Luận văn bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ HẢI YẾN BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. HÀ BÌNH MINH Mục lục 3.1 HÀ NỘI - 2014 ••• Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người tận tình giúp đỡ bảo cung cấp cho em kiến thức tảng để em hoàn thành Luận văn này. Thầy người giúp em ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc thầy. Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới anh Phạm Văn Duẩn, người nhiệt tình giúp đỡ bảo hướng dẫn em trình gõ TgXvà hoàn thành Luận văn. Anh người cung cấp thêm tư liệu kiến thức giúp em giải đáp điều chưa hiểu băn khoăn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô công tác phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp kl đợt (2012-2014), truyền đạt cho em kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua. Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho em suốt trình học tập hoàn thiện Luận văn này. Mặc dù có nhiều cố gắng Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót. Em mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn đọc để Luận văn hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Học viên Trần Thị Hải Yến Lời cam đoan Tên em là: Trần Thị Hải Yến, học viên cao học khóa 2012 - 2014 lớp Toán Giải tích K16 - đợt - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Em xin cam đoan đề tài: “Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương”, kết nghiên cứu thu thập riêng em. Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác. Nếu có không trung thực luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Học viên BẢNG KÝ HIỆU • R: tập hợp số thực • C: tập hợp số phức • (A, B, c, D): hệ tuyến tính ban đầu • (AI, BI, CI , -D&): biểu diễn cân hệ ban đầu • ( A r , B R , C R , D R )\ hệ rút gọn • !R(À): phần thực giá trị riêng À. • G(S ): hàm truyền hệ tuyến tính • OB: ma trận điều khiển • CO '.ma trận quan sát • A: ma trận đối xứng ma trận A • A T \ ma trận chuyển vị ma trận A • A~ L \ ma trận nghịch đảo ma trận A • ị \ giá trị Hankel Trần Thị Hải Yến • P, Q\ ma trận Gramian • P: ma trận điều khiển • Q: ma trận quan sát • E: ma trận đường chéo Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Lớp hệ dương xuất mô hình liên quan đến sinh thái học, hóa học, kinh tế học, . đây, tính dương thể biến đầu vào đầu mô hình dương. Chẳng hạn, mô hình sinh thái học, biến đầu vào, đầu thể số lượng loài hệ sinh thái, theo tự nhiên phải dương. Dưới phát triển máy tính công cụ tính toán, mô hình toán học trở nên ngày lớn, với số biến lên tới hàng triệu, chục triệu, trăm triệu, chí đến hàng tỷ. Việc xử lý mô hình cho mục đích điều khiển tính toán thời gian thực, trở nên tốn kém. Bài toán rút gọn mô hình đời nhằm mục đích giảm chi phí tính toán, đồng thời cho kết chấp nhận được. Bài toán rút gọn mô hình phát biểu sau: Cho mô hình toán học phức tạp với số biến lớn, tìm mô hình toán học đơn giản (với số biến nhỏ hơn) mà cho nghiệm xấp xỉ mô hình ban đầu. Tuy