Rút gọn mô hình cho một số hệ điều khiển tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- CHU BÌNH MINH RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO MỘT SỐ HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- CHU BÌNH MINH RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO MỘT SỐ HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn học Mã ngành: 9460101 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS HÀ BÌNH MINH TS PHAN XUÂN THÀNH Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hướng dẫn thầy TS Hà Bình Minh TS Phan Xuân Thành Tất kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố công trình Hà Nội, ngày 01 tháng 10 nam 2019 Thay mặt Tập thể hướng dẫn khoa học TS Hà Bình Minh Tác giả Chu Bình Minh i LỜI CẢM ƠN Luận án thực hướng dẫn khoa học TS Hà Bình Minh, TS Trần Xuân Tiếp TS Phan Xuân Thành, người thầy mẫu mực tận tình giúp đỡ tơi đường khoa học Các thầy bảo suốt q trình nghiên cứu, giúp tơi tiếp cận lĩnh vực toán học đầy đam mê thú vị Các thầy tạo cho thử thách, giúp tơi tự học hỏi, tìm tòi, sáng tạo Đó tơi may mắn tiếp nhận từ người thầy Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tơi nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy Bộ mơn Tốn bản, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH Đinh Nho Hào - chủ trì seminar Phương trình vi phân, Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, GS.TSKH Phạm Kỳ Anh - chủ trì seminar Tốn học tính tốn, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội, PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy - chủ trì seminar Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội thành viên seminar tạo điều kiện cho báo cáo nhận nhiều góp ý quý báu Đặc biệt, tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người động viên giúp đỡ nhiều trình viết luận án Nhân dịp này, tơi bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên để tơi vững bước đường tốn học chọn Tác giả ii MỤC LỤC LỜICAMĐOAN LỜICẢMƠN MỤCLỤC DANHMỤCCÁCKÝHIỆUVÀCHỮVIẾTTẮT DANHSÁCHBẢNG DANHSÁCHHÌNHVẼ MỞĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số phép phân tích ma trận 1.2 Một số không gian hàm 1.3 Hệ động lực tuyến tính liên tục 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.4 Hệ tuyến tính rời rạc 1.5 Bài toán rút gọn mơ hình cho hệ tu 1.5.1 1.5.2 Chương BÀI TỐN RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH ỔN ĐỊNH ĐỐI XỨNG 2.1 Phương pháp chặt cân 2.1.1 2.1.2 2.1.3 iii 2.2 So sánh phương pháp chặt cân 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.3 So sánh phương pháp chặt cân với phương pháp chặt cân phần 2.3.1 2.3.2 2.4 So sánh phương pháp chặt cân với phương pháp chặt cân kết hợp ánh xạ phân tuyến tính 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 Chương BÀI TỐN RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH KHƠNG ỔN ĐỊNH 3.1 Hệ tuyến tính khơng ổn định 3.1.1 3.1.2 3.2 Một số phương pháp rút gọn cho h 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.3 Phương pháp BGSP cho hệ tuyến 3.3.1 iv 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 Ví dụ minh họa Chương BÀI TOÁN RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH TẠI LÂN CẬN MỘT VÀI