Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2TRẦN THỊ HẢI YẾN BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS... 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ HẢI YẾN

BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO

HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI - 2014

Mở đầu 1

Chương 1: Giới thiệu hệ tuyến tính dương 4 1.1 Giới thiệu mô hình toán học xuất phát từ các bài toán trong thực tế 4

1.2 Hệ tuyến tính dương 7

Chương 2: Phương pháp rút gọn cân bằng cổ điển 9 2.1 Giới thiệu về bài toán rút gọn mô hình 10

2.2 Một số tính chất quan trọng của hệ tuyến tính 10

2.3 Phương pháp chặt cân bằng 12

2.4 Thuật toán chặt cân bằng 21

Chương 3: Phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính dương 28 3.1 Giới thiệu 28

3.2 Phương pháp rút gọn cân bằng bảo toàn tính dương của hệ 29

3.3 Phương pháp chặt bảo toàn tính dương 31

3.4 So sánh giữa các phương pháp 36

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người đã tậntình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho em những kiến thức nền tảng để emhoàn thành Luận văn này Thầy cũng là người đã giúp em ngày càng tiếp cận

và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới anh Phạm Văn Duẩn, người đã rất nhiệttình giúp đỡ chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá trình gõ TEXvà hoàn thànhLuận văn Anh cũng là người cung cấp thêm tư liệu và kiến thức giúp em giảiđáp được những điều chưa hiểu và băn khoăn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng Sau Đạihọc trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô đã trực tiếp giảng dạylớp k16 đợt 2 (2012-2014), truyền đạt cho em những kiến thức quý báu vềchuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân tronggia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho emtrong suốt quá trình học tập và hoàn thiện Luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạnđọc để Luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 07 năm 2014

Học viên

Trần Thị Hải Yến

Tên em là: Trần Thị Hải Yến, học viên cao học khóa 2012 – 2014 lớp ToánGiải tích K16 - đợt 2 – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Em xin cam đoan

đề tài: “Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương”, là kết quả nghiêncứu và thu thập của riêng em Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài

là trung thực, không trùng với các tác giả khác Nếu có gì không trung thựctrong luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, tháng 07 năm 2014

Học viên

Trần Thị Hải Yến

BẢNG KÝ HIỆU

• R: tập hợp các số thực

• C: tập hợp các số phức

• (A, B, C, D): hệ tuyến tính ban đầu

• (Ab, Bb, Cb, Db): biểu diễn cân bằng của hệ ban đầu

• (Ar, Br, Cr, Dr): hệ đã được rút gọn

• <(λ): phần thực của giá trị riêng λ

• G(s): hàm truyền của hệ tuyến tính

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lớp các hệ dương xuất hiện trong các mô hình liên quan đến sinh tháihọc, hóa học, kinh tế học, Ở đây, tính dương được thể hiện là các biếnđầu vào và đầu ra của mô hình luôn dương Chẳng hạn, trong mô hìnhsinh thái học, các biến đầu vào, đầu ra thể hiện số lượng của các loàitrong hệ sinh thái, và theo tự nhiên thì phải luôn dương

Dưới sự phát triển của máy tính và các công cụ tính toán, các mô hìnhtoán học trở nên ngày càng lớn, với số biến lên tới hàng triệu, chục triệu,trăm triệu, thậm chí đến hàng tỷ Việc xử lý những mô hình đó cho cácmục đích điều khiển hoặc tính toán trên thời gian thực, đôi khi trở nênrất tốn kém Bài toán rút gọn mô hình ra đời nhằm mục đích giảm đi chiphí tính toán, đồng thời vẫn cho ra kết quả chấp nhận được

Bài toán rút gọn mô hình được phát biểu như sau: Cho một mô hìnhtoán học phức tạp với số biến rất lớn, tìm một mô hình toán học đơngiản hơn (với số biến nhỏ hơn) mà vẫn cho nghiệm xấp xỉ mô hình banđầu Tuy nhiên trong luận văn này, chúng tôi chỉ khảo sát bài toán rútgọn đối với hệ có tính dương, được phát biểu như sau:

Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương: Cho một hệtuyến tính ban đầu có tính dương và có số biến rất lớn, tìm một hệ tuyếntính đơn giản hơn (với số biến nhỏ hơn) mà vẫn cho nghiệm xấp xỉ môhình ban đầu Ngoài ra, hệ rút gọn đó vẫn phải bảo toàn được tính dươnggiống như hệ ban đầu

Bài toán rút gọn mô hình được bắt đầu nghiên cứu từ đầu thập kỷ 80của thế kỷ trước Trong suốt thập kỷ 80 và đầu thập kỷ 90, bài toán đãthu được những kết quả quan trọng về mặt lý thuyết Sau khi tạm ngưngmột thời gian, đến những năm gần đây, bài toán rút gọn mô hình đã đượcquan tâm trở lại, với nhiều phương pháp nghiên cứu và công cụ tính toánmới Tuy nhiên, bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương cũngmới chỉ được khảo sát trong những năm gần đây và hiện đang mang tínhthời sự cao như các bài báo [1], [2], [5] Vì vậy chúng tôi chọn việc khảosát bài toán này làm chủ đề chính của Luận văn.

2 Mục đích nghiên cứu

Khảo cứu các phương pháp rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khảo cứu các phương pháp rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán rút gọn mô hình, hệ tuyến tính dương

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các công cụ như đại số tuyến tính, lý thuyết ma trận, giải tích

số, ngôn ngữ lập trình Matlab,

6 Đóng góp mới

Chạy ví dụ số cho các phương pháp rút gọn mô hình cho một số bài toántrong thực tế

Nội dung

Luận văn tốt nghiệp được chia làm ba chương cộng với phần Mở đầu,Kết luận và Tài liệu tham khảo Nội dung trong Chương 1, Chương 2 vàChương 3 của Luận văn được phân bổ như sau:

Chương 1: Giới thiệu hệ tuyến tính dương

Chương 2: Phương pháp rút gọn cân bằng cổ điển

Chương 3: Phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính dương

Chương 1

Giới thiệu hệ tuyến tính dương

1.1 Giới thiệu mô hình toán học xuất phát từ các bài toán trong

Với thời gian ban đầu cố định là t0, biến trạng thái ban đầu sẽ là x(t0) = x0.

Ta sử dụng kí hiệu M = [mij] để biểu diễn ma trận có phần tử hàng thứ i,cột thứj là mij Khi đó các ma trận hệ số trong (1.1) được xác định như sau:

A = [aij], B = [bij], C = [cij], D = [dij]

với kích thước tương ứng là n × n, n × m, p × n, p × m

.

xi(t) = ai1(t)x1(t) + ai2(t)x2(t) + + ain(t)xn(t)+bi1(t)u1(t) + bi2(t)u2(t) + + bim(t)um(t)

với i = 1, , n

yj(t) = cj1(t)x1(t) + cj2(t)x2(t) + + cjn(t)xn(t)+dj1(t)u1(t) + dj2(t)u2(t) + + djm(t)um(t)

x1(t) = iL(t),

Cặp phương trình vi phân bậc nhất này, cùng với việc chọn biến đầu ra

y(t) = x2(t) cho ta mô tả trong không gian trạng thái của mạch điện:

#

C = h

0 1i

D = 0

Lưu ý rằng D = 0 do không có liên hệ trực tiếp giữa cường độ dòng nguồn

và điện áp tụ điện

1.2 Hệ tuyến tính dương

Định nghĩa 1.2.1 (Hệ tuyến tính dương)

Một hệ tuyến tính (A, B, C, D) được gọi là dương nếu đầu vào và trạngthái ban đầu không âm thì đầu ra và các biến trạng thái là không âm

Cho hệ tuyến tính liên tục sau đây:

Ta sẽ khảo sát sơ qua về tính dương của hệ Trước tiên, C ≥ 0 (tức là matrận C có các phần tử là không âm) Lý do là vì nếu x(0) = ei, u(0) = 0 và

có ít nhất một cij < 0, nó sẽ dẫn đến một đầu ra âm và do đó C ≥ 0 là điềukiện cần để hệ dương Thực hiện tương tự với D ta cũng thấy D ≥ 0

Với điều kiện đặt lên ma trận A để hệ là dương, chúng ta bắt đầu với một

số định nghĩa quan trọng là định nghĩa ma trận Metzler

Định nghĩa 1.2.2 (Ma trận Metzler)