nhiên luận văn này, khảo sát toán rút gọn hệ có tính dương, phát biểu sau: Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương: CHO MỘT HỆ tuyến tính ban đầu có tính dương có số biến lớn, tìm hệ tuyến tính đơn giản (với số biến nhỏ hơn) mà cho nghiệm xấp xỉ mô hình ban đầu. Ngoài ra, hệ rút gọn phải bảo toàn tính dương giống hệ ban đầu. Bài toán rút gọn mô hình bắt đầu nghiên cứu từ đầu thập kỷ 80 kỷ trước. Trong suốt thập kỷ 80 đầu thập kỷ 90, toán thu kết quan trọng mặt lý thuyết. Sau tạm ngưng thời gian, đến năm gần đây, toán rút gọn mô hình quan tâm trở lại, với nhiều phương pháp nghiên cứu công cụ tính toán mới. Tuy nhiên, BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG khảo sát năm 6gần mang tính thời cao báo [1], [2], [5]. Vì chọn việc khảo sát toán làm chủ đề Luận văn. 2. Mục đích nghiên cứu Khảo cứu phương pháp rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Khảo cứu phương pháp rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán rút gọn mô hình, hệ tuyến tính dương. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng công cụ đại số tuyến tính, lý thuyết ma trận, giải tích số, ngôn ngữ lập trình Matlab, . 6. Đóng góp Chạy ví dụ số cho phương pháp rút gọn mô hình cho số toán thực tế. Nội dung Luận văn tốt nghiệp chia làm ba chương cộng với phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo. Nội dung Chương 1, Chương Chương Luận văn phân bổ sau: Chương 1: Giới thiệu hệ tuyến tính dương Chương 2: Phương pháp rút gọn cân cổ điển Chương 3: Phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính dương Chương Giới thiệu hệ tuyến tính dương 1.1 Giới thiệu mô hình toán học xuất phát từ toán thực tế. Hệ tuyến tính bất biến theo thời gian cho phương trình sau: [ xịt) = Ax(t ) + Bu(t) : x(t ữ ) = x ữ : _ í - ) [y{t) = Cx(t) + Du{t ) , biến trạng thái X(T ) vectơ N chiều, tương tự biến đầu vào U(T ) íc* h-11 XỊ (T) X (T) — II vectơ M chiều, biến đầu Y(T ) vectơ P chiều cho tương ứng sau: U {T) II HO ' II X N (T) 'UM (T) Ta có Xi(t) x {t) X(T ) x n (t) 2/2 (T) Với thời gian ban đầu cố định TO, biến trạng thái ban đầu X(TO) = XO. Ta sử dụng kí hiệu M = [RRIIJ] để biểu diễn ma trận có phần tử hàng thứ Ỉ, cột thứ J RRIỊJ. Khi ma trận hệ số (1.1) xácđịnh sau: A [ữj j ], В ịbịj ], С [cj j ], D với kích thước tương ứng n X n , n X 0Cị(t ) = an(t)xi(t) + m,p X n,p X m. a i {t)x {t ) . . . bị 2(t)u 2(t) + + bii(t)ui(t) + ịdịj ] + . . . + a i n {t)x n {t) bị m (t)u m (t ) + với ỉ = 1, n VÁ ) = +dji(t)ui(t) + + c j {t)x {t) + dj (t)u (t) + . . . . . . + + c j n (t)x n (t) d j m (t)u m (t ) với J = 1, Trong ví dụ sau biểu diễn hệ thống vật lý dạng (1.1) Xét mạch điện song song mô tả hình ??. Ta chọn đầu vào cường độ dòng điện từ nguồn độc lập U(T ) = I(T ) đầu điện áp tụ điện Y{T) = V(T). Để thuận tiện ta gắn biến trạng thái với thành phần lưu trữ lượng mạch, trường hợp tụ điện cuộn cảm. Cụ thể, điện áp tụ điện cường độ dòng điện dẫn không đặc trưng cho lượng lưu trữ thành phần mạch, mà