Luận văn phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THANH DUY PHƯƠNG PHÁP NHIỄU SUY BIEN CHO BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ••• Người hướng dẫn khoa học TS. HÀ BÌNH MINH HÀ NỘI – 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Hà Bình Minh, người tận tình giúp đỡ bảo cung cấp cho kiến thức tảng để hoàn thành luận văn này. Thầy người giúp ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc Thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Phòng sau đại học, thầy cô trực tiếp giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu. Cuối cùng, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho suốt trình học tập hoàn thiện luận văn này. Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thanh Duy Lời cam đoan Tôi xin cam đoan hướng dẫn TS. Hà Bình Minh, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: "Phương pháp nhiễu suy biến cho toán rút gọn mô hình" hoàn thành nhận thức tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thanh Duy Mục lục Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Các mô hình toán học lí thuyết điều khiển xuất phát từ thực tế, đến từ việc mô hệ thống, mạng lưới, . lĩnh vực công nghiệp, giao thông, kinh tế, xã hội . Các mô hình toán học trở nên ngày lớn với số biến lên đến hàng triệu. Việc xử lý mô hình cho mục đích điều khiển tính toán thời gian thực, trở nên tốn kém. Bài toán rút gọn mô hình đời nhằm mục đích giảm chi phí tính toán, đồng thời cho kết chấp nhận được. Bài toán rút gọn mô hình phát biểu sau: Cho mô hình toán học phức tạp với số biến lớn, tìm mô hình toán học đơn giản (với số biến nhỏ hơn) mà cho nghiệm xấp xỉ mô hình ban đầu. Bài toán rút gọn mô hình bắt đầu nghiên cứu từ đầu thập kỷ 80 kỷ trước. Trong suốt thập kỷ 80 đầu thập kỷ 90 toán thu kết quan trọng mặt lý thuyết. Sau tạm ngưng thời gian, đến năm gần đây, toán rút gọn mô hình quan tâm trở lại, với nhiều phương pháp nghiên cứu công cụ tính toán mới. phương pháp nhiễu suy biến nhiều phương pháp nghiên cứu rút gọn mô hình, chọn làm chủ đề luận văn này. 2. Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Khảo cứu phương pháp nhiễu suy biến cho toán rút gọn mô hình. ỉ MỤC 3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán rút gọn mô hình 4. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng công cụ Đại số tuyến tính, Lý thuyết ma trận, Giải tích số, ngôn ngữ lập trình MATLAB. Đọc sách, nghiên cứu tài liệu. Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 5. Dự kiến đóng góp Áp dụng phương pháp nhiễu suy biến để giải số toán rút gọn mô hình toán thực tế. Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương giới thiệu kiến thức chuẩn bị mô hình toán học xuất phát từ thực tế, khái niệm tính ổn định, tính điều khiển được, quan sát được, khái niệm hệ tuyến tính cân lý thuyết điều khiển. Ngoài ra, chương giới thiệu toán rút gọn mô hình. 1.1 Mô hình toán học xuất phát từ toán thực tế Hệ tuyến tính bất biến theo thời gian cho phương trình sau: Ị±(t) = Axự) + Bu(t), x ( t ) = x 0, yy{t) = Cx(t) + Du(t), biến trạng t h i X ( T ) véc tơ N chiều, biến đ ầ u vào U { T ) véc tơ M chiều, biến đầu Y ( T ) véc tơ P chiều cho tương ứng sau: XX (T) X(T) = X2{T ) s Ta U(T) = X(T) U2(T ) XN{T ) CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC 2/1 (*) Y(T) = V2 {T) IP ) (t) Ú2 {t) xn(t) Với thờigian ban đầu cố định Ỉ Q , biến trạng thái ban