Ma trận A được gọi là Metzler, nếu A là ổn định (tức là <(λ) ≤ 0, ∀λ ∈σ(A)) và các phần tử không nằm trên đường chéo chính của ma trận A làkhông âm

Định lý sau đây cho ta tiêu chuẩn cần và đủ để một hệ tuyên tính liên tục

là dương

Định lý 1.2.3 (Tiêu chuẩn cần và đủ để hệ là dương)

Nếu ma trận A là ma trận Metzler và B, C, D ≥ 0 thì hệ tuyến tính

(A, B, C, D) là dương

Chứng minh Xem tài liệu [6].

Ví dụ 1.2.4 (Hệ tuyến tính dương) Xét hệ (A, b, c) với

2s2 + 7s + 7

s3 + 5s2 + 9s + 5

trong đó có cực tại −1 và −2 ± i So sánh hệ số của ma trận Metzler A 3 × 3˜

với s3 + 5s2 + 9s + 5 như sau:

−˜a11 − ˜a22− ˜a33 = 5 và ˜a11˜22 + ˜a11˜a33 + ˜a22˜33 ≥ 9

nên

(−4 − ˜a22− ˜a33)(˜a22 + ˜a33) ≥ 9

hay tương đương với

(˜a22 + ˜a33 + 2)2 ≤ −5 (vô lý)Vậy, hệ ban đầu dương

Chương 2

Phương pháp rút gọn cân bằng cổ

điển

Một loạt các vấn đề thực tế như thiết kế các hệ điều khiển với số chiều lớn,

hệ điều khiển cho các vi mạch dẫn tới các mô hình toán phức tạp so vớinăng lực tính toán của hệ thống Yêu cầu được đặt ra là xác định các hệ rútgọn đủ tốt để thay thế hệ ban đầu Quá trình này được gọi là giảm bậc môhình Ý tưởng của giảm bậc mô hình là xây dựng một hệ với số chiều nhỏ từ

hệ gốc ban đầu, đảm bảo giữ và xấp xỉ các thuộc tính quan trọng của hệ gốc

Có rất nhiều phương pháp giảm bậc mô hình khác nhau đã được phát triển,phù hợp với các yêu cầu khác nhau Trong số đó, phương pháp rút gọn cânbằng là phương pháp được biết đến nhiều do tính đơn giản và hiệu quả ápdụng với một lớp lớn các bài toán thực tế Trong chương này, chúng tôi trìnhbày những kiến thức cơ bản nhất về bài toán rút gọn mô hình và phươngpháp rút gọn cân bằng cổ điển

2.1 Giới thiệu về bài toán rút gọn mô hình

Cho hệ tuyến tính (A, B, C, D) biểu diễn bởi







˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0,y(t) = Cx(t) + Du(t),

(2.1)

với x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm, y(t) ∈ Rp, A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, C ∈ Rp×n,

D ∈ Rp×m Bài toán rút gọn mô hình là bài toán xây dựng hệ tuyến tính rút

Rp×r,D ∈b Rp×m, r  n

Hệ rút gọn (2.2) cần thỏa mãn các điều kiện sau:

• Bảo toàn các tính chất quan trọng của gốc

• Sai số so với hệ gốc nhỏ

Trong nội dung của luận văn, sai số của hệ rút gọn và hệ gốc được xácđịnh thông qua giá trị ||G(s) − Gr(s)||H∞, với G(s), Gr(s) tương ứng là hàmtruyền của hệ gốc và hệ rút gọn; các tính chất của hệ thống gồm tính điềukhiển được, quan sát được và tính ổn định

2.2 Một số tính chất quan trọng của hệ tuyến tính

Định nghĩa 2.2.1 Cho hệ tuyến tính (1.1) Hàm truyền là đại lượng đặctrưng được xác định bởi công thức sau:

G(s) = C(sI − A)−1B + D (2.3)

Chuẩn H∞ của hàm truyền G(s) được xác định bởi công thức sau:

