Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ HẢI YẾN BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. HÀ BÌNH MINH HÀ NỘI - 2014 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1: Giới thiệu hệ tuyến tính dương 1.1 Giới thiệu mô hình toán học xuất phát từ toán thực tế. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Hệ tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 2: Phương pháp rút gọn cân cổ điển 2.1 Giới thiệu toán rút gọn mô hình . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Một số tính chất quan trọng hệ tuyến tính . . . . . . . . . 10 2.3 Phương pháp chặt cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Thuật toán chặt cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 3: Phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính dương 28 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Phương pháp rút gọn cân bảo toàn tính dương hệ . . 29 3.3 Phương pháp chặt bảo toàn tính dương . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 So sánh phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người tận tình giúp đỡ bảo cung cấp cho em kiến thức tảng để em hoàn thành Luận văn này. Thầy người giúp em ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc thầy. Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới anh Phạm Văn Duẩn, người nhiệt tình giúp đỡ bảo hướng dẫn em trình gõ TEXvà hoàn thành Luận văn. Anh người cung cấp thêm tư liệu kiến thức giúp em giải đáp điều chưa hiểu băn khoăn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô công tác phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp k16 đợt (2012-2014), truyền đạt cho em kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua. Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho em suốt trình học tập hoàn thiện Luận văn này. Mặc dù có nhiều cố gắng Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót. Em mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn đọc để Luận văn hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Học viên Trần Thị Hải Yến Lời cam đoan Tên em là: Trần Thị Hải Yến, học viên cao học khóa 2012 – 2014 lớp Toán Giải tích K16 - đợt – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Em xin cam đoan đề tài: “Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương”, kết nghiên cứu thu thập riêng em. Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác. Nếu có không trung thực luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Học viên Trần Thị Hải Yến iii BẢNG KÝ HIỆU • R: tập hợp số thực • C: tập hợp số phức • (A, B, C, D): hệ tuyến tính ban đầu • (Ab, Bb, Cb, Db ): biểu diễn cân hệ ban đầu • (Ar , Br , Cr , Dr ): hệ rút gọn • (λ): phần thực giá trị riêng λ. • G(s): hàm truyền hệ tuyến tính • OB : ma trận điều khiển • CO:ma trận quan sát • A¯: ma trận đối xứng ma trận A • AT : ma trận chuyển vị ma trận A • A−1: ma trận nghịch đảo ma trận A • σi : giá trị Hankel • P, Q: ma trận Gramian • P : ma trận điều khiển • Q: ma trận quan sát • Σ: ma trận đường chéo Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Lớp hệ dương xuất mô hình liên quan đến sinh thái học, hóa học, kinh tế học, . Ở đây, tính dương thể biến đầu vào đầu mô hình dương. Chẳng hạn, mô hình sinh thái học, biến đầu vào, đầu thể số lượng loài hệ sinh thái, theo tự nhiên phải dương. Dưới phát triển máy tính công cụ tính toán, mô hình toán học trở nên ngày lớn, với số biến lên tới hàng triệu, chục triệu, trăm triệu, chí đến hàng tỷ. Việc xử lý mô hình cho mục đích điều khiển tính toán thời gian thực, trở nên tốn kém. Bài toán rút gọn mô hình đời nhằm mục đích giảm chi phí tính toán, đồng thời cho kết chấp nhận được. Bài toán rút gọn mô hình phát biểu sau: Cho mô hình toán học phức tạp với số biến lớn, tìm mô hình toán học đơn giản (với số biến nhỏ hơn) mà cho nghiệm xấp xỉ mô hình ban đầu. Tuy nhiên luận văn này, khảo sát toán rút gọn hệ có tính dương, phát biểu sau: Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương: Cho hệ tuyến tính ban đầu có tính dương có số biến lớn, tìm hệ tuyến tính đơn giản (với số biến nhỏ hơn) mà cho nghiệm xấp xỉ mô hình ban đầu. Ngoài ra, hệ rút gọn phải bảo toàn tính dương giống hệ ban đầu. Bài toán rút gọn mô hình bắt đầu nghiên cứu từ đầu thập kỷ 80 kỷ trước. Trong suốt thập kỷ 80 đầu thập kỷ 90, toán thu kết quan trọng mặt lý thuyết. Sau tạm ngưng thời gian, đến năm gần đây, toán rút gọn mô hình quan tâm trở lại, với nhiều phương pháp nghiên cứu công cụ tính toán mới. Tuy nhiên, toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương khảo sát năm gần mang tính thời cao báo [1], [2], [5]. Vì chọn việc khảo sát toán làm chủ đề Luận văn. 2. Mục đích nghiên cứu Khảo cứu phương pháp rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Khảo cứu phương pháp rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán rút gọn mô hình, hệ tuyến tính dương. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng công cụ đại số tuyến tính, lý thuyết ma trận, giải tích số, ngôn ngữ lập trình Matlab, . 6. Đóng góp Chạy ví dụ số cho phương pháp rút gọn mô hình cho số toán thực tế. Nội dung Luận văn tốt nghiệp chia làm ba chương cộng với phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo. Nội dung Chương 1, Chương Chương Luận văn phân bổ sau: Chương 1: Giới thiệu hệ tuyến tính dương Chương 2: Phương pháp rút gọn cân cổ điển Chương 3: Phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính dương Chương Giới thiệu hệ tuyến tính dương 1.1 Giới thiệu mô hình toán học xuất phát từ toán thực tế. Hệ tuyến tính bất biến theo thời gian cho phương trình sau:  . x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0, (1.1) y(t) = Cx(t) + Du(t), biến trạng thái x(t) vectơ n chiều, tương tự biến đầu vào u(t) vectơ m chiều, biến đầu y(t) vectơ p chiều cho tương ứng sau:       x (t) u (t) y (t)        x (t)   u (t)  y (t)       x(t) =  .  , u(t) =  .  , y(t) =  .  .             xn(t) um (t) yp (t) Ta có  .  x (t)  .1   x (t)  .   x(t) =  .  .     . xn(t) Với thời gian ban đầu cố định t0 , biến trạng thái ban đầu x(t0 ) = x0 . Ta sử dụng kí hiệu M = [mij ] để biểu diễn ma trận có phần tử hàng thứ i, cột thứ j mij . Khi ma trận hệ số (1.1) xác định sau: A = [aij ], B = [bij ], C = [cij ], D = [dij ] với kích thước tương ứng n × n, n × m, p × n, p × m. . xi(t) = ai1 (t)x1(t) + ai2(t)x2(t) + . + ain (t)xn(t) +bi1(t)u1(t) + bi2(t)u2(t) + . + bim(t)um(t) với i = 1, ., n yj (t) = cj1 (t)x1(t) + cj2 (t)x2(t) + . + cjn (t)xn(t) +dj1(t)u1(t) + dj2 (t)u2(t) + . + djm (t)um(t) với j = 1, ., p. Trong ví dụ sau biểu diễn hệ thống vật lý dạng (1.1) Xét mạch điện song song mô tả hình ??. Ta chọn đầu vào cường độ dòng điện từ nguồn độc lập u(t) = i(t) đầu điện áp tụ điện y(t) = v(t). Để thuận tiện ta gắn biến trạng thái với thành phần lưu trữ lượng mạch, trường hợp tụ điện cuộn cảm. Cụ thể, điện áp tụ điện cường độ dòng điện dẫn không đặc trưng cho lượng lưu trữ thành phần mạch, mà thuận tiện cho phép lấy đạo hàm phương trình vi phân cần thiết. Trong ví dụ này, mạch điện song song điện áp tụ trùng với điện áp phần tử mạch. Điều dẫn đến lựa chọn biến trạng thái, x1 (t) = iL (t), 25   −0.9983 0.0576 −0.0017 −0.0002   −0.0576 −0.9980 0.0240 0.0042    U = ,  0.0003 −0.0241 −0.9391 −0.3427   0.0001 −0.0043 −0.3427 0.9394   0.2540 0    0.0074 0    Σ = 1.0e − 003 ∗  .   0 0.0000   0 0.0000 5. Tính ma trận T : T = Sigma^{1/2}* transpose(U)*inv(R)   −0.0031 −0.0024 −0.0002 0.0066    0.0021 −0.0017 −0.0137 −0.0444   T = . −0.0008 0.0026 0.0019 −0.1653   −0.0007 0.0027 −0.0103 0.0285 6. Dạng cân hệ tuyến tính cho: SYSb = ss(TAT^{-1},TB,CT^{-1},D); T AT −1   −0.4378 −2.8263 −4.6371 2.2747    0.4831 −3.1353 −13.1208 6.0663    =  , −0.0370 0.6127 −12.4753 12.9514    −0.0011 0.0178 −0.8151 −2.9516 26   −0.0149    0.0068    TB =  , −0.0006   −0.0000 CT −1 = −0.9357 −2.5041 −4.9951 2.4296 , D = . Bước : Chọn r = 2. Vậy hệ rút gọn là: Ar = Ab(1 : r, : r) Ar = −0.4378 −2.8263 0.4831 −3.1353 Br = Bb(1 : r) Br = −0.0149 0.0068 Cr = Cb(1 : r) Cr = −0.9357 −2.5041 Dr = D Dr = Với chuẩn góc là: chuanGoc=norm(SYSb,inf) . 27 chuẩn góc = 0.0267 Sai số: saiso=norm(SYSb-SYSr,inf) Sai số = 2.4650e - 004 28 Chương Phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính dương Trong chương này, trình bày phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính dương, dựa vào tài liệu [9]. 