Chỉnh hóa bài toán truyền nhiệt ngược với nguồn phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Nhi CHỈNH HÓA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Nhi CHỈNH HÓA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CÁM ƠN Trong trình làm luận văn, nhận giúp đỡ nhiệt tình từ Thầy hướng dẫn Đặng Đức Trọng, Thầy nhận xét góp ý cho nhiều để hoàn thành tốt đề tài luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy xin cảm ơn ban quản lý thư viện nhà trường, số thầy cô khoa tạo điều kiện thuận lợi cho việc mượn tài liệu tham khảo Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên suốt thời gian qua Do thời gian có hạn trình độ thân nhiều hạn chế, luận văn chắn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn học viên Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2013 Học viên thực Nguyễn Thị Hồng Nhi MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức không gian hàm 1.1.1 Không gian Lp, ≤ p ≤ ∞ 1.1.2 Không gian Sobolev 1.2 Một số bất đẳng thức quan trọng 11 1.2.1 Bất đẳng thức Holder 11 1.2.2 Bất đẳng thức Gronwall 12 1.3 Biến đổi Fourier 13 1.4 Nguyên lý ánh xạ co Banach 18 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP MỘT 21 2.1 Định nghĩa 21 2.2 Biến đổi Fourier toán (2.1) 21 2.3 Tính không chỉnh toán (2.2) 22 2.4 Chỉnh hóa toán (2.2) 23 2.4.1 Các kết 24 2.4.2 Tính chỉnh toán ( P ) 26 ϕ 2.4.3 Sự chỉnh hóa ước lượng sai số 32 CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP MỘT VỚI BIẾN KHÔNG GIAN HAI CHIỀU 40 3.1 Định nghĩa 40 3.2 Biến đổi Fourier toán (3.1) 40 3.3 Tính không chỉnh toán (3.2) 42 3.4 Chỉnh hóa toán (3.2) 43 3.4.1 Các kết 44 3.4.2 Tính chỉnh toán ( P ) 47 ' ϕ 3.4.3 Sự chỉnh hóa ước lượng sai số 53 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU x Biến không gian t Biến thời gian RN Không gian Euclide N chiều u Hàm nhiệt hàm tổng quát ut Đạo hàm cấp u theo biến t ux Đạo hàm cấp u theo biến x u xx Đạo hàm cấp u theo biến x f Môđun f χ Aε ( p ) Hàm đặc trưng tập Aε H m (Ω) Không gian Sobolev cấp m Ω C ([ 0, T ] ; X ) {u : [0, T ] → X Chuẩn H ( R ) Chuẩn L2 ( R ) } đo được, liên tục theo t max t u ( t ) < ∞ ( ) |||.||| Chuẩn C [ 0, T ] ; H ( R )  Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Bài toán ngược hướng nghiên cứu phát triển cách mạnh mẽ nhiều năm gần đây, với ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác như: Vật lý, Hệ đồng nhất, Trắc địa…Đặc trưng phổ biến toán tính không chỉnh mà đặc biệt tính không ổn định nghiệm Ở đây, tính không chỉnh toán hiểu theo nghĩa Hadamard, tức có ba trường hợp sau xảy ra: Nghiệm không tồn Nghiệm (nếu tồn tại) không Nghiệm không ổn định (tức nghiệm không phụ thuộc liên tục vào liệu) Chính đặc