Chỉnh hóa bài toán truyền nhiệt ngược với nguồn phi tuyến

Header Page of 16 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Nhi CHỈNH HÓA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Footer Page of 16 Header Page of 16 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Nhi CHỈNH HÓA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Footer Page of 16 Header Page of 16 LỜI CÁM ƠN Trong trình làm luận văn, nhận giúp đỡ nhiệt tình từ Thầy hướng dẫn Đặng Đức Trọng, Thầy nhận xét góp ý cho nhiều để hoàn thành tốt đề tài luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy xin cảm ơn ban quản lý thư viện nhà trường, số thầy cô khoa tạo điều kiện thuận lợi cho việc mượn tài liệu tham khảo Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên suốt thời gian qua Do thời gian có hạn trình độ thân nhiều hạn chế, luận văn chắn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn học viên Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2013 Học viên thực Nguyễn Thị Hồng Nhi Footer Page of 16 Header Page of 16 MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức không gian hàm 1.1.1 Không gian Lp, ≤ p ≤ ∞ 1.1.2 Không gian Sobolev 1.2 Một số bất đẳng thức quan trọng 11 1.2.1 Bất đẳng thức Holder 11 1.2.2 Bất đẳng thức Gronwall 12 1.3 Biến đổi Fourier 13 1.4 Nguyên lý ánh xạ co Banach 18 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP MỘT 21 2.1 Định nghĩa 21 2.2 Biến đổi Fourier toán (2.1) 21 2.3 Tính không chỉnh toán (2.2) 22 2.4 Chỉnh hóa toán (2.2) 23 2.4.1 Các kết 24 2.4.2 Tính chỉnh toán ( P ) 26 ϕ 2.4.3 Sự chỉnh hóa ước lượng sai số 32 CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP MỘT VỚI BIẾN KHÔNG GIAN HAI CHIỀU 40 3.1 Định nghĩa 40 3.2 Biến đổi Fourier toán (3.1) 40 3.3 Tính không chỉnh toán (3.2) 42 3.4 Chỉnh hóa toán (3.2) 43 3.4.1 Các kết 44 3.4.2 Tính chỉnh toán ( P ) 47 ' ϕ 3.4.3 Sự chỉnh hóa ước lượng sai số 53 Footer Page of 16 Header Page of 16 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 Footer Page of 16 Header Page of 16 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU x Biến không gian t Biến thời gian RN Không gian Euclide N chiều u Hàm nhiệt hàm tổng quát ut Đạo hàm cấp u theo biến t ux Đạo hàm cấp u theo biến x u xx Đạo hàm cấp u theo biến x f Môđun f χ Aε ( p ) Hàm đặc trưng tập Aε H m (Ω) Không gian Sobolev cấp m Ω C ([ 0, T ] ; X ) {u : [0, T ] → X Chuẩn H ( R ) Chuẩn L2 ( R ) } đo được, liên tục theo t max t u ( t ) < ∞ ( ) |||.||| Chuẩn C [ 0, T ] ; H ( R )  Kết thúc chứng minh Footer Page of 16 Header Page of 16 MỞ ĐẦU Bài toán ngược hướng nghiên cứu phát triển cách mạnh mẽ nhiều năm gần đây, với ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác như: Vật lý, Hệ đồng nhất, Trắc địa…Đặc trưng phổ biến toán tính không chỉnh mà đặc biệt tính không ổn định nghiệm Ở đây, tính không chỉnh toán hiểu theo nghĩa Hadamard, tức có ba trường hợp sau xảy ra: Nghiệm không tồn Nghiệm (nếu tồn tại) không Nghiệm không ổn định (tức nghiệm không phụ thuộc liên tục vào liệu) Chính đặc điểm mà nhà khoa học phải tập trung tìm phương pháp để chỉnh hóa nó, nghĩa tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào liệu để ứng dụng tính số toán cụ thể Trong khoảng 40 năm gần đây, có nhiều tác giả nghiên cứu toán nhiệt ngược thời gian tuyến tính Các tác giả Lattes-Lions [11], Miller [12], Đặng Đức Trọng Nguyễn Huy Tuấn [17] nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa gọi phương pháp tựa khả nghịch cách làm nhiễu phương trình Các tác giả Clark Oppenheiner [8] đưa phương pháp chỉnh hóa khác cách làm nhiễu giá trị cuối (phương pháp giá trị tựa biên) Gần đây, toán nghiên cứu nhiều tài liệu Sau năm 2000, ta tìm thấy vài báo liên quan đến toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến Trong tài liệu [6, 7], tác giả đưa kết tính ổn định cấu trúc cho phương trình Ginzburg-Landau Các tác giả Phạm Hoàng Quân Nguyễn Dũng, tài liệu [13], nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa cách biến đổi toán thành toán cực tiểu phiếm hàm thích hợp Trong tài liệu [14], tác giả sử dụng biến đổi Fourier để có phương trình tích phân không gian tần số Bằng cách gây nhiễu trực tiếp phương trình tích phân, họ xây dựng phương pháp chỉnh hóa Trong tài liệu [16], tác giả kết hợp hai phương pháp tựa khả nghịch tựa giá trị biên để chỉnh hóa toán Và gần đây, tài liệu [19], tác giả sử dụng phương pháp cắt ngắn chuỗi Fourier để chỉnh hóa toán, phương pháp chỉnh hóa hiệu Tuy nhiên, tài liệu đề cập đến việc chỉnh hóa toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp Bởi vậy, mạnh dạn chọn đề tài “Chỉnh hóa toán truyền nhiệt ngược với nguồn phi tuyến” với mục đích trình bày Footer Page of 16 Header Page of 16 chỉnh hóa toán cách tốt Trong luận văn, tham khảo chi tiết báo “Regularization of a backward heat transfer problem with a nonlinear source”, xem [20] Ý tưởng báo từ điều kiện cuối u ( x, T ) , ta xét toán tìm hàm u thỏa = ut − u xx f ( x, t , u ( x, t ) , u x ( x, t ) ) , ( x, t ) ∈ R × ( 0, T ) Bài toán không chỉnh ta dùng biến đổi Fourier để phương trình tích phân không gian tần số Bằng việc cắt ngắn tần số cao ta cho nghiệm chỉnh hóa Các ước lượng sai số cho trước Về bố cục, phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương với nội dung tóm tắt sau: • Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cần thiết sử dụng chương luận văn Các kiến thức nhắc tới bao gồm:  Một số kiến thức không gian hàm  Một số bất đẳng thức quan trọng  Biến đổi Fourier  Nguyên lý ánh xạ co Banach • Chương Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp Chương chương luận văn Dựa vào nội dung báo, luận văn trình bày phân tích nội dung cách chi tiết rõ ràng vấn đề sau:  Định nghĩa toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp (bài toán (2.1)) Cho T số dương, ta xét toán tìm nghiệm u ( x, t ) , ( x, t ) ∈ R × [0, T ] , thỏa hệ ut − u xx f ( x, t , u ( x, t ) , u x ( x, t ) ) , =  u ( x, T ) = ϕ ( x ) , ( x, t ) ∈ R × ( 0, T ) ϕ ( x ) , f ( x, t , y, z ) hàm cho trước Bài toán gọi toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp  Biến đổi Fourier toán (2.1) Footer Page of 16 Header Page of 16 Bằng cách sử dụng biến đổi Fourier, ta đưa toán (2.1) toán (2.2) sau: T T −t p s −t p  = u ( p, t ) e( ) ϕ ( p ) − ∫ e( ) F u ,u x ( p , s ) ds , t g ( p, t ) = 2π ∫ +∞ −∞ g (ξ , t ) e − ipξ dξ , Fu ,v ( x, t ) := f ( x, t , u ( x, t ) , v ( x, t ) )  Chứng minh tính không chỉnh toán (2.2) Ở toán (2.2), ta ý nhân tử xấu e( Vì e( s −t ) p T −t ) p , e( s −t ) p , 0 cε nên ta có e ( −2( β + t ) m + n   ) ≤ exp −2 β + t c = ( ( ) ε ) ε α ( β +t )  v× cε = 21 α ln  ε1     Suy I1 ≤ ε α ( β +t ) ∫ (1 + m + n2 ) e ( 2( β + t ) m + n ) u m, n, t dmdn ≤ ε α ( β +t ) A ( ) R2 Ước lượng I2 Ta ý I2 = ∫ (1 + m R T +n 2 ) ∫e ∫∫ ( 1+ m + n e 2 ( ( s − t )( m + n ) )  χ Aε ( m, n ) F ( m, n, s ) − F u ,u x ,u y ( m, n, s ) ds dmdn u ε ,u ε ,u ε t T = ( s − t )( m + n ) x y )  χ Aε ( m, n ) F ( m, n, s ) − F u ,u ,u ( m, n, s ) ds dmdn u ε ,u ε ,u ε R2 t x y x y Từ bổ đề 2’, ta có I ≤ bε ε tα T ∫ ∫ε − sα R2 t ≤ (T − t ) bε ε tα T ∫ ∫ε R2 t Footer Page 57 of 16 ( )  F ( m, n, s ) − F u ,u x ,u y ( m, n, s ) ds dmdn u ε ,u ε ,u ε −2 sα x y  F ( m, n, s ) − F u ,u x ,u y ( m, n, s ) dsdmdn u ε ,u ε ,u ε x y 55 Header Page 58 of 16 (Bất đẳng thức Holder) ≤ (T − t ) bε ε tα T −2 sα (.,., s ) − F u ,u ,u ( ,., s ) ds ∫ ε F u ε ,u ε ,u ε x x y y t Từ bổ đề 1’, suy I ≤ 2k (T − t ) bε ε 2 tα T −2 sα ε ∫ ε u (.,., s ) − u (.,., s ) ds t Suy u (.,., t ) − u (.,., t ) ≤ ε ε α ( β +t ) A + 2k (T − t ) bε ε 2 tα T ∫ε −2 sα u ε (.,., s ) − u (.,., s ) ds t Nhân hai vế cho ε −2tα , ta ε −2 tα u (.,., t ) − u (.,., t ) ≤ ε ε α ( β −t ) T A + 2k Tbε ∫ ε −2 sα u ε (.,., s ) − u (.,., s ) ds 2 t ≤ε α ( β −T ) T A + 2k Tbε ∫ ε −2 sα u ε (.,., s ) − u (.,., s ) ds 2 t Áp dụng bất đẳng thức Gronwall cho hàm ε −2tα u ε (.,., t ) − u (.,., t ) , ta có u ε (.,., t ) − u (.,., t ) ≤ Aε α ( β −T + t ) exp ( 2bε k 2T (T − t ) ) Mặt khác exp ( 2bε k 2T (T − t ) )     = exp   + 2α ln    k 2T (T − t )   ε    =e k 2T (T −t )     v× bε = + α ln     ε   ε −2α k T (T −t ) Suy u ε (.,., t ) − u (.,., t ) ≤ Aε ( α β −T + t − k 2T (T −t ) ) e k T (T −t ) Từ đây, ta có u ε (.,., t ) − u (.,., t ) ≤ Aε Định lý chứng minh ) e k T (T −t )  Nhận xét 3.4.4 Footer Page 58 of 16 ( α β −T + t − k 2T (T −t ) 56 Header Page 59 of 16 ( ) Nếu β = (3.10), f ≡ ta có giả thiết trước u (.,.,0 ) ∈ H R , điều kiện (3.10) hợp lý Chứng minh Trong trường hợp này, ta có e ( t m2 + n2 ) u m, n, t = u m, n,0 ( ) ( ) Thật vậy, ta có ( T − t )( m = u ( m, n, t ) e + n2 ) ϕ m, n − e( s −t )( m + n ) F  ( m, n, s ) ds ( ) ∫ u ,u ,u T 2 x y t Suy ( e t m2 + n2 T m +n s m +n T (m +n ) ) u m, n, t = e ϕ ( m, n ) ( ) e ( ) ϕ ( m, n ) − ∫ e ( ) F u ,u ,u ( m, n, s ) ds = T 2 2 x y t  ≡ ), (Vì f ≡ nên F u ,u x ,u y mà T (m +n ) s( m u ( m, n,0 ) = e ϕ ( m, n ) − ∫ e T 2 + n2 T (m +n ) )F  ( m, n, s ) ds = e ϕ ( m, n ) , u ,u ,u x y nên e ( t m2 + n2 ) u m, n, t = u m, n,0 ) ( ) ( ( ) Từ đây, u ( x, y,0 ) ∈ H R nên ta có ∫ (1 + m + n2 ) e ( t m2 + n2 ) u m, n, t dmdn ( ) R2 ∫ (1 + m = + n ) u ( m, n,0 ) dmdn R2 + m + n u (.,.,0 ) = u (.,.,0 ) = (vì u (.,.,0 ) = u (.,.,0 ) + u x (.,.,0 ) + u y (.,.,0 ) 2 = u (.,.,0 ) + ux (.,.,0 ) + uy (.,.,0 ) 2 = ∫ u ( m, n,0 ) dmdn + R2 Footer Page 59 of 16 ∫ imu ( m, n,0 ) dmdn + R2 ∫ R2 57 inu ( m, n,0 ) dmdn Header Page 60 of 16 = ∫ (1 + m + n ) u ( m, n,0 ) dmdn = + m + n u (.,.,0 ) ) R2 Do điều kiện (3.10) hợp lý  Nếu β > T + 2k 2T limε →0 u (.,.,0 ) − u ε (.,.,0 ) = ) ( Chứng minh Vì β > T + 