Luận văn bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI PHM TH THUN BI TON TA CN BNG TNG QUT LOI II Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: GS. TSKH. Nguyn Xuõn Tn H NI, 2014 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc n GS. TSKH. Nguyn Xuõn Tn, ngi thy ó nh hng chn ti v nhit tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny. Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc s phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng. Nhõn dp ny tụi cng xin gi li cm n n gia ỡnh, bn bố ó c v, ng viờn tụi hon thnh lun ny. H Ni, thỏng nm 2014 Tỏc gi Phm Th Thun Li cam oan Tụi xin cam oan, di s ch bo v hng ca GS. TSKH. Nguyn Xuõn Tn, lun chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti: B T O N T A C N B N G T N G Q U T I L O I I I c hon thnh bi s nhn thc v tỡm hiu ca bn thõn tỏc gi. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng nm 2014 Tỏc gi Mc lc Phm Th Thun M u Kin thc c bn 1.1 Cỏc khụng gian thng dựng . 1.1.1 Khng gian Metric . . . 1.1.2 Khụng gian nh chun 1.1.3 Khng gian Hilbert 1.1.4 Khụng gian tụpụ tuyn tớnh li a phng Hausdorff 1.2 Nún v ỏnh xa a tri 1.2.1 Nún 1.2.2 nh xa a tri 1.3 Cỏc tớnh cht ca ỏnh xa a tri . 1.3.1 Tớnh liờn tuc v tớnh liờn tuc theo nún 1.3.2 Tớnh li v ta li theo nún . 1.4 Mụt s inh lý v im bt ụng ca ỏnh xa a tri 1.4.1 Ro KKM 1.4.2 nh lý K Fan . . . . 1.4.3 nh lý Browder-Ky Fan Bi toỏn ta cõn bng tng quỏt loi II 2.1 Phỏt biu bi toỏn 2.2 S tn ti nghim . 2.3 S tn tai nghiờm ca mụt s bi toỏn liờn quan 2.3.1 Bi toỏn ta cõn bng vụ hng loi II 2.3.2 Bao hm thc ta bin phõn loi II 2.3.3 Bi toỏn ta quan h bin phõn loi II 2.4 Bi toỏn ta cõn bng Pareto v ta cõn bng yu 2.5 Bi toỏn bt ng thc ta bin phõn vectc tng quỏt 70 Kt lun 49 76 49 Ti liu tham kho 77 2.6 S n nh ca cỏc nghim ca bi toỏn ta cõn bng M u 1. Lớ chn ti Gii tớch a tr l mt hng nghiờn cu tng i mi Toỏn hc, mc dự t nhng nm 30 ca th k XX cỏc nh toỏn hc ó thy cn phi nghiờn cu ỏnh x a tr, tc ỏnh x nhn giỏ tr l cỏc ca mt hp no ú. S i ca quc t " S E T - V A A L U E D N A L Y S I S " vo nm 1993 l mt mc ln quỏ trỡnh phỏt trin ca gii tớch a tr. Vai trũ ca gii tớch a tr Toỏn hc v cỏc ng dng ca toỏn hc ó c cụng nhn rng rói. Gii tớch a tr cú nhiu ng dng lý thuyt phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh o hm riờng, bt ng thc bin phõn v phng trỡnh suy rng, lý thuyt ti u, lý thuyt iu khin, ti u a mc tiờu, khoa hc qun lý, v toỏn kinh t. Cú th núi nhng ng dng m gii tớch a tr em li l vụ cựng to ln, c bit cỏc bi toỏn kinh t. Bi toỏn im cõn bng c hỡnh thnh t khỏi nim hu hiu m Edge- worth v Pareto xng t cui th k 19. Sau ú nú c nhiu nh toỏn hc nh Debreu, Nash, . s dng xõy dng nhng mụ hỡnh kinh t m nhng nm cui ca th k 20, nhiu nh kinh t th gii quan tõm khai thỏc. chng