Bài toán truyền nhiệt ngược với nguồn nhiệt phi tuyến

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : chuẩn không gian L2 (R) H2 (R) : chuẩn không gian H2 (R) : chuẩn sup không gian C([0, T ]; H2 (R)) · · | ·| R(x) = + x2 + x4 a : sai số liệu có giá trị dương : tham số chỉnh hóa phụ thuộc vào sai số liệu : biến đổi Fourier hàm f +∞ F(f )(ξ) = √ 2π f (x)e−iξx dx −∞ i Mục lục Danh mục kí hiệu i Lời nói đầu Các kết chỉnh hóa I Các kết chỉnh hóa toán nhiệt ngược với nguồn nhiệt phi tuyến 1.1 Phát biểu biến đổi toán 1.2 Tính tồn nghiệm 1.3 Tính ổn định nghiệm 12 Ví dụ minh họa 23 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 Công trình công bố 34 LỜI NÓI ĐẦU Trong khoa học ứng dụng, nhu cầu khảo sát toán ngược nêu từ lâu Bài toán ngược quan tâm ứng dụng thực tế lĩnh vực địa lí, học, xử lý ảnh Một toán ngược xét đến toán ngược thời gian cho phương trình parabolic Hơn nữa, xét truyền nhiệt vật thể yếu tố định vật liệu vật thể Mỗi vật liệu có hệ số dẫn nhiệt khác vật liệu có biến đổi theo thời gian môi trường ăn mòn, oxy hóa Trong thực tế, liệu thu nhập việc đo đạc xử lý qua máy tính hay số thiết bị hỗ trợ đó, nên không tránh khỏi sai số, dù sai số liệu nhỏ lại dẫn đến khác biệt lớn nghiệm Vì thế, cần chỉnh hóa toán, nghĩa đưa nghiệm chỉnh hóa cho nghiệm xác toán đánh giá sai số cụ thể nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Do đó, đề tài này, xét " BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN NHIỆT PHI TUYẾN." Đề tài chia thành hai chương Chương 1: Chỉnh hóa ước lượng sai số cho toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian không gian Đây phần yếu, cốt lõi đề tài với nội dung sau: Chứng minh tính nghiệm toán chỉnh hóa, chứng minh tính ổn định nghiệm toán chỉnh hóa, ước lượng sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Chương 2: Ví dụ minh họa cho kết chỉnh hóa Trong năm gần đây, toán truyền nhiệt ngược nhiều tác giả quan tâm Lattes Lions [10], Showalter [8], Tautenhahn Schr¨oter [9], Đinh Nho Hào [2] Cụ thể, Showalter dùng phương pháp tựa toán tử để khảo sát toán giá trị cuối năm 1974 (trong [8]) Năm 1996, Tautenhahn Schr¨oter nghiên cứu toán truyền nhiệt ngược thời gian (trong [1]) đưa ước lượng sai số tối ưu cho toán (trong [9]) Gần đây, năm 2007, Fu, Xiong Qian sử dụng phép biến đổi Fourier cho toán truyền nhiệt ngược đưa ước lượng sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ Tuy nhiên, tác giả xét toán parabolic với hệ số Gần đây, có vài báo xem xét toán truyền nhiệt ngược với hệ số không Cụ thể, [7], tác giả xét toán ngược cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc vào thời gian, nghĩa tìm nhiệt độ u(x, t) thỏa mãn a(t)ut (x, t) = uxx (x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ), x ∈ R, u(x, T ) = g(x), với a(t), g(x) hàm cho trước cho a(t) > 0, ∀t ∈ [0, T ) Hơn nữa, tác giả đưa ước lượng sai số dạng H¨older thời điểm ban đầu t = dạng logarit