Rút gọn mô hình cho một số hệ điều khiển tuyến tính tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- CHU BÌNH MINH RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO MỘT SỐ HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn học Mã ngành: 9460101 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS HÀ BÌNH MINH TS PHAN XUÂN THÀNH Hà Nội - 2019 MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Công việc thiết kế điều khiển cho hệ thống kỹ thuật ln đòi hỏi hiểu biết hệ thống Một phương pháp thường dùng sử dụng mơ hình tốn học để mơ tả hệ thống Những hệ thống phức tạp máy móc, tô, máy bay, robot, thường mô tả mơ hình tốn học phức tạp có bậc cao Việc thiết kế hệ thống điều khiển cho mô hình phức tạp đòi hỏi khối lượng lớn tính tốn đơi khơng khả thi Bài tốn rút gọn mơ hình đời từ thập kỷ 70-80 kỷ trước nhằm giải vấn đề Cụ thể, mơ hình phức tạp, bậc cao, xấp xỉ thay mô hình đơn giản, có bậc thấp hơn, mà khơng làm đặc điểm vật lý quan trọng hệ thống, tính ổn định, tính quan sát được, tính điều khiển được, v.v Ngày phương pháp cho tốn rút gọn mơ hình trở nên hữu hiệu thông dụng, sử dụng rộng rãi việc mơ hình hóa, thiết kế, chế tạo Nhiều phương pháp chuẩn hóa nhúng phần mềm chuyên dụng, phần mềm MATLAB, MATHEMATICA Những hệ thống kỹ thuật trở nên ngày phức tạp, đòi hỏi thuật tốn rút gọn mơ hình hiệu hơn, nhanh chóng Bên cạnh đó, hệ thống có tính chất đặc biệt cần phải phát triển thuật tốn rút gọn mơ hình chun biệt dành cho hệ Từ đó, nghiên cứu tốn rút gọn mơ hình đang, vấn đề thời Chính lý mà chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu "Rút gọn mơ hình cho số hệ điều khiển tuyến tính" Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích luận án đề xuất thuật toán rút gọn nhằm xấp xỉ hệ động lực tuyến tính cho trước Đối tượng nghiên cứu hệ động lực tuyến tính liên tục rời rạc, có tính ổn định, không ổn định Phạm vi nghiên cứu thuật toán rút gọn nhằm xấp xỉ hệ cho trước toàn dải tần số lân cận số tần số cho trước Bên cạnh đó, chúng tơi sử dụng cơng cụ cho mục đích nghiên cứu, chuẩn H∞,β /h∞,α áp dụng cho hệ có tính khơng ổn định, đưa công thức đánh giá cận sai số theo chuẩn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu luận án sử dụng tính tốn, lập luận, chứng minh toán học Cơ sở toán học cho luận án đến từ lĩnh vực khác Đại số tuyến tính, Giải tích hàm, Phương trình vi phân, Lý thuyết điều khiển Các kết lý thuyết luận án kiểm tra chứng thực ví dụ số cụ thể Cấu trúc luận án Luận án chia làm chương: - Chương dành cho việc giới thiệu số không gian hàm dùng luận án khái niệm liên quan đến hệ động lực tuyến tính liên tục hệ động lực tuyến tính rời rạc - Chương nghiên cứu phương pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến tính ổn định đối xứng, tức A = AT , BT = C Do phương pháp chặt cân bằng, phương pháp chặt modal phương pháp chặt cân phần áp dụng rút gọn cho hệ động lực tuyến tính ổn định đối xứng có cơng thức tính xác sai số theo chuẩn H∞ nên chúng tơi tìm mối liên hệ cơng thức tính sai số so sánh sai số phương pháp Bên cạnh đó, dựa vào tính chất ánh xạ phân tuyến tính, xây dựng sai số cho phương pháp chặt cân kết hợp với ánh xạ phân tuyến tính (là trường hợp mở rộng phương pháp Nhiễu kỳ dị) chứng minh phương pháp cho kết tốt phương pháp chặt cân rút gọn cho hệ động lực tuyến tính ổn định đối xứng - Chương tập trung nghiên cứu phương pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến tính khơng ổn định Đầu tiên, nhắc lại số phương pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến tính không ổn định phổ biến phương pháp phân rã [2], phương pháp Zhou giới thiệu [3] phương pháp chuyển miền ổn định [4, 5] Dựa vào tính chất phương pháp dựa vào tính chất phương chặt cân cho hệ không ổn định [4, 5] phương pháp GSP cho hệ ổn định [6, 7], xây dựng phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính khơng ổn