thuận tiện cho phép lấy đạo hàm phương trình vi phân cần thiết. Trong ví dụ này, mạch điện song song điện áp tụ trùng với điện áp phần tử mạch. Điều dẫn đến lựa chọn biến trạng thái, Xi{t) = i L (t ) , x (t) = v(t). Với biến trạng thái này, mối quan hệ điện áp cường độ dòng điện cuộn cảm cho bởi: x2{t) = Lxiự) Áp dụng định luật dòng điện Kirchhoff áp dụng cho nút mạch ta —x {t) + H x (t) + c x (t) = u(t). Các mối quan hệ biểu diễn qua đạo hàm theo thời gian biến trạng thái sau: ải(í) = ỴX (T), x {t) = - ^ỹX {t) + Cặp phương trình vi phân bậc này, với việc chọn biến đầu Y(T ) = X 2(T) cho ta mô tả không gian trạng thái mạch điện: VÍ DỤ 1.1.1. Phương trình trạng thái XI {T) >2 {T)_ '0 L L RC XI(T) + " 0" {T )_ u{t ) Phương trình đầu ra: ll y(t + [%(*) ma trận hệ số A, B, c D tương ứng D = Lưu ý D = liên hệ trực tiếp cường độ dòng nguồn điện áp tụ điện. 1.2Hệ tuyến tính dương Định nghĩa 1.2.1. (Hệ tuyến tính dương) Một hệ tuyến tính (A, B, c, D) gọi dương đầu vào trạng thái ban đầu không ăm đầu biến trạng thái không ầm. Cho hệ tuyến tính liên tục sau đây: G _ ịx(t) = Ax(t) + Bu(t), {y(t) = Cx(t ) + Du(t ) Ta khảo sát sơ qua tính dương hệ. Trước tiên, C > (tức ma trận C có phần tử không âm). Lý a;(0) = ej,w(0) = có Cịj < 0, dẫn đến đầu âm c > điều kiện cần để hệ dương. Thực tương tự với D ta thấy D > 0. Với điều kiện đặt lên ma trận A để hệ dương, bắt đầu với số định nghĩa quan trọng định nghĩa ma trận Metzler. Định nghĩa 1.2.2. (Ma trận Metzler) Ma trận A gọi M e t z l e r , Ả ổn định (tức 9ft(A) < 0, VA £ Ơ(Â)) phần tử không nằm đường chéo ma trận A không âm. Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cần đủ để hệ tuyên tính liên tục dương. Định lý 1.2.3. (Tiêu chuẩn cần đủ để hệ dương) Nếu ma trận A ma trận Metzler B,c, D > B, c, D) dương. hệ tuyến tính (A, CHỨNG MINH. Xem tài liệu [ 6]. VÍ DỤ 1.2.4. (Hệ tuyến tính dương) Xét hệ (A, B, C) với Ả := -2 -2 0 -2 -2 □ / Hệ cho hàm _ 2S + 7S + _ 2S + 7S + (s + l)(s + 4s + 5) s 'i'+ s + 9s + ma trận Metzler Ả X có cực —1 —2 ± bi. := So sánh hệ số với s + 5s + 9s + sau: —Ã\\ — «22 — \V Ã 33 = Ỗnã 22 + Ỗnã 33 + 022^33 > nên ( — — «22 — ^ 33) (®22 + Ã 33) > hay tương đương với (ỗ 22 + Ỗ 33 + 2)2 < —5. (vô lý) Vậy, hệ ban đầu dương. Chương Phương pháp rút gọn cân cổ điển Một loạt vấn đề thực tế thiết kế hệ điều khiển với số chiều lớn, hệ điều khiển cho vi mạch . dẫn tới mô hình toán phức tạp so với lực tính toán hệ thống. Yêu cầu đặt xác định hệ rút gọn đủ tốt để thay hệ ban đầu. Quá trình gọi GIẢM BẬC MÔ HÌNH. Ý tưởng giảm bậc mô hình xây dựng hệ với số chiều nhỏ từ hệ gốc ban đầu, đảm bảo giữ xấp xỉ thuộc tính quan trọng hệ gốc. Có nhiều phương pháp giảm bậc mô hình khác phát triển, phù hợp với yêu cầu khác nhau. Trong số đó, phương pháp rút gọn cân phương pháp biết đến nhiều tính đơn giản hiệu áp dụng với lớp lớn toán thực tế. Trong chương này, trình bày kiến thức toán rút gọn mô hình phương pháp rút gọn cân cổ điển. [...]