minh s tn ti im cõn bng ca mụ hỡnh kinh t, u tiờn ngi ta thng s dng cỏc nh lý im bt ng kiu Brouwer, KakuTani, Ky Fan, Browder, . Sau ny, ngi ta ó ch rng nh lý im bt ng Browder tng ng vi nh lý v s tng giao hu hn ca cỏc compc, nh lý khụng tng thớch ca Hong Ty v nh lý KKM. Nh vy, ngi ta ó tỡm c nhiu phng phỏp khỏc chng minh s tn ti nghim ca bi toỏn im cõn bng. Nm 1972 Ky Fan v nm 1978 Browder-Minty ó phỏt biu bi toỏn im cõn bng mt cỏch tng quỏt v chng minh s tn ti nghim ca nú vi nhng gi thit khỏc nhau. Kt qu ca Ky Fan nng v tớnh na liờn tc trờn, cũn kt qu ca Browder-Minty nng v tớnh n iu ca hm s. Nm 1991, Blum v Oettli ó phỏt biu bi toỏn cõn bng tng quỏt v tỡm cỏch liờn kt cỏc bi toỏn ca Ky Fan v Browder-Minty vi thnh dng chung cho c hai. Bi toỏn c phỏt biu ngn gn l: tỡm X G K cho / (X , X ) > vi mi X E gian, / : K X K K , ú K l cho trc ca khụng Ơ R l hm s thc tha / (X , X ) > 0. Cỏc tỏc gi ó chng minh s tn ti nghim ca bi toỏn ny da trờn Nguyờn lý KKM. u tiờn ngi ta nghiờn cu nhng liờn quan n ỏnh x n tr t khụng gian hu hn chiu ny sang khụng gian hu hn chiu khỏc m th t a bi nún orthant dng. Sau ú m rng sang khụng gian cú s chiu vụ hn vi nún bt k. Khỏi nim ỏnh x a tr ó c xõy dng v phỏt trin nhu cu phỏt trin ca Toỏn hc v cỏc lnh vc khỏc. T ú ngi ta tỡm cỏch chng minh cỏc kt qu thu c t n tr sang a tr. Nu chỳng ta cho thờm cỏc ỏnh x rng buc, thỡ bi toỏn cõn bng s tr thnh ta cõn bng. Bi toỏn ta cõn bng c nhiu nh nghiờn cu nhng nm gn õy. Vi nhng lý k trờn tụi ó chn ti: " B I T O N T A C N B N G T N G Q U T L O I I I " lm lun Thc s ca mỡnh. 2. Mc ớch nghiờn cu tỡm nghim ca cỏc bi toỏn trc ht ngi ta phi bit bi toỏn cú nghim hay khụng, sau ú mi tỡm cỏc phng phỏp tip cn nghim. Vớ d, xột cỏc bi toỏn ti u, thụng thng ngi ta a cỏc iu kin tng quỏt cho vic tn ti nghim, sau ú mi tỡm cỏc thut toỏn gii. Chớnh vỡ vy, vic xột s tn ti nghim ca cỏc bi toỏn l mt nhng quan trng nghiờn cu cỏc bi toỏn. Mc ớch ca lun l trỡnh by mụ hỡnh, nghiờn cu s tn ti nghim v s n nh ca cỏc nghim ca bi toỏn ta cõn bng tng quỏt loi II. 3. Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu bi toỏn da trờn nhng yờu cu ca thc t khỏch quan. Sau ú tỡm cỏc iu kin cho vic tn ti nghim v nghiờn cu s n nh ca cỏc nghim ca bi toỏn ta cõn bng tng quỏt loi II. 4. i tng v phm vi nghiờn cu Nghiờn cu bi toỏn ta cõn bng tng quỏt loi II: S tn ti nghim, s n nh ca cỏc nghim v mt s ng dng ca nú. Sau ú, trỡnh by cỏc mi liờn h gia bi toỏn ny vi mt s bi toỏn khỏc lý thuyt ti u a tr. 5. Phng phỏp nghiờn cu Tng hp, phõn tớch, ỏnh giỏ v s dng cỏc nh lý im bt ng ca Ky Fan, Fan-Browder v nh lý KKM vic nghiờn cu cỏc bi toỏn ta cõn bng. 6. Gi thuyt khoa hc Lun l cỏi nhỡn c th v mt lp bi toỏn lý thuyt ti u. Trỡnh by chi tit s tn ti nghim, s n nh ca cỏc nghim ca bi toỏn