thời điểm t > nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Trong [2], Đinh Nho Hào Nguyễn Văn Đức đưa phương pháp chỉnh hóa cho toán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian ut + A(t)u = 0, u(T ) − f H ≤ , < t < T, f ∈ H, H không gian Hilbert A(t) (0 < t < T ) toán tử dương tự liên hợp không bị chặn từ D(A(t)) ⊂ H đến H f hàm liệu cho trước Trong [2], tác giả xem xét toán sau (trong [2] trang 8) ωt + B(t)ω = 0, ω(T ) = f, < t < T, α > 0, B(t) = A(t), A(2T − t), ≤ t ≤ T, T < t ≤ 2T Khi họ đặt ω(2T ) = g đề nghị nghiệm chỉnh hóa toán sau υt + B(t)υ = 0, < t < T, αυ(0) + υ(2T ) = g, α > Trong [2], họ chứng minh toán toán chỉnh đưa dạng H¨older ước lượng sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác (xem [2], định lý 3.4) với số giả thiết đòi hỏi (xem [2], điều kiện 3.1, 3.2 trang 7) hàm A Đến có nhiều báo nghiên cứu toán parabolic ngược với hệ số (xem [3]-[5],[9]) Mặt khác, báo nghiên cứu trường hợp hệ số phụ thuộc vào thời gian (như [2],[7]) Vì thế, đề tài xét toán nhiệt ngược với hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào hai biến không gian, thời gian đồng thời nguồn nhiệt vế phải hàm phi tuyến phụ thuộc vào u, ux , uxx Đây toán tổng quát chưa nghiên cứu nên nhận thấy toán có tính mẻ cần khảo sát chỉnh hóa Chương Các kết chỉnh hóa Trong chương này, trình bày chứng minh tính tồn nghiệm tính ổn định nghiệm toán chỉnh hóa đồng thời ước lượng sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa tương ứng với liệu đo đạc I Các kết chỉnh hóa toán nhiệt ngược với nguồn nhiệt phi tuyến 1.1 Phát biểu biến đổi toán Chúng xét toán parabolic ngược sau ut (x, t) − a(x, t)uxx (x, t) = f (x, t, u, ux , uxx ), (x, t) ∈ R × [0, T ) , u(x, T ) = g(x), x ∈ R, (1.1) (1.2) tồn số p, q, L > cho f (x, t, u, ux , uxx ) a(x, t) thỏa mãn < p ≤ a(x, t) ≤ q (1.3) |f (x, t, u1 , v1 , ω1 ) − f (x, t, u2 , v2 , ω2 )| ≤ L(|u1 − u2 | + |v1 − v2 | + |ω1 − ω2 |), với (x, t, u1 , v1 , ω1 ), (x, t, u2 , v2 , ω2 ) ∈ R × [0; T ] × R3 Trong đề tài này, xét nghiệm liệu toán (1.1) (1.2) không gian H2 (R) không gian L2 (R) Ngoài ra, giả sử k(t) = lim a(x, t) đặt x→∞ b(x, t) = a(x, t) − k(t), Từ (1.3), có < p ≤ k(t) ≤ q Từ đó, ta có |b(x, s)| = |a(x, s) − k(s)| ≤ |a(x, s)| + |k(s)| ≤ 2q, (1.4) ∀(x, s) ∈ R × [0; T ] Sau đó, ta có phương trình ut (x, t) − k(t)uxx (x, t) = ϕ(u, ux , uxx )(x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ) , x ∈ R, u(x, T ) = g(x), (1.5) (1.6) ϕ(u, ux , uxx )(x, t) = b(x, t)uxx (x, t) + f (x, t, u, ux , uxx ) Sử dụng phép biến đổi Fourier, tìm nghiệm toán (1.1) (1.2) sau u(x, t) = P (x, t) − K(x, t, u), (1.7) +∞ P (x, t) = √ 2π eξ (η(T )−η(t)) −∞ +∞ K(x, t, u) = √ 2π F(g)(ξ)eiξx dξ, T eξ −∞ (η(s)−η(t)) F(ϕ(u, ux , uxx ))(ξ, s)ds eiξx dξ, t t η(t) = k(s)ds (1.8) Trong đề tài này, sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân để chỉnh hóa nghiệm (1.7) toán (1.1)-(1.2) Cụ thể, xét nghiệm chỉnh