Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình

Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN THANH DUY PHNG PHP NHIU SUY BIN CHO BI TON RT GN Mễ HèNH Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s : 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc TS. H BèNH MINH H NI - 2014 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc n TS. H Bỡnh Minh, ngi ó tn tỡnh giỳp ch bo v cung cp cho tụi nhng kin thc nn tng tụi hon thnh lun ny. Thy cng l ngi ó giỳp tụi ngy cng tip cn v cú nim say mờ khoa hc sut thi gian c lm vic cựng Thy. Tụi xin by t lũng bit n ti Phũng sau i hc, cỏc thy cụ ó trc tip ging dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, Trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu. Cui cựng, tụi xin chõn thnh gi li cm n n nhng ngi thõn gia ỡnh, bn bố ó luụn giỳp , ng viờn v to mi iu kin cho tụi sut quỏ trỡnh hc v hon thin lun ny. H Ni, thỏng 06 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Thanh Duy Li cam oan Tụi xin cam oan di s hng dn ca TS. H Bỡnh Minh, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti: "Phng phỏp nhiu suy bin cho bi toỏn rỳt gn mụ hỡnh" c hon thnh bi nhn thc ca chớnh tỏc gi. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng 06 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Thanh Duy Mc lc M u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chng 1: Kin thc chun b 1.1 Mụ hỡnh toỏn hc xut phỏt t bi toỏn thc t 1.2 Cỏc khỏi nim c bn lý thuyt iu khin . . . 1.3 Gii thiu v bi toỏn rỳt gn mụ hỡnh . . . . . . . . . 1.3.1 Bi toỏn rỳt gn mụ hỡnh . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Hm truyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chng 2: Cỏc phng phỏp rỳt gn mụ hỡnh c in i . . . . . 8 11 Phng phỏp cht cõn bng (balanced truncation method) 11 2.1.1 Thut toỏn a h tuyn tớnh v dng cõn bng . . . . 11 2.1.2 Phng phỏp cht cõn bng . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Tớnh n nh v sai s ca h xõy dng bi phng phỏp cht cõn bng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.4 Vớ d minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Phng phỏp nhiu suy bin cõn bng(balanced singular perturbation approximation) . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Phng phỏp nhiu suy bin cõn bng . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Tớnh n nh v sai s ca ca h xõy dng bi phng phỏp nhiu suy bin cõn bng . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.3 Vớ d minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1 Chng 3: Cỏc phng phỏp nhiu suy bin m rng 3.1 Cỏc phng phỏp nhiu suy bin m 3.1.1 Phng phỏp m rng . . . . . . 3.1.2 Phng phỏp m rng . . . . . . 3.1.3 Phng phỏp m rng . . . . . . 3.2 So sỏnh cỏc vớ d minh . . . . . 3.2.1 Hm truyn v sai s . . . . . . . 