ( )) n Cụ thể X = L2 (  n ) khơng gian C [ 0, T ]; L  không gian định chuẩn với chuẩn = u C [0, T ]; L2 n u ( t ) L2 n < ∞ ( )) max ( ( ) 0≤ t ≤T Cho X không gian Hilbert Không gian C ([ 0, T ]; X ) không gian Banach Không gian L2 ( 0, T ; X ) với chuẩn u L2 ( 0, T ; X ) không gian Hilbert ( ( )) không gian Hilbert ( xem [13, tr.13]) Không 2 n Không gian L 0, T ; L  ( ( ) ) không gian Banach n gian C [ 0, T ]; L  ... Chương PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG TRÊN TỒN KHƠNG GIAN  n 15 Chương PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG TRÊN NỬA...f , với phương pháp Fourier phương pháp tựa biên để chỉnh hóa tốn ngược cho phương trình truyền nhiệt với nguồn Lipschitz địa phương Luận văn đạt kết sau Đầu tiên, dựa kết báo [24], chúng tơi trìn... ) phương trình loại Ginzburg-Landau (xem [23]) Do đó, chúng tơi tìm phương pháp chỉnh hóa khác cho tốn nguồn hàm Lipschitz địa phương Như vậy, chọn đề tài: ? ?Phương trình truyền nhiệt ngược với