Phương pháp quasi reversibility cho bài toán truyền nhiệt ngược thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Võ Thị Lệ Uyên PHƯƠNG PHÁP QUASI - REVERSIBILITY CHO BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 MỞ ĐẦU Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn nay, toán ngược thuộc lĩnh vực ứng dụng lĩnh vực vật lí, kinh tế, y khóa, thăm dị, hồi phục, nhận dạng v.v xuất ngày nhiều Các toán lại thường tốn khơng chỉnh Vì việc khảo sát tốn trở thành đề tài toán học sâu rộng hứng thú, nhiều nhà toán học quan tâm đạt số thành tụ định Trong luận văn này, chúng tơi trình bày việc chỉnh hóa tốn truyền nhiệt ngược thời gian, tốn khơng chỉnh lĩnh vực vật lý ứng dụng phương pháp Quasi Reversibility Luận văn - ngồi lời nói nói đầu, phần kết luận, phần tài liệu tham khảo phần mục lục - trình bày chương Chương phần tổng quan tốn, trình bày sơ lược lịch sử vấn đề Chương phần trình bày ký hiệu nhắc lại số kiến thức cần thiết để thuận tiện cho việc theo dõi phần Chương Phần trình bày việc chỉnh hóa tốn tổng qt, ứng dụng để chỉnh hóa tốn truyền nhiệt ngược thời gian Chương phần trình bày việc chỉnh hóa tốn truyền nhiệt ngược thời gian không Cuối cùng, xin chân thành cám ơn PGS TS Đặng Đức Trọng tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Mặc dù bận nhiều cơng việc thầy dành nhiều thời gian để hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn đến quý thầy cô tham gia giảng dạy cao học khóa 15, người truyền đạt nhiều kiến thức quý báu cho Sau không nhắc đến bạn bè người thân, người ln khuyến khích động viên tơi trình học tập TP HCM, ngày 24 tháng 05 năm 2007 Võ Thị Lệ Uyển MỤC LỤC MỤC LỤC Chương 1: TỔNG QUAN Chương 2: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1 Các không gian hàm 2.2 Toán tử tuyến tính chuỗi Fourier 2.3 Một số định nghĩa kết cần biết 12 Chương 3: CHỈNH HĨA BÀI TỐN THUẦN NHẤT TỔNG QUÁT 16 3.1 Sự ổn định nghiệm toán (3.2) 17 3.2 Sự hội tụ nghiệm chỉnh hóa: 19 3.3 Chỉnh hóa tốn truyền nhiệt 25 Chương 4: CHỈNH HĨA BÀI TỐN KHƠNG THUẦN NHẤT 27 4.1 Tính chỉnh tốn (QRBP) 27 4.2 Sự hội tụ 33 4.3 Ví dụ minh họa 39 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 Chương 1: TỔNG QUAN Nội dung luận văn khảo sát tốn tìm nhiệt độ u ( x , t ) cho u1  uxx  f ( x, t ),  u(0, t )  u( , t )  u( x, T )   ( x )   x  x,0  t  T ,  t  T,  x , (1.1) với T > < φ ( x ) , f ( x , t ) hàm cho trước, φ∊ H = L2 (0,π); f(.,t) ∊ L2(0,T;L2 ( , π ) ) Bài toán gọi toán truyền nhiệt ngược thời gian tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard Việc nghiên cứu toán bắt nguồn từ thực tế, lĩnh vực học, vật lý nhiều nhà tốn học quan tâm Vấn đề việc khảo sát tốn phải chỉnh hóa nghiệm tốn Khi f = 0, ta có toán sau  u1  Au  0,   u(T )    t  T, Bài toán nhiều tác giả khảo sát nhiều thập niên gần Lattes lions [13], Miller [l6], Huang Zheng [9], Lavrentiev [14] xấp xỉ toán cách nhiễu toán tử A Phương pháp xấp xỉ gọi phương pháp Quasi-Reversibility Ý tưởng phương pháp nhiễu phương trình tốn khơng chỉnh để làm cho trở thành tốn chỉnh Khi nghiệm toán chỉnh nghiệm xấp xỉ tốn khơng chỉnh cho Trong [13] Lattes Lions chỉnh hóa tốn (1.2) toán xấp xỉ sau: *  ut  Au   A Au  0,   u(T )    t  T, Trong [1 ], Alekseeva Yurchuk xét toán  ut  Au   Aut  0,   u(T )    t  T, (1.3) Trong [7], Gajewski Zaccharias xét toán tương tự (1.3), họ đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm xác là: u (t )  u(t )  (T  t ) u(0) t2 Tuy