điểm mà nhà khoa học phải tập trung tìm phương pháp để chỉnh hóa nó, nghĩa tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào liệu để ứng dụng tính số toán cụ thể Trong khoảng 40 năm gần đây, có nhiều tác giả nghiên cứu toán nhiệt ngược thời gian tuyến tính Các tác giả Lattes-Lions [11], Miller [12], Đặng Đức Trọng Nguyễn Huy Tuấn [17] nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa gọi phương pháp tựa khả nghịch cách làm nhiễu phương trình Các tác giả Clark Oppenheiner [8] đưa phương pháp chỉnh hóa khác cách làm nhiễu giá trị cuối (phương pháp giá trị tựa biên) Gần đây, toán nghiên cứu nhiều tài liệu Sau năm 2000, ta tìm thấy vài báo liên quan đến toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến Trong tài liệu [6, 7], tác giả đưa kết tính ổn định cấu trúc cho phương trình Ginzburg-Landau Các tác giả Phạm Hoàng Quân Nguyễn Dũng, tài liệu [13], nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa cách biến đổi toán thành toán cực tiểu phiếm hàm thích hợp Trong tài liệu [14], tác giả sử dụng biến đổi Fourier để có phương trình tích phân không gian tần số Bằng cách gây nhiễu trực tiếp phương trình tích phân, họ xây dựng phương pháp chỉnh hóa Trong tài liệu [16], tác giả kết hợp hai phương pháp tựa khả nghịch tựa giá trị biên để chỉnh hóa toán Và gần đây, tài liệu [19], tác giả sử dụng phương pháp cắt ngắn chuỗi Fourier để chỉnh hóa toán, phương pháp chỉnh hóa hiệu Tuy nhiên, tài liệu đề cập đến việc chỉnh hóa toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp Bởi vậy, mạnh dạn chọn đề tài “Chỉnh hóa toán truyền nhiệt ngược với nguồn phi tuyến” với mục đích trình bày chỉnh hóa toán cách tốt Trong luận văn, tham khảo chi tiết báo “Regularization of a backward heat transfer problem with a nonlinear source”, xem [20] Ý tưởng báo từ điều kiện cuối u ( x, T ) , ta xét toán tìm hàm u thỏa = ut − u xx f ( x, t , u ( x, t ) , u x ( x, t ) ) , ( x, t ) ∈ R × ( 0, T ) Bài toán không chỉnh ta dùng biến đổi Fourier để phương trình tích phân không gian tần số Bằng việc cắt ngắn tần số cao ta cho nghiệm chỉnh hóa Các ước lượng sai số cho trước Về bố cục, phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương với nội dung tóm tắt sau: • Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cần thiết sử dụng chương luận văn Các kiến thức nhắc tới bao gồm:  Một số kiến thức không gian hàm  Một số bất đẳng thức quan trọng  Biến đổi Fourier  Nguyên lý ánh xạ co Banach • Chương Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp Chương chương luận văn Dựa vào nội dung báo, luận văn trình bày phân tích nội dung cách chi tiết rõ ràng vấn đề sau:  Định nghĩa toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp (bài toán (2.1)) Cho T số dương, ta xét toán tìm nghiệm u ( x, t ) , ( x, t ) ∈ R × [0, T ] , thỏa hệ ut − u xx f ( x, t , u ( x, t ) , u x ( x, t ) ) , =  u ( x, T ) = ϕ ( x ) , ( x, t ) ∈ R × ( 0, T ) ϕ ( x ) , f ( x, t , y, z ) hàm cho trước Bài toán gọi toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp  Biến đổi Fourier toán (2.1) Bằng cách sử dụng biến đổi Fourier, ta đưa toán (2.1) toán (2.2) sau: T T −t p s −t p  = u ( p, t ) e( ) ϕ ( p ) − ∫ e( ) F u ,u x ( p , s ) ds , t g ( p, t ) = 2π ∫ +∞ −∞ g (ξ , t ) e − ipξ dξ , Fu ,v ( x, t ) := f ( x, t , u ( x, t ) , v ( x, t ) )  Chứng minh tính không chỉnh toán (2.2) Ở toán (2.2), ta ý nhân tử xấu e( Vì e( s −t ) p T −t ) p , e( s −t ) p , 0 nhỏ tùy ý, ta có ξ ( t ) ≤ C1 ∫ ξ ( s ) ds + ε , T t từ ta có ξ ( t ) ≤ ε eC (T −t ) ≤ ε eC T , 1 ε nhỏ tùy ý nên ξ ( t ) =  1.3 Biến đổi Fourier Cho f ∈ L1 (  ) , hàm f định 2π f ( λ ) = ∫ +∞ −∞ f ( t ) e − iλt dt , gọi biến đổi Fourier f Một số tính chất biến đổi Fourier Tính chất Cho dãy ( f n )n=1,2, ( ) fn hội tụ L1 ( R ) Khi đó, dãy  n =1,2, hội tụ R Chứng minh Ta có  fm ( λ ) −  fn ( λ ) ≤ ≤ 2π 2π ∫ +∞ −∞ ∫ +∞ −∞ f m ( x ) − f n ( x ) e − iλt dx f m ( x ) − f n ( x ) dx → m, n → ∞ Tính chất Cho f ∈ L1 ( R ) thỏa tính chất f ' ∈ L1 ( R ) f liên tục tuyệt đối khoảng hữu hạn Khi  f ' = iλ f 13 Chứng minh Vì f liên tục tuyệt đối khoảng hữu hạn nên f= ( x ) f ( ) + ∫ f ' ( t ) dt x Hơn nữa, f ' ∈ L1 ( R ) nên vế phải đẳng thức có giới hạn x → ±∞ Ngoài giới hạn phải f ∈ L1 ( R ) Vậy  f '(λ ) = ∞ 2π ∫ = 2π ∫ = 2π  e − iλ x f ( x )  −∞ f ' ( x ) e − iλ x dx ∞ −∞ e − iλ x df ( x ) ∞ −∞ + iλ ∫ ∞ −∞ f ( x ) e − iλ x dx  = iλ f ( λ )   Tính chất Nếu f có đạo hàm bậc cao L1 ( R ) f hội tụ nhanh λ → ∞ ,  f (λ )) ( f ( λ ) = ( n) λ n Chứng minh Điều dễ thấy nhờ vào tính chất  Tính chất Cho f ∈ L1 ( R ) thỏa I f ∈ L1 ( R ) , I ánh xạ đồng x  x , (do thói quen, người ta hay viết xf ( x ) thay cho I f ) Khi f khả vi d f iI f ( λ ) , ( λ ) = − dλ (cũng viết ( −ixf ) ( λ ) ) ∧ Chứng minh Ta có d  d λ  2π ∫ +∞ −∞ i  f ( x ) e − iλ x dx  = − 2π  ∫ +∞ −∞ xf ( x ) e − iλ x dx Tính chất (4) cho ta thấy f giảm nhanh f trơn  Tính chất Gọi S tập hợp hàm khả vi vô hạn giảm nhanh, tức f ∈ C ∞ ∀p, q ∈ N , ∃M > 0, ∀x, x p f ( Khi f ∈ S 14 q) ( x) ≤ M Chứng minh Cho p, q ∈ N bất kì, ta có x p + f ( q ) ( x ) ≤ M đó, suy xp f ( q) ( x) ≤ M x2 Bất đẳng thức cho thấy x p f ( q ) ∈ L1 ( R ) Theo tính chất (4) f ∈ S Tiếp theo, f ( q ) ∈ L1 ( R ) với q ∈ N nên áp dụng tính chất (3), ta có f giảm nhanh λ q λ → ∞ , với q ∈ N Do λ q f ( λ ) ≤ M Hơn nữa, theo tính chất (4) (2) ( iλ ) ( ) ( ) f = (λ ) q p ( iλ ) ( −ix ) q = ( −i ) ( iλ ) = ( −i ) p p q p f ( x )  ∧  x p f ( x )  ∧ ∧  x p f (q) ( x ) , ( )   (q) (q) ta suy f ∈ S ( x p f ) ( x ) ≤ M ( x p f ) ∈ L1 ( R )  Tính chất Giả sử f ∈ L1 ( R ) f ∈ L1 ( R ) Đặt g ( x) = 2π +∞ ∫ −∞ f ( λ ) eiλ x d λ , (tích phân hiểu theo nghĩa Lesbesgue) Khi a) g ∈ C0 , với C0 không gian hàm số liên tục R tiến dần vô cực b) g ( x ) = f ( x ) h.k.n R Chứng minh Chúng ta tìm chứng minh [15], chương  Định lý 1.3.1 (Định lý Plancherel) Với f ∈ L2 ( R ) , N > , ta đặt FN { f }( λ ) = 2π ∫ N −N f ( x ) e − iλ x dx Khi a) FN { f } hội tụ L2 ( R ) đến hàm F { f } N → ∞ Hơn = F{ f } 2 ∫ +∞ −∞ F= { f }( λ ) d λ 15 +∞ f ( x ) dx ∫= −∞ 2 f b) Nếu f ∈ L2 ( R ) ∩ L1 ( R ) F { f } = f h.k.n R c) Đặt φN ( x ) = ∫ F { f }( λ ) eiλ x d λ , N −N φN hội tụ L2 ( R ) đến f N → ∞ d) Toán tử F đẳng cấu từ L2 ( R ) vào L2 ( R ) Chứng minh Với f1 , f ∈ S (xem lại tính chất (5) biến đổi Fourier), ta có  f1 ,  f ∈ S ⊂ L1 ( R ) Suy từ tính chất (6) định lý Fubini ∫ +∞ −∞ f1 ( x ) f ( x )dx = ∫ +∞ −∞ 2π = =∫ +∞ −∞ ∫ (∫ 2π +∞ −∞ +∞ −∞ )  f1 ( λ ) eiλ x d λ f ( x )dx  +∞   f1 ( λ )  ∫ f ( x ) e − iλ x dx  d λ  −∞   f1 ( λ )  f ( λ )d λ , dấu gạch ngang có nghĩa liên hiệp phức Suy = g ∀g ∈ S , g 2, (1.4) chuẩn L2 ( R ) Với f ∈ L2 ( R ) triệt tiêu bên đoạn bị chặn [ − a, a ] , f thuộc L1 ( R ) Ta có CC∞ ( − a, a ) trù mật L2 ( − a, a ) , có dãy hàm ( fn ) chứa CC∞ ( − a, a ) hội tụ f L2 ( − a, a ) , dẫn đến hội tụ L1 ( −a, a ) bất đẳng thức Holder fn − f L1 ( − a , a ) ≤ 2a f n − f L2 ( − a , a ) Ta xem f n ∈ S nới rộng miền xác định f n lên toàn R với f n triệt tiêu bên ( − a, a ) Như f n hội tụ f L2 ( R ) L1 ( R ) Từ tính chất (1) biến đổi Fourier, ta có  f n → f R Theo (1.4)  fn −  fm = fn − fm , 16 (1.5) ( )  f n dãy Cauchy L2 ( R ) , hội tụ L2 ( R ) hàm g Định lý Fischer-Riesz (1.5) cho f= g ∈ L2 ( R ) , (1.6)  f = = = = g lim fn fn lim n →∞ 2 n →∞ f (1.7) , cho hàm f L2 ( R ) triệt tiêu bên đoạn bị chặn Tiếp theo, xét f ∈ L2 ( R ) tùy ý Đặt  f ( x ) fN ( x ) =  0 Ta có lim f N − f N →∞ nÕu − N ≤ x ≤ N, nÕu x > N Ngoài f N ∈ L1 ( R ) nên =  fN (λ ) 2π ∫ +∞ −∞ f N ( x ) e − iλ x dx = FN { f }( λ ) Theo (1.6) (1.7) FN {= f}  = fN fN , FN { f } − FM { f } =  fN −  fM = f N − fM , suy ( FN { f } ) dãy Cauchy L2 ( R ) , hội tụ hàm F { f } L2 ( R ) Vậy lim = F { f } lim F = = fN N{f} N →∞ N →∞ f , nghĩa ta chứng minh xong a) Xét trường hợp f ∈ L2 ( R ) ∩ L1 ( R ) Do f N hội tụ f L1 ( R ) nên  f N (chính FN { f } ) hội tụ f tính chất (1) biến đổi Fourier Mặt khác, FN { f } hội tụ L2 ( R ) F { f } Vậy f = F { f } h.k.n R , nghĩa ta chứng minh b) Phần chứng minh c) hoàn toàn tương tự kỹ thuật chứng minh a) Từ kết chứng minh trên, dễ dàng suy toán tử F tuyến tính liên tục đơn ánh từ L2 ( R ) vào L2 ( R ) Riêng phần chứng minh tính chất toàn ánh F, bạn đọc xem  [20] 17 Kết c) định lý Plancherel cho hệ sau Hệ 1.3.2 Nếu f ∈ L2 ( R ) f ∈ L1 ( R ) 2π f ( x) = ∫ +∞ −∞ f ( λ ) eiλ x d λ , với h.k.n x Nhận xét 1.3.3 Trong phần b) định lý Plancherel, ta thấy F { f } trùng với f trường hợp f ∈ L2 ( R ) ∩ L1 ( R ) Do người ta gọi F { f } biến đổi Fourier (hay Plancherel) f L2 ( R ) sử dụng kí hiệu f thay cho F { f } 1.4 Nguyên lý ánh xạ co Banach Cho ( X , d ) không gian metric T : X → X Ta có • T ánh xạ co với x ≠ y , d (Tx, Ty ) < d ( x, y ) • T thỏa điều kiện Lipschitz hay đơn giản T ánh xạ Lipschitz tồn số k ≥ cho với x, y thuộc X , ta có d (Tx, Ty ) ≤ kd ( x, y ) (1.8) • Số k (T ) bé thỏa mãn (1.8) gọi hệ số Lipschitz T • Nếu k (T ) < ta nói T ánh xạ co hệ số k = k (T ) hay đơn giản T k − co • Nếu S , T : X → X ánh xạ Lipschitz k (T  S ) ≤ k (T ) k ( S ) đặc biệt k (T n ) ≤ ( k (T ) ) với n ∈ N n • Điểm x0 ∈ X điểm bất động T Tx0 = x0 Hiển nhiên T ánh xạ co T liên tục điểm bất động T , có, Định lý 1.4.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Cho ( X ,d ) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ k − co Khi T có điểm bất động nhất, ghi x0 , lim T n ( x ) = x0 , với x ∈ X n →∞ Hơn d ( x0 , T n x ) ≤ kn d ( x, Tx ) , với x ∈ X 1− k = x1 Tx,= xn+1 Txn , n ∈ N * Chứng minh Với x ∈ X , đặt 18 [...]... bản về không gian hàm 1.1.1 Không gian Lp, 1 ≤ p ≤ ∞ Cho tập Ω ⊂ R N , p ∈ R với 1 ≤ p < ∞ , ta định nghĩa Lp ( Ω ) ={ f : Ω →  (hoặc C ): f đo được và f p khả tích}, với chuẩn f   p =  ∫ f ( x ) dx  Ω  p 1 p Với p = ∞ , ta định nghĩa L∞ ( Ω ) ={ f : Ω → R (hoặc C ): f đo được và ∃C < ∞ , f ( x ) ≤ C h.k.n trên Ω} với chuẩn f ∞ { = inf C : f ( x ) ≤ C h.k.n trên Ω} 1.1.2 Không gian Sobolev... suy ra toán tử F là tuyến tính liên tục và là đơn ánh từ L2 ( R ) vào L2 ( R ) Riêng phần chứng minh tính chất toàn ánh của F, bạn đọc có thể xem trong  [20] 17 Kết quả c) trong định lý Plancherel cho hệ quả sau Hệ quả 1.3.2 Nếu f ∈ L2 ( R ) và f ∈ L1 ( R ) thì 1 2π f ( x) = ∫ +∞ −∞ f ( λ ) eiλ x d λ , với h.k.n x Nhận xét 1.3.3 Trong phần b) của định lý Plancherel, ta thấy F { f } trùng với f... f  p p N +∑ i =1 1/ p  Di f p   p Tập hợp W 1, p ( Ω ) cùng với chuẩn trên được định nghĩa là không gian Sobolev iv Không gian W 1,2 ( Ω ) được ký hiệu là H 1 ( Ω ) và được trang bị tích vô hướng = f ,g ∫ Ω  N  fgdx + ∫  ∑ Di f Di g  dx  Ω  i =1 Không gian H 1 ( Ω ) được trang bị tích vô hướng trên là một không gian Hilbert với chuẩn f1= N  2 ∂f  + f x ( ) ∑ ∫ i =1 ∂xi Ω Định lý 1.1.3... các hàm f , gi thuộc Lp Với ϕ ∈ Cc∞ ( Ω ) , ta có ∫ D f ϕ → ∫ g ϕ , ∫ D f ϕ = − ∫ f D ϕ → − ∫ fD ϕ , i n i Ω i n n Ω Ω i Ω i Ω Suy ra ∫ fD ϕ = − ∫ g ϕ i i Ω Ω Vậy = gi D= 1, N và ta có f n → f trong W 1, p ( Ω ) i f, i  1.2 Một số bất đẳng thức quan trọng Ta kí hiệu p ' là số liên hợp của p , 1 ≤ p ≤ ∞ , tức là 1 1 + = 1 p p' 1.2.1 Bất đẳng thức Holder Cho f ∈ Lp và g ∈ Lp ' với 1 ≤ p ≤ ∞ Khi đó... tích trên [ 0,T ] Khi đó T − φ ( r ) dr φ ( s ) ds   ∫s η ( t ) ≤ e ∫t ϕ ( s ) ds  , η (T ) + ∫t e   T T với mọi 0 ≤ t ≤ T Chứng minh Sử dụng (1.2) ta có − φ ( r ) dr  − ∫ φ ( r ) dr − φ ( r ) dr d  s η ' ( s ) + φ ( s )η ( s ) ) ≥ −e ∫s ϕ (s), ( s ) e ∫s ( η=  e ds   T T T với hầu khắp s , 0 ≤ s ≤ T Do đó, lấy tích phân trên [ 0,T ] , ( 0 ≤ t ≤ T ), ta nhận được − η (t ) e ∫ T s φ (... Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân Cho ξ ( t ) là hàm khả tích trên [ 0,T ] và thỏa mãn hầu khắp t bất đẳng thức tích phân ξ ( t ) ≤ C1 ∫ ξ ( s ) ds + C2 , T t với C1, C2 là những hằng số không âm Khi đó ξ ( t ) ≤ C2 e C ( T − t ) , 1 với hầu khắp 0 ≤ t ≤ T Đặc biệt, nếu ξ ( t ) ≤ C1 ∫ ξ ( s ) ds , T t thì ξ ( t ) = 0 Chứng minh Đặt η ( t ) = ∫ ξ ( s ) ds Khi đó có thể viết (1.3) dưới dạng T... x ) ≤ M nào đó, suy ra xp f ( q) ( x) ≤ M x2 Bất đẳng thức trên cho thấy x p f ( q ) ∈ L1 ( R ) Theo tính chất (4) thì f ∈ S Tiếp theo, f ( q ) ∈ L1 ( R ) với mọi q ∈ N nên áp dụng tính chất (3), ta có f giảm nhanh hơn 1 λ q khi λ → ∞ , với mọi q ∈ N Do đó λ q f ( λ ) ≤ M Hơn nữa, theo tính chất (4) và (2) thì ( iλ ) ( ) ( ) f = (λ ) q p ( iλ ) ( −ix ) q = ( −i ) ( iλ ) = ( −i ) p p q p... +∞ ∫ −∞ f ( λ ) eiλ x d λ , (tích phân trên được hiểu theo nghĩa Lesbesgue) Khi đó a) g ∈ C0 , với C0 là không gian các hàm số liên tục trên R và tiến dần về 0 tại vô cực b) g ( x ) = f ( x ) h.k.n trên R Chứng minh Chúng ta có thể tìm chứng minh trong [15], chương 9  Định lý 1.3.1 (Định lý Plancherel) Với mọi f ∈ L2 ( R ) , N > 0 , ta đặt FN { f }( λ ) = 1 2π ∫ N −N f ( x ) e − iλ x dx Khi đó a)... 2 2 f 2 b) Nếu f ∈ L2 ( R ) ∩ L1 ( R ) thì F { f } = f h.k.n trên R c) Đặt φN ( x ) = ∫ F { f }( λ ) eiλ x d λ , N −N thì φN hội tụ trong L2 ( R ) đến f khi N → ∞ d) Toán tử F là một đẳng cấu từ L2 ( R ) vào L2 ( R ) Chứng minh Với mọi f1 , f 2 ∈ S (xem lại tính chất (5) của biến đổi Fourier), ta có  f1 ,  f 2 ∈ S ⊂ L1 ( R ) Suy ra từ tính chất (6) và định lý Fubini rằng ∫ +∞ −∞ f1 ( x ) f 2... Cc∞ ( Ω ) Nếu f có Di f , i = 1, N , ta ký hiệu ∇f = ( Di f , , DN f ) 9 ii Nếu ϕ ∈ Cc1 ( Ω ) thì ∂ϕ ∫ ∂x ( x ) dx = 0 Ω i Do đó, với ϕ ∈ Cc1 ( Ω ) , f ∈ C1 ( Ω ) ta có ∂f ( x ) ∂ϕ ∫Ω ∂xi ϕ ( x ) dx = −Ω∫ f ( x ) ∂xi ( x ) dx , tức là khi đó g D= = i f iii ∂f ∂xi Với p ∈ [1, ∞ ] , ta ký hiệu W 1, p ( Ω ) là tập hợp các hàm f ∈ Lp ( Ω ) có mọi đạo hàm riêng suy rộng Di f ∈ Lp ( Ω ) , i = 1, N Trong