ta cõn bng tng quỏt loi II cng nh nhng ng dng cỏc bi toỏn liờn quan. Chng Kin thc c bn Chng ny trỡnh by mt s khụng gian thng dựng nh: Khụng gian metric, khụng gian nh chun, khụng gian Hilbert, khụng gian tụpụ tuyn tớnh li a phng Hausdorff, cỏc khỏi nim v nún, ỏnh x a tr, cỏc tớnh cht ca ỏnh x a tr phc v chng minh chng sau. Ngoi ra, chng ny cũn trỡnh by cỏc nh lý im bt ng ca ỏnh x a tr, ú l cỏc nh lý c bn chng minh s tn ti nghim ca bi toỏn ta cõn bng tng quỏt. Cỏc khỏi nim ny ta cú th tỡm thy cun ca Nguyn Ph Hy [1], Nguyn Xuõn Tn [3]. Cỏc khỏi nim khỏc c nhc n ó cú trớch dn kốm theo. 1.1 Cỏc khụng gian thng dựng 1.1.1 Khụng gian Metric nh ngha 1.1.1. Ta gi khụng gian metric mt hp X ^ cựng vi mt ỏnh x D t tớch Descartes X X X vo hp cỏc s thc M tha cỏc tiờn sau õy: 1) (Vx, Y e X ) D ( X , Y ) > 0, D ( , Y ) = X = Y , (tiờn ng nht); X 2) (Vx, Y X )D ( X , Y )=D ( Y , X ), (tiờn i xng); 3) (Vz, Y , Z X) D ( X , Y )[...]... v GII NI 1 6 C H N G M I N H Gi s A gii ni Ly {;cn} c X , X > N X tng ng vi X N X > 0 Ta cú |A(a:n) - A ( X Suy ra N D ( A ( X ) \ \ ) , = A ( \ \ A ( ) ) X X - rc )II < K N \ \ X N - rc -> 0 = ||A(xn) A(a;)|| > 0 suy ra A ( ) n A ( > X X ) do ú A liờn tc Ngc li, gi s liờn tc nhng khụng gii ni Tc Vra > 0, 3 \ \ y II X = N eX : A(a^m)|| > M ||xm|| Ta t Y Jfriớ = ^ 0,ra -> oo Suy ra { Y M =II. .. tuyn tớnh li a phngHausdorff nh ngha 1.1.27 (Khụng gian tụpụ) Cho tp 1 / 0 Mt h T C V ( X ) cỏc tp con ca X c gi l mt tụpụ trờn X nu nú tha món cỏc tớnh cht sau: (i) Uer; (ii) Giao ca mt s hu hn cỏc phn t thuc r thỡ thuc r; (iii)Hp ca mt h tựy ý cỏc phn t thuc T thỡ thuc T 24) Khi ú (X , T ) c gi l mt khụng gian tụpụ 1 9 25) nh ngha 1.1.28 (Khụng gian vect tụpụ) Cho khụng gian vect thc X Mt tụpụ... nún C nu Y X E C vi mi Y Ê A 53) Tp cỏc im hu hiu lý tng ca A i vi nún I M ( A \ C ) hoc I M I N ii) im X A l N C c ký hiu l A I M Pareto) ca A i vi nún H U P H I U , nu khụng tn ti C Y (cc tiu A R E T O E A X Y E C \ ( C ) 54)Tp cỏc im hu hiu Pareto ca A P M ( A I N C ) hoc n gin hn l M iii) im X i vi nún I N ( A C c ký hiu l C ) hoc M N A A l i m h u h i u y u (khi int 7- 0 vc... trong Y , ta núi rng 2 9 105) F l liờn tc trờn, di thay vỡ núi O-liờn tc trờn, di V F l liờn tc khi v ch khi nú ng thi liờn tc trờn v liờn tc di; (ii) Nu F ng thi l C-liờn tc trờn v C-liờn tc di ( 106) : X : ti ) , ta núi rng F l liờn tc ti ( , , ) ; (iii)Nu F l C-liờn tc trờn, di, ti mi im thuc D 107) Mnh F , ta núirng nú l C-liờn tc trờn D 108) O M 1.3.4 [11] Cho F : X D X D > 2 Y l ỏnh x a... tớch P I L B E R T ^ 0 gm nhng phn t X , H I L B E R T Y , , nu tp H tha món cỏc iu kin: 1) H l khụng gian tuyn tớnh trờn trng P ; 2) H c trang b mt tớch vụ hng (.,.); 3) H l khụng gian Banach vi chun II^ = Y / (X , 9) ) , X X H