2k 2T nên α β − T − 2k 2T > , từ suy limε →0 Aε ( α β −T − k 2T ) exp k 2T = ( ) Do limε →0 u (.,.,0 ) − u ε (.,.,0 ) =  Điều chứng tỏ β > T + 2k 2T nghiệm xấp xỉ tốt t = Nếu β = u ε ( x, y, t ) xấp xỉ tốt u ( x, y, t ) −T + 2t − 2k 2T (T − t ) > , tức T + 2k 2T T + 2k 2T Giả sử toán (3.2) có nghiệm ( ) u ∈ C [ 0, T ] ; H ( R ) , thỏa   ( β + t )( m + n )  = A : sup  ∫ (1 + m + n ) e u ( m, n, t ) dmdn  < +∞ 0≤t ≤T  R  ( ) Lấy δ ∈ ( 0,1) ϕδ ∈ L2 R liệu đo cho ϕδ − ϕ ≤ δ ( ) Khi từ ϕδ , ta xây dựng hàm z δ ∈ C [ 0, T ] ; H ( R ) thỏa − β −T     k 2T  ν β + T + k 2T k 2T  z (.,., t ) − u (.,., t ) ≤ Aδ e + (1 + µ ) ln  e δ , (3.11)   δ    δ với t ∈ [ 0, T ] , Footer Page 60 of 16 58 Header Page 61 of 16 β − k 2T µ α ( β + T + k 2T ) ,= ν = β + T + k 2T ( ) ( ) Chứng minh Lấy u ε nghiệm toán Pϕ' u ε ,δ nghiệm toán Pϕδ' Từ định lý (3.4.3), ta có u (.,., t ) − u ε (.,., t ) ≤ Aε ( α β −T − k 2T ) ek T , 2 (3.12) với t ∈ [ 0, T ] Từ định lý 3.4.2, ta có u ε (.,., t ) − u ε ,δ (.,., t ) ≤ 2bε e k T ε 2 ( −α T + k 2T ≤ δ 2bε e k T ε 2 ( −α T + k 2T ) ϕ −ϕ δ ), (3.13) bε xác định (3.7) Vậy từ (3.12), (3.13), ta suy u (.,., t ) − u ε ,δ (.,., t ) ≤ u (.,., t ) − u ε (.,., t ) + u ε (.,., t ) − u ε ,δ (.,., t ) 1 ≤ Aε ( α β −T − k 2T ) e k T + δ 2b e k T ε −α (T + k T ) ε 2 2 2 Chọn = ε ε= (δ ) δ ( α β +T + k 2T ), 0 Khi ln δ > 1, 1 < α ( β + T + k 2T ) hay < α ( β + T + k 2T ) 2 2 α (β + T + k T ) (β + T + k T ) Suy u (.,., t ) − u ε (δ ),δ Footer Page 61 of 16 − β −T       k 2T  ν β + T + k 2T k 2T  ≤ δ + + δ ,., t A e ln e ( )1  β + T + k 2T  δ           59 Header Page 62 of 16 − β −T     k 2T  ν β +T + k 2T k 2T  ≤ Aδ + (1 + µ ) ln  e δ e   δ    Đặt z δ ( x, y , t ) = u ε (δ ),δ ( x, y , t ) , với x, y ∈ R , t ∈ [ 0, T ] Khi đó, ta có bất đẳng thức (3.11) Footer Page 62 of 16 60  Header Page 63 of 16 KẾT LUẬN Luận văn trình bày phương pháp chỉnh hóa toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp (2.1) Phương pháp chỉnh hóa cắt ngắn Đây phương pháp hiệu việc chỉnh hóa toán truyền nhiệt ngược với nguồn phi tuyến tác giả sử dụng vài năm gần Trong luận văn, phương pháp trình bày cho kết tính ổn định nghiệm hội tụ nghiệm xấp xỉ nghiệm xác tốt (tốc độ hội tụ hàm xây dựng từ liệu đo đạc nghiệm xác ε ( α β + t − k 2T (T −t ) ) , β = u ε x, t xấp xỉ tốt u x, t ( ) ( ) t − k 2T (T − t ) > ) Trong trường hợp f không phụ thuộc u x hội tụ nghiệm xấp xỉ nghiệm xác tốt (tốc độ hội tụ ε α ( β +t ) Điểm luận văn nhận xét chỉnh hóa toán trường hợp biến không gian hai chiều, ta thu kết tương tự Mặc dù có nhiều hạn chế mặt kiến thức thời gian tới mong muốn tiếp tục nghiên cứu, để tìm phương pháp chỉnh hóa cách hiệu hơn, không cho toán (2.1) mà dạng khác toán nhiệt ngược thời gian Footer Page 63 of 16 61 Header Page 64 of 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Phạm Hoàng Quân (2007), Biến đổi tích phân, Nxb Giáo Dục, Hồ Chí Minh H.Brezis (2000), Giải tích hàm – Lý thuyết ứng dụng, Nxb ĐHQG, Hồ Chí Minh Lê Hoàn Hóa (2010), Định lý điểm bất động ứng dụng để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp sở, ĐHSP, Hồ Chí Minh Nguyễn Bích Huy (2000), Phép tính tích phân, Nxb ĐHQG, Hồ Chí