đều tồn tại đầu vào u(.) thỏa mãn x(t1) = x1 có hạng bằng n

Trong tính toán, hệ điều khiển được nếu ma trận điều khiển

OB = [B AB A2B An−1B],

có hạng bằng n

Định nghĩa 2.2.4 Hệ (1.1) được gọi là quan sát được (observable) nếu vớibất kỳ t1 > 0, trạng thái khởi tạo x(t0) = x0 có thể được xác định từ đầuvào u(t) và đầu ra y(t) trong đoạn [0, t1]

Trong tính toán, hệ điều khiển được nếu ma trận quan sát:

có hạng bằng n Chúng ta lưu ý rằng với cùng một hệ (1.1) luôn tồn tại các

bộ ma trận tham số (A, B, C, D) khác nhau thông qua các phép biến đổi

không suy biến x = T ξ Mỗi bộ ma trận tham số (A, B, C, D) được gọi làmột biểu diễn của hệ Một biểu diễn đảm bảo cả tính điều khiển được vàquan sát được được gọi là biểu diễn tối thiểu Trong luận văn chúng ta giảthiết hệ (1.1) là ổn định và có biểu diễn tối thiểu.

2.3 Phương pháp chặt cân bằng

Định nghĩa 2.3.1 Cho hệ (1.1)với biểu diễn(A, B, C, D), ma trận Gramianđiều khiển và ma trận Gramian quan sát được định nghĩa tương ứng bởi cáccông thức

P =

Z ∞ 0

eAtBBTeATtdt (2.5)

Q =

Z ∞ 0

eATtCTCeAtdt (2.6)Theo (Gajic và Queri, 1995) các ma trận P, Q có thể được xác định thôngqua các phương trình Lyapunov tương ứng

AP + P AT = −BBT (2.7)

ATQ + QA = −CTC (2.8)Các phương trình Lyapunov (2.7) và (2.8) cho phép kiểm tra tính điều khiểnđược, quan sát được của một hệ Các phương trình Lyapunov cũng đặc biệtquan trọng trong việc xét tính ổn định của hệ

Định lý 2.3.2 Nếu P là nghiệm của phương trình

AP + P AT = −H, (2.9)thì

1 <(λi(A)) ≤ 0 nếu P > 0 và H ≥ 0

2 <(λi(A)) < 0 nếu P > 0 và H > 0

trong đó <(λi(A)) là phần thực của giá trị riêng thứ i của ma trận A.

Chứng minh Cho v là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của ma trận AT,tức là ATv = λv Theo giả thiết ta có

mà đưa các ma trận Gramian điều khiển, ma trận Gramian quan sát về dạngđường chéo và bằng nhau Nội dung này được cho trong định lý 2.3.3

Định lý 2.3.3 (Biến đổi cân bằng ma trận - Balancing TransformationMatrix)

Cho P và Q là hai ma trận xác định thực dương Khi đó luôn tồn tại một matrận không suy biến T sao cho

Pb := T−1P T−T = diag(Σ, Σp, 0, 0), Qb := TTQT = diag(Σ, 0, Σq, 0),

với các ma trận đường chéo Σ, Σp, Σq > 0

Chứng minh Khai triển giá trị kỳ dị SVD ma trận P thành

P = U ΣPUT

và đặt

L := U Σ

1 2

P

Cho P và Q là các ma trận Gramian của hệ tuyến tính (A, B, C, D) và T

ma trận cho trong định lý 2.3.2 Bằng phép đổi biến x = T z, ta có biểu diễnkhông gian trạng thái mới của hệ

(Ab, Bb, Cb, Db) := (T−1AT, T−1B, CT, D), (2.10)với Pb và Qb như định nghĩa trong định lý 2.3.2 Vì vậy, các thông tin của hệđược nêu trong

Σ = diag(σ1Ik 1, , σNIk N), σ1 > σ2 > > σN > 0, ki > 0, i = 1 N

(2.11)

và σ1, , σN gọi là giá trị kỳ dị Hankel của (Ab, Bb, Cb, Db)

Khi đó,(Ab, Bb, Cb, Db)được gọi là biểu diễn cân bằng của hệ (1.1) Các trạngthái tương ứng với giá trị kỳ dị Hankel nhỏ mang năng lượng điều khiển lớn

và gây ra những sai số nhỏ nhất khi rút gọn Phương pháp chặt cân bằng làloại bỏ những trạng thái ứng giá trị kỳ dị Hankel nhỏ Tính chất của hệ rútgọn thể hiện thông qua định lý 2.3.4