hóa cho (1.7) sau u (x, t) = P (x, t) − K (x, t, u ), (1.9) a P (x, t) = √ 2π K (x, t, u ) = √ 2π eξ (η(T )−η(t)) −a a T eξ F(g)(ξ)eiξx dξ, (η(s)−η(t)) F(ϕ(u , u x , u xx ))(ξ, s)ds eiξx dξ, t −a đó, ta chọn hàm a thỏa mãn a → ∞ → 1.2 Tính tồn nghiệm Đầu tiên, có định lí 1.2.1 khẳng định tồn nghiệm toán chỉnh hóa (1.9) Để cho đơn giản hơn, định nghĩa ϕ(u , u x , u xx )(ξ, s) = ϕ(u )(ξ, s) Định lí 1.2.1 Cho g ∈ L2 (R) a(·, ·) hàm thỏa mãn điều kiện (1.3) Khi đó, tồn nghiệm chỉnh hóa uε ∈ C ([0, T ] ; H2 (R)) thỏa (1.9) Chứng minh Đặt W (u)(x, t) = P (x, t) − K (x, t, u ), +∞ P (x, t) = √ 2π eξ (η(T )−η(t)) iξx dξ, ,a ] (ξ)e −∞ +∞ K (x, t, u ) = √ 2π F(g)(ξ)χ[−a T eξ −∞ (η(s)−η(t)) F(ϕ(u ))(ξ, s)ds × χ[−a ,a ] (ξ)e iξx dξ, t t với η(t) = k(s)ds Chúng ta chứng minh ∀u, v ∈ C ([0, T ] ; H2 (R)) , k ≥ 1, ta có W (k) (u)(·, t) − W (k) (v)(·, t) H2 (R) ≤ (T − t)k k 2k k T K R (a )e2ka η(T ) |||u − v|||2 , k! (1.10) K = √ 3(L + 2q) ||| · ||| chuẩn sup C ([0, T ] ; H2 (R)) Chúng ta chứng minh (1.10) phương pháp quy nạp Với k = 1, ta có W (u)(·, t) − W (v)(·, t) H2 (R) = (1 + ξ + ξ ) F(W (u)) − F(W (v)) 2 +∞ R(ξ)|F(W (u))(ξ, t) − F(W (v))(ξ, t)|2 dξ = −∞ Mặt khác F(W (u))(ξ, t) = eξ (η(T )−η(t)) F(g)(ξ)χ[−a ,a ] (ξ)− T eξ − (η(s)−η(t)) F(ϕ(u))(ξ, s)ds × χ[−a ,a ] (ξ) t Khi |F(W (u))(ξ, t) − F(W (v))(ξ, t)| T eξ = (η(s)−η(t)) [F(ϕ(u))(ξ, s) − F(ϕ(v))(ξ, s)]ds × χ[−a ,a ] (ξ) t Từ đó, ta có H2 (R) W (u)(·, t) − W (v)(·, t) T +∞ = R(ξ)χ[−a ,a −∞ eξ ] (ξ) (η(s)−η(t)) [F(ϕ(u))(ξ, s) − F(ϕ(v))(ξ, s)]ds dξ t Áp dụng bất đẳng thức H¨older, ta có W (u)(·, t) − W (v)(·, t) H2 (R) +∞ ≤ (T − t) R(ξ)χ[−a T e2ξ ,a ] (ξ) −∞ (η(s)−η(t)) |F(ϕ(u))(ξ, s) − F(ϕ(v))(ξ, s)|2 ds dξ t Khi đó, ta có W (u)(·, t) − W (v)(·, t) T ≤ (T − t)R(a )e +∞ 2a2 η(T ) |F(ϕ(u))(ξ, s) − F(ϕ(v))(ξ, s)|2 dξ ds −∞ t T = (T − t)R(a )e H2 (R) +∞ 2a2 η(T ) |ϕ(u)(x, s) − ϕ(v)(x, s)|2 dx ds t −∞ Mặt khác, ta có |ϕ(u)(x, s) − ϕ(v)(x, s)| = |b(x, s)uxx (x, s) + f (x, s, u, ux , uxx ) − b(x, s)vxx (x, s) − f (x, s, v, vx , vxx )| ≤ 2q|uxx (x, s) − vxx (x, s)| + |f (x, s, u, ux , uxx ) − f (x, s, v, vx , vxx )| ≤ 2q|uxx (x, s) − vxx (x, s)| + +L(|u(x, s) − v(x, s)| + |ux (x, s) − vx (x, s)| + |uxx (x, s) − vxx (x, s)|) ≤ (2q + L)(|u(x, s) − v(x, s)| + |ux (x, s) − vx (x, s)| + |uxx (x, s) − vxx (x, s)|) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwarz, ta có |ϕ(u)(x, s) − ϕ(v)(x, s)|2 ≤ 3(2q + L)2 (|u(x, s) − v(x, s)|2 + |ux (x, s) − vx (x, s)|2 + |uxx (x, s) − vxx (x, s)|2 ) Từ T W (u)(·, t) − W (v)(·, t) H2 (R) ≤ (T − t)R(a )e 2a2 η(T ) K u(·, s) − v(·, s) H2 (R) ds t T ≤ (T − t)R(a )e 2a2 η(T ) K 2a2 η(T ) = (T − t)T K R(a )e |u − v |2 ds |u − v |2 Từ đó, (1.10) với k = Giả sử, (1.10) với k = n Ta chứng minh (1.10) với k = n + Thật vậy, ta có W (u)n+1 (·, t) − W (v)n+1 (·, t) H2 (R) +∞ R(ξ)|F(W (W n (u))(ξ, s) − F(W (W n )(v))(ξ, s)|2 dξ = −∞ Nên 4+α I1 (t) ≤ Cα,m e−2a đó, m = η(T ) + m + Cα,m (η(t)+m) , (1.21) > e2m |ξ| = sup 4+α |F(u)(ξ, t)|2 dξ : t ∈ [0, T ] R Từ (1.20), ta có T a eξ R(ξ) I2 (t) = −a (η(s)−η(t)) [F(ϕ(u ))(ξ, s) − F(ϕ(u))(ξ, s)]ds dξ t T a ≤ (T − t) e2ξ R(ξ) −a (η(s)−η(t)) |F(ϕ(u ))(ξ, s) − F(ϕ(u))(ξ, s)|2 ds dξ t T ≤ (T − t)R(a ) a e 2a2 (η(s)−η(t)) |F(ϕ(u ))(ξ, s) − F(ϕ(u))(ξ, s)|2 dξ ds −a t T +∞ 4+α e2a ≤ (T − t)R(a ) (η(s)−η(t)) |ϕ(u )(x, s) − ϕ(u)(x, s)|2 dx ds −∞ t (1.22) Từ (1.22), theo cách chứng minh Định lí 2.1.1, ta có T I2 (t) ≤ (T − t)R(a )e −2a4+α (η(t)+m) 4+α e2a (η(s)+m) K u (., s) − u(., s) H2 (R) ds t (1.23) Do đó, từ (1.18),(1.21),(1.23) ta có u (·, t) − u(·, t) H2 (R) 4+α ≤ Cα,m e−2a (η(t)+m) 4+α + K T R(a )e−2a (η(t)+m) × T 4+α e2a × (η(s)+m) u (·, s) − u(·, s) H2 (R) ds t Suy 4+α e2a (η(t)+m) u (·, t) − u(·, t) H2 (R) ≤ Cα,m + K T R(a ) × T 4+α e2a × t 17 (η(s)+m) u (·, s) − u(·, s) H2 (R) ds Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có T 2a4+α (η(t)+m) e u (·, t) − u(·, t) H2 (R) ≤ Cα,m e t K T (1+a2 +a4 )ds Suy T H2 (R) u (·, t) − u(·, t) K T (1+a2 +a4 )ds 4+α (η(t)+m) 4+α (η(t)+m) K T (1+a2 +a4 ) 4+α (η(t)+m) 3K T a4 ≤ Cα,m e−2a = Cα,m e−2a ≤ Cα,m e−2a e0 e e Sau đó, có u (·, t) − u(·, t) Vì < < e −1 a = H2 (R) 4+α ln( ) 4+α Cα,m e−a ≤ (η(t)+m) e2K T a4 4+α nên maα > 3K T = e−a Ta có u (., t) − u(., t) ii) Với a = ln ln( ) 4+α H2 (R) 4+α (η(t)+m) e2K 4+α (η(t)+m) e2a 4+α (η(t)+ m ) ≤ Cα,m e−a ≤ Cα,m e−a = Cα,m e−a = Cα,m 4+α ta có e−a = η(t)+ m T a4 m 4+α (1.24) ln( ) Từ (1.24), ta có u (., t) − u(., t) H2 (R) ≤ Cα,m 1 ln( ) η(t)+ m Kết thúc chứng minh Định lí 1.3.3 Giả sử a(·, ·) hàm thỏa điều kiện (1.3), α, m số dương, g, g ∈ L2 (R) cho g − g ≤ u , v hai nghiệm chỉnh hóa thỏa (1.9) tương ứng với liệu 18 xác g liệu đo g Cho u nghiệm xác toán (1.1) - (1.2) cho e2m |ξ| Cα,m = sup 4+α |F(u)(ξ, t)|2 dξ : t ∈ [0, T ] < ∞, R m = η(T ) + m + −( (i) Nếu < < min{e > 4+α 3K T ) α min{ (1−β),m} 4+α 4+α 3T ) 2+α −( 1−β ,e −1 , e } a = ln( ) đó, β ∈ (0, 1), T1 = η(T ) + Khi đó, có v (·, t) − u(·, t) đó, m1 (t) = min{β, η(t) + −( (ii) Nếu < < min{e H2 (R) √ −(ln( )) 4+α η(t) 6e + m1 (t) ≤ Cα,m , m } 4+α 3K T α (1−β),m} ) min{ 4+α 4+α 3T ) 2+α −( 1−β ,e e−1 ,e } a = ln( ) ln β ∈ (0, 1), T1 = η(T ) + Khi đó, có v (·, t) − u(·, t) H2 (R) ≤ √ + 6e η(t)+ m ln( ) −[ln(ln( ))] 4+α η(t) β Cα,m Chứng minh i) Từ Định lí 1.3.1 Định lí 1.3.2 i), có ước lượng sau v (·, t) − u(·, t) ≤ ≤ ≤ ≤ Vì < < e −( H2 (R) v (·, t) − u (·, t) √ √ √ (η(T )−η(t)) 2ea H2 (R) (1 + a2 + a4 )eK (η(T )−η(t)) a2 e3K (η(T )−η(t)) ea e3K 6ea 6ea 4+α 3K T α (1−β),m} ) min{ Nên 32 (1 − β)aα ≥ 3K T + u (·, t) − u(·, t) T a4 2 T a4 + 1−β 2+α a + Cα,m η(t)+ m 4+α 4+α ) 2+α −( 1−β η(t)+ m η(t)+ m Cα,m 3T ,0 < < e T (1+a2 +a4 ) Cα,m + H2 (R) a = ln , ≥ η(T ) + Do v (·, t) − u(·, t) H2 (R) ≤ ≤ = √ √ √ η(t) 6e−a η(t) 6e−a η(t) 6e−a (η(T )+1) ea e 1−β 4+α a 19 T a4 4+α e (1−β)a 4+α e(1−β)a e3K + Cα,m + + Cα,m Cα,m η(t)+ m η(t)+ m η(t)+ m (1.25) Vì a = 4+α ln nên a = 4+α ln a4+α = ln Ta có v (·, t) − u(·, t) √ ≤ H2 (R) √ = 6e−(ln( )) 4+α η(t) (1−β)(ln( )) 6e−(ln( )) 4+α η(t) β e + Cα,m + Cα,m η(t)+ m η(t)+ m Vì < e−1 < nên có v (·, t) − u(·, t) m1 (t) = min{β, η(t) + ii) Với a = ln ln m1 (t) ≤ H2 (R) 6e−(ln( )) 4+α η(t) + Cα,m , m } 4+α √ 4+α ta có ea = ln Từ Định lí 1.3.1, Định lí 1.3.2 ii) (1.25), có v (·, t) − u(·, t) ≤ = −1 Vì < < ee √ √ H2 (R) −a2 η(t) (1−β)a4+α 6e e + −[ln(ln( ))] 4+α η(t) 6e nên ln( v (·, t) − u(·, t) −1 )< H2 (R) −1 ≤ ln Cα,m ln( ) η(t)+ m (1−β) + Cα,m ln( ) η(t)+ m Từ đó, có √ −[ln(ln( ))] 4+α η(t) β 6e Kết thúc chứng minh 20 + Cα,m ln( ) η(t)+ m Chương Ví dụ minh họa Xét toán parabolic phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian sau ut (x, t) − (t + 1)uxx (x, t) = f (x, t, u, ux , uxx ), x ∈ R × [0, 1], 10 +∞ T + iξx e dξ, x ∈ R, u(x, T ) = √ 2π −∞ exp(ξ ) (2.1) (2.2) +∞ f (x, t, u, ux , uxx ) = √ 2π −∞ 1 + ξ exp(ξ )[F(u)(ξ, t)]2 eiξx dξ exp(ξ ) 10 Sử dụng phép biến đổi Fourier, ta tìm nghiệm xác toán (2.1) - (2.2) F(u)(ξ, t) = t+1 exp(ξ ) (2.3) Với t = 0, từ (2.3) có F(u)(ξ, 0) = exp(−ξ ) Từ (2.2), xét liệu đo sau u (x, T ) = 1+ g u(x, T ) L2 (R) Sau đó, có u (., T ) − u(., T ) 21 L2 (R) = (2.4) Từ (1.9) (2.4), có nghiệm chỉnh hóa tương ứng với liệu đo u (x, T ) a v (x, t) = √ 2π W (v )(ξ, t)eiξx dξ, (2.5) −a W (v )(ξ, t) = eξ (η(T )−η(t)) T eξ F(u (., T ))(ξ) − (η(s)−η(t)) F(ϕ(v ))(ξ, s)ds t Từ Định lí 2.1.1, xây dựng dãy lặp cho (2.5) sau v ,0 (x, t) = 0, v ,m (x, t) = √ 2π Chúng xét trường hợp a W (v ,m−1 )(ξ, t)eiξx dξ −a = 10−1 , = 10−2 , = 10−3 , = 10−4 , = 10−5 m = Tiếp theo, đưa ước lượng sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa tương ứng với i, i = 1, , Từ (2.3), (2.5) a = ln 1 4+α , α = Chúng đưa ước lượng sai số cho trường hợp t = t = 0.5 qua bảng sau −1 10 10−2 10−3 10−4 10−5 a 1.1815 1.3572 1.4719 1.5590 1.6302 v i ,m (., 0) − u(., 0) 1.893006e-001 9.136848e-002 8.323968e-002 8.245527e-002 8.237714e-002 H2 (R) v i ,m (., 0.5) − u(., 0.5) 1.509481e-001 3.564856e-002 2.697330e-002 2.618288e-002 2.610478e-002 H2 (R) Sau đó, vẽ đồ thị phép biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa v i ,m , m = thời điểm t = để minh họa trực quan cho ví dụ (xem hình 2.1) Kế tiếp, vẽ đồ thị nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa v i ,m , m = thời điểm t = 0.5 (xem hình 2.2) Trong đề tài này, sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân để làm xấp xỉ nghiệm 22 xác Tiếp theo, đánh giá hội tụ dựa cách chọn a Nếu chọn a khác, nhận kết khác đánh giá hội tụ Từ (2.3), (2.5) a = ln ln 4+α , α = Chúng đưa ước lượng sai số cho trường hợp t = t = 0.5 qua bảng sau 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 a 0.9644 0884 1.1409 1.1730 1.1956 v i ,m (., 0) − u(., 0) 3.453660e-001 1.524949e-001 1.083441e-001 9.555908e-002 8.916650e-002 H2 (R) v i ,m (., 0.5) − u(., 0.5) 4.670423e-001 