Minh Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nxb ĐHQG, Hà Nội Tiếng Anh K A Ames (2000), Continuous dependence on modeling and non-existence results for a Ginzburg-Landau equation, Math Methods Appl Sci 23, pp.1537-1550 K A Ames and R J Hughes (2005), Structural stability for ill-posed problems in Banach spaces, Semigroup Forum 70, pp.127-145 G Clark and C Oppenheimer (1994), Quasi-Reversibility methods for non-well-posed problem, Electron J Differential Equations 8, pp.1-9 D N Hao, N V Duc and H Sahli (2008), A non-local boundary value problem method for parabolic equations backward in time, J Math Anal Appl 345, pp.805-815 10 D N Hao, N V Duc and D Lesnic (2010), Regularization of parabolic equations backward in time by a non-local boundary value problem method, IMA J Appl Math 75, pp.291-315 11 R Lattes and J L Lions (1967), Méthode de Quasi-reversibilité et Applications, Dunod, Paris 12 K Miller (1973), Stabilized quasi-reversibility and other nearly-best-possible methods for non-well-posed problem, Symposium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convex-ity (Heriot-Watt University, Edinburgh, 1972), Lecture Notes in mathematics, Vol 316, Springer, Berlin, pp.161-176 13 P H Quan and N Dung (2005), A backward nonlinear heat equation: regularization with error estimates, Appl Anal 84 (4), pp.343-355 Footer Page 64 of 16 62 Header Page 65 of 16 14 P H Quan and D D Trong (2006), A nonlinearly backward heat problem: uniqueness, regularization and error estimate, Appl Anal 85 (6-7), pp.641-657 15 W Rudin (1964), Principles of mathematical analysis, 2nd edition, McGrawHill, Inc 16 D D Trong, P H Quan, T V Khanh and N H Tuan (2007), A nonlinear case of the 1D backward heat problem: Regularization and error estimate, Z Anal Anwend 26 (2), pp.231-245 17 D D Trong and N H Tuan (2006), Regularization and error estimates for a nonhomogeneous backward heat problem, Electron J Differential Equations 2006 (4), pp.1-10 18 D D Trong and N H Tuan (2008), Regularization and error estimates for a nonhomogeneous backward heat problem, Electron J Differential Equations 2008 (33), pp.1-14 19 D D Trong and N H Tuan (2009), Remarks on a 2-D nonlinear backward heat problem using a truncated method, Electron J Differential Equations 2009 (77), pp.113 20 D D Trong and N M Dien (2011), Regularization of a backward heat transfer problem with a nonlinear source, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 36, 2011 (2), pp.1-11 21 J M Zimmerman (1962), Band-limit functions and improper boundary value problems for a class of nonlinear partial differential equations, J Math Mech 11 (2), pp.183196 Footer Page 65 of 16 63 ... để chỉnh hóa toán, phương pháp chỉnh hóa hiệu Tuy nhiên, tài liệu đề cập đến việc chỉnh hóa toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp Bởi vậy, mạnh dạn chọn đề tài Chỉnh hóa toán. .. TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Nhi CHỈNH HÓA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:... Chương Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp với biến không gian hai chiều Từ công việc trình bày tìm hiểu toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp với biến