3.1 Giới thiệu Xét hệ tuyến tính biểu diễn sau . x(t) = Ax(t) + bu(t), (3.1) y(t) = cx(t), t ∈ R, (3.2) (A, b, c) ∈ Rn×n × Rn×1 × R1×n, x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ R y(t) ∈ R. Hàm truyền hệ G(s) := c(sI − A)−1b, s ∈ C. Đôi sử dụng ký hiệu A b thay viết c(sI − A)−1 b. (3.3) c Trong chương này, ta xét lớp đặc biệt hệ tuyến tính, lớp hệ đối xứng, định nghĩa sau. 29 Định nghĩa 3.1.1. (Hệ đối xứng/ state-space-symmetric systems) Hệ G(s) gọi đối xứng tồn biểu diễn G(s) = A b c A = A , b = c . Biểu diễn (A, b, c) thỏa mãn điều kiện gọi T T biểu diễn đối xứng G(s). Chuẩn H∞ G(s) xác định công thức sau: G(s) H∞ := max σmax (G(jω)), ω∈R σmax (G(jω)) giá trị kì dị lớn G(s). Tuy nhiên, trường hợp SISO, hàm truyền công thức (3.3) số phức, σmax (G(jω)) = |G(jω)|, ta có G(s) H∞ = max σmax (G(jω)) = max σmax |G(jω)| ω∈R ω∈R Trong chương này, sử dụng kết sau: Nếu G(s) hệ đối xứng với biểu diễn (A, b, bT ), G(s) H∞ = |G(0)| = 2(σ1 + . + σn ) = 2trace(P ), σ1 , ., σn giá trị kì dị Hankel G(s), P nghiệm xác định dương (duy nhất) phương trình đại số Lyapunov sau: AP + P A + bbT = 0. 3.2 Phương pháp rút gọn cân bảo toàn tính dương hệ ¯ ¯b, b¯T ) Định nghĩa 3.2.1. (Dạng biểu diễn ba đường chéo dương) Cho (A, hệ biểu diễn đối xứng G(s). Khi đó, tồn phép ma trận trực giao 30 ¯ ∈ Rn×n b := H T A¯ ∈ Rn có dạng sau H ∈ Rn×n cho A := H T AH +     β0 α1 β1     0   β1 α2 β2         . . . (3.4) A= ,b =  , .   . . β     n−1     βn−1 αn với βi ≥ với i ∈ {0, ., n − 1}. Khi đó, biểu diễn (A, b, bT ) gọi biểu diễn ba đường chéo dương G(s). ¯ ¯b, b¯T ) G(s), tồn H biến Với biểu diễn đối xứng (A, đổi cho dạng ba đường chéo dương, theo Định lý [5] định lý [2]. Sau đây, giới thiệu thuật toán rút gọn cân cho tính dương hệ bảo toàn. Thuật toán 3.2.2. (Thuật toán chặt cân bảo toàn tính dương): ¯ ¯b, b¯T ) G(s) ˆ ; bậc hệ rút gọn r. Đầu vào: Biểu diễn đối xứng (A, 1. Tìm dạng biểu diễn cân (Ab, bb, bTb ) G(s). 2. Thực chặt (Ab , bb, bTb ) để có hệ rút gọn Gr (s) với biểu diễn (IJT AbIJ , IJT bb, bTb IJ ) để r < n. Chú ý tập số J = {i1 , ., ir } ⊂ ˆ {1, ., n} chọn cho G(s) giữ giá trị kì dị Hankel lớn G(s). ˆ ˆb, ˆbT ). 3. Đưa (IJT Ab IJ , IJT bb, bTb IJ ) dạng biểu diễn ba đường chéo dương (A, Đầu ra: Hệ rút gọn ˆ r (s) = ˆbT (sI − A) ˆ −1ˆb G (3.5) ˆ r (s) biểu diễn ba đường chéo dương chuẩn H∞ sai Hệ rút gọn G 31 số tính theo công thức sau: ˆ r (s) G(s) − G H∞ = 2(σr+1 + . + σn ), (3.6) σi, i = 1, ., n, giá trị kì dị Hankel G(s). 3.3 Phương pháp chặt bảo toàn tính dương Dễ thấy biểu diễn dạng ba đường chéo dương (3.4) xác định, việc chặt trực tiếp bảo toàn tính dương hệ. Tuy nhiên, ta thực việc chặt biến, trạng thái biểu diễn (3.4) phải bảo toàn mô hình rút gọn, không mô hình rút gọn không. Nhận xét nhắc đến thuật toán sau. Thuật toán 3.3.1. (Phương pháp chặt bảo toàn tính dương) ¯ ¯b, b¯T ) G(s); bậc hệ rút gọn r. Đầu vào: Biểu diễn đối xứng (A, ¯ ¯b, b¯T ) biểu diễn ba đường chéo dương (A, b, bT ) 1. Chuyển (A, công thức 3.4. 