Phương pháp sai phân đối với bài toán truyền nhiệt đối lưu không dừng có hệ số liên tục

®¹i häc th¸I nguyªn Tr-êng ®¹i häc khoa häc Tr-¬ng tiÕn hoµng PH¦¬ng ph¸p sai ph©n ®èi víi bµi to¸n trun nhiƯt ®èi l-u kh«ng dõng cã hƯ sè liªn tơc ln v¨n th¹c sÜ to¸n häc Th¸i nguyªn, n¨m 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ®¹i häc th¸I nguyªn Tr-êng ®¹i häc khoa häc Tr-¬ng tiÕn hoµng PH¦¬ng ph¸p sai ph©n ®èi víi bµi to¸n trun nhiƯt ®èi l-u kh«ng dõng cã hƯ sè liªn tơc Chuyªn ngµnh: To¸n øng dơng M· sè : 60 46 01 12 ln v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: Ts. Ngun ®×nh b×nh Th¸i nguyªn, n¨m 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời mở đầu iii 1 Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt một chiều 1 1.1 Phát biểu bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Lưới sai phân và hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Xấp xỉ các đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Phương pháp ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.1 Xây dựng phương pháp . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.2 Bài tốn sai phân đối với sai số . . . . . . . . 6 1.4.3 Sự xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.4 Sự ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.5 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Phương pháp sai phân hiện . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.1 Xây dựng phương pháp . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.2 Bài tốn sai phân đối với sai số . . . . . . . . 9 1.5.3 Sự xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.4 Sự ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.5 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Phương pháp sai phân với bài tốn Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục 13 i Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.1 Bài tốn đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Lưới sai phân, hàm lưới và đạo hàm lưới . . . . . . . 15 2.2.1 Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2 Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3 Đạo hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Bài tốn sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 Ký hiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.2 Xấp xỉ các đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . 18 2.3.3 Phát biểu bài tốn sai phân . . . . . . . . . . 25 2.4 Phương pháp giải bài tốn sai phân . . . . . . . . . . 26 2.4.1 Quy bài tốn sai phân về dạng hệ phương trình ba đường chéo . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.2 Phương pháp truy đuổi . . . . . . . . . . . . . 30 3 Sự ổn định, hội tụ và sai số 32 3.1 Sự ổn định của phương pháp sai phân . . . . . . . . . 32 3.1.1 Khái niệm về sự ổn định, bất đẳng thức ổn định 36 3.1.2 Xét bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.3 Ý nghĩa của bất đẳng thức ổn định . . . . . . 42 3.2 Sự hội tụ và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời mở đầu Bài tốn truyền nhiệt là một trong ba bài tốn vật lý tốn cơ bản mà chúng ta hay gặp trong thực tế. Việc giải các bài tốn đó để có được đáp số bằng số là một u cầu quan trọng của thực tiễn. Trong một số ít trường hợp, chúng ta có thể tìm được nghiệm tường minh. Tuy nhiên trong đa số trường hợp, đặc biệt đối với các bài tốn có hệ số hàm thì nghiệm tường minh của bài tốn là khó có thể xác định được, hoặc nghiệm tường minh ở dạng rất phức tạp. Vì vậy trong trường hợp này chúng ta thường dựa vào các phương pháp giải gần đúng để tìm nghiệm. Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Nội dung của nó là đưa bài tốn cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương trình sai phân sao cho việc tính tốn thuận tiện, đồng thời vẫn đảm bảo được tính ổn định của lược đồ, cũng như đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm gần đúng tìm được tới nghiệm đúng của bài tốn. Trong phạm vi của bản luận văn này, tác giả tìm hiểu về phương pháp sai phân với bài tốn Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục, mà cụ thể được trình bày theo bố cục sau Chương 1: Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt một chiều. Chương 2: Phương pháp sai phân với bài tốn Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục. Chương 3: Sự ổn định, hội tụ và sai số. Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Khoa iii Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ học - Đại học Thái Ngun. Qua đây tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cơ giáo Khoa Tốn ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong q trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS Nguyễn Đình Bình, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hồn thành luận văn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tác giả q trình học tập của mình. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ để luận văn được hồn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Ngun, ngày 05 tháng 08 năm 2013. Tác giả Trương Tiến Hồng iv Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt một chiều Trong chương này tác giả trình bày một số kiến thức chuẩn bị về bài tốn, lưới sai phân, hàm lưới và hai phương pháp cơ bản để giải bài tốn sai phân. 1.1 Phát biểu bài tốn Cho các số a, b thỏa mãn a < b và T > 0. Xét Q T = (a, b) × (0, T ]; Q T = [a, b] × [0, T ] Xét bài tốn biên thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt Tìm hàm số u(x, t) thỏa mãn Lu ≡ ∂u ∂t − ∂ 2 u ∂x 2 = f(x, t); (x, t) ∈ Q T , (1.1) u(x, 0) = g(x); a < x < b, (1.2) u(a, t) = g a (t); u(b, t) = g b (t); 0 < t ≤ T, (1.3) trong đó f(x, t), g(x), g a (t), g b (t) là những hàm số cho trước. Phương trình (1.1) là phương trình loại parabol với u(x, t) là nhiệt độ tại vị trí x. thời điểm t và phương trình (1.1) là phương 1 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ trình truyền nhiệt một chiều. với x là biến khơng gian, t là biến thời gian. Bài tốn (1.1)÷ (1.3) là bài tốn vừa có điều kiện ban đầu (điều kiện (1.2)) vừa có điều kiện biên (điều kiện (1.3)) nên đó là bài tốn biên loại 1 đối với phương trình (1.1). Giả sử (1.1)÷ (1.3) có nghiêm duy nhất đủ hơn trong Q T . 1.2 Lưới sai phân và hàm lưới 1.2.1 Lưới sai phân Chọn 2 số ngun N ≥ 1, M ≥ 1. Đặt h = b − a N ; x i = a + ih; i = 0, 1, 2, N, τ = T M ; t i = jτ; j = 0, 1, M. Hình 1.1 Chia miền Q T thành ơ bởi đường thẳng x = x i , t = t j . Mỗi điểm (x i , t i ) gọi là một nút. Nút (x i , t j ) viết gọn là (i, j). h là bước đi theo khơng gian, τ gọi là bước đi theo thời gian. 2 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tập tất cả các nút tạo thành một lưới sai phân trên Q T . Lưới trên (a, b]( lưới khơng gian). - Tập Ω h = {x i = |i = 1, 2, , N − 1} gọi là tập các nút lân cận trên [a, b]. - Tập Γ h = {x i = |i = 0, N} gọi là tập các nút trên [a, b]. Nút 0 và nút N là hai nút biên. - Tập Ω h = Ω h ∪Γ h gọi là một lưới sai phân trên [a, b]. Lưới trên [0, T] (lưới thời gian). - Tập Ω τ = {t j |j = 1, 2, M} gọi là một lưới sai phân trên (0, T]. - Tập {Ω τ = {t j |j = 0, 1, M} = Ω τ ∪ {t 0 = 0} gọi là một lưới sai phân trên [0, T], nút t 0 = 0 là nút ban đầu. - Tập Ω hτ = Ω h × Ω τ là tập các nút trên Q T . - Tập Γ hτ − = {x 0 = a} × Ω τ gọi là tập các nút bên trái. - Tập Γ hτ + = {x 0 = b} × Ω τ gọi là tập các nút bên phải. - Tập Γ 0 hτ = Ω h × {t 0 = 0} gọi là tập các nút ban đầu. vậy tập Ω hτ = Ω h × Ω τ là lưới sai phân trên Q T . Ta phân lưới sai phân Q T thành nhiều lớp. Lớp thứ j tạo bởi các nút ứng cùng một giá trị thời gian t j là Ω j h = {(x i , t j ), i = 0, 1, , N}, nút (x 0 , t j ) = (a, t j ) với (x N , t j ) = (b, t i ) là hai nút biên. 1.2.2 Hàm lưới Hàm số xác định tại các nút của một lưới nào đó gọi là hàm lưới. Giá trị của hàm lưới v tại nút (i, j) viết là v j i . Các giá trị của hàm 3 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ lưới v tại các nút của lớp Ω j h tạo thành hàm lưới v j xác định trên Ω h . Ta có v j = (v j 0 , v j 1 , , v j N ) ∈ R N+1, , trong tập các hàm lưới này ta xét hai chuẩn  v j  ∞ = max 0≤i≤N {|v j i |}.  v i  2 =  (v i 0 ) 2 + (v i 1 ) 2 + + (v i N ) 2 . Mỗi hàm số u(x, t) xác định trên Q T có giá trị tại (i, j) là u(x j , t j ) và tạo ra hàm lưới u xác định bởi u j i = u(x i , t j ). 1.3 Xấp xỉ các đạo hàm Áp dụng cơng thức Taylor F (x, x) = F (x) + x 1! F  (x) + (x) 2 2! F  (x) + + (x) m m! F (m) (x) + O((x) m+1 ). ta có u(x i , t j+1 ) − u(x i , t j ) τ = ∂u ∂t (x i , t j ) + O(τ), (1.4) u(x i , t j+1 ) − u(x i , t j ) τ = ∂u ∂t (x i , t j+1 ) + O(τ), (1.5) u(x i , t j+1 ) − u(x i , t j ) τ = ∂u ∂t (x i , t j + l/2) + O(τ 2 ), (1.6) u(x i+1 , t j ) − 2u(x i , t j ) + u(x i−1 , t j ) h 2 = ∂ 2 u ∂x 2 (x i , t j ) + O(h 2 ), (1.7) u(x i+1 , t j+1 ) − 2u(x i , t j+1 ) + u(x i−1 , t j+1 ) h 2 = ∂ 2 u ∂x 2 (x i , t j+1 ) + O(h 2 ), (1.8) 1 2  u(x i+1 , t j+1 ) − 2u(x i , t j+1 ) + u(x i−1 , t j+1 ) h 2 + u(x i+1 , t j ) − 2u(x i , t j ) + u(x i−1 , t j ) h 2  = ∂ 2 u ∂x 2 (x i , t j + τ/2) + O(h 2 + τ 2 ), (1.9) 4 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... với hạn chế (1.33), sự xấp xỉ (1.31) cho zi ∞ := v i − ui ∞= 0(τ + h2 ) (1.36) Đó là sự hội tụ: Khi τ và h dần đến số khơng mà vẫn ln tn theo hạn chế (1.33) thì sai số z j = v j − uj → 0, đồng thời sai số có đánh giá (1.36) là một vơ cùng bé bậc một đối với τ và bậc hai đối với h 12 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Phương pháp sai phân với bài tốn Truyền nhiệt đối lưu. .. là sơ đồ ẩn bốn điểm Hệ (1.31) là một hệ ba đường chéo có thể giải bằng phương pháp truy hồi 1.4.2 Bài tốn sai phân đối với sai số Gọi v là nghiệm của bài tốn sai phân (1.11), (1.12), (1.13) và u là nghiệm của bài tốn vi phân (1.1), (1.2), (1.3) Đặt z = v - u thì z là sai số phương pháp Ta có Lhτ z = Lhτ v − Lhτ u Do đó Lhτ z = ϕ, ϕ = f − Lhτ u 6 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/... C5 là các hằng số dương Giả sử bài tốn (2.1) ÷ (2.4) có nghiệm duy nhất u(x, t) và nghiệm đó đủ trơn đến cấp cần thiết (đạo hàm liên tục đến cấp 4 đối với x, cấp 2 đối với t) Nhận xét về bài tốn đạo hàm riêng đã đặt ra ∂ ∂u *) A(x, t) là đại lượng khuếch tán (ở đây là khuếch tán ∂x ∂x nhiệt) , A(x, t) là hệ số khuếch tán nhiệt ∂u *) B(x, t) là đại lượng đối lưu, B(x, t) là hệ số đối lưu ∂x Chính vì... ở phương án j 0 j hiện: chúng cho vi , v0 , cj nhưng ở đây khi biết vi ở lớp j muốn N j+1 tính vi ở lớp j +1 ta phải giải hệ đại số tuyến tính (1.14) đối với j+1 j+1 j+1 v1 , v2 , , vN Theo nghĩa đó ta nói phương sai sai phân (1.11), (1.12), (1.13) là một phương pháp ẩn Nó còn có tên là phương pháp ẩn cổ điển Phương pháp này có sơ đồ ở hình 1.3 Sơ đồ này gọi là sơ đồ ẩn bốn điểm Hệ (1.31) là một hệ. .. bài tốn Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục Trong chương này sẽ trình bày về "bài tốn biên loại 3" (bài tốn về truyền nhiệt trên một thanh vật chất mỏng, đồng chất có chiều dài 1 đơn vị dài, có các hệ số vật lý là các hàm số liên tục trên miền xét là 1 đơn vị dài và khoảng thời gian là 1 đơn vị thời gian) Đây cũng chính là nội dung chính của luận văn 2.1 Bài tốn đạo hàm riêng Tìm hàm u(x,... 0 ta ln có ri , sj , sj ≥ 0 1 4 17 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.3.2 Xấp xỉ các đạo hàm riêng Theo giả thiết, hàm u(x, t) thỏa mãn điều kiện của đạo hàm liên tục đến cấp bốn đối với x, cấp hai đối với t và hàm số A(x, t) thỏa mãn điều kiện có đạo hàm liên tục đến cấp ba đối với x và cấp một đối với t Do đó, ta sử dụng được cơng thức khai triển Taylor cho các hàm số u(x,... = l uj + h f j + O(h2 + τ )  1hτ N 1 N 2 N (2.29) Cơng thức (2.29) có nghĩa là tốn tử đạo hàm riêng được xấp xỉ bằng tốn tử sai phân với sai số là O(h2 + τ ) 2.4 Phương pháp giải bài tốn sai phân 2.4.1 Quy bài tốn sai phân về dạng hệ phương trình ba đường chéo Theo (2.26), ta có vt − r avx − b+ a(+1) vx + b− avx + dv j i = fij hay j j j j j−1 j vj vi − vi j j vi − vi−1 i+1 − vi (+1) − ri a − ai −...Vậy ta có nhiều cách xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng (1.1) nên ta suy ra có nhiều phương án khác nhau thay thế bài tốn vi phân bởi bài tốn sai phân 1.4 Phương pháp ẩn 1.4.1 Xây dựng phương pháp Áp dụng (1.5),(1.8) ta có u(xi , tj+1 ) − u(xi , tj ) u(xi+1 , tj+1 ) − 2u(xi , tj+1 ) + u(xi−1 , tj+1 ) − τ h2 ∂u ∂ 2u = (xi , tj+1 ) − 2 (xi , tj+1 ) + O(h2 + τ ) ∂t ∂x (1.10) j Để có vi ≈ u(xi ,... như sau j j vi+1 − vi j (vx )i = gọi là đạo hàm sai phân tiến theo biến số x h j j vi − vi−1 j (vx )i = gọi là đạo hàm sai phân lùi theo biến số x h j+1 j vi − vi j (vt )i = gọi là đạo hàm sai phân tiến theo thời gian t τ j j−1 vi − vi j (vt )i = gọi là đạo hàm sai phân lùi theo thời gian t τ Trong đó i = 1, N − 1, j = 1, M − 1 2.3 2.3.1 Bài tốn sai phân Ký hiệu chung Đặt B + = 0.5(B + |B|), B − =... vì hai lý do trên mà bài tốn đạo hàm riêng (2.1) ÷ (2.4) có tên gọi là bài tốn "khuếch tán - đối lưu" • Bài tốn đạo hàm riêng (2.1) ÷ (2.4) có nghiệm duy nhất u(x, t), hàm u(x, t) chính là hàm nhiệt độ của thanh vật chất ở vị trí x và thời điểm t • Hàm A(x, t) khơng thể khuyết, còn các hàm số khác: hàm B(x, t),,D(x, t) và hàm f (x, t) có thể khuyết trong phương trình (2.1) • Nếu bài tốn cho trên đoạn . hiểu về phương pháp sai phân với bài tốn Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục, mà cụ thể được trình bày theo bố cục sau Chương 1: Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt một. http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Phương pháp sai phân với bài tốn Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục Trong chương này sẽ trình bày về " ;bài tốn biên loại 3" (bài tốn về truyền nhiệt trên một. 2: Phương pháp sai phân với bài tốn Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục. Chương 3: Sự ổn định, hội tụ và sai số. Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Khoa iii Số