nhiên, đánh giá không áp dụng trường hợp t = Trong [16], K Miller khảo sát nghiệm chỉnh hóa w f ( t ) phương trình: (1.4) d w  f ( A)w f  dt f Xác định không gian Hilbert H , A toán tử dương symmetric xác định H thỏa w f (l) = g đặt vf ( t , g ) = s ( t ) w f (0) Ơng tìm điều kiện cần đủ hàm f cho bất đẳng thức: v f (t,g)  u(t)  2 t E1t Miller gọi phương pháp stabilized quasi - reversibility Trong [2] Karen A Ames Rhonda J Hughes dùng phương pháp quasi-reversibility để chỉnh hóa tốn cách dùng toán xấp xỉ  wt  f ( A)w,    w(0)= t  (0,T ) (1.5) với f hàm Borel thực, bị chặn Họ tìm điều kiện cần đủ hàm f để u(t )  w(t )  C. 1 t T M t T ,trong C , M số khơng phụ thuộc vào β Trong [18,19] Shovvalter trình bày phương pháp khác để chỉnh hóa (1.2) phương pháp mang lại đánh giá sai số tốt phương pháp trước nhiều Sử dụng ý tưởng Showalter Trong [5], Clark Oppenheimer sử dụng phương pháp Quasi-boundary để chỉnh hóa tốn ngược thời gian toán xấp xỉ sau:  ut  Au  t   0,   u  T    u(0)    t  T, Clark Oppenheimer chứng minh toán chỉnh đánh giá hội tụ nghiệm chỉnh hóa Trong luận văn này, sử dụng phương pháp Quasi - Reversibility [2] [11] để xấp xỉ toán truyền nhiệt ngược thời gian không Chúng tơi xấp xỉ tốn (1.2) tốn (1.5), sau nghiên cứu ổn định hội tụ nghiệm (1.5), đồng thời đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm (1.2) (1.2) tồn nghiệm, vấn đề trình bày kỹ chương Trong chương 4, chúng tơi chỉnh hóa tốn (1.1) tốn xấp xỉ sau        n (T  t ) fn (t )sin nx , ut  uxx   uxxxx   e n 1    u ( x , T )   ( x ), u (0, t )  u ( , t )  u (0, t ) = u ( , t ) =0, xx xx    ( x , t )  ( x ,  )  (0, T ) t  (0, T ) (1.6) ε > fn (t )   f ( x, t ),sin nx H với , tích vơ hướng không gian Hlilbert H H = L2 (0, π ) Sở dĩ chọn phương pháp sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm (1.1) nhỏ so với phương pháp khác Chúng đánh giá sai số sau:  f ( x, t ) u(., t )  u (., t )   (T  t) u(.,0) L2 (0, )  t L (0, ) t x   L 0,T ; L (0, )  Hơn điều kiện hàm số f để đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm xác đạo hàm bậc f theo x bị chặn Điều kiện tốt so với số phương pháp khác Luận văn bao gồm chương Chương Tổng quan Trong chương này, chúng tơi trình bày q trình hình thành tốn, kết đạt Chúng tơi trình bày tóm tắt nội dung cần làm luận văn, kết thu sau chỉnh hóa tốn truyền nhiệt không tổng quát Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức cần thiết toán tử tuyến tính, định nghĩa tốn tử nửa nhóm, định lý phổ, toán truyền nhiệt thuận thời gian, với số bất đẳng thức Gromvall dùng để giải tốn chỉnh hóa cho chương sau Chương Chỉnh hóa tốn truyền nhiệt tổng qt Trong chương này, dựa vào [2] nghiên cứu tồn ổn định nghiệm toán (1.5), tính chất nghiệm tốn (1.2) đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm tốn (1.2) Sau đó, chúng tơi áp dụng phương pháp chỉnh hóa cho tốn truyền nhiệt chiều Chương Chỉnh hóa tốn truyền nhiệt không Trong chương này, dựa vào [11] chúng tơi nghiên cứu tốn xấp xỉ cho tốn parabolic tuyến tính ngược thời gian Chúng tơi đánh giá ổn định hội tụ nghiệm tốn chỉnh hóa, đồng thời đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm tốn (1.1) Sau chúng tơi trình bày ví dụ cụ thể minh hóa xác nghiệm toán xấp xỉ Chương 2: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày lại kiến thức giải tích hàm giải tích thực cần thiết cho luận văn 2.1 Các không gian hàm 2.1.1 Không gian Banach Định nghĩa 2.1 Cho E khơng