1.912214e-001 1.115883e-001 7.901510e-002 6.128168e-002 H2 (R) Tiếp theo, vẽ đồ thị phép biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa v i ,m , m = thời điểm t = cho trường hợp a = ln ln 1 4+α , α = (xem hình 2.3) Cuối cùng, vẽ đồ thị phép biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa v i ,m , m = thời điểm t = 0.5 cho trường hợp a = ln ln 1 4+α , α = (xem hình 2.4) Một điều lưu ý đây, mặt lý thuyết xét toán parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc vào thời gian không gian vế phải nguồn nhiệt phi tuyến Tuy nhiên, khảo sát ví dụ toán parabolic phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian Đó điểm yếu ví dụ minh họa đề tài 23 Hình 2.1: Phép biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa v i ,m , m = thời điểm t = 24 Hình 2.2: Phép biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa v i ,m , m = thời điểm t = 0.5 25 Hình 2.3: Phép biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa v i ,m , m = thời điểm t = cho trường hợp a = ln ln 1 4+α 26 Hình 2.4: Phép biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa v i ,m , m = thời điểm t = 0.5 cho trường hợp a = ln ln 4+α 27 KẾT LUẬN Đề tài đạt kết sau: 1) Chỉnh hóa toán parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc vào thời gian không gian nguồn nhiệt phi tuyến phụ thuộc vào u, ux , uxx 2) Trình bày chứng minh chi tiết số định lí tồn nghiệm chỉnh hóa, tính ổn định nghiệm toán chỉnh hóa, ước lượng sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác 3) Đưa ví dụ số để minh họa cho định lí chỉnh hóa 4) Tất kết công bố báo: Quan P H., Trong D D., Triet L M., On a backward nonlinear parabolic equation with time and space dependent thermal conductivity: Regularization and error estimates, (2014), J Inverse Ill-Posed Probl., Vol 22, pp 375-402 (SCIE) 28 Tài liệu tham khảo [1] C -L Fu, X -T Xiong and Z Qian, 2007, Fourier regularization for a backward heat equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications 331, no 1, 472-480 [2] D N Hao N V Duc, 2011, Stability results for backward parabolic equations with time-dependent coefficients, Inverse Problems 27, no 2, Article ID 025003 [3] D D Trong, P H Quan, T V Khanh and N H Tuan, 2007, A nonlinear case of the 1-D backward heat problem: Regularization and error estimate, Zeitschrift f¨ ur Analysis und ihre Anwendungen 26, no 2, 231-245 [4] D D Trong, P H Quan and N H Tuan, 2010, A final value problem for heat equation: Regularization by truncation method and new error estimates, Acta Universitatis Apulensis, no 22 , 41-52 [5] P T Nam, D D Trong and N H Tuan, 2010, The truncation method for a twodimensional nonhomogeneous backward heat problem, Applied Mathematics and Computation, no 216, 3423-3432 [6] P H Quan, D D Trong, L M Triet, 2013, On a backward nonlinear parabolic equation with time and space dependent thermal conductivity: Regularization