2. Cho J := {i1 , ., ir } ⊂ {1, ., n} tập số trạng thái mà ta cần giữ lại mô hình rút gọn. Ta chọn J cho J ⊇ {1}. Cho IJ := col{ei1 , ., eir } ej vector cột thứ j ma trận đơn vị In . Đặt AJ := IJT AIJ , bJ := IJT b. Đầu ra: Hệ rút gọn Gr (s) := bTJ (sI − AJ )−1bJ . (3.7) Hệ rút gọn Gr (s) có biểu diễn ba đường chéo dương (AJ , bJ , bTJ ). Mặt khác, chuẩn H∞ (G(s) − Gr (s)) đạt s = 0. Đây kết Bổ đề [5], phát biểu sau: 32 Bổ đề 3.3.2. [5, Bổ đề 2] Với mô hình rút gọn Gr (s) thu từ thuật toán 3.3.1, ta có ˆ r (s) G(s) − G H∞ = G(0) − Gr (0). (3.8) Tiếp theo, câu hỏi quan trọng mà chưa trả lời Thuật toán 3.3.1 là: Làm để rút gọn mô hình Gr (s) mà sai số (3.8) nhỏ tốt? Hay, tìm tập hợp trạng thái mô hình rút gọn cho có sai số nhỏ? Để đưa câu trả lời cho câu hỏi này, xem xét Gramian điều khiển hệ. Cho biểu diễn ba đường chéo dương (A, b, bT ), ma trận xác định đối xứng dương P gọi ma trận Gramian điều khiển hệ thỏa mãn phương trình đại số Lyapunov sau. AP + P A + bbT = 0. Chúng nghiên cứu tính chất điều khiển Gramian P trường hợp (A, b) đưa biểu diễn ba đường chéo dương (3.4) Bổ đề 3.3.3. Ma trận Gramian điều khiển P thỏa mãn pij > 0, với i ∈ {1, ., n} j ∈ {i − 1, i, i + 1}. Nghĩa là, ba đường chéo ma trận P dương. Chứng minh. Đầu tiên, P ma trận đối xứng xác định dương nên đường chéo P phải dương. Từ phương trình Lyapunov AP +P A+bbT = sử dụng tính chất đối xứng ma trận A and P , ta có aii pii +2 ai−1,i pi,i−1 = 0, i = 2, ., n. 0 >0 Do đó, pi,i−1 > với i = 2, ., n. Tiếp theo, ta sử dụng đường chéo P để ước lượng chuẩn H∞ 33 Gr (s) (3.7) (G(s) − Gr (s)) (3.8). Bổ đề 3.3.4. Cho P ma trận Gramian điều khiển hệ. Ta chọn tập số J thỏa mãn J := {i1 , ., ir } ⊂ {1, ., n} cho J ⊇ {1}. Mặt khác, J cần phải thỏa mãn điều kiện sau: Điều kiện C: Tập số J gọi thỏa mãn điều kiện C tồn j ∈ J k ∈ / J cho 2pjk ≥ pkk . Đặt PJ := IJT P IJ . Khi đó, (a) Chuẩn H∞ Gr (s) Gr (s) H∞ = Gr (0) ≤ 2trace(PJ ). (b) Chuẩn H∞ G(s) − Gr (s) G(s) − Gr (s) H∞ = G(0) − Gr (0) ≥ 2trace(P ) − 2trace(PJ ). Chứng minh. Để chứng minh (a), trước tiên ta thấy Gr (s) H∞ = Gr (0). Tính chất có Gr (s) biểu diễn đối xứng. Bây để đơn giản, ta giả định trạng thái xếp lại theo thứ tự cho J = {1, ., r} (tức là, tất trạng thái rút gọn nằm vị trí đầu tiên) 2pr,r+1 ≥ pr+1,r+1 (tức là, tập số J thỏa mãn Điều kiện C với j = r, k = r + ). Bây giờ, ta phân hoạch ma trận P thành P11 P12 T P12 P22 34 tương ứng với phân hoạch A, b, c sau: A11 A12 P11 P12 AT12 T P12 A22 P22 + P11 P12 A11 A12 T P12 AT12 P22 A22 b1 + bT1 = 0. (3.9) Các khối phương trình dẫn đến T A11P11 + P11 A11 + A12P12 + P12AT12 + b1bT1 = 0. T Ta A12 P12 + P12AT12 xác định không âm. Vì A có dạng ba đường chéo nên A12 có dạng sau: A12 dẫn đến T + P12 AT12 A12P12   .   = 0  βr . .   .  , . . . 0  .   . p1,r+1  .    . .   = βr     . . . p r−1,r+1   pr+1,1 . . . pr+1,r−1 pr+1,r + pr,r+1  . p1,r+1  .   . .    