đầu X ( T Ũ ) = XQ. Ta sử dụng kí hiệu M = [ Ĩ Ĩ I Ị J \ để biểu diễn ma trận có phần tử hàngthứ i, cột thứ J 777/2j• Khi ma trận hệ số (1.1) xác định sau: A B \pij ] C \pij ] ; D ịdị j ] , với kích thước tương ứng n X n, n X ra, p X n, p X 771. Hệ (1.1) viết tường minh sau: Xị{t) = a n X ị { t ) + a i 2x 2( t ) - ị -------b a i n x n { t ) + + b ị i U i ( t ) + b ị 2U 2( t ) + • • • + b i m u m { t ) , VÁ1) = CjiíCi(í) + C J 2X 2{ T ) +-----h C J N X N ( T ) + +'| (0 }'2 (0 Ỹ7Ỳ77TÁ Hình 1.2: Hệ học V Í D Ụ 1.1.1. Xét hệ học hình (1.2). Trong hệ đầu vào lực kéo U { T ) = F ( T ), đầu khoảng cách 7/1 (í), 7/2(£)• Áp dụng Định luật Newton I I cho vật nặng M I , M ta có phương trình vi phân bậc hai sau: m ĩ ỹ i i t ) + k ì y ^ t ) - k 2[ y 2( t ) - y ^ t ) ] = /(í), m j/ (t) + c ỳ 2( t ) + k i [ y i ( t ) -ỉ/i(í)] = 0. (1. 2) Trong hệ thành phần chứa lượng hai lò xo hai vật nặng 7711,7712- Ta định nghĩa véc tơ trạng thái X ( T ) gồm thành phần: X i { t ) = X 2{ t ) = y 2( t ) yi(t), Z3 { t ) = Xị{t) = ỳ2{t). Từ ta có: X ị ( t ) = x 3( t ) , x { t ) = X ị { t ) - x 3( t ) . CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC Thay giá trị vào (1.2) (1.3) ta được: rriiX^t) + kỵXiự) - k2x2{t) = f(t), m X ị { t ) + c X ị { t ) + k x { t ) = 0. Với đầu vào U ( T ) = F ( T ) , ta có phương trình thứ hệ tuyến tính bất biến theo thời gian là: X \ (t) 0 0 ằ x . 7711 17 11 __ m -1 0 Xi{t) __ c m _ (t) x (t) + 0 J _ . u{t). Phương trình đầu là: Xi (t) 2/1M "l 0 o" VI №. 110 + %3 " o 0" u(t). {t) Từ ta xác định hệ số A , B , c D . Ta định nghĩa 3^2(í) = Y 2Ì F ) m không làm thay đổi tính chất hệ. Các biến trạng thái tương ứng là: xĩ (t) x2{t) 2/2 (t ) {t), ỹĩit Định nghĩa 1.2.5. Hệ (1.1) gọi điều khiển (controllable) với trạng thái khởi tạo X ( T O ) = X Q trạng thái kết thúc X Ị , T Ị > tồn đầu vào U ( . ) thỏa mãn X ( T Ị ) = X \ . Điều tương đương với M A trận điều khiển: C O = [ B A B A B . A n ~ 1B ] , có hạng N . V Í D Ụ 1.2.6. Hệ (1.1) có hệ số • Ma trân điều khiển C O = B A B = L -I —3 • Hạng ma trận điều khiển R A N K ( C Q ) = . Vậy hệ điều khiển được. Định nghĩa 1.2.7. Hệ (1.1) gọi Q U A N S Á T Đ Ư Ợ C ( O B S E R VA B L E ) với T Ị > 0, trạng thái khởi tạo X ( T O ) = X O xác định từ đầu vào U { T ) đầu Y { T ) đoạn [0,ti]. Điều tương đương với MA TRẬN QUAN SÁT: c CA OB = CA CAn~l có hạng N . V Í D Ụ 1.2.8. Hệ (1.1) có hệ số A = [2 -1 ' • Ma trận quan sát: B = -2 " „ I" c f — „ = CA - • Hạng m a t r ậ n quan sát: R A N K Ị O B ) = 2. Vậy hệ quan sát được. Định nghĩa 1.2.9. Hệ (1.1) gọi C Â N B Ằ N G ổn định tiệm cận, điều khiển được, quansátđược thỏa mãn hai phươngtrình Lyapunov A \ sau: AT, + T, A ' + B B ' = 0, (1.4) i4 ; E + SA + (1.5) c = 0, B ' , C ' tương ứng matrận chuyển vịcủa A , B , C , s ma trận có dạng đường chéo: E ƠI (1.6 ƠI > ơ2 > ơ3 > ■ ■ ■ > V Í D Ụ 1.2.10. Hệ (1.1) có hệ số Ả = B = -0.4085 -0.9701 0.9701 -2.5914 " 0.4924 " -0.4924 c= D = 0.4924 0.4924 °1 ’ cân bằng, vì: 1. Do ma trận A C Ó giá trị riêng {-0.9998, -2.0001} nên A ổn định tiệm cận. Vậy hệ ổn định tiệm cận. 2. Ma trận điều khiển C O = số chiều ma trận A . 0.4924 0.2765 có R A N K ( C Q ) = 2, -0.4924 1.7537 Do hệ điều khiển được. 0.4924 3. Ma trận quan sát " B = 0.2765 -0.4924 1.7537 có R A N K ( 0‘ . B) = 2, số chiều ma trận A . Do hệ quan sát thỏa mãn 4. Có tồn ma trận dạng đường chéo s = phương trình Lyapunov. 