Định lý 2.3.4 Giả sử (Ab, Bb, Cb, Db) là biểu diễn cân bằng của một hệ ổnđịnh với hàm truyền G(s), ma trận Gramian Σ = diag(Σ1, Σ2),

Σ1 = diag(σ1Ik1, , σrIkr), Σ2 = diag(σr+1Ikr+1, , σNIkN)

với các giá trị kỳ dị Hankel σ1 > > σr > σr+1 > > σN > 0

Phân hoạch các ma trận Ab, Bb và Cb tương ứng với Σ1 Khi đó, hệ rút gọn

(Ar, Br, Cr, Dr) := (A1, B1, C1, D) với hàm truyền Gr(s) có tính cân bằng,điều khiển được, quan sát được và ổn định

Hơn nữa, ta có đánh giá sai số trên chuẩn H∞

dẫn đến

iω ¯VTΣ21V − iω ¯VTΣ21V = − ¯VTΣ1B1B1TΣ1V ↔ ¯VTΣ1B1B1TΣ1V = 0

Và do đó

B1TΣ1V = 0 (2.18)tương đương với

A11Σ21V = iωΣ21V (2.19)bằng cách nhân vế phải của phương trình (2.12) với Σ1V Điều này có nghĩa

là Σ21V bao gồm vectơ riêng của A11 ứng với giá trị riêng iω, đó là lý do phảitồn tại một ma trận M sao cho Σ21V được biểu diễn như sau

Σ21V = V M

Hơn nữa, rg(V ) là không gian con bất biến Σ2

1 và do đó mỗi giá trị riêng

λ ∈ σ(M) với vectơ riêng ωλ chứa

!

= iω V

0

!

Nhưng đây là một mâu thuẫn, vì chúng ta đã giả định A là ổn định và do

đó A11 không thể chứa một giá trị riêng thuần ảo Do đó hệ đã rút gọn là ổnđịnh với Gramians Σ1, đó cũng có nghĩa là (A11, B1) là điều khiển được và

(A11, C1) là quan sát được Bây giờ chúng ta quan tâm đến ước lượng cận sai

số Chúng tôi viết lại (2.7) như sau

và vế trái với chuyển vị của nó, sau đó cho

zT(t)Σ−12 ξ2(t)dt

≤ 4

Z T 0

uT(t)u(t)dt

và do của Σ−1 xác định dương ta được

2

Z ∞ 0

zT(t)Σ−12 ξ2(t)dt ≤ 4kuk22 (2.23)Tương tự có thể được thực hiện cho (2.8) Viết lại phương trình như sau

AI

!

= −CTC

nhân vế phải với

(y − yr)T(t)(y − yr)(t)dt

và tương đương với

−2

Z ∞ 0

zT(t)Σ2ξ2(t)dt + ky − yrk22 ≤ 0 (2.24)

Giả sử, ta rút gọn liên tục cho mỗi giá trị kì dị Hankel, bắt đầu với các trạngthái thuộc σN và gọi hệ đã rút gọn là GN −1 Giả sử Σ2 = σNI và ta nhân(2.23) với σN2 rồi cộng với (2.24) ta có

ky − yrk2 ≤ 2σNkuk2,

tương đương với

kG − GN −1k∞ ≤ 2σN

2.4 Thuật toán chặt cân bằng

Đầu vào: Hệ gốc với các tham số (A, B, C, D) là ổn định , điều khiển được

và quan sát được

Đầu ra: Hệ rút gọn với các tham số (A,b B,b C,b D, )b

1 Lần lượt tính các ma trận năng lượng điều khiển P, ma trận năng lượngquan sát Q từ hai phương trình Lyapunov

AP + P A0 + BB0 = 0,

A0Q + QA + C0C = 0

2 Tìm ma trận tam giác dưới R sao cho P = RR0

3 Thực hiện khai triển kì dị ma trận R0QR, R0QR = U Σ2U0, trong đó U

thỏa mãn U0U = I và ma trận Σ có dạng đường chéo

5 Hệ mới nhận được (T AT−1, T B, CT−1, D) là cân bằng

6 Phân hoạch (T AT−1, T B, CT−1, D) ta được (A,b B,b C,b D, )b tương ứng