βr     . . . p r−1,r+1   pr+1,1 . . . pr+1,r−1 pr+1,r+1 0. Ta thu phương trình sau T + P12 AT12 +b1bT1 = 0, A11P11 + P11 A11 + A12P12 35 mà A11P11 + P11 A11 + b1 bT1 0. Do A11 đối xứng ổn định, A11 xác định âm, tồn thừa số Cholesky −A11 sau: −A11 = LT L. Ta thu −LT LP11 − P11 LT L + b1 bT1 0, Nhân vế trái với L−T vế phải với L−1 , ta −LP11L−1 − L−T P11LT + L−T b1bT1 L−1 0, hay trace(L−T b1bT1 L−1) ≤ trace(LP11 L−1) + trace(L−T P11LT ) trace(P11 ) trace(P11 ) Do 2trace(P11 ) = trace(LP11 L−1) + trace(L−T P11LT ) ≥ trace(L−T b1 bT1 L−1) ≥ trace(bT1 L−1L−T b1) = −A−1 11 trace(bT1 (−A−1 11 )b1 ) = bT1 (−A−1 11 )b1 = Gr (0). Ta chứng minh xong (a). Tiếp theo, (b) suy từ Bổ đề 3.3.2 (a) sau G(s) − Gr (s) H∞ = G(0) (=2trace(P )) − Gr (0) (≤2trace(PJ )) 36 ≥ 2trace(P ) − 2trace(PJ ). Bổ đề 3.3.4 cho tiêu chuẩn lựa chọn tập số J sai số (3.8) nhỏ. Vì G(0) không đổi, ta nên thiết lập số J cho Gr (0) lớn tốt, hay trace(PJ ) vậy. Điều có nghĩa, J số đường chéo lớn P . Thuật toán sau phiển nâng cấp thuật toán 3.3.1, sau: Thuật toán 3.3.5. (Thuật toán chặt trực tiếp biểu diễn dạng ba đường chéo dương.) ¯ ¯b, ¯bT ) G(s); bậc hệ rút gọn r. Đầu vào:Biểu diễn đối xứng (A, ¯ ¯b, b¯T ) biểu diễn ba đường chéo dương (A, b, bT ) 1. Chuyển (A, công thức 3.4. 2. Giải P từ phương trình đại số Lyapunov AP + P A + bbT = 0. 3. Chọn tập số J = {i1 , ., ir } ⊂ {1, ., n} cho: (i) J ⊇ {1}, (ii) tập số J thỏa mãn điều kiện C, (iii) pii, i ∈ J phần tử lớn đường chéo P . Đặt AJ := IJT AIJ , bJ := IJT b. Đầu ra: Hệ rút gọn Gr (s) := bTJ (sI − AJ )−1bJ . 3.4 (3.10) So sánh phương pháp Hai phương pháp rút gọn bảo toàn tính dương trình bày mục trước là: phương pháp chặt cân (Thuật toán 3.2.2) phương pháp 37 chặt trực tiếp (Thuật toán 3.3.5). Phương pháp chặt cân cho kết tốt hơn, nhiên lại có thời gian tính toán lâu so với phương pháp kia. Chúng minh họa hai phương pháp ví dụ số sau đây: Ví dụ 3.4.1. Xét hệ động lực tuyến tính có  −5 0   −2    −5   A =  0 −4   0    0 0  0 0     0     0     B = 0 ,   0     0   hệ số là: −2 −3 −3 C = 0 0 0 , D = .         ,       Với hệ số A, B, C, D trên, ma trận Gramian điều khiển P tính 38 toán sau:  2.5816  0.4082   0.0481   P = 0.0132  0.0030   0.0007  0.0003 0.4082 0.0481 0.0132 0.0030 0.0007 0.2274 0.0467 0.0199 0.0068 0.0021 0.0467 0.0117 0.0058 0.0024 0.0008 0.0199 0.0058 0.0033 0.0016 0.0006 0.0068 0.0024 0.0016 0.0011 0.0005 0.0021 0.0008 0.0006 0.0005 0.0003 0.0010 0.0004 0.0003 0.0003 0.0002  0.0003  0.0010   0.0004   0.0003  0.0003   0.0002  0.0001 Với ma trận P tính toán trên, tập hợp số thỏa mãn điều kiện C {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Hơn nữa, phần tử đường chéo P xếp theo thứ tự giảm dần. Như vậy, rút gọn mô hình phương pháp chặt trực tiếp (Thuật toán 3.3.5), ta ưu tiên lấy số từ xuống dưới. Nếu ta rút gọn hệ gốc để thu hệ rút gọn bậc phương pháp chặt trực Thuật toán 3.3.5 cho sai số sau: G(s) − Gr (s) H∞ = 0.0262, phương pháp chặt cân theo Thuật toán 3.2.2 cho sai số ˆ r (s) G(s) − G H∞ = 0.0094977. Đồ thị sai số hai phương pháp cho hình ?? 39 Kết luận Luận văn với đề tài : "Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương" giải vấn đề sau: 1. Trình bày cách hệ thống số vấn đề lý thuyết rút gọn mô hình 2. Trình bày toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương. 3. Trình bày thuật toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương với ví dụ số. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Học viên Trần Thị Hải Yến 40 Tài liệu tham khảo [1] C. Grussler, T. Damm, A Symmetry Approach for Balanced Truncation of Positive Linear Systems, CDC 2012 [2] C. Grussler, T. Damm, Symmetric Positivity Preserving Balanced Truncation, PAMM 12(1):717-718, 2012. [3] Michael Green and David J.N. Limebeer, Linear robust control, 1995. [4] Kemin Zhou-John and C. Doyle, Essentials of Robust Control, 1997. [5] Takayuki Ishizaki, Kenji Kashima, Jun-ichi Imura, Kazuyuki Aihara: Model Reduction and Clusterization of Large-Scale Bidirectional Networks, IEEE Transactions on Automatic Control, in Press. (DOI: 10.1109/TAC.2013.2275891) [6] Biswa Nath Datta, Numerical Methods for Linear Control Systems, Elsevier Academic Press, 2004. [7] Grussler, Model Reduction of Positive Systems, Master thesis, Lund University, 2012. [8] Z. Gajic and M. Queri, Lyapunov Matrix Equation in System Stability and Control, Academic Press, San Diego, 1995 [9] Ha Binh Minh, Jun-ichi Imura, Note on positivity preserving model reduction, preprint 2013. [...]... yêu cầu khác nhau Trong số đó, phương pháp rút gọn cân bằng là phương pháp được biết đến nhiều do tính đơn giản và hiệu quả áp dụng với một lớp lớn các bài toán thực tế Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản nhất về bài toán rút gọn mô hình và phương pháp rút gọn cân bằng cổ điển 10 2.1 Giới thiệu về bài toán rút gọn mô hình Cho hệ tuyến tính (A, B, C, D) biểu diễn bởi  x(t) =... Rp×m Bài toán rút gọn mô hình là bài toán xây dựng hệ tuyến tính rút gọn:  z(t) = Az(t) + Bu(t), ˙ y(t) = Cz(t) + Du(t), (2.2) trong đó z(t) ∈ Rr , u(t) ∈ Rm , y(t) ∈ Rp , A ∈ Rr×r , B ∈ Rr×m , C ∈ Rp×r , D ∈ Rp×m, r n Hệ rút gọn (2.2) cần thỏa mãn các điều kiện sau: • Bảo toàn các tính chất quan trọng của gốc • Sai số so với hệ gốc nhỏ Trong nội dung của luận văn, sai số của hệ rút gọn và hệ gốc... mạch dẫn tới các mô hình toán phức tạp so với năng lực tính toán của hệ thống Yêu cầu được đặt ra là xác định các hệ rút gọn đủ tốt để thay thế hệ ban đầu Quá trình này được gọi là giảm bậc mô hình Ý tưởng của giảm bậc mô hình là xây dựng một hệ với số chiều nhỏ từ hệ gốc ban đầu, đảm bảo giữ và xấp xỉ các thuộc tính quan trọng của hệ gốc Có rất nhiều phương pháp giảm bậc mô hình khác nhau đã được... độ dòng nguồn và điện áp tụ điện 1.2 Hệ tuyến tính dương Định nghĩa 1.2.1 (Hệ tuyến tính dương) Một hệ tuyến tính (A, B , C , D) được gọi là dương nếu đầu vào và trạng thái ban đầu không âm thì đầu ra và các biến trạng thái là không âm Cho hệ tuyến tính liên tục sau đây:  x(t) = Ax(t) + Bu(t), G: y(t) = Cx(t) + Du(t) Ta sẽ khảo sát sơ qua về tính dương của hệ Trước tiên, C ≥ 0 (tức là ma trận C... 004 28 Chương 3 Phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính dương Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính dương, dựa vào tài liệu [9] 3.1 Giới thiệu Xét hệ tuyến tính được biểu diễn như sau x(t) = Ax(t) + bu(t), (3.1) y(t) = cx(t), t ∈ R, (3.2) trong đó (A, b, c) ∈ Rn×n × Rn×1 × R1×n, x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ R và y(t) ∈ R Hàm truyền của hệ là G(s) := c(sI − A)−1b, s... (3.4) phải được bảo toàn trong mô hình rút gọn, vì nếu không các mô hình rút gọn sẽ bằng không Nhận xét này sẽ được nhắc đến trong thuật toán sau Thuật toán 3.3.1 (Phương pháp chặt bảo toàn tính dương) ¯ b, T Đầu vào: Biểu diễn đối xứng (A, ¯ b¯ ) của G(s); bậc của hệ rút gọn là r ¯ b, T 1 Chuyển (A, ¯ b¯ ) về biểu diễn ba đường chéo dương (A, b, bT ) như trong công thức 3.4 2 Cho J := {i1 , , ir } ⊂ {1,... để một hệ tuyên tính liên tục là dương Định lý 1.2.3 (Tiêu chuẩn cần và đủ để hệ là dương) Nếu ma trận A là ma trận Metzler và B, C, D ≥ 0 thì hệ tuyến tính (A, B, C, D) là dương 8 Chứng minh Xem tài liệu [6] Ví dụ 1.2.4 (Hệ tuyến tính dương) Xét hệ (A, b, c) với     1 −2 0 0 1     0   1 −2 0 0     T A :=   , b := c :=   0  0 1 −2 0      1 0 0 1 −2 Hệ này được cho bởi... và hệ gốc được xác định thông qua giá trị ||G(s) − Gr (s)||H∞ , với G(s), Gr (s) tương ứng là hàm truyền của hệ gốc và hệ rút gọn; các tính chất của hệ thống gồm tính điều khiển được, quan sát được và tính ổn định 2.2 Một số tính chất quan trọng của hệ tuyến tính Định nghĩa 2.2.1 Cho hệ tuyến tính (1.1) Hàm truyền là đại lượng đặc trưng được xác định bởi công thức sau: G(s) = C(sI − A)−1B + D (2.3)... luôn tồn tại một H biến đổi cho về dạng ba đường chéo dương, theo Định lý 1 trong [5] hoặc định lý 4 trong [2] Sau đây, chúng tôi giới thiệu thuật toán rút gọn cân bằng sao cho tính dương của hệ được bảo toàn Thuật toán 3.2.2 (Thuật toán chặt cân bằng bảo toàn tính dương) : ¯ b, T ˆ Đầu vào: Biểu diễn đối xứng (A, ¯ b¯ ) của G(s); bậc của hệ rút gọn là r 1 Tìm dạng biểu diễn cân bằng (Ab, bb, bT ) của... {1, , n} là tập các chỉ số của các trạng thái mà ta cần giữ lại trong mô hình rút gọn Ta chọn J sao cho J ⊇ {1} Cho IJ := col{ei1 , , eir } trong đó ej là vector cột thứ j của ma trận đơn vị In Đặt T T AJ := IJ AIJ , bJ := IJ b Đầu ra: Hệ rút gọn Gr (s) := bT (sI − AJ )−1bJ J (3.7) Hệ rút gọn Gr (s) có biểu diễn ba đường chéo dương (AJ , bJ , bT ) Mặt J khác, chuẩn H∞ của (G(s) − Gr (s)) đạt được . sau: Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương: Cho một hệ tuyến tính ban đầu có tính dương và có số biến rất lớn, tìm một hệ tuyến tính đơn giản hơn (với số biến nhỏ hơn) mà vẫn cho nghiệm. thiệu hệ tuyến tính dương Chương 2: Phương p háp rút gọn cân b ằng cổ điển Chương 3: Phương p háp rút gọn cho hệ tuyến tính dương 4 Chương 1 Giới thiệu hệ tuyến tính dương 1.1 Giới thiệu mô hình toán. rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán rút gọn mô hình, hệ tuyến tính dương. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các công cụ như đại số tuyến tính, lý