1.3 Giới thiệu toán rút gọn mô hình 1.3.1 Bài toán rút gọn mô hình Xét hệ tuyến tính (1.1) j x(t) = Ax(t) + Bu(t), x ( t 0) = XQ, yy(t) = Cx{t) + Du(t), với x ( t ) e u { t ) e M , y { t ) e R p , A e R n x n , B e m c e Rpxn, D € M pxm . Biến X ( T ) gọi biến trạng thái, biến U ( T ) biến đầu vào (input), biến y(t) biến đầu (output). Trong thực tế toán (1.1) có số biến trạng 0.2967 thái N 0lớn, điềunày gây mô0.0468 nhiều khókhăn tính toán. Bài toán rút gọn hình làbài toán xây dựng hệ tuyến tính với số biến trạng thái nhỏ hệban đầu sau: ịz{t) = Ẵz(t) + Bu(t), ^y{t) ^ = Cz{t) + Du{t), z { t ) € R r , u ( t ) G M m , y { t ) e R p , Ầ e Wxr,B e Rrxm,c e R P X R , D € M . P X M , R ơ2 > ơ3 > ■ ■ ■ > ơn. n_ Ta chia véc tơ trạng thái X ( T ) thành hai phần sau: x{t) = Xi{ (2. t) véc tơ R chiều X Ị ( T ) chứa thành phần giữ lại cho mô hình rút gọn véc tơ N — r chiều X ( T ) chứa phần bị chặt đi. Tương ứng ma trận E CÓ dạng sau: Ei 0 s2 s= (2. với 0' ƠI II T“H W .0 (J r r +l , s2 = 0' &N_ 0"y_j_ ^ Ta phân hoạch ma trận A, B: C tương ứng với X ị (t) X 2(t) sau: ^11 A = C1 M C S I .^21 ^12 B = 'BĨ . B 2. C = R Ci c (2. [...]... = phương trình Lyapunov 1.3 Giới thiệu về bài toán rút gọn mô hình 1.3.1 Bài toán rút gọn mô hình Xét hệ tuyến tính (1.1) j x(t) = Ax(t) + Bu(t), x ( t 0) = XQ, yy(t) = Cx{t) + Du(t), với x ( t ) e u { t ) e M , y { t ) e R p , A e R n x n , B e m c e Rpxn, D € M pxm Biến X ( T ) được gọi là biến trạng thái, biến U ( T ) là biến đầu vào (input), biến y(t) là biến đầu ra (output) Trong thực tế bài toán. .. kiện sau: • Bảo toàn các tính chất quan trọng của hệ ban đầu • Có sai số nhỏ Việc xây dựng mô hình rút gọn cho hệ (1.1) đã được nghiên cứu với nhiều phương pháp khác nhau Trong các chương tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày một số phương pháp cho bài toán rút gọn mô hình 1.3.2 Hàm truyền Thực hiện biến đổi Laplace cho hệ (1.1), với x(0) = 0 ta được: í sl(s) - z(0) = AX(s ) + BU(s ) , |y(s) =CX{s) + DU(s),... Cr(s)|| oo trong đó G , G lần lượt là hàm truyền của hệ (1.1) và hệ (1.7) Chương 2 Các phương pháp rút gọn mô hình cổ điển Trong chương này chúng tôi trình bày một số phương pháp rút gọn mô hình cổ điển dựa trên các tài liệu tham khảo [1] và [6] 2.1 Phương pháp chặt cân bằng (balanced truncation method) 2.1.1 Thuật toán đưa hệ tuyến tính về dạng cân bằng Trong trường hợp hệ (1.1) ổn định tiệm cận, điều... bài toán (1.1) có số biến trạng 0.2967 rất 0 thái N lớn, điềunày gây 0 0.0468 ra nhiều khókhăn trong tính toán Bài toán rút gọn mô hình l bài toán xây dựng hệ tuyến tính với số biến trạng thái nhỏ hơn hệban đầu như sau: ịz{t) = Ẵz(t) + Bu(t), ^y{t) trong ^ = Cz{t) + Du{t), đó z { t ) € R r , u ( t ) G M m , y { t ) e R p , Ầ e Wxr,B e Rrxm,c e R P X R , D € M P X M , R . bài toán rút gọn mô hình được quan tâm trở lại, với nhiều phương pháp nghiên cứu và công cụ tính toán mới. phương pháp nhiễu suy biến là một trong nhiều phương pháp nghiên cứu rút gọn mô hình, . của luận văn này. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Khảo cứu phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình. ỉ Nguyễn Thanh Duy K16 - Toán 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán. phí tính toán, đồng thời vẫn cho ra kết quả chấp nhận được. Bài toán rút gọn mô hình được phát biểu như sau: Cho một mô hình toán học phức tạp với số biến rất lớn, tìm một mô hình toán học