gian tuyến tính thực Ánh xạ : E  [0, ) gọi chuẩn thỏa: i) x  y  x  y , x,y  E, ii)  x   x, x  E,   , iii) x  0, x  E; x   x  Không gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi khơng gian định chuẩn Từ trở ta giả thiết E khơng gian tuyến tính định chuẩn   Đinh nghĩa 2.2 Ta nói dãy xn  n 1  E hội tụ u ∊ E lim xn  x = x  Ta ký hiệu: xn → x Định nghĩa 2.3 Ta nói dãy x   n n 1  E dãy Cauchy với ε > , ta tìm số nguyên dương N cho xn  xm < ε , ∀n, m ≥ N  Định nghĩa 2.4 Cho E ,  không gian định chuẩn E gọi không gian Banach với dãy Cauchy E hội tụ 2.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 2.5 Cho H khơng gian tuyến tính thực Ánh xạ , : H  H →ℝ gọi tích vơ hướng thỏa: i) u, v  v, u , ∀ u , v ∊ H , ii) u  v, w  u, w  v, w , ∀ u , v , w ∊ H , i i i) u, v   u, v , ∀ u , v ∊ H , λ ∊ ℝ , iv) u, u  , ∀u∊H ; u, u  ⇔ u=0 Ký hiệu Nếu ( , ) tích vơ hướng chuẩn khơng gian Hilbert xác định: u  u, u , u ∊ H Mệnh đề 2.6 Bất đẳng thức Schwarz u, u  u v , ∀u , v ∊H, Định nghĩa 2.7 Không gian Hilbert không gian Banach với chuẩn tạo tích vơ hướng Mệnh đề 2.8 Không gian L2( U ) không gian Hilbert với tích vơ hướng f , g =  fgdx U  Không gian Sobolev H1(U) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng f , g = ( fg  Df Dg)dx U 2.1.3 Không gian Sobolev Định nghĩa 2.9 Cho X l không Banach với chuẩn X Khônggian Lp (0, T ; X ) gồm tất hàm đo u : [0,T] → X với chuẩn u Lp (0,T ; X ) u T  p    u(t ) X dt    0  L (0,T ; X )  p , ∀1≤p 0, ta có  un (t )  un (t )  e tn  e   e tn  e e  tn2  n4 T t   n4 T t      t s  t n2  n4 T t un     e   e   fn  s  ds   t s  t n2  n4 T t un     e   e   fn  s  ds t st n  n T  t  un     e   n4 T  t  fn  s  ds   t e  tn2 t  tn  T  t  u  0   T  t   e 2 n 35 s  t  n2 n4 fn  s  ds t  2 T  t  un     T  t   n fn  s  ds  t Từ đó, sử dụng bất đẳng thức ( a + b ) ≤ ( a + b2) bất đẳng thức Holder ta  t   2 2  un (t )  un (t )    T  t  un     T  t    n fn  s  ds       t 0     t 2 2 8 ≤ T  t  un     T  t  t  n8 fn  s  ds t Cuối cùng, ta có u(., t )  u (., t)   8 t4 T  t  2 H    u (t)  u (t)   n 1  un (0)  n 1  n n t   T  t  t   n8 fn  s  ds 2 n 1 t  f  x, s  2 2 8 2   T  t  u(., 0) H   T  t  t  ds t x H Vậy ta có đánh giá với < t ≤ T u(., t )  u (., t )   T  t  L2  0,   f  x, t  u(., 0) L2 0,  t   t4 x □  L2 0, T ; L2  0,   Như với t  (0, T  u (t )  u(t ) H ε → Tại t = ta có kết tương tự nhờ vào định lý sau Định lý 4.4 Giả sử tốn (4.1) có nghiệm     u  x, t   C 0, T  ; L2  0,   L2 0, T ; H01  0,   H  0,  , thỏa 2 u  x,  L2  0,    T 2u .,  L2  ,  Khi ta có u(., 0)  u (., 0) L2  0,    T 2u .,  L2  ,  Chứng minh Từ (4.15) ta un (t )  un (t )  e   tn2  1 e   n4  T  t   t   s  t n2   n4 T  t un     e   e   fn  s  ds , 36 Suy   un (t )  un (t )   e n T un  t  Do u(., t)  u (., t) H     un (t)  un (t)  n 1    2T  n8un2  t  n 1   2T 2 u .,  Tóm lại, ta có đánh giá u(., t )  u (., t ) L2  0,    T 2u ., t  □ Định lý 4.5 Giả sử toán (4 ) có nghiệm     u  x, t   C 0, T  ; L2  0,   L2 0, T ; H01  0,   H  0,  , thỏa u  x, t   L2 0, T ; L2  0,  , t    f  x, t  x    L2 0, T ; L2  0,   Khi ∀ε>0, ta có  lim u(., 0)  u ,  0   L2  0,   Chứng minh Ta có t u  x, s ds , s u( x, t )  u  x,    Theo bất đẳng thức Holder, ta có t u u(., 0)  u(., t )  t  , s   N t ,  s N u ., t  2 t L  0, T ; L  0,    Theo định lý 4.3, ta có 37 u(., 0)  u (., t)  u(., 0)  u(., t)  u(., t)  u (., t)  N t  C , Trong C  T  t   f  x, t  u(., 0) L2 0,  t   t4 x Chọn ε > cho ε