TẦN SỐ 4.1 Bài tốn rút gọn mơ hình lân c 4.2 Phương pháp chặt cân lâ 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 Rút gọn hệ tuyến tính lân cận 4.3.1 4.3.2 KẾTLUẬN TÀILIỆUTHAMKHẢO DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT j Đơn vị ảo, j = Z Tập số nguyên không âm R Tập số thực C Tập số phức + C + ;d ; z; D; h1 ;c ; s; C; H1 Tập số phức có phần thực dương Sử dụng cho trường hợp rời rạc Sử dụng cho trường hợp liên tục A;B;C;::: Các ma trận hệ số I Ma trận đơn vị AT Ma trận chuyển vị A A Ma trận chuyển vị liên hợp phức A A>0 A ma trận đối xứng xác định dương eAt Ma trận mũ xác định e At X (At) = k=0 k k! (A) Tập hợp giá trị riêng ma (A) trận A Tập hợp giá trị kỳ dị max(A) ma trận A Giá trị kỳ dị lớn T race(A) ma trận A Vết ma trận A diag(a1; : : : ; an) Ma trận đường chéo cỡ n với a1; : : : ; an phần tử đường chéo kAk = kAk2 kAkF Chuẩn Euclidean ma trận A Chuẩn Frobenius ma trận A x; y; b; c; : : : Các vectơ x wy Vectơ x yếu vectơ y xy Vectơ x yếu hẳn vectơ y vi L2[0; 1) Khơng gian Lebesgue bình phương khả tích H2 [0; 1) Khơng gian hàm giải tích C + bình phương khả tích trục ảo L1(jR) Khơng gian hàm phức bị chặn trục ảo H1 Các hàm L1(jR) giải tích miền Re(s) > D Tập hệ tuyến tính rời rạc -ổn định D Tập hệ tuyến tính rời rạc ổn định C Tập hệ tuyến tính liên tục -ổn định C Tập hệ tuyến tính liên tục ổn định Gd(z) (Ad; Bd; Cd; Dd) Biểu diễn (Ad; Bd; Cd; Dd) hệ rời rạc Gd(z) Gc(s) (Ac; Bc; Cc; Dc) Biểu diễn (Ac; Bc; Cc; Dc) hệ liên tục Gc(s) G(s) (Ab; Bb; Cb; Db) Biểu diễn cân hệ G(s) G (z) Hàm truyền hệ tuyến tính rời rạc -ổn G (s) định Hàm truyền hệ tuyến tính liên tục kG k -ổn định Chuẩn h1 Gd(z) D kG k Chuẩn h1; Gd(z) D G Chuẩn H1 Gc(s) C d h1 k ckH1 G k ckH1; A B C D Chuẩn H1; Gc(s) C Ký hiệu cho biểu thức C(sI A) B + D SISO Hệ tuyến tính đầu vào, đầu MIMO Hệ tuyến tính nhiều đầu vào, nhiều đầu GSP Nhiễu kỳ dị suy rộng BGSP Nhiễu kỳ dị suy rộng cân vii DANH SÁCH BẢNG Bảng Bảng so sánh t phương pháp chặt trực tiếp với tín hiệu đầu hệ gốc bậc Bảng Bảng so sánh t phương pháp chặt kết hợp đổi biến với tín hiệu đầu hệ gốc bậc Bảng 2.1 Bảng giá b Bảng 2.2 Bảng so sánh sai sối củai nhiệt Bảng 2.3 Bảng so sánh sai số Thuật toán Thuật toán cho hệ OrrSommerfeld Bảng 3.1 Bảng ma trận hệ số hệ tuyến tính bậc 50 với Ac = diag( 1; : : : ; Cc 50); Bc 84 Bảng 3.2 Bảng chuẩn H1; hệ sai số phương pháp Thuật toán 9, Thuật toán 10, Thuật toán 12 Thuật toán 14 86 viii 93 Với chuẩn xác định dựa vào công thức [3], công thức đánh giá sai số cho phương pháp Thuật toán 16 cho định lý sau Định lý 4.2.4 Giả sử G(s) (A; B; C; D) hệ tuyến tính liên tục ổn định !0 R+ tần số cho (A) \ f!0 + jRg = ; Gọi Gb(s) (Ab; Bb; Cb; Db) hệ rút gọn ổn định thu từ Thuật tốn 16 Khi ta có đánh giá sau G G với k ;::: ; + r1+1 + + n1 thu từ Thuật tốn 15 Chứng minh Đánh giá Định lý [3] áp dụng vào Thuật tốn 16 4.2.4 Ví dụ minh họa Để kiểm tra, ta áp dụng Thuật toán 16 cho hai trường hợp, áp dụng lân cận tần số !0 thấp áp dụng lân cận tần số !0 cao Ví dụ 4.2.5 tương ứng với tần số !0 thấp Ví dụ 4.2.6 tương ứng với tần số !0 cao Ví dụ 4.2.5 (Hệ FOM-2 [47]) Xét hệ FOM-2 [47] có hàm truyền: G(s) = Từ Hình 4.1 ta thấy có cực có phần thực lân cận