Bài toán rút gọn mô hình cho hệ động lực có số chiều lớn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - - PHẠM VĂN DUẨN BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH CÓ SỐ CHIỀU LỚN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: TOÁN TIN HÀ NỘI - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - - PHẠM VĂN DUẨN BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH CÓ SỐ CHIỀU LỚN Chuyên ngành: TOÁN TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS HÀ BÌNH MINH HÀ NỘI - 2015 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm hệ động lực tuyến tính 1.1.1 Hệ động lực tuyến tính 1.1.2 Hệ động lực tuyến tính ổn định 1.1.3 Không gian H2 chuẩn H2 hệ ổn định 1.2 Bài toán rút gọn mô hình theo chuẩn H2 1.2.1 Bài toán rút gọn mô hình theo chuẩn H2 1.2.2 Ý nghĩa chuẩn H2 hiệu hai hàm truyền Điều kiện tối ưu cho toán rút gọn mô hình 11 2.1 Điều kiện tối ưu trực giao 11 2.2 Điều kiện tối ưu dựa nội suy 15 2.3 Phép chiếu Petrov-Galerkin 17 Thuật toán ví dụ số 20 3.1 Thuật toán Iterative rational Krylov algorithm (IRKA) 20 3.2 Thuật toán trực giao hóa Gram–Schmidt (GSLike) 23 3.3 Lựa chọn điểm xuất phát 25 3.4 Ví dụ số 26 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 34 Tài liệu tham khảo 34 Phụ lục 35 Lời cảm ơn Luận văn "Bài toán rút gọn mô hình cho hệ động lực tuyến tính có số chiều lớn" hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Hà Bình Minh Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn trân trọng đến Thầy Em xin cảm ơn thầy, cô Viện Toán Ứng dụng Tin học - Đại học Bách Khoa Hà Nội dành quan tâm dạy bảo, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em trình làm luận văn Luận văn hoàn thành tài trợ Quỹ NAFOSTED, đề tài 101.02-2013.18 Mặc dù có nhiều cố gắng trình thực chắn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận góp ý thầy, cô đồng nghiệp để nội dung luận văn hoàn thiện Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên giúp đỡ em nhiều trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, Ngày tháng năm 2015 Học viên PHẠM VĂN DUẨN Lời mở đầu Trong giới công nghệ ngày nay, vấn đề kỹ thuật hầu hết mô tả giải thông qua mô hình toán học Các mô hình sử dụng để mô thuộc tính vấn đề thực tế Sử dụng mô hình toán học giúp tiết kiệm thời gian chi phí, thay cho thực nghiệm tốn Hệ động lực trường hợp cụ thể mà mô hình toán học giúp giải nhiều vấn đề Hệ động lực hiểu tổng quát thực thể hệ thống mà trạng thái đặc trưng thay đổi theo thời gian, trạng thái thời điểm xác định cấu trúc hệ thống, trạng thái khứ tác động bên lên hệ thống Phương pháp mô hình toán học công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất hệ động lực xây dựng tác động lên hệ cách tốt theo mục tiêu Ví dụ: mô hình toán học miêu tả dao động lắc đồng hồ, dòng chảy nước đường ống, số lượng cá mùa xuân hồ Với hệ phức tạp, việc mô tính toán gặp nhiều trở ngại Điều xuất phát từ hạn chế khả tính toán, tính xác, nhớ lưu trữ Một hướng tự nhiên xác định mô hình thay thế, đơn giản mô hình phức tạp ban đầu đảm bảo giữ đặc tính quan trọng hệ ban đầu Đó mô tả toán rút gọn mô hình cho hệ động lực Bài toán rút