... có liên hệ trực tiếp giữa cường độ dòng nguồn và điện áp tụ điện 1. 2Hệ tuyến tính dương Định nghĩa 1.2.1 (Hệ tuyến tính dương) Một hệ tuyến tính (A, B, c, D) được gọi là dương nếu đầu vào và trạng thái ban đầu không ăm thì đầu ra và các biến trạng thái là không ầm Cho hệ tuyến tính liên tục sau đây: G _ ịx(t) = Ax(t) + Bu(t), {y(t) = Cx(t ) + Du(t ) Ta sẽ khảo sát sơ qua về tính dương của hệ Trước... vi mạch dẫn tới các mô hình toán phức tạp so với năng lực tính toán của hệ thống Yêu cầu được đặt ra là xác định các hệ rút gọn đủ tốt để thay thế hệ ban đầu Quá trình này được gọi là GIẢM BẬC MÔ HÌNH Ý tưởng của giảm bậc mô hình là xây dựng một hệ với số chiều nhỏ từ hệ gốc ban đầu, đảm bảo giữ và xấp xỉ các thuộc tính quan trọng của hệ gốc Có rất nhiều phương pháp giảm bậc mô hình khác nhau đã được... lý sau đây cho ta tiêu chuẩn cần và đủ để một hệ tuyên tính liên tục là dương Định lý 1.2.3 (Tiêu chuẩn cần và đủ để hệ là dương) Nếu ma trận A là ma trận Metzler và B,c, D > B, c, D) là dương 0 thì hệ tuyến tính (A, CHỨNG MINH Xem tài liệu [ 6] VÍ DỤ 1.2.4 (Hệ tuyến tính dương) Xét hệ (A, B, C) với -2 1 0 0 1 0 0 1 -2 0 0 Ả := 0 -2 0 1 □ -2 / Hệ này được cho bởi hàm _ 2S 2 + 7S + 7 _ 2S 2 + 7S + 7 (s... nhau đã được phát triển, phù hợp với các yêu cầu khác nhau Trong số đó, phương pháp rút gọn cân bằng là phương pháp được biết đến nhiều do tính đơn giản và hiệu quả áp dụng với một lớp lớn các bài toán thực tế Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản nhất về bài toán rút gọn mô hình và phương pháp rút gọn cân bằng cổ điển ... := sánh hệ số của ma trận Metzler Ả 3 X 3 i So với s 3 + 5s 2 + 9s + 5 như sau: —Ã\\ — «22 — 0 \V Ã 33 = 5 và Ỗnã 22 + Ỗnã 33 + 022^33 > 9 nên ( — 4 — «22 — ^ 33) (®22 + Ã 33) > 9 hay tương đương với (ỗ 22 + Ỗ 33 + 2)2 < —5 (vô lý) Vậy, hệ ban đầu dương Chương 2 Phương pháp rút gọn cân bằng cổ điển Một loạt các vấn đề thực tế như thiết kế các hệ điều khiển với số chiều lớn, hệ điều khiển cho các vi... cần để hệ dương Thực hiện tương tự với D ta cũng thấy D > 0 Với điều kiện đặt lên ma trận A để hệ là dương, chúng ta bắt đầu với một số định nghĩa quan trọng là định nghĩa ma trận Metzler Định nghĩa 1.2.2 (Ma trận Metzler) Ma trận A được gọi là M e t z l e r , nếu Ả là ổn định (tức là 9ft(A) < 0, VA £ Ơ(Â)) và các phần tử không nằm trên đường chéo chính của ma trận A là không âm Định lý sau đây cho ta . trong luận văn này, chúng tôi chỉ khảo sát bài toán rút gọn đối với hệ có tính dương, được phát biểu như sau: Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương: CHO MỘT HỆ tuyến tính ban đầu có tính. hình cho hệ tuyến tính dương. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Khảo cứu các phương pháp rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán rút gọn mô hình, hệ tuyến tính dương. 5 rút gọn cho hệ tuyến tính dương 7 Chương 1 Giới thiệu hệ tuyến tính dương 1.1Giới thiệu mô hình toán học xuất phát từ các bài toán trong thực tế. Hệ tuyến tính bất biến theo thời gian được cho