định gọi phương pháp BGSP (Nhiễu kỳ dị suy rộng cân bằng) trường hợp tổng quát phương pháp [4, 5] Để đánh giá cận sai số cho phương pháp xây dựng khái niệm chuẩn H∞,β /h∞,α sử dụng phép biến đổi phân tuyến tính hệ động lực tuyến tính liên tục khơng ổn định với hệ động lực tuyến tính rời rạc không ổn đinh Để minh họa, áp dụng phương pháp phương pháp [2, 3, 4, 5] cho hệ tuyến tính khơng ổn định bậc 50 - Chương đề xuất số phương pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến tính liên tục ổn định lân cận tần số vài tần số Trong nhiều trường hợp, việc xấp xỉ hệ động lực tuyến tính tồn tần số khơng cần thiết Bài tốn đặt tìm hệ động lực tuyến tính rút gọn xấp xỉ hệ động lực tuyến tính gốc tần số lân cận vài tần số cho trước [8, 9, 10] Ý tưởng phương pháp chặt cân cho hệ tuyến tính ổn định mở rộng để giải toán gọi phương pháp chặt cân lân cận tần số [8, 11, 1, 12] Dựa vào việc nghiên cứu tính chất phương pháp Zhou [3] để rút gọn hệ động lực tuyến tính không ổn định, đề xuất phương pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến tính ổn định lân cận tần số cách chuyển hệ miền không ổn định tương ứng với tần số cần xấp xỉ Sau áp dụng phương pháp [3] cho hệ không ổn định để hệ rút gọn không ổn đinh Cuối cùng, ta chuyển hệ rút gọn không ổn định miền ổn đinh ta hệ động lực tuyến tính rút gọn cần tìm Phương pháp mở rộng để rút gọn hệ động lực tuyến tính ổn định lân cận vài tần số cho trước Kết luận án Luận án đạt số kết sau đây: -Đối với hệ tuyến tính ổn định đối xứng, đưa so sánh cho bốn phương pháp rút gọn: phương pháp chặt cân bằng, phương pháp chặt modal, phương pháp chặt cân phần phương pháp chặt cân kết hợp với ánh xạ phân tuyến tính - Đối với việc rút gọn hệ tuyến tính khơng ổn định, đưa phương pháp BGSP, đồng thời đánh giá sai số cho phương pháp theo chuẩn H∞,β /h∞,α - Đối với việc rút gọn cho hệ tuyến tính ổn định quanh lân cận vài tần số cho trước, đưa phương pháp mới, đồng thời đưa đánh giá sai số theo chuẩn L∞,ω0 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương trình bày tóm tắt số kiến thức sử dụng chương sau Luận án Trước tiên, giới thiệu số phép phân tích ma trận số khơng gian hàm Sau đó, chúng tơi giới thiệu kiến thức hệ động lực tuyến tính phát biểu tốn rút gọn mơ hình cho hệ động lực tuyến tính Các kiến thức viết dựa tài liệu [1, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20] danh mục Tài liệu tham khảo Luận án Hệ động lực tuyến tính liên tục mơ tả bởi: ˙ x(t) = Ac x(t) + Bc u(t), x(0) = 0, (1.1) y(t) = Cc x(t) + Dc u(t), (1.2) t ∈ [0, ∞) (Ac , Bc , Cc , Dc ) ∈ Rn×n × Rn×m × Rp×n × Rp×m Hệ động lực tuyến tính liên tục gọi đối xứng (đối xứng mở rộng) ATc = Ac , BTc = Cc (BTc = −Cc ) Hàm truyền hệ xác định Gc (s) = Cc (sI − Ac )−1 Bc + Dc Nếu hệ động lực tuyến tính liên tục ổn định chuẩn H∞ Gc (s) xác định Gc H∞ = sup σmax [Gc (jω)] ω∈R Hệ động lực tuyến tính rời rạc cho phương trình trạng thái x(k + 1) = Ad x(k) + Bd u(k), x(0) = 0, y(k) = Cd x(k) + Dd u(k), (1.3) (1.4) k ∈ Z+ (Ad , Bd , Cd , Dd ) ∈ Rn×n × Rn×m × Rp×n × Rp×m Hàm truyền hệ xác định Gd (z) := Cd (zI − Ad )−1 Bd + Dd , z ∈ C (1.5) Hệ động lực tuyến tính rời rạc (1.3)-(1.4) gọi ổn định tiệm cận hay ổn định ma trận Ad ma trận Schur Khi đó, chuẩn h∞ hàm truyền Gd (z) cho Gd h∞ = sup σmax [Gd (ejω )] ω∈R Bài tốn rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính liên tục: Xét hệ động lực tuyến tính liên tục bậc n ˙ x(t) = Ac x(t) + Bc u(t), x(0) = 0, y(t) = Cc x(t) + Dc u(t), t ∈ [0, ∞) Tìm hệ tuyến tính liên tục rút gọn bậc r < n ˆ cx ˆ c u(t), ˆ˙ (t) = A ˆ (t) + B x ˆ cx ˆ c u(t), ˆ (t) = C ˆ (t) + D y để xấp xỉ hệ tuyến tính liên tục cho cho ˆ nhỏ Xấp xỉ có sai số nhỏ, tức với đầu vào u(t) y − y Các tính chất hệ gốc bảo tồn tính ổn định, tính điều khiển được, tính quan sát được, Bài tốn rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính rời rạc phát