chỉnh hóa bài toán truyền nhiệt ngược với nguồn phi tuyến

Chính vì đặc điểm này mà các nhà khoa học phải tập trung tìm các phương pháp để chỉnh hóa nó, nghĩa là tìm một nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ liệu để có thể ứng dụng tính số tro

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hồng Nhi

CHỈNH HÓA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hồng Nhi

CHỈNH HÓA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT

NGƯỢC VỚI NGUỒN PHI TUYẾN

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CÁM ƠN

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã nhận được sự giúp đỡ rất nhiệt tình từ Thầy hướng dẫn Đặng Đức Trọng, Thầy đã nhận xét cũng như góp ý cho tôi rất nhiều để tôi có thể hoàn thành tốt đề tài luận văn của mình Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy và tôi cũng xin cảm ơn ban quản lý thư viện của nhà trường, một số thầy cô trong khoa đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong việc mượn các tài liệu tham khảo Cuối cùng, tôi xin được cảm

ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên tôi trong suốt thời gian qua

Do thời gian có hạn và trình độ bản thân còn nhiều hạn chế, bản luận văn chắc chắn khó tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn học viên

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2013

Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Hồng Nhi

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN 1

MỤC LỤC 2

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 4

MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9

1.1 Một số kiến thức cơ bản về không gian hàm 9

1.1.1 Không gian Lp, 1 ≤ p ≤ ∞ 9

1.1.2 Không gian Sobolev 9

1.2 Một số bất đẳng thức quan trọng 11

1.2.1 Bất đẳng thức Holder 11

1.2.2 Bất đẳng thức Gronwall 12

1.3 Biến đổi Fourier 13

1.4 Nguyên lý ánh xạ co Banach 18

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP MỘT 21

2.1 Định nghĩa 21

2.2 Biến đổi Fourier của bài toán (2.1) 21

2.3 Tính khô ng chỉnh của bài toán (2.2) 22

2.4 Chỉnh hóa bài toán (2.2) 23

2.4.1 Các kết quả chính 24

2.4.2 Tính chỉnh của bài toán ( ) Pϕ 26

2.4.3 Sự chỉnh hóa và các ước lượng sai số 32

CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP MỘT VỚI BIẾN KHÔNG GIAN HAI CHIỀU 40

3.1 Định nghĩa 40

3.2 Biến đổi Fourier của bài toán (3.1) 40

3.3 Tính không chỉnh của bài toán (3.2) 42

3.4 Chỉnh hóa bài toán (3.2) 43

3.4.1 Các kết quả chính 44

3.4.2 Tính chỉnh của bài toán ( )' Pϕ 47

3.4.3 Sự chỉnh hóa và các ước lượng sai số 53

KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

N

R Không gian Euclide N chiều

u Hàm nhiệt hoặc hàm tổng quát

1 Nghiệm không tồn tại

2 Nghiệm (nếu tồn tại) không duy nhất

3 Nghiệm không ổn định (tức nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu)

Chính vì đặc điểm này mà các nhà khoa học phải tập trung tìm các phương pháp để chỉnh hóa nó, nghĩa là tìm một nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ liệu để có thể ứng dụng tính số trong các bài toán cụ thể

Trong khoảng 40 năm gần đây, có rất nhiều tác giả đã nghiên cứu các bài toán nhiệt ngược thời gian tuyến tính Các tác giả Lattes-Lions [11], Miller [12], Đặng Đức Trọng và Nguyễn Huy Tuấn [17] đã nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa được gọi là phương pháp tựa khả nghịch bằng cách làm nhiễu phương trình chính Các tác giả Clark và Oppenheiner [8]

đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa khác bằng cách làm nhiễu giá trị cuối (phương pháp giá trị tựa biên) Gần đây, bài toán cũng được nghiên cứu trong nhiều tài liệu