tần số ! = Nếu ta muốn ước lượng hệ gốc lân cận tần số !0 = 0:7, ta chuyển A ! (A + 0:7I) áp dụng Thuật toán 16 Các giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số !0 = 0:7 (đường màu đỏ) giá trị kỳ dị Hankel phương pháp Gawronski-Juang [1] khoảng tần số [10 ; 2] (đường màu xanh lam) minh họa Hình 4.2 Hình 4.3 minh họa đồ thị Bode hệ gốc (xanh lam), hệ rút gọn bậc r = thu Thuật toán 16 (xanh cây), phương pháp chặt cân Thuật toán (màu đỏ) phương pháp Gawronski-Juang [1] dải tần [10 ; 2] (màu xanh lơ cyan) Quan sát đồ thị Bode hệ sai số Hình 4.4 cho thấy, phương pháp chúng tơi đề xuất tốt lân cận tần số !0 = 0:7 Ví dụ 4.2.6 Thuật tốn 16 sử dụng để giải tốn rút gọn mơ hình dải tần số cách chọn tần số !0 thích hợp Chúng ta kiểm tra cách áp dụng 94 Hình 4.1: cực hệ FOM-2 Hình 4.3: Đồ thị Bode đoạn [10 1; 2] Hình 4.4: Đồ thị Bode đoạn [10 1; 2] hệ gốc (xanh lam) hệ rút gọn bậc thu hệ sai số thu bằng Thuật toán Thuật toán 16 lân cận tần số 16 lân cận tần số !0 = 0:7 (xanh cây), !0 = 0:7 (xanh cây), phương pháp phương pháp chặt cân (màu đỏ) chặt cân (màu đỏ) phương pháp phương pháp Gawronski-Juang (màu Gawronski-Juang (màu xanh lơ - cyan) xanh lơ - cyan) Thuật toán 16 cho hệ CD player [36], hệ SISO bậc 120 Ta chọn dải tần số cần xấp xỉ cho hệ đoạn [!1; !2]=[5 10 ; 10 ] bậc hệ rút gọn Để đánh giá phương pháp Thuật toán 16, ta so sánh phương pháp với phương pháp rút gọn khác sau: (a) Thuật toán 16 lân cận tần số !0 = (!1 + !2)=2; (b) phương pháp chặt cân Thuật toán 2; (c) phương pháp Gawronski-Juang Hình 4.5 minh họa đồ thị Bode hệ CD player (màu xanh lam), hệ rút gọn bậc thu Thuật toán 16 lân cận tần số !0 = 52500 (xanh cây), phương pháp chặt cân (màu đỏ) phương pháp Gawronski-Juang (màu xanh lơ - cyan) 95 Hình 4.5: Hình 4.6: Đồ thị Bode đoạn [!1; !2] hệ sai số thu Thuật toán 16 Đồ thị Bode hệ CD player lân cận tần số !0 = 52500 (xanh cây), (xanh lam) hệ rút gọn bậc thu phương pháp chặt cân (màu đỏ) Thuật toán 16 lân cận tần số phương pháp Gawronski-Juang (màu !0 = 52500 (xanh cây), phương pháp xanh lơ - cyan) áp dụng cho hệ CD player chặt cân (màu đỏ) phương pháp Gawronski-Juang (màu xanh lơ - cyan) Từ Hình 4.5 ta thấy phương pháp chặt cân Thuật toán phương pháp Gawronski-Juang xấp xỉ hệ gốc tốt toàn dải tần phương pháp đề xuất Thuật toán 16 xấp xỉ tốt đoạn [!1; !2] Hệ rút gọn xấp xỉ nhanh hai biên độ đỉnh hệ CD player dải tần này, chí với bậc hệ rút gọn nhỏ r = Hình 4.6 minh họa đồ thị Bode hệ sai số ba phương pháp (a)-(c) dải tần [!1; !2] Rõ ràng phương pháp đề xuất cho sai số nhỏ dải tần số lớn 4.3 Rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số 4.3.1 Thuật toán lặp rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số Ta mở rộng toán rút gọn hệ tuyến tính liên tục ổn định lân cận tần số !0 toán rút gọn hệ tuyến tính dãy tần số sau: Bài tốn rút gọn mơ hình lân cận vài tần số: Cho hệ tuyến tính liên tục ổn định G(s) dãy tần số f!1; : : : ; !kg, tìm hệ rút gọn Gb(s) bậc r cho kG(j!) Gb(j!)k nhỏ ! lân cận dãy tần số f!1; : : : ; !kg Trong mục trên, ta thấy phương pháp Thuật toán 16 xấp xỉ tốt hệ gốc lân cận tần số cần xấp xỉ !0 nên ý tưởng đưa để giải toán lặp 96 Thuật toán 16 tần số !i; i = 