Bài toán truyền nhiệt ngược thời gian với hệ số không hằng

Mục lục Lời nói đầu Giới thiệu toán Chỉnh hóa toán (1.1)-(1.3) , (1.4)-(1.6) 2.1 2.2 Chỉnh hóa toán (1.1)-(1.3) 2.1.1 Nghiệm chỉnh hóa toán (1.1)-(1.3) 2.1.2 Các kết chỉnh hóa toán (1.1)-(1.3) Chỉnh hóa toán (1.4)-(1.6) 14 2.2.1 Nghiệm chỉnh hóa toán (1.4)-(1.6) 14 2.2.2 Các kết chỉnh hóa toán (1.4)-(1.6) 15 Thực nghiệm tính toán 23 3.1 Ví dụ minh họa cho toán (1.1)-(1.3) 23 3.2 Ví dụ minh họa cho toán (1.4)-(1.6) 28 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời nói đầu Ta xét toán truyền nhiệt ngược trường hợp hệ số truyền nhiệt số ut (x, t) = uxx (x, t), u(0, t) = u(x, T ) = u(π, t) = 0, g(x), (x, t) ∈ (0, π) × [0, T ) t ∈ [0, T ] x ∈ (0, π) (1) (2) (3) Bài toán (1)-(3) nhiều tác giả nghiên cứu từ khoảng bốn thập kỉ gần nhiều phương pháp khác cụ thể phương pháp mollification nghiên cứu [7] Đ N Hào, kó thuật chỉnh hóa phép lặp phát triển Jourhmane Mera, Kirkup [16], phương pháp splitting operator Wadsworth đưa [15], phương pháp tựa toán tử nghiên cứu nhiều tác Lattes Lions [1], Miller [2] Ngoài ra, phương pháp phần tử biên sử dụng số tác giả báo [9, 14] Một cách tổng quát, đề tài xét toán ngược cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc vào thời gian miền bò chặn toán ngược cho phương trình parabolic không với hệ số phụ thuộc vào thời gian miền bò chặn [0, π] Cụ thể, nội dung chuyên đề bao gồm chương: Chương 1: Giới thiệu toán truyền nhiệt ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian miền bò chặn [0, π] cho trường hợp không toán (1.1)-(1.3) (1.4)-(1.6) Chương 2: Các kết chỉnh hóa toán (1.1)-(1.3) (1.4)-(1.6) Chương 3: Thực nghiệm tính toán số cụ thể nhằm minh họa cho phần lí thuyết xây dựng chương Chương Giới thiệu toán Trong đề tài này, xét toán ngược cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc vào thời gian miền bò chặn [0, π] ut (x, t) = a(t)uxx(x, t), u(0, t) u(x, T ) = = u(π, t) = 0, g(x), (x, t) ∈ (0, π) × [0, T ) t ∈ [0, T ] x ∈ (0, π) (1.1) (1.2) (1.3) toán ngược cho phương trình parabolic không với hệ số phụ thuộc vào thời gian miền bò chặn ut (x, t) − a(t)uxx (x, t) u(0, t) u(x, T ) = f (x, t), = u(π, t) = 0, = g(x), (x, t) ∈ (0, π) × [0, T ) (1.4) t ∈ [0, T ] (1.5) x ∈ (0, π) (1.6) a(t) hàm cho tồn p, q>0 < p ≤ a(t) ≤ q g ∈ L2 (0, π) (1.7) Như biết, toán (1.1)-(1.3) (1.4)-(1.6) không chỉnh theo nghóa Hadamard, nghóa là, toán không tồn nghiệm, trường hợp tồn nghiệm nghiệm không phụ thuộc liên tục vào liệu Vì vậy, cần phương pháp chỉnh hóa thích hợp để chỉnh hóa toán Thật sự, toán ngược cho phương trình parabolic nghiên cứu nhiều phương pháp khoảng năm thập kỉ gần điển báo [1, 2, 6, 23] Chúng ta có toán ngược cho phương trình parabolic dạng toán tử sau ut + A(t)u = 0, u(T ) = g, t ∈ [0, T ], với A(t) toán tử tuyến tính không gian hàm thích hợp Trong [1], LattesLions sử dụng phương pháp tựa toán tử (QR) để chỉnh hóa phương trình cách thêm vào lượng chỉnh hóa phương trình Vào năm 1973, K Miller giải toán cách sử dụng lượng chỉnh hóa f ε (A) ut + fε (A)u = 0, u(T ) = g t ∈ [0, T ], Một phương pháp khác gọi phương pháp tựa giá trò biên (QBV) nghiên cứu nhiều tác giả Khi sử dụng phương pháp này, họ thêm lượng ổn đònh vào điều kiện cuối toán Trong [20], M Denche K Bessila sử dụng toán chỉnh hóa sau ut + f (A)u = 0, u(T ) − u (0) = ϕ t ∈ [0, T ), để chỉnh hóa toán ngược cho phương trình parabolic Rất gần đây, [23], tác giả sử dụng phương pháp giá trò biên để chỉnh hóa toán nhiệt t ngược thu ước lượng sai số cấp độ T t = sai số ước lượng cấp độ (ln( ))− giá trò Chúng ta thấy t nằm gần giá trò 0, hội tụ nghiệm xấp xỉ chậm Theo biết, báo liên quan đến toán tử phụ thuộc thời gian A(t) Trong chuyên đề này, xét toán tử A(t) có dạng sau A(t)u = −a(t)uxx Phần đề tài chia làm phần Trong phần 2, chứng minh số kết chỉnh hóa đánh giá sai số phương pháp tựa giá trò biên có điều chỉnh (the modified QBV method) cho toán truyền nhiệt ngược với hệ số không trường hợp không Trong phần 3, đưa tính toán số minh họa cho phương pháp chỉnh hóa sử dụng phần Chương Chỉnh hóa toán (1.1)-(1.3) , (1.4)-(1.6) Trong chương này, ta kí hiệu · chuẩn L (0, π), ε ∈ (0, T ) gε liệu đo thỏa mãn g ε − g ≥ ε 2.1 Chỉnh hóa toán (1.1)-(1.3) 2.1.1 Nghiệm chỉnh hóa toán (1.1)-(1.3) Nếu toán (1.1)-(1.3) có nghiệm xác u u có dạng sau ∞ u(x, t) = m=1 F (t) = t exp −m2 F (t) gm sin(mx), (x, t) ∈ [0, π] × [0, T ] exp {−m2 F (T )} a(s)ds gm = π (2.1) π g(x) sin(mx)dx Cho β > and α ≥ 0, xấp xỉ nghiệm (2.1) toán (1.1)-(1.3) nghiệm chỉnh hóa sau exp −m2 (F (t) + α) g sin(mx), (x, t) ∈ [0, π] × [0, T ] (F (T ) + α)} m β + exp {−m m=1 (2.2) ∞ v(x, t) = Chú ý β tham số chỉnh hóa phụ thuộc ε cho lim β(ε) = α ε→0 số không âm 2.1.2 Các kết chỉnh hóa toán (1.1)-(1.3) Tiếp theo, có số bổ đề dùng việc chứng minh đònh lí Bổ đề 2.1.2.1 Cho x ∈ R, γ > 0, ≤ a ≤ b, b = a exa [...]... TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯC VỚI HỆ SỐ KHÔNG HẰNG, chúng tôi đã tiến hành khảo sát và chỉnh hóa hai bài toán truyền nhiệt ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong miền bò chặn [0, π] cho trường hợp nguồn nhiệt thuần nhất và không thuần nhất Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một số thực nghiệm tính toán cho hai bài toán trên Những kết quả trên đã được chúng tôi công bố trong hai bài báo sau: 1 Nguyen... Chương 3 Thực nghiệm tính toán 3.1 Ví dụ minh họa cho bài toán (1.1)-(1.3) Xét bài toán parabolic thuần nhất tuyến tính với hệ số không hằng như sau ut (x, t) u(0, t) = a(t)uxx (x, t), = u(π, t) = 0, (x, t) ∈ (0, π) × [0, 1), t ∈ [0, 1], trong đó (3.1) a(t) = 2t + 1, và u(x, 1) = g(x) = sin x e2 (3.2) Do đó, ta được π 2 1 sin x 2 = ds) e2 gex = ( 0 và 1 ≤ a(t) ≤ 3, 23 π −2 e , 2 với mọi t ∈ [0, 1] Nghiệm... nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm t = 0.1 Hình 2: nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm t = 0.1 Chúng ta có các hình sau biểu diễn nghiệm chính xác u ex (., t) và nghiệm chỉnh 26 hóa vεi (., t), i = 1, 2, 3, 4, 5 27 3.2 Ví dụ minh họa cho bài toán (1.4)-(1.6) Xét phương trình parabolic tuyến tính không thuần nhất với hệ số không hằng ut (x, t) − a(t)uxx (x, t) = f (x, t),... Holder T với t > 0 Tuy nhiên, sai số T không hội tụ tại Hơn nữa, khi t gần thời điểm ban đầu t = 0 thì sai số hội tụ rất chậm 20 dxds Vì vậy, chúng ta sẽ đưa ra một đánh giá sai số khác trong đònh lí tiếp theo (đònh lí 2.2.2.3) nhằm khắc phục nhược điểm trên Đònh lý 2.2.2.3 Cho g , g ∈ L2 (0, π) thỏa mãn g − g ≤ 0 Giả sử u là nghiệm chính xác của bài toán (1.4)-(1.6) sao cho tồn tại một số dương γ... trùng với các đường số i biểu diễn cho nghiệm chỉnh hóa tương ứng với ε i , i = 3, , 5 30 Tiếp theo, chúng ta có hình vẽ của nghiệm chính xác u(., t) và nghiệm chỉnh hóa uεi (g εi )(., t), i = 1, 2, 3, 4, 5 Hình 6: nghiệm chính xác u(., t) và nghiệm chỉnh hóa u εi (g εi )(., t), i = 1, 2 31 Hình 7: nghiệm chỉnh hóa u εi (g εi )(., t), i = 3, 4, 5 32 Kết luận Trong đề tài nghiên cứu: BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT... +α + β A1 p q p2 t+pα q 2 T +qα ≤ A1 ≤ (1 + A1 ) Kết thúc chứng minh 13 pt+α qT +α + q(t−T ) pT +α p q + pt+α qT +α p2 t+pα q 2 T +qα q(t−T ) pT +α 2.2 Chỉnh hóa bài toán (1.4)-(1.6) 2.2.1 Nghiệm chỉnh hóa của bài toán (1.4)-(1.6) Nếu bài toán (1.4)-(1.6) có một nghiệm chính xác u thì u có dạng như sau ∞ u(x, t) = m=1 trong đó   T exp{m2 (F (T ) − F (t))}gm − f m (s) = t exp{m2 (F (s) − F (t))}fm(s)ds... u(., t) ≤ qt Với β( ) = q pt β pT − p + β qT ≤ p q Q + M , chúng ta có ước lượng sau u (g )(., t) − u(., t) ≤ ≤ trong đó C 1 = 1 + √ Q + M qt pT p q t T + ≤ C1 p2 t q2 T q −p p2 t q2 T + p q pt qT Q+M Q+M , Kết thúc chứng minh Chú ý: Ta thấy rằng trong đònh lí 2.2.2.2, chúng ta có đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa (2.17) tương ứng với dữ liệu nhiễu g và nghiệm chính xác t t của bài toán (1.4)-(1.6)... ε lần lượt là ε 1 = 10−1 , ε2 = 10−2 , ε3 = 10−3 , ε4 = 10−4 , ε5 = 10−5 và 1 β = ε 3 Đặt vεi (·, t) − u(·, t) Rε (t) = u(·, t) là sai số tương đối giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm t Sau đây, chúng tôi sẽ so sánh giữa sai số tuyệt đối và sai số tương đối trong trường hợp t = 0 và t = 0.1 Chúng ta có bảng sau cho trường hợp t = 0 24 ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε = 10−1 = 10−2 = 10−3 = 10−4... kết quả chỉnh hóa bài toán (1.4)-(1.6) Chúng ta có đònh lí sau đây nhằm chứng minh sự ổn đònh của phương pháp điều chỉnh của phương pháp chỉnh hóa sử dụng trong phần này Đònh lý 2.2.2.1 (Sự ổn đònh của phương pháp điều chỉnh) Đặt u (g) và u (h) được đònh nghóa bởi (2.17) tương ứng với các dữ liệu cuối g, h trong L2 (0, π), Khi đó, ta có qt q u (g)(., t) − u (h)(., t) ≤ β pT − p g−h , với mọi t ∈ [0,... có bảng sai số sau cho trường hợp t = 0 ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε = 10−1 = 10−5 = 10−50 = 10−60 = 10−100 uεi (g i )(., 0) − u(., 0) 9.231542e-001 6.520434e-001 4.298486e-008 9.260810e-010 3.253301e-016 29 Tiếp theo, chúng ta sẽ minh họa nghiệm chính xác và các nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm t = 0 Hình 5: nghiệm chính xác và các nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm t = 0 Chú ý rằng trong hình 5 đường số 0 biểu diễn ... cứu: BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯC VỚI HỆ SỐ KHÔNG HẰNG, tiến hành khảo sát chỉnh hóa hai toán truyền nhiệt ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian miền bò chặn [0, π] cho trường hợp nguồn nhiệt. .. 1: Giới thiệu toán truyền nhiệt ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian miền bò chặn [0, π] cho trường hợp không toán (1.1)-(1.3) (1.4)-(1.6) Chương 2: Các kết chỉnh hóa toán (1.1)-(1.3)... toán ngược cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc vào thời gian miền bò chặn toán ngược cho phương trình parabolic không với hệ số phụ thuộc vào thời gian miền bò chặn [0, π] Cụ thể, nội