Sau năm 2000, ta có thể tìm thấy một vài bài báo liên quan đến bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến Trong tài liệu [6, 7], các tác giả đã đưa ra một kết quả về tính ổn định cấu trúc cho phương trình Ginzburg-Landau Các tác giả Phạm Hoàng Quân và Nguyễn Dũng, trong tài liệu [13], đã nghiên cứu một phương pháp chỉnh hóa bằng cách biến đổi bài toán thành bài toán cực tiểu một phiếm hàm thích hợp Trong tài liệu [14], các tác giả sử dụng biến đổi Fourier để có phương trình tích phân trong không gian tần số Bằng cách gây nhiễu trực tiếp phương trình tích phân, họ đã xây dựng được một phương pháp chỉnh hóa Trong tài liệu [16], các tác giả đã kết hợp hai phương pháp tựa khả nghịch và tựa giá trị biên

để chỉnh hóa bài toán Và gần đây, trong tài liệu [19], các tác giả đã sử dụng phương pháp cắt ngắn chuỗi Fourier để chỉnh hóa bài toán, đây là một phương pháp chỉnh hóa mới khá hiệu quả Tuy nhiên, rất hiếm tài liệu đề cập đến việc chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp một Bởi vậy, chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài “Chỉnh

hóa bài toán truyền nhiệt ngược với nguồn phi tuyến” với mục đích chính là sẽ trình bày sự

chỉnh hóa bài toán này một cách tốt hơn Trong luận văn, chúng tôi tham khảo các chi tiết

của bài báo “Regularization of a backward heat transfer problem with a nonlinear source”,

xem [20] Ý tưởng của bài báo là từ điều kiện cuối u x T , ta xét bài toán tìm hàm u ( , ) thỏa

( ) ( )

u −u = f x t u x t u x t x t ∈ ×R T Bài toán là không chỉnh và ta sẽ dùng biến đổi Fourier để được một phương trình tích phân trong không gian tần số Bằng việc cắt ngắn các tần số cao ta sẽ cho ra một nghiệm chỉnh hóa Các ước lượng sai số được cho trước

Về bố cục, ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương với nội dung tóm tắt như sau:

• Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này sẽ trình bày các kiến thức chuẩn bị cần thiết được sử dụng trong các chương tiếp theo của luận văn Các kiến thức được nhắc tới ở đây bao gồm:

 Một số kiến thức cơ bản về không gian hàm

Bằng cách sử dụng biến đổi Fourier, ta đưa bài toán (2.1) về bài toán (2.2) như sau:

u p t =e − ϕ p −∫ e − F p s ds, trong đó

 Chứng minh tính không chỉnh của bài toán (2.2)

Ở bài toán (2.2), ta chú ý các nhân tử xấu là

 Chỉnh hóa bài toán (2.2)

Để chỉnh hóa bài toán (2.2), ta sẽ dùng phương pháp cắt ngắn, phương pháp này sẽ cho những kết quả về sự ổn định nghiệm và các đánh giá sai

số mới hiệu quả hơn Ta sẽ xấp xỉ bài toán (2.2) bằng bài toán sau:

Bài toán Pϕ Với 2( )

i Bài toán ( )Pϕ là bài toán chỉnh

ii Đánh giá sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ uε( )x t, về nghiệm chính xác

( ),

u x t

iii Từ dữ liệu đo đạc ta xây dựng một hàm số hội tụ về nghiệm chính xác u x t khi ( ), ε → 0

• Chương 3 Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp

m ột với biến không gian hai chiều

Từ công việc trình bày và tìm hiểu về bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp một với biến không gian một chiều được trình bày ở chương 2, tôi đã tiếp tục nhận xét và mở rộng bài toán trong trường hợp biến không gian hai chiều và thấy rằng ta cũng thu được những kết quả tương tự

Về mặt nội dung, trong chương 3 sẽ trình bày tương tự như chương 2, chỉ khác ở

chỗ ta mở rộng biến không gian thành hai chiều và ta chọn 1 ln 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 M ột số kiến thức cơ bản về không gian hàm