3.2.2 th . . . . . . . . . . . . . . . Ti liu tham kho . . . . . . . . . . . . . . rng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 35 38 42 45 45 46 52 M u 1. Lý chn ti Cỏc mụ hỡnh toỏn hc lớ thuyt iu khin xut phỏt t thc t, n t vic mụ phng cỏc h thng, mng li, . . . cỏc lnh vc nh cụng nghip, giao thụng, kinh t, xó hi . . . Cỏc mụ hỡnh toỏn hc tr nờn ngy cng ln vi s bin lờn n hng triu. Vic x lý nhng mụ hỡnh ú cho cỏc mc ớch iu khin hoc tớnh toỏn trờn thi gian thc, ụi tr nờn rt tn kộm. Bi toỏn rỳt gn mụ hỡnh i nhm mc ớch gim i chi phớ tớnh toỏn, ng thi cho kt qu chp nhn c. Bi toỏn rỳt gn mụ hỡnh c phỏt biu nh sau: Cho mt mụ hỡnh toỏn hc phc vi s bin rt ln, tỡm mt mụ hỡnh toỏn hc n gin hn (vi s bin nh hn) m cho nghim xp x mụ hỡnh ban u. Bi toỏn rỳt gn mụ hỡnh c bt u nghiờn cu t u thp k 80 ca th k trc. Trong sut thp k 80 v u thp k 90 bi toỏn ó thu c nhng kt qu quan trng v mt lý thuyt. Sau tm ngng mt thi gian, n nhng nm gn õy, bi toỏn rỳt gn mụ hỡnh c quan tõm tr li, vi nhiu phng phỏp nghiờn cu v cụng c tớnh toỏn mi. phng phỏp nhiu suy bin l mt nhiu phng phỏp nghiờn cu rỳt gn mụ hỡnh, v c chn lm ch chớnh ca lun ny. 2. Mc ớch v nhim v nghiờn cu Kho cu phng phỏp nhiu suy bin cho bi toỏn rỳt gn mụ hỡnh. i Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch MC LC 3. i tng v phm vi nghiờn cu Bi toỏn rỳt gn mụ hỡnh 4. Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc cụng c nh i s tuyn tớnh, Lý thuyt ma trn, Gii tớch s, ngụn ng lp trỡnh MATLAB. c sỏch, nghiờn cu ti liu. Tng hp kin thc, dng cho mc ớch nghiờn cu. 5. D kin úng gúp mi p dng phng phỏp nhiu suy bin gii quyt mt s bi toỏn rỳt gn mụ hỡnh bi toỏn thc t. ii Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch Chng Kin thc chun b Trong chng ny chỳng tụi gii thiu v cỏc kin thc chun b nh mụ hỡnh toỏn hc xut phỏt t thc t, cỏc khỏi nim c bn v tớnh n nh, tớnh iu khin c, quan sỏt c, khỏi nim h tuyn tớnh cõn bng lý thuyt iu khin. Ngoi ra, chng ny cng gii thiu v bi toỏn rỳt gn mụ hỡnh. 1.1 Mụ hỡnh toỏn hc xut phỏt t bi toỏn thc t H tuyn tớnh bt bin theo thi gian c cho bi phng trỡnh nh sau: x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0, (1.1) y(t) = Cx(t) + Du(t), ú bin trng thỏi x(t) l vộc t n chiu, bin u vo u(t) l vộc t m chiu, bin u y(t) l vộc t p chiu c cho tng ng nh sau: x1(t) u1(t) y1(t) x2 (t) u2 (t) y2 (t) x(t) = u(t) = y(t) = . , . , . . xn (t) um (t) yp (t) Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch CHNG 1. KIN THC CHUN B Ta cú x 1(t) x (t) x(t) = . . x n(t) Vi thi gian ban u c nh l t0 , bin trng thỏi ban u s l x(t0 ) = x0 . Ta s dng kớ hiu M = [mij ] biu din ma trn cú phn t hng th i, ct th j l mij . Khi ú cỏc ma trn h s (1.1) c xỏc nh nh sau: A = [aij ], B = [bij ], C = [cij ], D = [dij ], vi kớch thc tng ng l n ì n, n ì m, p ì n, p ì m. H (1.1) c vit tng minh nh sau: x i(t) = ai1x1 (t) + ai2 x2(t) + ã ã ã + ain xn (t) + +bi1u1(t) + bi2u2(t) + ã ã ã + bimum (t), yj (t) = cj1 x1(t) + cj2 x2 (t) + ã ã ã + cjn xn (t) + +dj1u1(t) + dj2u2 (t) + ã ã ã + djm um(t), vi i = 1, . . . , n v j = 1, . . . , p. Hỡnh 1.1: Phng trỡnh trng thỏi Hỡnh (1.1) cho ta thy s ca khụng gian trng thỏi, vi u vo, Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch CHNG 1. KIN THC CHUN B u l tuyn tớnh, bt bin theo thi gian. Trong Vớ d sau chỳng tụi s biu din mt h c hc v dng (1.1). Hỡnh 1.2: H c hc Vớ d 1.1.1. Xột h c hc hỡnh (1.2). Trong h ny u vo l lc kộo u(t) = f (t), u l cỏc khong cỏch y1 (t), y2 (t). p dng nh lut Newton II cho cỏc vt nng m1 , m2 ta cú c cỏc phng trỡnh vi phõn bc hai sau: m1 yă1 (t) + k1 y1 (t) k2 [y2(t) y1 (t)] = f (t), m2 yă2 (t) + cy2 (t) + k2 [y2(t) y1 (t)] = 0. (1.2) (1.3) Trong h ny cỏc thnh phn cha nng lng l hai lũ xo v hai vt nng m1 , m2. Ta nh ngha vộc t trng thỏi x(t) gm cỏc thnh phn: x1(t) = y1 (t), x2(t) = y2 (t) y1 (t), x3(t) = y (t), x4(t) = y (t). T ú ta cú: x 1(t) = x3(t), x 2(t) = x4(t) x3(t). Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG A12 = SYSb.A(1:r,r:n); A21 = SYSb.A(r:n,1:r); A22 = SYSb.A(r:n,r:n); B1 = SYSb.B(1:r); B2 = SYSb.B(r:n); C1 = SYSb.C(1:r); C2 = SYSb.C(r:n); D = SYSb.D; m = 0.0114; L = m*inv(m*A22)*A21; Af = m*L*A12 + m*A22; Bf = m*B2 + m*L*B1; 2. Tớnh cỏc h s ca h rỳt gn: As = A11 - A12*L Bs = B1 - A12*inv(Af)*Bf Cs = C1 - C2*L Ds = D - C2*inv(Af)*Bf 37 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG As = 0.2402 0.6999 0.6999 2.4060 Bs = 5.5810 6.3524 Cs = 5.5239 6.8216 Ds = 0.8881 H rỳt gn: SYSr1 = ss(As,Bs,Cs,Ds); 3.1.2 Phng phỏp m rng Xột h thng iu khin tuyn tớnh gc c biu din bi(3.8). Ta s dng phộp bin i Chang nh sau: z1 (t) = x1 (t) àHx2 (t), ú ma trn H c xỏc nh sau. Ta cú: = A11(z1 (t) + àHx2 (t)) + A12x2(t) + B1 u(t), x (t) àx (t) = àA21(z1 (t) + àHx2 (t)) + àA22 x2(t) + àB2 u(t), y(t) = C1x1 (t) + C2 x2(t) + Du(t). 38 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch (3.18) (3.19) CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG T (3.18), ta cú: z1 (t) = x 1(t) H(àx (t)) = A11(z1(t) + àHx2 (t)) + A12x2 (t) + B1 u(t) àHA21(z1 (t) àH x2(t)) àHA22x2(t) àHB2 u(t) = (A11 àHA21 )z1(t) + (B1 àHB2 )u(t) +(A12 àHA22 + à(A11 àHA21 )H)x2(t) Khi ú (3.19) a c v dng: z1 (t) = (A11 àHA21 )z1(t) + (B1 àHB2 )u(t) + + [A àHA + à(A àHA )H]x (t), 12 22 11 21 àx 2(t) = àA21 z1 (t) + (àA22 + à2 A21H)x2(t) + àB2 u(t), y(t) = C1 z1 (t) + (C2 + àC1H)x2(t) + Du(t). (3.20) phng trỡnh th nht (3.20) ch cha z1 (t), ta chn ma trn H tha phng trỡnh sau: A12 àHA22 + à(A11 àHA21 )H = 0. (3.21) tỡm H , ta s dng phng phỏp Newton, tớnh toỏn theo s lp sau õy. H (0) = A12(àA22)1, H (i+1) = [A12 + à(A11 àH (i) A21)H (i) ](àA22)1. Sau tỡm z1 (t) àx 2(t) y(t) c H tha (3.21), h (3.20) tng ng vi h sau: = (A11 àHA21 )z1(t) + (B1 àHB2 )u(t), = àA21 z1 (t) + (àA22 + à2 A21H)x2(t) + àB2 u(t), = C1 z1 (t) + (C2 + àC1H)x2(t) + Du(t). 