biểu tương tự CHƯƠNG RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH ỔN ĐỊNH ĐỐI XỨNG Mục đích chương đưa so sánh công thức đánh giá sai số số phương pháp rút gọn cho lớp hệ tuyến tính ổn định có tính chất đối xứng Đây lớp hệ quan trọng xuất nhiều kỹ thuật hệ thống mạng lưới điện Để tiến hành so sánh, chúng tơi trình bày lại phương pháp rút gọn là: phương pháp chặt cân [17, 21], phương pháp chặt modal [19, 20], phương pháp chặt cân phần [22, 23] phương pháp chặt cân dựa vào ánh xạ phân tuyến tính cho [6, 18] Nội dung chương viết dựa báo [1] Danh mục cơng trình cơng bố Luận án 2.1 Phương pháp chặt cân Phương pháp chặt cân rút gọn cho hệ tuyến tính liên tục ổn định [17] trình bày Thuật tốn trang sau Theo [21, 26], tính chất hệ rút gọn thu Thuật toán cho định lý sau Đinh lý 2.1.2 Xét hệ tuyến tính liên tục ổn định G(s) Gọi G1 (s) hệ rút gọn bậc r thu từ Thuật tốn Ta có kết sau: (i) Hệ rút gọn G1 (s) bảo tồn tính ổn định, tính điều khiển tính quan sát hệ ban đầu G(s) (ii) Biểu diễn (A1 , B1 , C1 , D1 ) biểu diễn cân hệ rút gọn (iii) Ta có đánh giá sai số G − G1 H∞ ≤ 2(σr+1 + · · · + σn ) Theo [28], G(s) hệ đối xứng ta có Thuật tốn Rút gọn hệ tuyến tính liên tục ổn định phương pháp chặt cân Đầu vào: Hệ tuyến tính liên tục ổn định G(s) bậc n với biểu diễn (Ac , Bc , Cc , Dc ), bậc r < n hệ rút gọn Đầu ra: Hệ rút gọn G1 (s) bậc r < n với biểu diễn (A1 , B1 , C1 , D1 ) 1: Tính biểu diễn cân (Ab , Bb , Cb , Db ) Thuật toán 2: Biểu diễn ma trận Ab , Bb , Cb , Σ dạng khối Ab = 3: A1 , Bb = B1 , Cb = C1 ,Σ = Σ1 Σ2 , với A1 ∈ Rr×r , B1 ∈ Rr×m , C1 ∈ Rk×r , Σ1 = diag(σ1 , , σr ), Σ2 = diag(σr+1 , , σn ) Hệ rút gọn Gr (s) bậc r thu với biểu diễn (A1 , B1 , C1 , D1 ), D1 = Dc G − G1 2.2 H∞ = 2(σr+1 + · · · + σn ) So sánh phương pháp chặt cân với phương pháp chặt modal Thuật toán trang sau trình bày cụ thể cách tìm hệ rút gọn theo phương pháp chặt modal [30] Theo [30], tính chất hệ rút gọn cho định lý sau Định lý 2.2.2 Xét hệ động lực tuyến tính liên tục ổn định SISO G(s) ∼ (Ac , Bc , Cc , Dc ) Gọi G2 (s) ∼ (A2 , B2 , C2 , D2 ) hệ rút gọn bậc r thu từ Thuật tốn Ta có kết sau: (i) Hệ rút gọn G2 (s) bảo tồn tính ổn định, tính điều khiển tính quan sát hệ ban đầu G(s) (ii) Biểu diễn (A2 , B2 , C2 , D2 ) biểu diễn modal hệ rút gọn (iii) Ta có đánh giá sai số G − G2 H∞ ≤ Rr+1 + · · · + Rn Thuật tốn Rút gọn hệ tuyến tính liên tục ổn định SISO phương pháp chặt modal Đầu vào: Hệ tuyến tính liên tục ổn định SISO G(s) bậc n với biểu diễn (Ac , Bc , Cc , Dc ), bậc hệ rút gọn r Đầu ra: Hệ động lực rút gọn G2 (s) bậc r < n với biểu diễn (A2 , B2 , C2 , D2 ) 1: Tính ma trận S chéo hố ma trận Ac : S−1 AS = diag(λ1 , , λn ) 2: Tính biểu diễn modal (Am , Bm , Cm , Dm ) Am = S−1 Ac S, Bm = S−1 Bc , Cm = Cc S, Dm = Dc , với   Am =   3: 4: λ1 λn  ,    b    Bm =   , bn Cm = c1 · · · cn (2.1) Xếp lại thứ tự biến cho R1 ≥ R2 ≥ · · · ≥ Rn với R1 := Biểu diễn (Am , Bm , Cm ) dạng khối: Am = 5:  A2 B2 , Bm = , Cm = C2 |bi ci | |Re(λi )| , với A2 = diag(λ1 , , λr ), B2 ∈ Rr×1 , C2 ∈ R1×r Hệ rút gọn G2 (s) bậc r thu với biểu diễn (A2 , B2 , C2 , D2 ), D2 = Dc Các kết áp dụng Thuật toán Thuật tốn cho hệ tuyến tính liên tục ổn định đối xứng mở rộng SISO trình bày định lý sau Định lý 2.2.5 Giả sử hệ tuyến tính liên tục SISO G(s) ∼ (Ac , Bc , Cc , Dc ) ổn định đối xứng mở rộng Khi ta có: (i) Hệ rút gọn G1 (s) thu phương pháp chặt cân Thuật toán hệ tuyến tính liên tục ổn định đối xứng mở rộng Hơn nữa, sai số G(s) với G1 (s) tính theo chuẩn H∞ xác định G − G1 H∞ = 2(σr+1 + · · · + σn ) (ii) Hệ rút gọn G2 (s) thu phương pháp chặt cân Thuật tốn hệ tuyến tính liên tục ổn định đối xứng mở rộng Hơn nữa, sai số G(s) với G2 (s) tính theo chuẩn H∞ xác định G − G2 H∞ = Rr+1 + · · · + Rn Sai số hai phương pháp đánh giá định lý sau Định lý 2.2.8 Giả sử hệ tuyến tính liên tục SISO G(s) ∼ (Ac , Bc , Cc , Dc ) ổn định đối xứng