1; : : : ; k Tại bước lặp, hệ sai số G(s) Gbi(s) sử dụng để tính hệ rút gọn lân cận tần số !i Phương pháp tính tốn qua Thuật tốn 17, đó, ta chọn dãy bậc rút gọn r1; : : : ; rk tương ứng với dãy tần số f!1; : : : ; !kg Thuật toán 17 Thuật toán lặp cho phương pháp chặt cân Đầu vào: Hệ ổn định G(s) (A; B; C; D); dãy tần số f!1; : : : ; !kg dãy bậc rút gọn fr1; : : : ; rkg cho r = r1 + + rk Đầu ra: Hệ rút gọn: Gb(s) 1: Gb(s) 2: for i f1; : : : ; kg 4: Chạy Thuật toán 16 cho hệ G(s) ta thu hệ rút gọn Gbi(s) bậc ri xấp xỉ G(s) lân cận tần số !i Gb(s) Gb(s) + Gbi(s) 5: G(s) 3: G(s) Gbi(s) 6: end for 7: Ta thu hệ rút gọn Gb(s) sau vòng lặp for 4.3.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 4.3.1 (Hệ CD player [36]) Ta áp dụng Thuật toán 17 cho hệ CD player [36], hệ SISO bậc 120, với !1 = 0; !2 = 10 r1 = 8; r2 = để thu hệ rút gọn bậc 14 Lần lặp thứ nhất, ta áp dụng Thuật toán 16 cho G(s) !1 = ta thu hệ rút gọn G1(s) bậc hệ sai số G(s) G1(s) bậc 128 Để minh họa cho T bước lặp lam) hệ sai số sau lần lặp thứ G(s) b Ta thấy hệ sai số G(s) G1(s) có hai biên độ đỉnh lân cận tần số thực bước lặp b lân cận tần số !2 = 10 , ta thu hệ rút gọn G2(s) bậc Khi đó, hệ rút gọn b G(s) = G1(s) + G2(s) thu Thuật tốn 17 có bậc 14 Để đánh giá hệ rút gọn b( G b b b ) thu được, ta so sánh hệ rút gọn với hệ rút gọn bậc 14 thu phương s pháp chặt cân Thuật toán Ta vẽ đồ thị Bode hệ gốc CD player G(s) 97 Hình 4.7: Đồ thị Bode hệ CD player G(s) với bậc 120 (màu xanh lam) hệ sai số G(s) Gb1(s) bậc 128 thu Thuật toán 17 sau bước lặp thứ (màu xanh lam), hệ rút gọn bậc 14 thu Thuật toán (màu xanh cây) hệ rút gọn Gb(s) = Gb1(s) + Gb2(s) thu Thuật toán 17 với f!1 = 0; !2 = 10 g fr1 = 8; r2 = 6g Hình 4.8 Từ Hình 4.8 ta thấy hệ rút gọn thu phương pháp lặp Thuật toán 17 xấp xỉ hệ gốc tốt so sánh với phương pháp chặt cân Thuật toán dải tần số cao đôi chút dải tần số thấp Điều minh họa Hình 4.9 Hình 4.9 minh họa đồ thị Bode hệ sai số (bậc 134) nhận phương pháp chặt cân Thuật toán (màu xanh cây) hệ sai số (bậc 134) thu phương pháp Thuật toán 17(màu đỏ) Ta thấy phương pháp đề xuất Thuật toán 17 cho sai số nhỏ dải tần số cao Kết luận Chương Dựa vào tính chất phương pháp rút gọn cho hệ không ổn định [3], chương đạt kết sau: Đưa phương pháp chặt cân lân cận tần số cho trước (Thuật tốn 16) 98 Hình 4.8: Đồ thị Bode hệ CD player bậc 120 (mà xanh lam), hệ rút gọn bậc 14 thu phương pháp chặt cân (màu xanh cây) hệ rút gọn bậc 14 thu Thuật toán 17 với f!1 = 0; !2 =2 10 g fr1 = 8; r2 = 6g (màu đỏ) Đánh giá sai số phương pháp chặt cân lân cận tần số theo chuẩn L1;!0 (Định lý 4.2.4) Đưa phương pháp lặp để rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số (Thuật tốn 17) 99 KẾT LUẬN Luận án đưa số phương pháp rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính ổn định khơng ổn định Những kết luận án đạt là: Đối với hệ tuyến tính ổn định đối xứng, chúng tơi đưa so sánh cho bốn phương pháp rút gọn: phương pháp chặt cân bằng, phương pháp chặt modal, phương pháp chặt cân phần phương pháp chặt cân kết hợp với ánh xạ phân tuyến tính Đối với việc rút gọn hệ tuyến tính khơng ổn định, đưa phương pháp BGSP, đồng thời đánh giá sai số cho phương pháp theo chuẩn