39 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch (3.22) CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG Ta s tỡm mụ hỡnh rỳt gn vi cỏc h s (A, B, C) c ly t z1 (t), v D c chn cho hm truyn ca mụ hỡnh gc trựng vi hm truyn ca mụ hỡnh rỳt gn ti s = 0. C th, cỏc h s ca mụ hỡnh rỳt gn c chn nh sau: Ass := A11 àHA21, Bss := B1 àHB2 , Css := C1, Dss := D (C2 + àC1 H)(àA22 + à2 A21H)1ì ì[àB2 àA21(A11 àHA21)1(B1 àHB2 )]. (3.23) Vớ d 3.1.2. Xột h tuyn tớnh cho bi Vớ d 2.1.1. Ta s rỳt gn h ny theo phng phỏp m rng 2. Bc : Chuyn h tuyn tớnh SYS vi cỏc h s (A, B, C, D) v dng cõn bng nh ó trỡnh by Vớ d 2.1.1. Bc : Xõy dng h rỳt gn. Chn = 0.0114 v thc hin cỏc tớnh toỏn sau. 1. Tớnh cỏc i lng trung gian vi n = 4, r = 2. n = 4; r = 2; A11 = SYSb.A(1:r,1:r); A12 = SYSb.A(1:r,r:n); A21 = SYSb.A(r:n,1:r); A22 = SYSb.A(r:n,r:n); B1 = SYSb.B(1:r); B2 = SYSb.B(r:n); 40 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG C1 = SYSb.C(1:r); C2 = SYSb.C(r:n); D = SYSb.D; m = 0.0114; 2. Tớnh ma trn H vi sai s 106 saiso = 10e-6; term1 = A2*inv(m*A22); term2 = [A12+m*(A11-m*term1*A21)*term1]*inv(mA22); while norm(term2 - term1,inf) >= saiso term2 = [A12+m*(A11-m*term1*A21)*term1]*inv(mA22); term1 = term2; end H = term1; 3. Tớnh cỏc h s ca h rỳt gn: Ass = A11 - m*H*A21 Bss = B1 - m*H*B2 Css = C1 Dss = D-(C2+m*C1*H)(m*A22+m^(2)*A21*H)^(-1)* *[m*B2-m*A21(A11-m*H*A21)^(-1)(B1-m*H*B2)] 41 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG Ass = 0.2405 0.7145 0.6979 2.5264 Bss = 5.5239 6.8216 Css = 5.5039 6.9858 Dss = 0.9048 H rỳt gn: SYSr2 = ss(Ass, Bss, Css, Dss); 3.1.3 Phng phỏp m rng p dng cỏc ý tng thng d húa (3.20) dn n z1 (t) = (A11 àHA21 )z1(t) + (B1 àHB2 )u(t), = àA21 z1 (t) + (àA22 + à2 A21H)x2(t) + àB2 u(t), y(t) = C1 z1 (t) + (C2 + àC1H)x2(t) + Du(t). (3.24) (3.25) (3.26) T (3.25) suy ra: x2(t) = àA21(àA22 + à2 A21H)1z1 (t) àB2 (àA22 + à2 A21H)1u(t), thay x2 (t) vo (3.26) ta cú, z1 (t) = (A11 àHA21)z1 (t) + (B1 àHB2 )u(t) = Ass z1 (t) + Bssu(t), y(t) = [C1 (C2 + àC1 H)(àA22 + à2 A21H)1àA21]z1 (t) + + [(C2 + àC1 H)(àA22 + à2 A21H)1àB2 + D]u(t) = Csf z1 (t) + Dsf u(t). 42 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG H rỳt gn thu c: z (t) = A z (t) + B u(t), ss ss y(t) = Csf z1 (t) + Dsf u(t). (3.27) Cú hm truyn nh sau: Gs (s) = Csf (sI Ass )1Bss + Dsf . (3.28) Vớ d 3.1.3. Xột h tuyn tớnh cho bi Vớ d 2.1.1. Ta s rỳt gn h ny theo phng phỏp m rng 3. Bc : Chuyn h tuyn tớnh SYS vi cỏc h s (A, B, C, D) v dng cõn bng nh ó trỡnh by Vớ d 2.1.1. Bc : Xõy dng h rỳt gn. Chn = 0.0110 v thc hin tớnh toỏn. 1. Tớnh cỏc i lng trung gian vi n = 4, r = 2. n = 4; r = 2; A11 = SYSb.A(1:r,1:r); A12 = SYSb.A(1:r,r:n); A21 = SYSb.A(r:n,1:r); A22 = SYSb.A(r:n,r:n); B1 = SYSb.B(1:r); B2 = SYSb.B(r:n); C1 = SYSb.C(1:r); C2 = SYSb.C(r:n); 43 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG D = SYSb.D; m = 0.0114; 2. Tớnh ma trn H vi sai s 106 saiso = 10e-6; term1 = A2*inv(m*A22); term2 = [A12+m*(A11-m*term1*A21)*term1]*inv(mA22) while norm(term2 - term1,inf) >= saiso term2 = [A12+m*(A11-m*term1*A21)*term1]*inv(mA22); term1 = term2; end H = term1; 3. Tớnh cỏc h s ca h rỳt gn: Ass = A11 - m*H*A21 Bss = B1 - m*H*B2 Csf = [C1-(C2+m*C1*H)(m*A22+m^(2)*A21*H)^(-1)*m*A21] Dsf = [-(C2+m*C1*H)(m*A22+m^(2)*A21*H)^(-1)*m*B2 +D] 44 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG Ass = 0.2402 0.6999 0.6999 2.4060 Bss = 5.5239 6.8216 Csf = 5.5810 6.3521 Dsf = 0.8881 H rỳt gn: SYSr3 = ss(Ass, Bss, Csf, Dsf); 3.2 3.2.1 So sỏnh cỏc vớ d minh Hm truyn v sai s 1. Phng phỏp cht cõn bng: Gt(s) = tf(SYSt) Gt (s) = 18.51s 119.7 s2 + 2.762s + 1.112 error.t = norm(SYSb - SYSt,inf) errort = 0.2301. 2. Phng phỏp nhiu suy bin cõn bng: Gs = tf(SYSs) 0.2301s2 + 16.63s 114.7 Gs (s) = s2 + 2.646s + 1.068 45 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG error.s = norm(SYSb - SYSs,inf) errors = 0.2301. 3. Phng phỏp m rng 1: Gr1(s) = tf(SYSr1) 0.8881s2 + 14.85s 114 Gr1 (s) = s2 + 2.646s + 1.068 error.r1 = norm(SYSb - SYSr1,inf) errorr1 = 0.8881. 4. Phng phỏp m rng 2: Gr2(s) = tf(SYSr2) Gr2 (s) = 0.9048s2 + 19.65s 114 s2 + 2.646s + 1.068 errorr2 = norm(SYSb - SYSr2,inf) errorr2 = 1.2434. 5. Phng phỏp m rng 3: Gr3(s) = tf(SYSr3) 0.8881s2 + 14.85s 114 Gr3 (s) = s2 + 2.646s + 1.068 errorr3 = norm(SYSb - SYSr3,inf) errorr3 = 0.8881. 3.2.2 th 46 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG Bode Diagram 60 Magnitude (dB) 40 20 20 40 180 Phase (deg) 135 90 45 45 HeCanBang He1 90 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Hỡnh 3.1: Cht cõn bng 47 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch 10 10 CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG Bode Diagram Magnitude (dB) 50 Phase (deg) 50 180 90 HeCanBang He2 90 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) 10 Hỡnh 3.2: Nhiu suy bin cõn bng 48 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch 10 10 CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG Bode Diagram 60 Magnitude (dB) 40 20 20 Phase (deg) 40 180 90 HeCanBang He1 He2 He3 90 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Hỡnh 3.3: Cỏc phng phỏp m rng 49 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch 10 10 CHNG 3. CC PHNG PHP NHIU SUY BIN M RNG Bode Diagram Magnitude (dB) SSr1 SSr2 SSr3 10 10 10 Frequency (rad/sec) 10 Hỡnh 3.4: Sai s cỏc phng phỏp m rng 50 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch 10 Kt lun Lun vi ti : "Phng phỏp nhiu suy bin cho bi toỏn rỳt gn mụ hỡnh" ó gii quyt c cỏc sau: 1. Trỡnh by mt cỏch h thng mt s c bn v lý thuyt rỳt gn mụ hỡnh da trờn cỏc ti liu tham kho [1] v [6]. 2. Trỡnh by c ý tng ca cỏc phng phỏp nhiu suy bin m rng, t ú xõy dng cỏc phng phỏp rỳt gn mụ hỡnh da trờn cỏc ti liu tham kho [4] v [6]. 