mở rộng Gọi G1 (s), G2 (s) tương ứng hệ rút gọn thu Thuật tốn Thuật tốn Khi ta có: G − G1 2.3 H∞ ≤ G − G2 H∞ So sánh phương pháp chặt cân với phương pháp chặt cân phần Cho G1 (s) G2 (s) hệ tuyến tính liên tục cho bởi: x˙i (t) = Ai xi (t) + Bi u(t), xi (0) = 0, yi (t) = Ci xi (t) + Di u(t), t ∈ [0, ∞) Ai ∈ Rni ×ni , Bi ∈ Rni ×m , C ∈ Rp×ni , Di ∈ Rp×m , i ∈ {1, 2} Hàm truyền hệ là: Gi (s) := Di + Ci (sI − Ai )−1 Bi + Di , với s ∈ C, i ∈ {1, 2} Cho G(s) := G1 (s) + G2 (s), cấu trúc hệ G cho phương trình trạng thái sau ˙ x(t) = Ac x(t) + Bc u(t), y(t) = Cc x(t) + Dc u(t), Thuật toán 13 Phương pháp α-BGSP cho hệ tuyến tính rời rạc khơng ổn định Đầu vào: Hệ tuyến tính rời rạc Gd (s) ∼ (Ad , Bd , Cd , Dd ) ∈ Dα , bậc hệ rút gọn r z0 Đầu ra: Hệ rút gọn Gd (z, z0 ) ∼ (Ad (z0 ), Bd (z0 ), Cd (z0 ), Dd (z0 )) b b b b 1: Tính biểu diễn α- cân (Ad , Bd , Cd , Dd ) cách áp dụng Thuật Bd √ toán cho hệ ổn định ( Aαd , √ , Cαd , Dd ) α b b b b 2: Tách (Ad , Bd , Cd , Dd ) Π dạng Abd = 3: Ad A12 A21 A22 , Bbd = Bd B2 , Cbd = Cd C2 ,Π = Π1 Π2 Dbd = Dd , (Ad , Bd , Cd , Dd ) ∈ (Rr×r × Rr×m × Rk×r × Rk×m ), α , , πnα ) Π1 = diag(π1α , , πrα ), Π2 = diag(πr+1 Gd (z, z0 ) ∼ (Ad (z0 ), Bd (z0 ), Cd (z0 ), Dd (z0 )), với A(z0 ) := Ad + A12 (z0 I − A22 )−1 A21 , B(z0 ) := Bd + A12 (z0 I − A22 )−1 B2 , C(z0 ) := Cd + C2 (z0 I − A22 )−1 A21 , D(z0 ) := Dd + C2 (z0 I − A22 )−1 B2 Gc (s) Khi đó, ta có đánh giá sai số sau: Gd − Gd (·, z0 ) h∞,α α ≤ 2(πr+1 + · · · + πnα ), Gc − Gc (·, s0 ) H∞,β β ≤ 2(σr+1 + · · · + σnβ ), π1α , , πnα giá trị kỳ dị α-Hankel Gd (z) σ1β , , σnβ giá trị kỳ dị β-Hankel Gc (s) 3.4 Ví dụ minh họa Trong mục này, kiểm nghiệm cách áp dụng phương pháp rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính khơng ổn định bậc 50 Các kết số cho thấy phương pháp đề xuất cho sai số theo chuẩn H∞,β tốt phương pháp biết 16 , Thuật tốn 14 Phương pháp β-BGSP cho hệ tuyến tính liên tục khơng ổn định Đầu vào: Hệ tuyến tính liên tục Gc (s) ∼ (Ac , Bc , Cc , Dc ) ∈ Cβ , bậc hệ rút gọn r s0 Đầu ra: Hệ rút gọn Gc (s, s0 ) ∼ (Ac (s0 ), Bc (s0 ), Cc (s0 ), Dc (s0 )) b b b b 1: Tính biểu diễn β- cân (Ac , Bc , Cc , Dc ) cách áp dụng Thuật toán cho hệ ổn định (Ac − βI, Bc , Cc , Dd ) b b b b 2: Tách (Ac , Bc , Cc , Dc ) Σ dạng Abc = 3: Ac A12 A21 A22 , Bbc = Bc B2 , Cbc = Cc C2 ,Σ = Σ1 Σ2 Dbc = Dc , (Ac , Bc , Cc , Dc ) ∈ (Rr×r × Rr×m × Rk×r × Rk×m ), β , , σnβ ) Σ1 = diag(σ1β , , σrβ ), Σ2 = diag(σr+1 Gc (s, s0 ) ∼ (Ac (s0 ), Bc (s0 ), Cc (s0 ), Dc (s0 )), với A(s0 ) = Ac + A12 (s0 I − A22 )−1 A21 , B(s0 ) = Bc + A12 (s0 I − A22 )−1 B2 , C(s0 ) = Cc + C2 (s0 I − A22 )−1 A21 , D(s0 ) = Dc + C2 (s0 I − A22 )−1 B2 Kết luận Chương Dựa vào tính chất phương pháp chặt cân cho hệ tuyến tính khơng ổn định [42, 5] tính chất phép biến đổi phân tuyến tính, chương chúng tơi đạt kết sau: Đưa phương pháp α-BGSP rút gọn cho hệ tuyến tính rời rạc khơng ổn định Thuật tốn 13 Đưa phương pháp β-BGSP rút gọn cho hệ tuyến tính liên tục khơng ổn định Thuật tốn 14 Chứng minh tính chất phép biến đổi αβ phép biến đổi αβ ngược (Bổ đề 3.3.5 Bổ đề 3.3.6) Xây dựng, chứng minh công thức đánh giá cận sai số theo chuẩn 17 , H∞,β phương pháp BGSP áp dụng cho hệ tuyến tính khơng ổn định (Định lý 3.3.7) 18 CHƯƠNG RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH TRÊN LÂN CẬN MỘT VÀI TẦN SỐ Trong chương này, đề xuất số phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính liên tục lân cận vài tần số Các thuật toán so sánh với phương pháp phổ biến [1, 17] thơng qua ví dụ minh họa Nội dung chương viết dựa báo [48] Tài liệu tham khảo Luận án 4.1 Bài tốn rút gọn mơ hình lân cận tần số Xét hệ tuyến tính liên tục ổn định G(s) ∼ (A, B, C, D), tốn rút gọn mơ hình lân cận tần số [10], đặt sau: Cho trước hệ ổn định G(s) tần số ω0 , ta tìm hệ rút gọn G(s) cho G(jω) − G(jω) nhỏ, ω lân cận ω0 4.2 Phương pháp chặt cân lân cận