and error estimates , J Inverse Ill-Posed Probl., Ahead of Print DOI 10.1515/jip-2012-0012 [7] P H Quan, D D Trong, L M Triet, N H Tuan, 2011, A modified quasi-boundary value method for regularizing of a backward problem with time-dependent coefficient , Inverse Problems in Science and Engineering 19, no 3, 409-423 29 [8] R E Showalter, 1974, The final value problem for evolution equations, Journal of Mathematical Analysis and Application, no 47 , 563-572 [9] U Tautenhahn and T Schr¨oter, 1996, On optimal regularization methods for the backward heat equation, Zeitschrift f¨ ur Analysis und ihre Anwendungen no 15, 475-493 [10] R Lattes and J L Lions, 1967, Méthode de quasi-reversibilite et applications, Dunod, Paris 30 CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ Quan P H., Trong D D., Triet L M., On a backward nonlinear parabolic equation with time and space dependent thermal conductivity: Regularization and error estimates, (2014), J Inverse Ill-Posed Probl., Vol 22, pp 375-402 (SCIE) 31 [...]... trường hợp a = ln ln 1 1 4+α , α = 1 (xem hình 2.4) Một điều lưu ý ở đây, về mặt lý thuyết chúng tôi xét bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian và vế phải là một nguồn nhiệt phi tuyến Tuy nhiên, chúng tôi chỉ mới khảo sát được ví dụ bài toán parabolic phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian Đó là một điểm yếu của ví dụ minh họa trong đề tài này 23 Hình 2.1:... 4+α 1 27 KẾT LUẬN Đề tài đã đạt được các kết quả chính như sau: 1) Chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian và nguồn nhiệt phi tuyến phụ thuộc vào u, ux , uxx 2) Trình bày và chứng minh chi tiết một số định lí về sự tồn tại nghiệm chỉnh hóa, tính ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa, ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác 3)... minh họa Xét bài toán parabolic phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian sau ut (x, t) − 1 (t + 1)uxx (x, t) = f (x, t, u, ux , uxx ), x ∈ R × [0, 1], 10 +∞ 1 T + 1 iξx e dξ, x ∈ R, u(x, T ) = √ 2π −∞ exp(ξ 6 ) (2.1) (2.2) trong đó +∞ 1 f (x, t, u, ux , uxx ) = √ 2π −∞ 1 1 + ξ 2 exp(ξ 6 )[F(u)(ξ, t)]2 eiξx dξ 6 exp(ξ ) 10 Sử dụng phép biến đổi Fourier, ta tìm được nghiệm chính xác của bài toán (2.1)... một nghiệm chỉnh hóa thỏa (1.9) tương ứng với dữ liệu chính xác g ∈ L2 (R) và u là nghiệm chính xác của bài toán (1.1) - (1.2) thỏa e2m |ξ| Cα,m = sup 4+α |F(u)(ξ, t)|2 dξ : t ∈ [0, T ] R 14 < ∞, trong đó m = η(T ) + m + 3 2 > 0 2 2 4+α −( 3KmT ) α i) Nếu 0 < < min{e , e−1 } và a = u (·, t) − u(·, t) H2 (R) ln( 1 ) ≤ 1 4+α Khi đó, ta có Cα,m η(t)+ m 2 , (2.9) với mọi t ∈ [0, T ) 2 2 −( 3KmT ) ii) Nếu... sử a(·, ·) là một hàm thỏa điều kiện (1.3), α, m là các số dương, g, g ∈ L2 (R) sao cho g − g 2 ≤ và u , v là hai nghiệm chỉnh hóa thỏa (1.9) lần lượt tương ứng với dữ liệu chính 18 xác g và dữ liệu đo g Cho u là nghiệm chính xác của bài toán (1.1) - (1.2) sao