gọn mô hình nghiên cứu từ lâu với nhiều phương pháp, với ưu nhược điểm khác Các phương pháp cổ điển mà tiêu biểu phương pháp chặt (Balanced truncation) đem lại kết tốt với hệ cỡ nhỏ vừa Tuy vậy, việc tính toán phức tạp không cho phép phương pháp áp dụng cho hệ phức tạp Luận văn trình bày thuật toán phù hợp để xây dựng hệ rút gọn từ hệ gốc phức tạp Luận văn bao gồm ba chương Cụ thể: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương giới thiệu kiến thức hệ động lực tuyến tính toán rút gọn mô hình Chương 2: Điều kiện tối ưu cho toán rút gọn mô hình Chương trình bày điều kiện để xác định mô hình tối ưu địa phương toán rút gọn mô hình Chương 3: Thuật toán ví dụ số Chương đưa giải thích bước thuật toán rút gọn mô hình IRKA Các ví dụ số thể tính hiệu thuật toán Thuật toán ví dụ số viết chạy phần mềm MATLAB R2007b Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm hệ động lực tuyến tính giới thiệu toán rút gọn mô hình hệ động lực tuyến tính theo chuẩn H2 1.1 Các khái niệm hệ động lực tuyến tính 1.1.1 Hệ động lực tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Một hệ động lực tuyến tính liên tục dạng đơn giản biểu diễn qua hệ phương trình sau: x(t) = Ax(t) + bu(t), (1.1) y(t) = cx(t), (1.2) đó: • t ∈ (0, +∞) biến thời gian, • x(t) vector n chiều gọi trạng thái hệ, • u(t) ∈ R gọi làtín hiệu đầu vào hệ, • y(t) ∈ R gọi tín hiệu đầu hệ, • A ∈ Rn×n , b ∈ Rn×1 , c ∈ R1×n , ma trận hệ số, • Phương trình (1.1) gọi phương trình trạng thái, • Phương trình (1.2) gọi phương trình đầu ra, • Biểu diễn (1.1)-(1.2) gọi biểu diễn không gian trạng thái hệ động lực Độ lớn hệ động lực đặc trưng số chiều vector trạng thái x(t), gọi bậc hệ Đây số chiều ma trận A Bậc lớn hệ phức tạp y(t) ∈ R u(t) ∈ R x(t) ∈ R n Hình 1.1: Mô tả hệ động lực tuyến tính Ví dụ 1.1.2 Ta xét ví dụ [3], với mạch RLC mô tả Hình 1.2, đầu vào u(t) đầu y(t) Các phương trình mô tả sau: u = ir + il + ic , deC , dt diL eC = L = RiR dt ic = C Nếu ta định nghĩa biến trạng thái x1 = iL x2 = eC mạch điện mô tả hệ động lực: x = Ax + bu, y = cx, Hình 1.2: Mạch RLC đó: x = [x1 , x2 ]T     1/L ,b =  ,c = A= −1/C −1/RC 1/C Một hệ động lực (1.1)-(1.2) mô tả qua khái niệm hàm truyền Định nghĩa 1.1.3 Xét hệ động lực (1.1)-(1.2) Hàm truyền hệ xác định qua công thức (1.3) g(s) = c(sI − A)−1 b Mỗi hệ động lực (1.1)-(1.2) tương ứng với hàm truyền g(s) Ngược lại với hàm truyền g(s) tồn nhiều biểu diễn A, b, c Với dạng biểu diễn qua hàm truyền quan tâm đến cực điểm cấp hàm truyền g(s), định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.4 Điểm a ∈ C gọi cực điểm cấp hàm truyền g(s) hệ động lực (1.1)-(1.2) giới hạn lim(s − a)g(s) s→a 2: Xác định cột vi , wi , i = 2, 3, 4, , n ma trận V, W theo công thức i−1 i−1 xi wj vj , v˜i = xi − j=1 j=1 vi = v˜iT w˜i v˜iT w˜i yi vj wj w˜i = yi − v˜i , wi =  v˜iT w˜i w˜i   1  1 2     Ví dụ 3.2.1 Với hai ma trận đầu vào X = 2 8 , Y = 8 1      sử dụng thuật toán GSLike ta xác định hai ma trận A, B thỏa mãn B T ∗ A = I3 sau:   0.0526 0.1207 −1.4905     A = 0.1053 −.1408 0.0392  ,   0.0526 0.5030 0.5883   0.5835 −0.5883     B = 8 −1.0664 0.1961    1.5493 0.1961 3.3 Lựa chọn điểm xuất phát Với thuật toán IRKA, chất lượng hệ rút gọn tìm phụ thuộc vào điểm xuất phát Trong thử nghiệm chúng tôi, điểm xuất phát ngẫu nhiên đem lại kết hệ rút gọn tốt hội tụ nhanh Với hệ có số chiều nhỏ thuật toán hội tụ nghiệm tối ưu toàn cục 25 Bài toán Với hệ lớn kết thu tốt không phương pháp cổ điển Do với độ ổn định số phương pháp tìm kết tương đương chí tốt phương pháp chặt cân (phương pháp yêu cầu lời giải hai phương trình Lyapunov cỡ lớn) Do thuật toán xác định hệ tối ưu địa phương nên sử dụng điểm xuất phát trị riêng ma trận hệ số A hệ rút gọn theo phương pháp cổ điển thu hệ rút gọn tốt mặt sai số 3.4 Ví dụ số Ví dụ 3.4.1 Hệ gốc số chiều n = với ma trận tham số: −42 −734 −6944 −38661 −128590 −246588 −245448 −95040 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0        A=       bT = 0 0 0 ,c = 0 0 0         ,       Thực giảm bậc, xây dựng hệ rút gọn với số chiều r = thuật toán IRKA Thực bước theo thuật toán 26 1: Khởi tạo tập {σi } = {1 + 1i, − 1i, 3, 4} đóng với phép lấy liên hợp Chọn sai số tol = 10−4 2: Chọn V, W cho W T V = I Ran(V ) = span{(σ1 I − A)−1 b, , (σ4 I − A)−1 b}, Ran(W ) = span{(σ1 I − AT )−1 cT , , (σ4 I − AT )−1 cT } thuật toán GSLike ta  −6.9850 −0.0134   0.0431 0.0001    0.0108 0.0000    0.0027 0.0000  V = 10 ×   0.0007 0.0000   0.0000  0.0002    0.0000 −0.0000  0.0000 −0.0000  0.0000 0.0000  0.0000 0.0019   0.0000 0.0348   0.0003 0.3367 W =  0.0024 1.8205   4.1414 0.0133   0.0605 −16.1830  0.2493 −217.9492 27 0.0117 −0.0001 −0.0000 −0.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 −0.0000 −0.0001  −0.0149  0.0006    0.0001    0.0000    −0.0000   −0.0000   0.0000   −0.0000  0.0001   −0.0029 0.0028    −0.0406 0.0333    −0.2467 0.1332    −0.1766 −0.3549   5.4841 −2.9136   20.1718 9.6683   −91.8201 5.9045   0.0000 0.0000 0.0000   0.0029     −1.5164 0.0000 −0.0044 −0.0043 , 3: (a) Ar = W T AV = 103 ×    2.2704 0.0044 −0.0046 −0.0042   −2.2346 −0.0043 0.0042 −0.0029 (b) gán σi ← −σi (Ar ) = {0.8541−0.4380i, 0.8541+0.4380i, 1.4009− 2.1643i, 1.4009 + 2.1643i} (c) Cập nhật lại V, W cho W T V = I Ran(V ) = span{(σ1 I − A)−1 b, , (σr I − A)−1 b}, Ran(W ) = span{(σ1 I − AT )−1 cT , , (σr I − AT )−1 cT }   9.9779   0.0255    0.0003   −0.0036 V = 104 ×   −0.0020   −0.0005    0.0000  0.0001  −0.0000  −0.0000   −0.0003   −0.0027 W =  −0.0143   −0.0356    0.0289  0.5446 0.0125 −0.0768  0.1228   0.0001 0.0002 −0.0021   0.0000 0.0002 −0.0007   0.0000 0.0001 −0.0001   −0.0000 0.0000 0.0000    −0.0000 −0.0000 0.0000    −0.0000 −0.0000 −0.0000  −0.0000 0.0000 0.0000  −0.0000 0.0001 −0.0001  −0.0011 0.0047 −0.0037   −0.0235 0.0732 −0.0473   −0.3031 0.5728 −0.2454   −2.5075 2.1182 −0.2015   −13.9345 1.4298 1.1673    −52.4113 −8.0823 −9.7615  −125.6833 65.7617 8.6339 28 Do thay đổi σ 0.8170 nên ta tiếp tục Bước Sự thay đổi σ thể qua bảng 3.1 Hệ rút gọn thu số chiều Bước Độ lệch σ 0.8170 0.1945 0.0520 0.0145 0.0040 3.0358 ∗ 10−4 8.3748 ∗ 10−5 Bảng 3.1: Bảng độ lệch σ r = với ma trận tham số:   −0.3900 −0.0092 −0.0106 −0.0086    379.9803 1.9730 0.3233 0.2607  , Ar =     439.7113 0.3233 −2.6881 −3.1486   −354.6303 −0.2607 3.1486 −4.3304  br = −0.000 −0.0014 0.0053 −0.0043 , cr = 0.8590 −0.0014 0.0053 0.0043 Sai số tương đối hệ rút gọn hệ gốc: g(s) − gr (s) g(s) H2 H2 = 0.0079 Ví dụ 3.4.2 Xét hệ CD player [4].Với nguyên lý hoạt động đầu đọc CD, thông số học mô hình thông qua hệ động 29 lực với 120 biến trạng thái Yêu cầu cụ thể giảm số biến trạng thái xuống số nhỏ mà đảm bảo hoạt động đầu đọc Chúng ta so sánh kết thu tiến hành giảm bậc thuật toán IRKA với thuật toán cổ điển thuật toán chặt cân (Balanced Truncation-BT) Kết tóm tắt qua bảng 3.2 Với r = 20, hiệu r Sai so IRKA Sai so BT 0.0074 0.0074 10 0.0042 0.0042 12 0.0038 0.0039 14 0.0038 0038 16 0.0019 0.0019 18 ∞ 0.0019 20 4.617 ∗ 10−4 5.3652 ∗ 10−4 22 4.4742 ∗ 10−4 5.3412 ∗ 10−4 24 4.0677 ∗ 10−4 4.1992 ∗ 10−4 28 3.2420 ∗ 10−4 3.2738 ∗ 10−4 30 2.4130 ∗ 10−4 2.4858 ∗ 10−4 Bảng 3.2: Bảng sai số tương đối IRKA BT hàm truyền gốc với hệ rút gọn theo hai phương pháp thể qua Hình 3.1 30 Bode Diagram 40 20 He goc Sai so BT Magnitude (dB) −20 −40 −60 −80 −100 Sai so IRKA −120 saisoIRKA saisoBT sys −140 −2 10 −1 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) 10 10 10 Hình 3.1: Đồ thị bode hệ gốc hai hệ sai số thuật toán IRKA, BT 31 10 Kết luận chung Luận văn trình bày toán rút gọn mô hình cho hệ động lực tuyến tính thuật toán hiệu cho trường hợp có số chiều lớn Đây vấn đề nghiên cứu từ lâu mang tính thời Cụ thể, luận văn thực công việc sau: i) Trình bày kiến thức hệ động lực tuyến tính, với biểu diễn không gian trạng thái A, b, c biểu diễn qua hàm truyền ii) Trình bày toán rút gọn mô hình nói chung cho chuẩn H2 nói riêng Việc xác định hệ rút gọn đảm bảo giữ tính chất quan trọng hệ gốc đồng thời tính toán nhanh chóng yêu cầu tiên giải toán rút gọn iii) Trình bày điều kiện tối ưu cho toán rút gọn mô hình cho chuẩn H2 Các điều kiện gợi ý việc xây dựng thuật toán hiệu giải toán rút gọn mô hình iv) Tính toán ví dụ số cụ thể thông qua phần mềm MATLAB Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả 32 mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn 33 Tài liệu tham khảo A Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Doãn Phước (2009), Lý thuyết điều khiển tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật [2] G Korn, T.Korn (1974), Sổ tay toán học, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp B Tài liệu Tiếng Anh [3] Biswa Nath Datta (2004), Numerical Methods for linear Control System, Elsevier Academic Press [4] S Gugercin, A.C Antoulas, and C.A Beattie (2008), "H2 Model Reduction for Large-Scale Linear Dynamical Systems," SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol 30, No 2, pp 609-638 34 Phụ lục Mã nguồn chương trình viết chạy MATLAB R2007b GSLike.m function [VV,WW]=GSLike(V,W,tol) [m,n]=size(V); sigma=zeros(n,1); beta=sigma; VV=zeros(m,n); WW=VV; temp=transpose(V(:,1))*W(:,1); VV(:,1)=V(:,1)/temp; WW(:,1)=W(:,1); for i=2:n vv=zeros(m,1); ww=vv; for j=1:i-1 vv=vv+transpose(V(:,i))*WW(:,j)*VV(:,j); 35 ww=ww+transpose(W(:,i))*VV(:,j)*WW(:,j); end VV(:,i)=V(:,i)-vv; WW(:,i)=W(:,i)-ww; tichTam=transpose(VV(:,i))*WW(:,i); sigma(i)=sqrt(abs(tichTam)); if sigma(i)