tần số Cho ω0 ∈ R+ tần số cho λ(A) ∩ {ω0 + jR} = ∅ Cho A0 := A + ω0 I Pω0 := 2π Qω0 := 2π ∞ −∞ ∞ (jωI − A0 )−1 BBT (−jωI − AT0 )−1 dω, −∞ (−jωI − AT0 )−1 CT C(jωI − A0 )−1 dω Định nghĩa 4.2.1 Cho hệ tuyến tính liên tục ổn định G(s) ∼ (A, B, C, D) Các giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 G(s) λ(Pω0 Qω0 ) 19 Thuật tốn 15 trang sau giúp ta tính giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 G(s) Thuật tốn 15 Tính giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 ∈ R+ Đầu vào: Hệ ổn định G(s) ∼ (A, B, C, D) tần số ω0 ∈ R+ cho λ(A) ∩ {ω0 + jR} = ∅ Đầu ra: Σω0 ma trận đường chéo chứa tất giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 1: A0 ← A + ω0 I 2: Tách A0 thành phần không ổn định phần ổn định ma trận chuyển không suy biến S cho: S−1 A0 S = 3: 5: 6: A− , với λ(A+ ) ⊂ C+ λ(A− ) ⊂ C− Tách S−1 B CS tương ứng với S−1 A0 S S−1 B = 4: A+ B+ B− , CS = C+ C− Đặt G+ (s) ∼ (−A+ , B+ , C+ , 0) hệ ổn định Áp dụng Thuật tốn cho G+ (s) để tính Σ+ ma trận đường chéo chứa tất giá trị kỳ dị Hankel G+ (s) Đặt G− (s) ∼ (A− , B− , C− , D) hệ ổn định Áp dụng Thuật toán cho G− (s) để tính Σ− ma trận đường chéo chứa tất giá trị kỳ dị Hankel G− (s) Ta thu Σω0 = diag(Σ+ , Σ− ) Phương pháp chặt cân lân cận tần số tính tốn Thuật tốn 16 Để đánh giá sai số, ta xây dựng chuẩn định nghĩa sau Định nghĩa 4.2.3 Cho G(s) ∼ (A, B, C, D) hệ tuyến tính liên tục ổn định ω0 ∈ R+ tần số cho λ(A) ∩ {ω0 + jR} = ∅ Đặt A0 := (A + ω0 I) G0 (s) ∼ (A0 , B, C, D) Chuẩn L∞,ω0 G(s) định nghĩa sau: G L∞,ω0 := G0 L∞ Với chuẩn xác định dựa vào công thức [3], cơng thức đánh 20 Thuật tốn 16 Thuật tốn chặt cân lân cận tần số ω0 Đầu vào: Hệ ổn định G(s) ∼ (A, B, C, D) ω0 ∈ R+ cho λ(A) ∩ {ω0 + jR} = ∅, bậc hệ rút gọn r Đầu ra: Hệ rút gọn ổn định G(s) ∼ (A, B, C, D) xấp xỉ G(s) lân cận tần số ω0 1: Áp dụng Thuật toán 15 thu G+ (s) ∼ (−A+ , B+ , C+ , 0), G− (s) ∼ (A− , B− , C− , D), Σω0 = diag(Σ+ , Σ− ) 2: Lấy r giá trị kỳ dị Hankel lớn Σω0 Gọi r1 r2 giá trị kỳ dị Hankel lớn Σ+ Σ− r giá trị kỳ dị Hankel lớn Σω0 cho r1 + r2 = r 3: Áp dụng phương pháp chặt cân cho G+ (s) cách giữ lại r1 giá trị kỳ dị Hankel lớn Σ+ Làm tương tự cho G− (s) cách giữ lại r2 giá trị kỳ dị Hankel lớn Σ− Ta thu hai hệ rút gọn ổn định sau: G+ (s) ∼ (−Ab+ , Bb+ , Cb+ , 0) với bậc r1 , G− (s) ∼ (Ab− , Bb− , Cb− , Db ) với bậc r2 4: { Chú ý Ab+ ma trận không ổn định nên −Ab+ la ma trận ổn định.} Ta thu (A0 , B, C, D) khối ma trận dạng A0 ← 5: Ab+ Ab− , B← Bb+ Bb− ,C ← Cb+ Cb− , D ← Db { Chú ý A0 ma trận không ổn định nên Ab+ ma trận ổn định.} Chuyển ngược lại A ← A0 − ω0 I ta thu hệ ổn định G(s) ∼ (A, B, C, D) giá sai số cho phương pháp Thuật toán 16 cho định lý sau Đinh lý 4.2.4 Giả sử G(s) ∼ (A, B, C, D) hệ tuyến tính liên tục ổn định ω0 ∈ R+ tần số cho λ(A) ∩ {ω0 + jR} = ∅ Gọi G(s) ∼ (A, B, C, D) hệ rút gọn ổn định thu từ Thuật tốn 16 Khi ta có đánh giá sau G−G L∞,ω0 ≤ 2(σr+1 +1 + · · · + σn+1 ) + 2(σr−2 +1 + · · · + σn−2 ), với σr+1 +1 , , σn+1 σr−2 +1 , , σn−2 tương ứng giá trị kỳ dị Hankel nhỏ Σ+ Σ− thu từ Thuật toán 16 21 Các ví dụ minh họa Ví dụ 4.2.1 Xét hệ FOM-2 cho [47] có hàm truyền đạt: 2s6 + 11.5s5 + 57.75s4 + 178.625s3 + 345.5s2 + 323.625s + 94.5 G(s) = s7 + 10s6 + 46s5 + 130s4 + 239s3 + 280s2 + 194s + 60 Ta áp dụng Thuật toán 16 với ω0 = 0.7 phương pháp Gawronski-Juang [1] để rút gọn hệ để thu hệ rút gọn bậc Kết chạy số cho thấy hệ rút gọn thu Thuật toán 16 tốt hệ rút gọn thu phương pháp Gawronski-Juang lân cận ω0 = 0.7 Ví dụ 4.2.2 Ta áp dụng phương pháp Thuật toán 16 lân cận tần số ω0 = (ω1 + ω2 )/2, phương pháp chặt cân Thuật toán (c) phương pháp Gawronski-Juang cho hệ CD player [36] để thu hệ rút gọn bậc Kết chạy số cho thấy hệ rút gọn thu đươc phương pháp Thuật toán 16 xấp xỉ hệ gốc tốt hệ rút gọn phương pháp khác dải tần [ω1 , ω2 ] 4.3 Rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số Bài