H1; =h 1; Đối với việc rút gọn cho hệ tuyến tính ổn định quanh lân cận vài tần số cho trước, đưa phương pháp mới, đồng thời đưa đánh giá sai số theo chuẩn L1;!0 Luận án tiếp tục theo số chủ đề sau: Mở rộng phương pháp Zhou [3] cho trường hợp hệ tuyến tính rời rạc Áp dụng phương pháp Chương cho hệ rời rạc Chứng minh việc bảo tồn tính điều khiển được, tính quan sát phương pháp Chương 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Gawronski, W., Juang, J (1990), “Model reduction in limited time and fre-quency intervals”, International Journal of Systems Science, Vol 21, No 2, pp 349–376 [2] Nagar, S.K., Singh, S.K (2004), “An algorithmic approach for system decom-position and balanced realized model reduction”, Journal of Franklin Institude, Vol 341, No 7, pp 615–630 [3] Zhou, K., Salomon, G., Wu, E (1999), “Balanced realization and model re-duction for unstable systems”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, Vol 9, No 3, pp 183–198 [4] Boess, C., Lawless, A.S., Nichols, N.K., Bunse-Gerstner, A (2011), “State esti-mation using model order reduction for unstable systems”, Computers and Flu-ids, Vol 46, No 1, pp 155–160 [5] Kien, V.N (2015), “Researching model order reduction algorithm and applying to control problem”, PhD thesis, Thai Nguyen University of Technology [6] Clapperton, B., Crusca, F., Aldeen, M (1996), “Bilinear Transformation and Generalized Singular Perturbation Model Reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 41, No 4, pp 589–593 [7] Fernando, K.V., Nicholson, H (1982), “Singular perturbational model reduc-tion in the frequency domain”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 27, No 4, pp 969–970 [8] Benner, P., Kurschner,ă P., Saak, J (2016), Frequency-Limited Balanced Trun-cation with Low-Rank Approximations”, SIAM Journal on Scientific Comput-ing, Vol 38, No 1, pp 471–499 [9] Du, X., Benner, P (2016), “Balanced Truncation of Linear Time-Invariant Sys-tems over Finite-frequency Ranges”, http://arxiv.org/abs/1602.04402 101 [10] Du, X., Benner, P., Yang, G., Ye, D (2013), “Balanced truncation of linear time-invariant systems at a single frequency”, Preprint MPIMD/13-02, Max Planck Institute Magdeburg, http://www.mpi-magdeburg.mpg.de/preprints [11] Ghafoor, A.L., Sreeram, V (2008), “ Model Reduction Via Limited Frequency Interval Gramians”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, Vol 55, No pp 2806–2812 [12] Gugercin, S., Antoulas, A (2004), “ A survey of model reduction by balanced truncation and some new results”, International Journal of Control, Vol 77, No 8, pp 748–766 [13] Zhou, K., Doyle, J.C., Glover, K (1996), “ Robust and optimal control”, Pren-tice Hall, New Jersey [14] Polderman, J.W., Willems, J.C (2012), “Introduction to Mathematical Systems Theory : A Behavioral Approach”, Springer, New York [15] Zabczyk, J (1995), Mathematical Control Theory: An Introduction, Birkhauseră Base, Boston [16] Datta, B.N (2004), “Numerical methods for linear control systems: design and analysis”, Elsevier Academic Press [17] Moore, B.C (1981), “Principal component analysis in linear systems: control-lability, observability,and model reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 26, No 2, pp 17–32 [18] Liu, Y., Anderson, B.D.O (1989), “Singular perturbation approximation of bal- anced systems”, Internation of Journal Control, Vol 50, No 4, pp 1379–1405 [19] Antoulas, A.C (2005),“Approximation of Large-Scale Dynamical Systems”, SIAM Press, Philadelphia [20] Obinata, G., Anderson, B.D.O (2001), “ Model order reduction for control sys-tem design”, Springer, Berlin [21] Enns, D.F (1984), “ Model reduction with balanced realizations: An error bound and a frequency weighted generalization”, Proceedings of the 23rd Con-trol and Decision Conference (Las Vegas), pp 127–132 102 [22] Vandendorpe, A., Van Dooren, P (2008), “Model Reduction of Interconnected Systems”, In Model Order Reduction: Theory, Research Aspects and Applica-tions, Springer, Berlin Heidelberg, pp 305–321 [23] Sandberg, H., Murray, R.M (2009), “Model reduction of interconnected linear systems”, Optimal Control Applications and Methods, Vol 30, No 3, pp 225– 245 [24] Pernebo, L., Silverman, L.M (1982), “ Model reduction via balanced state space representations”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 27, No 2, pp 382–387 [25] Laub, A., Heath, M., Paige, C., Ward, R (1987), “Computation of system bal-ancing transformations and other applications of simultaneous diagonalization algorithms”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 32, No 2, pp 115– 122 [26] Glover, K (1984), “All optimal Hankel-norm approximations of linear multi1 variable systems and their L -error bounds”, International Journal of Control, Vol 39, No 6, pp 1115–1193 [27] Al-Saggaf, U.M., Franklin, G.F (1987), “An error bound for a discrete reduced order model of a linear multivariable systems”, IEEE Transactions on Auto-matic Control, Vol 32, No 9, pp 815–819 [28] Liu, W.Q., Sreeram, V., Teo, K.L (1998), “Model reduction for state space sym- metric system”, Systems and Control Letters, Vol 34, No 4, pp 209–215 [29] Green, M., Limebeer, D.J.N (1995), “Linear Robust Control”, Prentice- Hall, New Jersey [30] Rommes, J (2007), “Methods for eigenvalue problems with applications in model order reduction”, PhD thesis, Utrecht University [31] Minh, B.H., Batlle, C., Fossas, E (2014), “A new estimation of the lower error bound in balanced truncation method”, Automatica, Vol 50, No 8, pp 2196– 2198 [32] Ober, R (1991), “Balanced parametrization of classes of linear systems”, SIAM Journal on Control and Optimization, Vol 29, No 6, pp 1251–1287 103 [33] Zhang, F (1999), “Matrix Theory: Basic Results and Techniques”, Springer, New York [34] Lin, M., Wolkowicz, H (2012), “An eigenvalue majorization inequality for pos-itive semidefinite block matrices”, Linear and Multilinear Algebra, Vol 60, No 11, pp 1365–1368 [35] Muscato, G (2000), “Parametric Generalized Singular Perturbation Approxi-mation for Model Order Reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 45, No 2, pp 339–343 [36] Chahlaoui, Y., Van Dooren, P., “A collection of Benchmark examples formodel reduction of linear time invariant dynamical systems”, SLICOT Working Note 2002-2 http://eprints.maths.manchester.ac.uk/1040/ [37] Farrell, B.F., Ioannou, P.J (2001), “Accurate Low-Dimensional Approximation of the Linear Dynamics of Fluid Flow”, Journal of the Atmospheric Sciences, Vol 58, No 18, pp 2771–2789 [38] Ahuja, S (2009), “Reduction methods for feedback stabilization of fluid flows”, PhD thesis, Princeton University [39] Magruder, C., Beattie, C.A., Gugercin, S (2009), “L2-optimal model reduction for unstable systems using iterative rational Krylov algorithm”, Technical Re-port, Virginia Tech, Math Dept [40] Kubalinska, D (2009), “Optimal interpolation-based model reduction”, PhD thesis, University of Bremen [41] Yang, J., Chen, C.S., De Abreu-Garcua, J.A., Xu, Y (1993), “Model Reduction of Unstable Systems”, International Journal of Systems and Sciences, Vol 24, No 12, pp 2407–2414 [42] Boess, C., Nichols, N.K., Bunse-Gerstner, A (2010), “Model re-duction for discrete unstable control systems using a balanced truncation approach”, Preprint MPS, University of Reading https://www.reading.ac.uk/web/FILES/maths/Preprint_10_06_Nichols.pdf 104 [43] Zilouchian, A., Wang, D (1991), “Balanced Structures and Model Reduction of Unstable Systems”, IEEE Proceedings of the SOUTHEASTCON ’91, Vol 2, pp 1198–1201,Williamsburg,VA, USA [44] Keney, C., Hewer, G (1987), “Necessary and sufficient conditions for balancing unstable systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 32, No 1, pp 157–160 [45] Kailath, T (1980), “Linear Systems”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ [46] Barrachina, S., Benner, P., Quintana-Ortí, E.S., Quintana-Ortí, G (2005), “Par-allel Algorithms for Balanced Truncation of Large-Scale Unstable Systems” , Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control (Spain), pp 2248–2253 [47] Lepschy, A., Mian, G.A., Pinato, G., Viaro, U (1991), “Rational L2 approxima-tion: A non-gradient algorithm”, Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control (UK), pp 2321–2323 [48] Minh, B.H., Minh, B.C., Phung, D.P., Sreeram, V (2019), “Model reduction problems at specific frequencies”, (Preprint) 105 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1 ] Minh, B.H., Minh, B.C., Sreeram, V (2014), “Comparison between Balanced truncation and Modal truncation techniques for linear state-spacesymmetric systems”, IET Control Theory & Applications Vol 9, No 6, pp 900–904 [2 ] Minh, B.H., Minh, B.C., Sreeram, V (2017), “Balanced Generalized Singular Perturbation Method for Unstable Linear Time Invariant Continuous Sys-tems”, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 42, No 4, pp 615–635 106 ... mơ hình cho hệ (1)-(2): Với hệ động lực tuyến tính cho, ta thu hệ động lực tuyến tính rút gọn bậc cách bỏ số trạng thái hệ gốc Chẳng hạn, với hệ (1)-(2), ta bỏ trạng thái x2 ta thu hệ rút gọn. .. hợp cho ta hệ rút gọn xấp xỉ tốt cho hệ động lực tuyến tính gốc Trong phần sau luận án, phát biểu tốn rút gọn mơ hình dạng tổng qt, tốn rút gọn mơ hình cho hệ động lực có tính chất đặc biệt, hệ. .. phân tuyến tính 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 Chương BÀI TỐN RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH KHƠNG ỔN ĐỊNH 3.1 Hệ tuyến tính khơng ổn định 3.1.1 3.1.2 3.2 Một số phương pháp rút gọn cho