( )

1

p p

∂

=

∂ hay g =D f i , nếu

D f ∈L Ω , i=1,N Trong 1, p( )

W Ω ta xét chuẩn

1,

1

N i

p p

Chứng minh Xét ( )f n là dãy Cauchy trong 1, p( )

W Ω Khi đó ( )f n , (D f i n), i =1,N, là các dãy Cauchy trong L p nên hội tụ về các hàm f , g i thuộc p

1

' '

1'

từ đây suy ra điều phải chứng minh 

ii Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân

Cho ξ( )t là hàm khả tích trên [ ]0,T và thỏa mãn hầu khắp t bất đẳng thức tích phân

T t

Đặc biệt, nếu

T t

ξ ≤ ∫ ξ , thì ξ( )t = 0

Nếu

T t

ξ ≤ ∫ ξ , lấy ε > nhỏ tùy ý, ta có 0

T t

được gọi là biến đổi Fourier của f

Một số tính chất của biến đổi Fourier

Tính chất 1 Cho dãy ( )f n n=1,2, hội tụ trong 1( )

Chứng minh Vì f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên

0

f x = f +∫ f t dt Hơn nữa, 1( )

'

f ∈L R nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi x → ±∞ Ngoài ra giới

hạn đó phải bằng 0 vì 1( )

f ∈L R Vậy

( )λ  ( )λ

Tính chất (4) cho ta thấy nếu f giảm càng nhanh thì f càng trơn 

Tính chất 5 Gọi S là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh, tức là f C∈ ∞ và

x f ∈L R Theo tính chất (4) thì f S∈ Tiếp theo, ( )q 1( )

f ∈L R với mọi q N∈ nên áp dụng tính chất (3), ta có f giảm nhanh hơn

x f x ≤M và ( )( )

( )

1

q p

(tích phân trên được hiểu theo nghĩa Lesbesgue) Khi đó

a) g ∈ , với C0 C 0 là không gian các hàm số liên tục trên R và tiến dần về 0 tại vô cực b) g x( )= f x( ) h.k.n trên R

Chứng minh Chúng ta có thể tìm chứng minh trong [15], chương 9 

Định lý 1.3.1 (Định lý Plancherel) Với mọi 2( )

L R vào 2( )

L R Chứng minh Với mọi f1, f2∈ (xem lại tính chất (5) của biến đổi Fourier), ta có S

n

f → đều trên f R (1.5) Theo (1.4) thì

 

2 2

f − f = f − f ,

do đó ( )f n là dãy Cauchy trong 2( )

L R , sẽ hội tụ trong 2( )

L R về một hàm g Định lý Fischer-Riesz và (1.5) cho

L R

vào 2( )

L R Riêng phần chứng minh tính chất toàn ánh của F, bạn đọc có thể xem trong

Kết quả c) trong định lý Plancherel cho hệ quả sau

f ∈L R ∩L R Do vậy người ta cũng gọi F f { } là biến đổi Fourier (hay

Plancherel) của f trên 2( )

L R và vẫn sử dụng kí hiệu f thay cho F f { }

1.4 Nguyên lý ánh x ạ co Banach

Cho (X d là không gian metric và , ) T X: → Ta có X

• T là ánh xạ co nếu với x y≠ , d Tx Ty( , )<d x y( , )

• Tthỏa điều kiện Lipschitz hay đơn giản T là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng

số k ≥ 0 sao cho với mọi ,x y thuộc X , ta có

• Số k T ( ) bé nhất thỏa mãn (1.8) được gọi là hệ số Lipschitz của T

• Nếu k T( )< ta nói 1 T là ánh xạ co hệ số k =k T( ) hay đơn giản T là k− co

• Nếu , :S T X → X là ánh xạ Lipschitz thì k T S(  ) ( ) ( )≤k T k S và đặc biệt

( )n ( ( ) )n

k T ≤ k T với mọi n N∈

• Điểm x0∈ là điểm bất động của X T nếu Tx0 = x0

Hiển nhiên nếu T là ánh xạ co thì T liên tục đều và điểm bất động của T , nếu có, sẽ

Định lý 1.4.2 Cho (X d là , ) không gian metric đầy đủ và : T X → Giả sử tồn tại X

p ∈ sao cho N k T( )p < Khi đó 1 T có điểm bất động duy nhất, ghi là x , và 0

Do mọi điểm bất động của T cũng là điểm bất động của p

T nên x 0 là điểm bất động duy nhất của T

Với x X∈ , chứng minh lim n( ) 0

Với n p > , ta có n qp r= + với q N∈ , 0≤ ≤ − r p 1

Khi đó

C HƯƠNG 2: BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN

u p t =e − ϕ p −∫e − F p s ds, (2.2) trong đó

Thật vậy, khai triển Fourier tổng quát ta được

2 , suy ra

u p t =e − ϕ p −∫e − F p s ds

2.3 Tính không ch ỉnh của bài toán (2.2)

Ta chú ý rằng trong (2.2), các nhân tử xấu là

ϕ ϕ− = ϕ ϕ−

( ) 2 2

2

2

t T p n

2.4 Ch ỉnh hóa bài toán (2.2)

Để chỉnh hóa bài toán (2.2), ta sẽ dùng phương pháp cắt ngắn, phương pháp này sẽ cho những kết quả về sự ổn định nghiệm và các đánh giá sai số mới hiệu quả hơn Bây giờ,

ta phải thay các nhân tử trong (2.2) bằng một số các nhân tử thích hợp Thật vậy, ta có thể cắt ngắn các tần số cao p >c ε trong đó limε→0cε = ∞ Lấy α > 0 , 0< <ε 1, ta chọn

1ln

ε ε

p A

Ta sẽ xấp xỉ bài toán (2.2) bằng bài toán sau

Bài toán Pϕ Với ϕ∈ 2( )

u x t , (khi ε → ) 0

2.4.1 Các k ết quả chính

Đầu tiên ta sẽ tìm một số điều kiện của f sao cho (2.5) được xác định Tích phân

trong vế phải của (2.5) được xác định đúng nếu F u u, x thuộc ( ( ) ( )2 )

Chứng minh Vì F V W, ( )x t, = f x t V x t W x t( , , ( ) ( ), , , ) và F0,0( )x t, = f x t( , , 0, 0) nên theo giả

thiết với mỗi 0 t T≤ ≤ , ta có

• Nếu p A∉ thì ε χAε ( )p = 0 nên bổ đề hiển nhiên đúng

1ln

2.4.2 Tính ch ỉnh của bài toán ( ) Pϕ

Bây giờ ta nghiên cứu tính chỉnh của bài toán ( )Pϕ Các hàm như trong (2.5) thường được gọi là các hàm giới hạn Trong bài báo tiên phong [21], Zimmerman đã nghiên cứu một lớp các phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính trong không gian các hàm giới hạn Với giả thiết rằng

,

f u w ≤ A uα + A wβ ,

tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại địa phương và tính ổn định của bài toán được đề cập Trong bài báo hiện nay, ta có một điều kiện khác yếu hơn là

( , , , ) ( , , 0, 0) ( )

f x t u w ≤ f x t +k u + w Tuy nhiên, phương pháp Zimmerman có thể được dùng để chứng minh kết quả tồn tại toàn

cục cho bài toán

Để chứng minh tính chỉnh của bài toán ( )Pϕ , ta sẽ chia chứng minh thành hai bước

Bước 1 Ta sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ( )Pϕ Thật vậy, ta xét

aε =bεε− α Thật vậy, với m= , ta có 1

Ta sẽ chứng minh (2.8) đúng với m= +j 1, sử dụng giả thiết quy nạp và thực hiện các bước

biến đổi tương tự như trên ta có

j

ε +

nên từ (2.9) suy ra với mỗi ε cố định sẽ tồn tại một số m 0 đủ lớn nguyên dương sao cho

Bước 2 Để có được một kết quả ổn định cho nghiệm của bài toán ( )Pϕ , ta xét

|||u−v|||≤ 2b eε k T ε−αT + k T ϕ−g Chứng minh Từ (2.5) và (2.6), ta có

1 2 2

|||u−v|||≤ 2b eε k T ε−αT + k T ϕ−g Bất đẳng thức này chứng tỏ nghiệm của bài toán ổn định

Vậy bước 2 được chứng minh 

2.4.3 S ự chỉnh hóa và các ước lượng sai số

Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh một số kết quả chỉnh hóa dưới các

điều kiện giả thiết cho trước trên nghiệm đúng u của bài toán (2.2) Trước tiên, ta có

Định lý 2.4.3 Lấy β ≥0, lấy , fϕ là các hàm như trong định lý 2.4.1 Giả sử rằng bài

u t −uε t ≤ A k T T −t εα β+ − − , trong đó ta kí hiệu uε là nghiệm duy nhất của bài toán ( )Pϕ

11

T t p A

χ

− +∞

, ,

2 2

x x

T

s t p

u u

u u t

( ) ( ) 2 ( ) (( ) ( ) )

2

, ,

x x

x x

x x

, ,

x x

T

u u

u u t

T

u u

u u t

u u

u u t

uε t −u t ≤Aε α β+ b k T Tε −t Mặt khác

Chứng minh Trong trường hợp này, ta có

u p t =e − ϕ p −∫e − F p s ds Suy ra

limε→ Aexp k T εα β−k T = 0

Do đó

Định lý 2.4.5 Lấy , fϕ là các hàm như trong định lý 2.4.1 và 2 2

với mọi t∈[ ]0,T , trong đó

e

δ

< < , ,

α β sao cho ( 2 2)

1

α β + + > Khi đó

2 2 1

CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN

CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP MỘT VỚI BIẾN KHÔNG GIAN HAI

u m n t =e − + ϕ m n −∫e − + F m n s ds, (3.2) trong đó

π

− +

Thật vậy, bằng cách khai triển Fourier tổng quát theo biến x, ta được

u m n t =e + − ϕ m n −∫e + − F m n s ds

3.3 Tính không ch ỉnh của bài toán (3.2)

Ta chú ý rằng trong (3.2), các nhân tử xấu là

k

t T m n k

Vậy nghiệm của bài toán (3.2) không ổn định nên bài toán (3.2) là không chỉnh

3.4 Ch ỉnh hóa bài toán (3.2)

Để chỉnh hóa bài toán (3.2), ta sẽ dùng phương pháp cắt ngắn, phương pháp này sẽ cho những kết quả về sự ổn định nghiệm và các đánh giá sai số mới hiệu quả hơn Bây giờ,

ta phải thay các nhân tử trong (3.2) bằng một số các nhân tử thích hợp Thật vậy, ta có thể cắt ngắn các tần số cao m >c và ε n >c ε trong đó limε→0cε = ∞ Lấy α > 0 , 0< <ε 1, ta chọn

ln2

ε ε

Ta sẽ xấp xỉ bài toán (3.2) bằng bài toán sau

Bài toán Pϕ' Với ϕ∈L R , tìm 2( )2 ( [ ] 1( )2 )

Chúng ta sẽ chứng minh tính chỉnh của bài toán ( )'

Pϕ , đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ, từ dữ liệu đo đạc xây dựng một hàm số hội tụ về nghiệm chính xác ( , , )

u x y t , (khi ε → ) 0

3.4.1 Các k ết quả chính

Đầu tiên ta sẽ tìm một số điều kiện của f sao cho (3.5) được xác định Tích phân

trong vế phải của (3.5) được xác định đúng nếu F u u u, x, y thuộc ( ( ) 2( )2 )