toán rút gọn hệ tuyến tính liên tục ổn định lân cận vài tần số: Cho hệ tuyến tính liên tục ổn định G(s) dãy tần số {ω1 , , ωk }, tìm hệ rút gọn G(s) bậc r cho G(jω) − G(jω) nhỏ ω lân cận dãy tần số {ω1 , , ωk } Lặp Thuật toán 16 tần số ωi , i = 1, , k Tại bước lặp, hệ sai số G(s) − Gi (s) sử dụng để tính hệ rút gọn lân cận tần số ωi Phương pháp tính tốn qua Thuật tốn 17, đó, ta chọn cách ngẫu nhiên dãy bậc rút gọn r1 , , rk tương ứng với dãy tần số {ω1 , , ωk } Ví dụ minh họa Ví dụ 4.3.1 Ta áp dụng phương pháp chặt cân phương pháp Thuật toán 17 cho hệ CD player [36] bậc 120, đầu vào, đầu với ω1 = 0, ω2 = × 105 r1 = 8, r2 = để thu hệ rút gọn bậc 14 22 Thuật toán 17 Thuật toán lặp cho phương pháp chặt cân Đầu vào: Hệ ổn định G(s) ∼ (A, B, C, D); dãy tần số {ω1 , , ωk } dãy bậc rút gọn {r1 , , rk } cho r = r1 + · · · + rk Đầu ra: Hệ rút gọn: G(s) 1: G(s) ← 2: for i ∈ {1, , k} 3: Chạy Thuật toán 16 cho hệ G(s) ta thu hệ rút gọn Gi (s) bậc ri xấp xỉ G(s) lân cận tần số ωi 4: G(s) ← G(s) + Gi (s) 5: G(s) ← G(s) − Gi (s) 6: end for 7: Thu hệ rút gọn G(s) Kết chạy số cho thấy phương pháp đề xuất Thuật toán 17 cho sai số nhỏ dải tần số cao Kết luận Chương Dựa vào tính chất phương pháp rút gọn cho hệ không ổn định [3], chương đạt kết sau: Đưa phương pháp chặt cân lân cận tần số cho trước Thuật toán 16 Đánh giá sai số phương pháp chặt cân lân cận tần số theo chuẩn L∞,ω0 (Định lý 4.2.4) Đưa phương pháp lặp để rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số Thuật toán 17 23 KẾT LUẬN Luận án đưa số phương pháp rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính ổn định khơng ổn định Những kết luận án đạt là: Đối với hệ tuyến tính ổn định đối xứng, chúng tơi đưa so sánh cho bốn phương pháp rút gọn: phương pháp chặt cân bằng, phương pháp chặt modal, phương pháp chặt cân phần phương pháp chặt cân kết hợp với ánh xạ phân tuyến tính Đối với việc rút gọn hệ tuyến tính không ổn định, đưa phương pháp BGSP, đồng thời đánh giá sai số cho phương pháp theo chuẩn H∞,β /h∞,α Đối với việc rút gọn cho hệ tuyến tính ổn định quanh lân cận vài tần số cho trước, đưa phương pháp mới, đồng thời đưa đánh giá sai số theo chuẩn L∞,ω0 Luận án tiếp tục theo số chủ đề sau: Mở rộng phương pháp Zhou [3] cho trường hợp hệ tuyến tính rời rạc Áp dụng phương pháp Chương cho hệ rời rạc Chứng minh việc bảo tồn tính điều khiển được, tính quan sát phương pháp Chương 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Gawronski, W., Juang, J (1990), “Model reduction in limited time and frequency intervals”, International Journal of Systems Science, Vol 21, No 2, pp 349–376 [2] Nagar, S.K., Singh, S.K (2004), “An algorithmic approach for system decomposition and balanced realized model reduction”, Journal of Franklin Institude, Vol 341, No 7, pp 615–630 [3] Zhou, K., Salomon, G., Wu, E (1999), “Balanced realization and model reduction for unstable systems”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, Vol 9, No 3, pp 183–198 [4] Boess, C., Lawless, A.S., Nichols, N.K., Bunse-Gerstner, A (2011), “State estimation using model order reduction for unstable systems”, Computers and Fluids, Vol 46, No 1, pp 155–160 [5] Kien, V.N (2015), “Researching model order reduction algorithm and applying to control problem”, PhD thesis, Thai Nguyen University of Technology [6] Clapperton, B., Crusca, F., Aldeen, M (1996), “Bilinear Transformation and Generalized Singular Perturbation Model Reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 41, No 4, pp 589–593 [7] Fernando, K.V., Nicholson, H (1982), “Singular perturbational model reduction in the frequency domain”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 27, No 4, pp 969–970 [8] Benner, P., Kăurschner, P., Saak, J (2016), Frequency-Limited Balanced Truncation with Low-Rank Approximations”, SIAM Journal on Scientific Computing, Vol 38, No 1, pp 471–499 [9] Du, X., Benner, P (2016), “Balanced Truncation of Linear Time-Invariant Systems over Finite-frequency Ranges”, http://arxiv.org/abs/1602.04402 25 [10] Du, X., Benner, P., Yang, G., Ye, D (2013), “Balanced truncation of linear time-invariant systems at a single frequency”, Preprint MPIMD/13-02, Max Planck Institute Magdeburg, http://www.mpimagdeburg.mpg.de/preprints [11] Ghafoor, A.L., Sreeram, V (2008), “ Model Reduction Via Limited Frequency Interval Gramians”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, Vol 55, No pp 2806–2812 [12] Gugercin, S., Antoulas, A (2004), “ A survey of model reduction by balanced truncation and some new results”, International Journal of Control, Vol 77, No 8, pp 748–766 [13] Zhou, K., Doyle, J.C., Glover, K (1996), “ Robust and optimal control”, Prentice Hall, New Jersey [14] Polderman, J.W., Willems, J.C (2012), “Introduction to Mathematical Systems Theory : A Behavioral Approach”, Springer, New York [15] Zabczyk, J (1995), Mathematical Control Theory: An Introduction, Birkhăauser Base, Boston [16] Datta, B.N (2004), “Numerical methods for linear control systems: design and analysis”, Elsevier Academic Press [17] Moore, B.C (1981), “Principal component analysis in linear systems: controllability, observability,and model reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 26, No 2, pp 17–32 [18] Liu, Y., Anderson, B.D.O (1989), “Singular perturbation approximation of balanced systems”, Internation of Journal Control, Vol 50, No 4, pp 1379–1405 [19] Antoulas, A.C (2005),“Approximation of Large-Scale Dynamical Systems”, SIAM Press, Philadelphia [20] Obinata, G., Anderson, B.D.O (2001), “ Model order reduction for control system design”, Springer, Berlin 26 [21] Enns, D.F (1984), “ Model reduction with balanced realizations: An error bound and a frequency weighted generalization”, Proceedings of the 23rd Control and Decision Conference (Las Vegas), pp 127–132 [22] Vandendorpe, A., Van Dooren, P (2008), “Model Reduction of Interconnected Systems”, In Model Order Reduction: Theory, Research Aspects and Applications, Springer, Berlin Heidelberg, pp 305–321 [23] Sandberg, H., Murray, R.M (2009), “Model reduction of interconnected linear systems”, Optimal Control Applications and Methods, Vol 30, No 3, pp 225–245 [24] Pernebo, L., Silverman, L.M (1982), “ Model reduction via balanced state space representations”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 27, No 2, pp 382–387 [25] Laub, A., Heath, M., Paige, C., Ward, R (1987), “Computation of system balancing transformations and other applications of simultaneous diagonalization algorithms”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 32, No 2, pp 115–122 [26] Glover, K (1984), “All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems and their L∞ -error bounds”, International Journal of Control, Vol 39, No 6, pp 1115–1193 [27] Al-Saggaf, U.M., Franklin, G.F (1987), “An error bound for a discrete reduced order model of a linear multivariable systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 32, No 9, pp 815–819 [28] Liu, W.Q., Sreeram, V., Teo, K.L (1998), “Model reduction for state space symmetric system”, Systems and Control Letters, Vol 34, No 4, pp 209–215 [29] Green, M., Limebeer, D.J.N (1995), “Linear Robust Control”, Prentice-Hall, New Jersey [30] Rommes, J (2007), “Methods for eigenvalue problems with applications in model order reduction”, PhD thesis, Utrecht University 27 [31] Minh, B.H., Batlle, C., Fossas, E (2014), “A new estimation of the lower error bound in balanced truncation method”, Automatica, Vol 50, No 8, pp 2196–2198 [32] Ober, R (1991), “Balanced parametrization of classes of linear systems”, SIAM Journal on Control and Optimization, Vol 29, No 6, pp 1251–1287 [33] Zhang, F (1999), “Matrix Theory: Basic Results and