cho e2m |ξ| Cα,m = sup 4+α |F(u)(ξ, t)|2 dξ : t ∈ [0, T ] < ∞, R 3 2 trong đó m = η(T ) + m + −( (i) Nếu 0 < < min{e > 0 4+α 3K 2 T 2 ) α min{... minh 11 1.3 Tính ổn định nghiệm Chúng ta có định lí 1.3.1 khẳng định sự ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa (1.9) Định lí 1.3.1 Cho a(·, ·) là hàm thỏa điều kiện như Định lí 1.2.1, là một số dương, g và g là các hàm thuộc L2 (R) sao cho g − g 2 ≤ Giả sử u và v là hai nghiệm chỉnh hóa thỏa (1.9) lần lượt tương ứng với dữ liệu chính xác g và dữ liệu đo g trong L2 (R) Khi đó, ta được √ 2 2 2 u (., t) −... nghiệm chính xác của bài toán (2.1) - (2.2) là F(u)(ξ, t) = t+1 exp(ξ 6 ) (2.3) Với t = 0, từ (2.3) chúng ta có F(u)(ξ, 0) = exp(−ξ 6 ) Từ (2.2), chúng tôi xét dữ liệu đo sau u (x, T ) = 1+ g u(x, T ) L2 (R) Sau đó, chúng ta có được u (., T ) − u(., T ) 21 L2 (R) = (2.4) Từ (1.9) và (2.4), chúng ta có nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu đo u (x, T ) a 1 v (x, t) = √ 2π W (v )(ξ, t)eiξx dξ, (2.5) −a... đo g trong L2 (R) Khi đó, ta được √ 2 2 2 u (., t) − v (., t) H2 (R) ≤ 2ea (η(T )−η(t)) R(a )eK T R(a ) , (1.11) trong đó a → ∞ khi → 0 Chứng minh Từ (1.9), chúng ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu chính xác a 1 u (x, t) = √ 2π T e ξ 2 (η(T )−η(t)) eξ F(g)(ξ) − −a 2 (η(s)−η(t)) F(ϕ(u ))(ξ, s)ds eiξx dξ, (1.12) t và nghiệm chỉnh hóa tương ứng dữ liệu đo g a 1 v (x, t) = √ 2π T ξ 2 (η(T... √ ≤ H2 (R) √ = 2 6e−(ln( 1 )) 4+α η(t) (1−β)(ln( 1 )) 6e−(ln( 1 )) 4+α η(t) β e 2 + Cα,m + Cα,m η(t)+ m 2 η(t)+ m 2 Vì < e−1 < 1 nên chúng ta có v (·, t) − u(·, t) trong đó m1 (t) = min{β, η(t) + ii) Với a = ln ln m1 (t) ≤ H2 (R) 6e−(ln( 2 1 )) 4+α η(t) + Cα,m , m } 2 1 4+α 1 √ 4+α ta có ea 1 = ln Từ Định lí 1.3.1, Định lí 1.3.2 ii) và (1.25), chúng ta có v (·, t) − u(·, t) ≤ = −1 Vì 0 < < ee √ √... đó, chúng ta có được |W k (u) − W k (v) | = max W k (u)(., t) − W k (v)(., t) t∈[0;T ] H2 (R) k Tk 2 ≤ √ K k R 2 (a )eka η(T ) |u − v | k! Chúng ta xét ánh xạ W : C([0, T ]; H2 (R)) → C([0, T ]; H2 (R)) Với k Tk 2 √ K k R 2 (a )eka η(T ) → 0, k! khi k → +∞ Khi đó, tồn tại một số nguyên dương k0 sao cho k0 T k0 2 √ K k0 R 2 (a )ek0 a η(T ) < 1 k0 ! và ánh xạ W k0 là ánh xạ co Ta chứng minh W (u) = u có ... sát toán ngược nêu từ lâu Bài toán ngược quan tâm ứng dụng thực tế lĩnh vực địa lí, học, xử lý ảnh Một toán ngược xét đến toán ngược thời gian cho phương trình parabolic Hơn nữa, xét truyền nhiệt. .. chỉnh hóa toán, nghĩa đưa nghiệm chỉnh hóa cho nghiệm xác toán đánh giá sai số cụ thể nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Do đó, đề tài này, xét " BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN NHIỆT PHI TUYẾN." Đề... Fourier cho toán truyền nhiệt ngược đưa ước lượng sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ Tuy nhiên, tác giả xét toán parabolic với hệ số Gần đây, có vài báo xem xét toán truyền nhiệt ngược với hệ số không