3. Xõy dng c cỏc thut toỏn rỳt gn mụ hỡnh v ỏp dng vo cỏc Vớ d thc t. H Ni, thỏng 06 nm 2014 Hc viờn Nguyn Thanh Duy 51 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch Ti liu tham kho [1] Michael Green and David J.N. Limebeer, Linear robust control, 1995. [2] Z. Gajic and M. Lelicm, Improvement of system order reduction via balancing using the method of singular pertubations, Automatica 37, 2001, 1859 1865. [3] Kemin Zhou-John and C. Doyle, Essentials of robust control, 1997. [4] Dobrila Skataric and Nada Ratkovic Kovacevic, System of order reduction via balancing in view of the method of singular pertubation, FME transactions, Vol. 38, No 4, 181 187, 2010. [5] Robert L. Williams II, Douglas A. Lawrence, Linear state-space control system, 2007 [6] Biswa Nath Datta, Numerical methods for linear control system, Elsevier academic press, 2004. 52 Nguyn Thanh Duy K16 - Toỏn Gii Tớch [...]... 0.0468 phương trình Lyapunov 1.3 1.3.1 Giới thiệu về bài toán rút gọn mô hình Bài toán rút gọn mô hình Xét hệ tuyến tính (1.1)  x(t) = Ax(t) + Bu(t), ˙ y(t) = Cx(t) + Du(t), x(t0) = x0, với x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm , y(t) ∈ Rp , A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m, C ∈ Rp×n, D ∈ Rp×m Biến x(t) được gọi là biến trạng thái, biến u(t) là biến đầu vào (input), biến y(t) là biến đầu ra (output) Trong thực tế bài toán (1.1)... ∈ Rp×r , D ∈ Rp×m, r n Hệ rút gọn (1.7) cần thỏa mãn các điều kiện sau: • Bảo toàn các tính chất quan trọng của hệ ban đầu • Có sai số nhỏ Việc xây dựng mô hình rút gọn cho hệ (1.1) đã được nghiên cứu với nhiều phương pháp khác nhau Trong các chương tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày một số phương pháp cho bài toán rút gọn mô hình 1.3.2 Hàm truyền Thực hiện biến đổi Laplace cho hệ (1.1), với x(0) = 0... 45 0 −45 HeCanBang He1 −90 −2 10 −1 0 10 1 10 10 Frequency (rad/sec) Hình 2.1: Chặt cân bằng 23 Nguyễn Thanh Duy K16 - Toán Giải Tích 2 10 3 10 CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN MÔ HÌNH CỔ ĐIỂN 2.2 Phương pháp nhiễu suy biến cân bằng(balanced singular perturbation approximation) 2.2.1 Phương pháp nhiễu suy biến cân bằng Xét một mô hình gốc là hệ (1.1) như sau:  x(t) = Ax(t) + Bu(t), ˙ y(t) = Cx(t)... := D − C2A22 B2 , ta nhận được hệ rút gọn như sau:  z(t) = A z(t) + B u(t), ˙ s s y(t) = Cs z(t) + Ds u(t) (2.13) (2.14) Với As, Bs , Cs, Ds được cho bởi (2.13) 2.2.2 Tính ổn định và sai số của của hệ xây dựng bởi phương pháp nhiễu suy biến cân bằng Định lý 2.2.1 Giả sử hệ (1.1) là ổn định và cân bằng Bằng phương pháp nhiễu suy biến cân bằng ta xây dựng được hệ rút gọn mới (2.14) Khi đó 1 Hệ (2.14)... A12A−1B2 ) − C2A−1B2 + D 22 22 s 22 = −Cs A−1Bs + Ds s = G(0) Vậy: G(0) = G(0) 28 Nguyễn Thanh Duy K16 - Toán Giải Tích B1 +D B2 CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN MÔ HÌNH CỔ ĐIỂN 2.2.