Techniques”, Springer, New York [34] Lin, M., Wolkowicz, H (2012), “An eigenvalue majorization inequality for positive semidefinite block matrices”, Linear and Multilinear Algebra, Vol 60, No 11, pp 1365–1368 [35] Muscato, G (2000), “Parametric Generalized Singular Perturbation Approximation for Model Order Reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 45, No 2, pp 339–343 [36] Chahlaoui, Y., Van Dooren, P., “A collection of Benchmark examples formodel reduction of linear time invariant dynamical systems”, SLICOT Working Note 2002-2 http://eprints.maths.manchester.ac.uk/1040/ [37] Farrell, B.F., Ioannou, P.J (2001), “Accurate Low-Dimensional Approximation of the Linear Dynamics of Fluid Flow”, Journal of the Atmospheric Sciences, Vol 58, No 18, pp 2771–2789 [38] Ahuja, S (2009), “Reduction methods for feedback stabilization of fluid flows”, PhD thesis, Princeton University [39] Magruder, C., Beattie, C.A., Gugercin, S (2009), “L2 -optimal model reduction for unstable systems using iterative rational Krylov algorithm”, Technical Report, Virginia Tech, Math Dept [40] Kubalinska, D (2009), “Optimal interpolation-based model reduction”, PhD thesis, University of Bremen [41] Yang, J., Chen, C.S., De Abreu-Garcua, J.A., Xu, Y (1993), “Model Reduction of Unstable Systems”, International Journal of Systems and Sciences, Vol 24, No 12, pp 2407–2414 28 [42] Boess, C., Nichols, N.K., Bunse-Gerstner, A (2010), “Model reduction for discrete unstable control systems using a balanced truncation approach”, Preprint MPS, University of Reading https://www.reading.ac.uk/web/FILES/maths/Preprint_10_06_Nichols.pdf [43] Zilouchian, A., Wang, D (1991), “Balanced Structures and Model Reduction of Unstable Systems”, IEEE Proceedings of the SOUTHEASTCON ’91, Vol 2, pp 1198–1201,Williamsburg,VA, USA [44] Keney, C., Hewer, G (1987), “Necessary and sufficient conditions for balancing unstable systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 32, No 1, pp 157–160 [45] Kailath, T (1980), “Linear Systems”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ [46] Barrachina, S., Benner, P., Quintana-Ortí, E.S., Quintana-Ortí, G (2005), “Parallel Algorithms for Balanced Truncation of Large-Scale Unstable Systems” , Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control (Spain), pp 2248–2253 [47] Lepschy, A., Mian, G.A., Pinato, G., Viaro, U (1991), “Rational L2 approximation: A non-gradient algorithm”, Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control (UK), pp 2321–2323 [48] Minh, B.H., Minh, B.C., Phung, D.P., Sreeram, V (2019), “Model reduction problems at specific frequencies”, (Preprint) 29 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1 ] Minh, B.H., Minh, B.C., Sreeram, V (2014), “Comparison between Balanced truncation and Modal truncation techniques for linear statespace-symmetric systems”, IET Control Theory & Applications Vol 9, No 6, pp 900–904 [2 ] Minh, B.H., Minh, B.C., Sreeram, V (2017), “Balanced Generalized Singular Perturbation Method for Unstable Linear Time Invariant Continuous Systems”, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 42, No 4, pp 615–635 30 ... Các tính chất hệ gốc bảo tồn tính ổn định, tính điều khiển được, tính quan sát được, Bài tốn rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính rời rạc phát biểu tương tự CHƯƠNG RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH... xấp xỉ hệ gốc tốt hệ rút gọn phương pháp khác dải tần [ω1 , ω2 ] 4.3 Rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số Bài tốn rút gọn hệ tuyến tính liên tục ổn định lân cận vài tần số: Cho hệ tuyến tính. .. (s) 3.2 Một số phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính không ổn định Mục giới thiệu phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính khơng ổn định [5, 6, 37, 8] 3.3 Phương pháp BGSP cho hệ tuyến tính khơng