Ta gi mi khụng gian tuyn tớnh con úng ca khụng gian Hilbert H l khụng gian Hilbert con ca khụng gian H 10) X,YEH 11) nh ngha 1.1.23 (Trc giao) Cho khụng gian Hilbert H Hai... khụng gian tuyn tớnh X trờn trng P ( P = hoc P = C) cựng vi mt ỏnh x t X vo tp s thc K, kớ hiu l ll-ll v c l chun, tha món cỏc tiờn sau õy: 1) (Vx G X ) ||a;|| > 0, ||x|| = 0 X 2) (Vz G X) (Va G P ) IICKC = |o:I ||z; 3) (Vz, Y G X ) ||z + Y \ \ + IHI S \ \ X = < ||z|| 9 (kớ hiu phn \ \ gi l chun ca vộct X Ta cng kớhiu khụng l X Cỏc tiờn trờn gi l h tiờn chun 1 5 t khụng l9 ); gian nh chun nh... liờn tc, vi tụpụ r trờn X , tụpụ thụng thng trờn M, cũn X X X v M X X c trang b bi tụpụ tớch Tc l: (i) Vi mi X : Y X v mi lõn cn W ca X ca X , V ca Y sao cho U + E 26) I Y , tn ti cỏc lõn cn U V cW (ii) Vi mi M, X X v vi mi lõn cn lõn cn V ca X sao cho + V c W ca X W vi mi X , tn ti Ê > 0 v & (A Ê , F I X + ) Khi ú, r c gi l gi l mt K H ễ N G T ễ P ễ T U Y N GIAN VECT TễPễ T N H hay trờn X... cỏc tp úng cha A l B A O ể N G v ký hiu l hay [| nh lý 1.1.3 Cho khụng gian metric M = (X,d) v tp A c X Phn trong A ca tp A l tp tt c cỏc im trong ca A, cũn bao úng ca tp A l hp ca tp v tt c cỏc im gii hn ca tp H q u 1 1 2 Trong khụng gian metric bt k M = phn (X, d) trong ca mt tp l tp m, bao úng ca mt tp l tp úng n h l ý 1 1 4 Trong khụng gian metric bt T k M = (X : d), tt c cỏc tp m trong... gi l mi X , E T H E M I L I ấ N T C T R ấ N ( D I ) nu vi D , ỏnh x a tr / : [0,1] > 2 Y c xỏc nh bi / (a) = F ( A X + (1 A ) T ) l na liờn tc trờn (tng ng, di) 98) Khỏi nim ca -hemi liờn tc ó c gii thiu bi Bianchi v Pini [8] v bi Hadjisavvas [16] vi ỏnh x n tr trong ni dung ca bi toỏn bt ng thc bin phõn 99) nh ngha 1.3.6 [11] Cho F a tr v : X D X D ằ 2 y l ỏnh x l ỏnh x nún (ỏnh x nún l ỏnh... y II X = N eX : A(a^m)|| > M ||xm|| Ta t Y Jfriớ = ^ 0,ra -> oo Suy ra { Y M =II M Ta } -> 0 Ta cú \ \ A ( c Y M ) \ \ = ^r]f > > 1- Suy ra \ \ A { Y M ) \ \ ^ 0A ( Y ) 0 = ,4(0) (mõu m thun) Vy A gii ni Ta cú iu phi chng minh 1.1.3 Khụng gian Hilbert nh ngha 1.1.20 (Tớch vụ hng) Cho khụng gian tuyn tớnh X trờn trng ( P c l trng s thc 1R hoc trng s phc ) Ta gi l tớch vụ hng trờn khụng gian X mi ỏnh . Fan 2 Bài toán tựa cân bằng tống quát loại II 2.1 Phát biếu bài toán 2.2 Sự tồn tại nghiệm 2.3 Sư tồn tai nghiêm của môt số bài toán liên quan 2.3.1 Bài toán tựa cân bằng vô hướng loại II 2.3.2. thức tựa biến phân loại II 2.3.3 Bài toán tựa quan hệ biến phân loại II 2.4 Bài toán tưa cân bằng Pareto và tưa cân bằng yếu 2.5 Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectc tống quát Kết luận Tài. HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • PHẠM THỊ THUẦN BÀI TOÁN TựA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • • Người hướng dẫn khoa học: GS.