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 2.2.2 Xét hệ tuyến tính (1.1) cho bởi Ví dụ 2.1.1 Ta sẽ rút gọn hệ này theo phương pháp nhiễu suy biến cân bằng Bước 1 : Chuyển hệ SYS với các hệ số (A, B, C, D) về dạng cân bằng SYSb với các hệ số (Ab,... truyền của hệ (1.1) và hệ (1.7) 10 Nguyễn Thanh Duy K16 - Toán Giải Tích Chương 2 Các phương pháp rút gọn mô hình cổ điển Trong chương này chúng tôi trình bày một số phương pháp rút gọn mô hình cổ điển dựa trên các tài liệu tham khảo [1] và [6] 2.1 Phương pháp chặt cân bằng (balanced truncation method) 2.1.1 Thuật toán đưa hệ tuyến tính về dạng cân bằng Trong trường hợp hệ (1.1) ổn định tiệm cận, điều... x(t) thành hai phần như sau: x(t) = x1(t) , x2(t) (2.2) trong đó véc tơ r chiều x1 (t) chứa các thành phần được giữ lại cho mô hình rút gọn còn véc tơ n − r chiều x2 (t) chứa các phần bị chặt đi Tương ứng ma 18 Nguyễn Thanh Duy K16 - Toán Giải Tích CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN MÔ HÌNH CỔ ĐIỂN trận Σ có dạng sau: Σ= Σ1 0 , 0 Σ2 (2.3) với   Σ1 =  σ1 0 0 σr   σr+1 0   Σ2 =  , 0 σn   ,... u(t) là biến đầu vào (input), biến y(t) là biến đầu ra (output) Trong thực tế bài toán (1.1) có số biến trạng thái n rất lớn, điều này gây ra nhiều khó khăn trong tính toán Bài toán rút gọn mô hình là bài toán xây 8 Nguyễn Thanh Duy K16 - Toán Giải Tích CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ dựng hệ tuyến tính với số biến trạng thái nhỏ hơn hệ ban đầu như sau:  z(t) = Az(t) + Bu(t), ˙ (1.7) y(t) = Cz(t) + Du(t),... SYSb.A(1:r,1:r) Bt = SYSb.B(1:r) Ct = SYSb.C(1:r) Dt = SYSb.D 20 Nguyễn Thanh Duy K16 - Toán Giải Tích CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN MÔ HÌNH CỔ ĐIỂN At = −0.2385 −0.7141 , 0.7141 −2.5233 Bt = −5.5040 , 6.9860 Ct = 5.5040 6.9860 , Dt = 0 Hệ rút gọn: SYSt = ss(At,Bt,Ct,Dt); Bước 3 : Kiểm tra các tính chất của hệ rút gọn: 1 Tính ma trận các giá trị riêng của At : EigAt = [eig(At)] EigAt = −0.4892 , −2.2725... 63.5100 0.0000 0.0000 9.6704 Ta thấy hai ma trận Pt , Qt trùng nhau và trùng với ma trận Σ Vậy hệ rút gọn là cân bằng Bước 4 : Sai số 1 Hàm truyền của hệ rút gọn: Gt(s) = tf(SYSt) Gt (s) = 18.51s − 119.7 s2 + 2.762s + 1.112 22 Nguyễn Thanh Duy K16 - Toán Giải Tích CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN MÔ HÌNH CỔ ĐIỂN 2 Tính sai số: error.t = norm(SYSb - SYSt,inf) errort = 0.2301 3 Đồ thị: bode(SYSb,SYSt) . cứu phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình. Nguyễn Thanh Duy K16 - Toán Giải Tích i MỤC LỤC 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán rút gọn mô hình 4. Phương pháp nghiên. kém. Bài toán rút gọn mô hình ra đời nhằm mục đích giảm đi chi phí tính toán, đồng thời vẫn cho ra kết quả chấp nhận được. Bài toán rút gọn mô hình được phát biểu như sau: Cho một mô hình toán. SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THANH DUY PHƯƠNG PHÁP NHIỄU SUY BIẾN CHO BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS.