Bài toán tựa cân bằng dạng blum oettli tổng quát và ứng dụng (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————————— NGUYỄN QUỲNH HOA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM - OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Toán Giải tích Code: 9460102 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2018 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Vào hồi ngày tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm học liệu – Đại học Thái Nguyên - Thư viện trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên Mở đầu Khi nghiên cứu tượng tự nhiên xã hội, ngành khoa học, thường gặp câu hỏi: Tồn hay không tồn tại? Tồn nào? Theo thuật ngữ toán học, câu hỏi thứ làm ta liên hệ với tồn hay không tồn nghiệm phương trình, tốn phát biểu sau: Tìm x ∈ D cho F (x) = 0, (1) đó, D tập khác rỗng không gian X F ánh xạ từ D vào khơng gian tuyến tính Y Bài tốn gọi phương trình tốn tử Câu hỏi thứ hai, tốn học, ta liên hệ với tốn: Tìm x ∈ D cho f (x) ≤ f (x), với x ∈ D, (2) với D tập không gian X f hàm số từ tập D vào khơng gian số thực R Bài tốn gọi toán tối ưu Bài toán (1) (2) đóng vai trò quan trọng việc ứng dụng toán học vào giải vấn đề đặt thực tiễn sống Các nhà toán học xây dựng lý thuyết để giải hai toán (1) (2) Lý thuyết để giải toán (1) gọi lý thuyết phương trình tốn tử Lý thuyết để giải toán (2) gọi lý thuyết tối ưu Hai tốn đóng vai trò trọng tâm hai lý thuyết Lý thuyết phương trình tốn tử lý thuyết tối ưu có mối liên hệ qua lại, tương tác lẫn Trong nhiều trường hợp, tốn (1) đưa tốn (2) ngược lại Ví dụ: Khi X khơng gian Hilbert, f hàm lồi có đạo hàm f , toán (2) tương đương với tốn: Tìm x ∈ D cho x = PD (x − f (x)), với PD (x) hình chiếu trực giao điểm x lên tập D Hay F (x) = 0, với F (x) = PD (x − f (x)) − x Tức là, toán (1) tương đương với toán (2) Để giải toán (2), người ta phân loại thành lớp toán dựa theo đặc tính hàm số f tập D Khi f hàm tuyến tính D đa diện lồi không gian Euclid n chiều Rn , tốn (2) gọi qui hoạch tuyến tính Năm 1947, G B Danzig, nhà toán học Mỹ tìm thuật tốn đơn hình để giải tốn Khi D tập lồi đóng khơng gian Rn f hàm lồi (2) gọi toán quy hoạch lồi Những năm 1960 - 1970, nhà toán học Mỹ, T Rockaffelar đưa khái niệm vi phân hàm lồi để xây dựng mơn giải tích lồi nhằm giải toán quy hoạch lồi Tiếp theo, f hàm Lipschitz địa phương D tập đóng, (2) gọi toán quy hoạch Lipschitz Sau năm 1970, nhà toán học Mỹ, F H Clarke xây dựng vi phân hàm Lipschitz địa phương để giải toán quy hoạch Lipschitz Khi hàm f hàm liên tục, D tập đóng, tốn (2) gọi toán quy hoạch liên tục Những năm cuối Thế kỷ 20 năm đầu Thế kỷ 21, D T Lục V Jeyakumar đưa lý thuyết Jacobian xấp xỉ để giải toán quy hoạch liên tục Tới năm 1960 kỷ trước, Stampachia đưa toán bất đẳng thức biến phân: Cho D tập khác rỗng không gian Rn , T : D → Rn Tìm x ∈ D cho T (x), x − x ≥ 0, với x ∈ D (3) Sau đó, tốn mở rộng thành toán bất đẳng thức biến phân tổng quát: Tìm x ∈ D cho T (x), x − x + φ(x) − φ(x) ≥ 0, với x ∈ D, (4) đó, D tập khác rỗng không gian Banach X, X ∗ không gian đối ngẫu X, G : D → X ∗ ánh xạ đơn trị, φ : D → R hàm số thực Năm 1994, Blum Oettli đưa toán điểm cân (EP): Cho ánh xạ f : D × D → R, f (x, x) = 0, với x ∈ D Tìm x ∈ D cho f (t, x) ≥ 0, với t ∈ D (5) Để chứng minh tồn nghiệm toán (5), tác giả sử dụng Định lý tương giao ánh xạ KKM, dạng tương đương Định lý điểm bất động Browder Bài toán điểm cân bao hàm toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, toán điển yên ngựa, toán minimax, toán điểm bất động, trường hợp đặc biệt Trong năm gần đây, việc nghiên cứu thuật tốn nhằm tìm nghiệm cho tốn nhiều nhà toán học nước quốc tế mở rộng phát triển mạnh mẽ Tiếp theo, toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, toán điểm cân mở rộng hàm số liên quan hàm véctơ chúng gọi là: Bài toán tối ưu véctơ, bất đẳng thức biến phân véctơ, toán điểm cân véctơ Những năm cuối Thế kỷ 20 năm đầu Thế kỷ 21, tác giả N X Tan, D T Luc, P N Tinh, P H Sach, P Q Khanh, L J Lin, T T T Duong, B T Hung, N T Q Anh, phát biểu toán chứng minh tồn nghiệm chúng ánh xạ liên quan ánh xạ đa trị Những toán (1), (2) toán mở rộng, liên quan đến hàm vectơ, ánh xạ đa trị quy tốn: Cho ánh xạ đa trị F : D → 2Y Tìm x ∈ D cho ∈ F (x), (6) đó, X, Y khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D tập X Bài toán (6) gọi toán cân tổng quát hay gọi phương trình đa trị Trong thực tế, nhiều miền ràng buộc D thay đổi, phụ thuộc ánh xạ, P : D → 2D Khi đó, ta cần xét tốn: Tìm x ∈ D cho 1) x ∈ P (x); (7) 2) ∈ F (x) Bài toán (7) gọi toán tựa cân tổng quát Điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán nghiên cứu trường hợp P ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, compact F ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, compact Trong năm gần đây, nhiều nhà toán học nghiên cứu tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát qua việc giảm nhẹ tính liên tục ánh xạ P, F Tức là, cho X, Y, Z khơng gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z, ánh xạ đa trị P : D × K → 2D , Q : D × K → 2K , F : D × K → 2Y Ta xét tốn: Tìm (x, y) ∈ D × K cho 1) x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y); (8) 2) ∈ F (x, y) Các ánh xạ P, Q gọi ánh xạ ràng buộc, F gọi hàm mục tiêu Ta thấy, đặt D = D × K, P = P × Q tốn (8) trở dạng toán (7) Bài toán tựa cân tổng quát (8) bao hàm nhiều lớp toán tối ưu mà ta biết toán tựa bao hàm thức biến phân, toán tựa quan hệ biến phân, Điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán (8) nhiều tác giả nghiên cứu L J Lin S Park, M P Chen, L J Lin S Park, S Park, Jian Wen Peng Dao Li Zhu, Đặc biệt, tác giả N X Tan D T Luc, N X Tan L J Lin, N X Tan T T T Duong, N X Tan B T Hung, N X Tan N T Q Anh xét trường hợp P ánh xạ liên tục, Q ánh xạ u.s.c F ánh xạ u.s.c l.s.c tất ánh xạ P, Q, F cần có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Mở rộng hướng nghiên cứu này, xét toán (8) với hàm mục tiêu dạng dạng tổng hai ánh xạ: F (x, y) = G(x, y) + H(x, y) Tức là, xét tốn: Tìm (x, y) ∈ D × K cho 1) x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y); 2) ∈ G(x, y) + H(x, y), với điều kiện đặt hai hàm G H khác ta gọi "Bài toán tựa cân dạng Blum - Oettli tổng quát" Đã có nhiều tác giả nghiên cứu toán dạng Blum Oettli, tức tốn đa trị có hàm mục tiêu tổng hai ánh xạ N X Tan P N Tinh, T Y Fu, G Kassay M Miholca, G Kassay, M Miholca N T Vinh, Mục tiêu luận án là: (1) Nghiên cứu điều kiện đủ cho tồn nghiêm Bài toán tựa cân dạng Blum Oettli tổng quát với hàm mục tiêu ánh xạ ràng buộc hàm ánh xạ đa trị trường hợp: - hàm mục tiêu tổng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng; - hàm mục tiêu tích Đề ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng (2) Ứng dụng kết (1), nghiên cứu tồn nghiệm số toán liên quan: Bài toán tựa cân suy rộng loại I, Bài toán tựa cân suy rộng loại II Bài toán tựa cân suy rộng hỗn hợp Xuất phát từ mục tiêu nội dung nghiên cứu luận án, nghiên cứu sinh lựa chọn tên luận án “Bài toán tựa cân dạng Blum – Oettli tổng quát ứng dụng” Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận án trình bày thành ba chương: Chương trình bày số kiến thức không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, nón ánh xạ đa trị Đồng thời, chương này, ta nhắc lại số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên, Chương nghiên cứu tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2 chứng minh tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát liên quan tới tổng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng nửa liên tục yếu vô hướng Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2 chứng minh tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát liên quan tới tích Đề ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng nửa liên tục yếu vô hướng Trong chương này, đưa số kết mở rộng nối định lý Ky Fan định lý Fan - Browder với (Hệ 2.1.7, Hệ 2.1.8, ) Chương trình bày số ứng dụng, xét tồn nghiệm toán tựa cân suy rộng loại I (Định lý 3.1.1, Hệ 3.1.1), toán tựa cân suy rộng loại II (Định lý 3.2.1, Hệ 3.2.2, Hệ 3.2.3) toán tựa cân suy rộng hỗn hợp (Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.2) dựa kết có từ Chương Nội dung luận án viết dựa sở báo Danh mục cơng trình nghiên cứu Chương Kiến thức Trong toán học sống tự nhiên xã hội, muốn giải vấn đề đó, người ta thường mơ hình hóa dạng tốn Bài tốn đưa phải đặt không gian định, nghiệm tốn phải xác định khơng gian Khơng gian phải có cấu trúc để đảm bảo cho tốn có nghiệm tính nghiệm theo thuật tốn Do đó, trước nghiên cứu tốn nêu luận án, ta cần nhắc lại kiến thức không gian thường dùng khái niệm liên quan đến toán ta cần nghiên cứu Trong chương này, ta trình bày số kiến thức vận dụng việc chứng minh kết chương chương luận án Chương gồm hai mục: Mục 1.1 trình bày số kiến thức liên quan đến khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Mục 1.2 trình bày kiến thức nón, ánh xạ đa trị nhắc lại số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị liên tục Chương Bài toán tựa cân tổng quát Như mục Mở đầu ta hầu hết toán lý thuyết tối ưu đưa toán điểm cân tổng quát: Tìm x¯ ∈ D cho ∈ F (¯ x), với D tập không gian X F ánh xạ đa trị từ D vào khơng gian Y Bài tốn hai cấp đưa dạng: Tìm x¯ ∈ D cho 1) x¯ ∈ P (¯ x); 2) ∈ F (¯ x), với P : D → 2D Sự tồn nghiệm toán nghiên cứu trường hợp P ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, compact, F ánh xạ u.s.c Trong chương này, ta giả sử X, Y, Z không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị P : D × K → 2D , Q : D × K → 2K , F : D × K → 2Y Xét tốn: Tìm (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) ∈ F (x, y) Bài toán gọi toán tựa cân tổng quát Sự tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát nhiều tác giả nghiên cứu, đặc biệt, tác giả T T T Duong N X Tan nghiên cứu trường hợp P ánh xạ liên tục, Q ánh xạ u.s.c F ánh xạ u.s.c tất ánh xạ P, Q, F cần có giá trị lồi, đóng, khác rỗng trường hợp P ánh xạ có lát cắt mở, Q ánh xạ nửa liên tục F ánh xạ nửa liên tục Trong chương này, ta xét trường hợp đặc biệt toán tựa cân tổng quát khi: i) hàm mục tiêu tổng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng ánh xạ nửa liên tục yếu vơ hướng ii) hàm mục tiêu tích Đề ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng ánh xạ nửa liên tục yếu vơ hướng; 2.1 Bài tốn tựa cân dạng Blum - Oettli tổng quát Trong mục này, ta đưa số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân dạng Blum - Oettli tổng qt Đây tốn tựa cân tổng quát hàm mục tiêu tổng hai ánh xạ Cụ thể, ta xét toán với hàm mục tiêu F = G + H trường hợp: 1) G : D × K → 2X ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng, H : D × K → 2X ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng Y = X (xem [4] Danh mục cơng trình nghiên cứu) 2) G : D × K → 2X×Z ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng, H : D × K → 2X×Z ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng Y = X × Z Đầu tiên, ta xét trường hợp F = G + H với G : D × K → 2X ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng, H : D × K → 2X ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng Y = X Bổ đề 2.1.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) φ : K × D × D → R hàm liên tục; với (y, x) ∈ K × D, φ(y, x, ) : D → R hàm tựa lồi φ(y, x, x) = Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) φ(y, x, t) ≥ 0, với t ∈ P (x, y) Ta có định lý Định lý 2.1.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D×K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; Q : D×K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) G : D × K → 2X ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; iv) H : D × K → 2X ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; v) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), ∅ = G(x, y) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) ∈ G(x, y) + H(x, y) Hệ 2.1.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) G : D × K → 2X ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; v) H : D × K → 2X ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; vi) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), ∅ = (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) x ∈ G(x, y) + H(x, y) Hệ 2.1.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) G : D × K → 2X ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; v) H : D × K → 2X ánh xạ u.s.c yếu vơ hướng với giá trị lồi, đóng; vi) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈ / G(x, y) + H(x, y) ∅ = (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) G(x, y) + H(x, y) = ∅ Hệ 2.1.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D tập khác rỗng, lồi, compact; ii) G0 : D → 2X ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; iii) H0 : D → 2X ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) (G0 (x) − x) + (H0 (x) ∩ TD (x)) ⊂ TD (x), với x ∈ D Khi đó, tồn x ∈ D cho x ∈ G0 (x) + H0 (x) 10 v) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈ / G(x, y) G(x, y) − x ⊂ TP (x,y) (x) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) G(x, y) = ∅ Hệ 2.1.7 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) F : D × K → 2D ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với (x, y) ∈ D × K, y ∈ Q(x, y) đó, F (x, y) = ∅; Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) y ∈ Q(x, y); 2) x ∈ F (x, y) Hệ 2.1.8 Cho X không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D tập khác rỗng, lồi, compact; ii) F : D → 2D ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng Khi đó, tồn x ∈ D cho x ∈ F (x) Chú ý 2.1.1 Ta thấy, Hệ 2.1.8 mở rộng định lý điểm bất động X Wu Trong kết này, ánh xạ F bỏ điều kiện lồi, đóng cần thỏa mãn ánh xạ l.s.c yếu vô hướng Hệ mở rộng định lý điểm bất động Fan - Browder Tiếp theo, ta xét trường hợp toán tựa cân tổng quát có hàm mục tiêu dạng F = G+H với G : D×K → 2X×Z ánh xạ nửa liên tục yếu vơ hướng, H : D×K → 2X×Z ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng Y = X × Z Bổ đề 2.1.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D Q : D × K → 2K ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng; iii) Tập B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y)} đóng; iv) φ : K × K × D × D → R hàm u.s.c thỏa mãn với (y, x) ∈ K × D cố định, φ(y, , x, ) : K × D → R hàm lồi; v) φ(y, y, x, x) = 0, với (y, x) ∈ K × D 11 Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); φ(y, z, x, t) ≥ 0, với t ∈ P (x, y), z ∈ Q(x, y) Ta có định lý Định lý 2.1.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D , Q : D × K → 2K ánh xạ đa trị l.s.c với giá trị khác rỗng tập B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y)} đóng; iii) G : D × K → 2X×Z ánh xạ l.s.c yếu vơ hướng với giá trị khác rỗng; iv) H : D × K → 2X×Z ánh xạ u.s.c yếu vơ hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; v) Với (x, y) ∈ B, ∅ = G(x, y) + (H(x, y) ∩ TP (x,y)×Q(x,y) (x, y)) ⊂ TP (x,y)×Q(x,y) (x, y) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) ∈ G(x, y) + H(x, y) Tương tự hệ Định lý 2.1.1, ta có hệ Định lý 2.1.2 2.2 Bài tốn với hàm mục tiêu tích Đề hai ánh xạ Trong mục này, ta xét tồn nghiệm toán tựa cân tổng qt hàm mục tiêu có dạng tích Đề hai ánh xạ: F = G × H trường hợp: G : D × K → 2X ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng, H : D × K → 2X ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng Y = X × X G : D × K → 2X ánh xạ nửa liên tục yếu vơ hướng, H : D × K → 2Z ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng Y = X × Z (xem [3] Danh mục cơng trình nghiên cứu) Đầu tiên, ta xét trường hợp F = G × H với G : D × K → 2X ánh xạ nửa liên tục yếu vơ hướng H : D × K → 2X ánh xạ nửa liên tục yếu vơ hướng Y = X × X Bổ đề 2.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; 12 ii) P : D × K → 2D ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng; iii) Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) φ : K × K × D × D → R hàm u.s.c thỏa mãn với (y, x) ∈ K × D cố định, φ(y, , x, ) : K × D → R hàm lồi; v) φ(y, y, x, x) = 0, với (y, x) ∈ K × D Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) φ(y, z, x, t) ≥ 0, với t ∈ P (x, y), z ∈ Q(x, y) Ta có định lý sau: Định lý 2.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) G : D × K → 2X ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; v) H : D × K → 2X ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; vi) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), G(x, y) ⊂ TP (x,y) (x), (H(x, y) ∩ TP (x,y) (y)) = ∅ Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) ∈ G(x, y) × H(x, y) Hệ 2.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) G : D × K → 2X ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; v) H : D × K → 2X ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; vi) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), (G(x, y) − x) ⊂ TP (x,y) (x), (H(x, y) − x) ∩ TP (x,y) (y)) = ∅ 13 Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho (x, y) ∈ (P (x, y) × Q(x, y)) ∩ (G(x, y) × H(x, y)) Hệ 2.2.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) G : D × K → 2X ánh xạ l.s.c yếu vô hướng; v) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈ / G(x, y) G(x, y) − x ⊂ TP (x,y) (x) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) G(x, y) = ∅ Hệ 2.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) H : D × K → 2X ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị lồi, compact; v) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈ / H(x, y) (H(x, y) − x) ∩ TP (x,y) (x) = ∅ Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) H(x, y) = ∅ Hệ 2.2.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) G : D × K → 2X ánh xạ l.s.c yếu vô hướng giá trị khác rỗng H(x, y) − x ⊆ TD (x), với x ∈ D, y ∈ Q(x, y) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho (x, y) ∈ H(x, y) × Q(x, y) Hệ 2.2.5 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D tập khác rỗng, lồi, compact; 14 ii) P : D → 2D ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) G : D → 2X ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng cho G(x) ⊂ TP (x) (x), với x ∈ P (x) Khi đó, tồn x ∈ D cho x ∈ G(x) ∩ P (x) Hệ 2.2.6 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D → 2D ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) H : D → 2X ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng H(x) ⊂ TP (x) (x), với x ∈ P (x) Khi đó, tồn x ∈ D cho x ∈ H(x) ∩ P (x) Tương tự, ta xét toán tựa cân tổng quát hàm mục tiêu có dạng F = G × H với G : D × K → 2X ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng, H : D × K → 2Z ánh xạ nửa liên tục yếu vơ hướng Y = X × Z Trong trường hợp này, P cần ánh xạ l.s.c, Q ánh xạ l.s.c Định lý 2.2.2 Ta giả sử: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng; iii) Q : D × K → 2K ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng tập B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y)} đóng; iv) G : D × K → 2X ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; v) H : D × K → 2Z ánh xạ u.s.c yếu vơ hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; vi) Với (x, y) ∈ B, G(x, y) ⊂ TP (x,y) (x), (H(x, y) ∩ TQ(x,y) (y)) = ∅ Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho: 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) ∈ G(x, y) × H(x, y) Các hệ Định lý 2.2.2 hoàn toàn tương tự với hệ Định lý 2.2.1 15 Chương Các toán liên quan Trong chương này, ta trình bày số tốn liên quan tới toán tựa cân tổng quát Đồng thời, ta thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán liên quan qua việc áp dụng kết có Chương 3.1 3.1.1 Bài toán tựa cân suy rộng loại I Đặt toán Cho X, Y, Z khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z tập khác rỗng Các ánh xạ đa trị S : D×D → 2D , T : D×K → 2K F1 : K ×D×D×D → 2Y Bài tốn: Tìm (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y); 2) ∈ F1 (y, x, x, t), với t ∈ S(x, y) Đây toán tựa cân suy rộng loại I, viết tắt (GEP)I Các ánh xạ S, T gọi ánh xạ ràng buộc, F1 gọi hàm mục tiêu Ánh xạ S, T đẳng thức, bất đẳng thức hay tương giao ánh xạ đa trị Bài toán (GEP)I dạng tương đương toán tựa cân tổng quát Thật vậy, ta định nghĩa ánh xạ F : D × K → 2X : F (x, y) = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), ∀t ∈ S(x, y)} Nếu có (x, y) thỏa mãn 1), 2) x ∈ F (x, y) ∈ x − F (x, y) Đặt F (x, y) = x − F (x, y) Khi đó, dễ thấy nghiệm toán (GEP)I nghiệm toán tựa cân tổng quát ngược lại 16 3.1.2 Định lý tồn nghiệm Trong kết nghiên cứu mình, tác giả N X Tan T T T Duong sử dụng Định lý điểm bất động S Park hay Bổ đề KKM để đưa tồn nghiệm toán tựa cân suy rộng loại I Trong mục này, ta vận dụng kết thu chương để xét số điều kiện đủ cho tồn nghiệm cho toán tựa cân suy rộng loại I Ta giả thiết X, Y, Z khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z tập khác rỗng Các ánh xạ S, T F1 định nghĩa Mục 3.1.1 Khi đó, áp dụng Hệ 2.1.1, ta có định lý sau: Định lý 3.1.1 Bài tốn (GEP)I có nghiệm điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) T : D × K → 2K ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} tập đóng; v) Với (y, x) ∈ K × D cố định, B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với t ∈ S(x, y)} tập khác rỗng Trong phần tiếp theo, ta áp dụng Hệ 2.1.1 để chứng minh tồn nghiệm toán (GEP)I Trước hết, ta có bổ đề Bổ đề 3.1.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, đóng; iii) T : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, đóng; iv) A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} tập đóng; v) Với (y, x) ∈ K × D cố định, B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với t ∈ S(x, y)} tập lồi, khác rỗng Khi đó, ánh xạ H : D × K → 2D : H(x, y) = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với t ∈ S(x, y)} ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng D × K 17 Định lý 3.1.2 Bài tốn (GEP )I có nghiệm điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, đóng; iii) T : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, đóng; iv) A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} tập đóng; v) Với (y, x) ∈ K × D cố định, B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với t ∈ S(x, y)} tập khác rỗng, lồi 3.2 Bài toán tựa cân suy rộng loại II 3.2.1 Đặt toán Cho X, Y, Z khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, ánh xạ đa trị P1 : D → 2D , P2 : D → 2D , Q : K × D → 2K F : K × D × D → 2Y Bài tốn: Tìm x ∈ D cho 1) x ∈ P1 (x); 2) ∈ F (y, x, t), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Bài toán gọi toán tựa cân suy rộng loại II ký hiệu (GEP)II Các ánh xạ P1 , P2 , Q gọi ánh xạ ràng buộc F gọi hàm mục tiêu Mở rộng điều kiện ràng buộc toán (GEP)II với ánh xạ S, P0 : D × K → 2D , T : D × K → 2K , Q0 : K × D × D → 2K F2 : K × K × D × D → 2Y Khi đó, ta có tốn: Tìm (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y); 2) ∈ F2 (y, v, x, t), với t ∈ P0 (x, y) v ∈ Q0 (y, x, t) Bài toán gọi toán (GEP)II tổng quát Bài toán (GEP)II tổng quát toán tựa cân tổng quát hai toán tương đương Thật vậy, ta định nghĩa ánh xạ H : D × K → 2X : H(x, y) = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F2 (y, v, x, t), ∀t ∈ P0 (x, y), v ∈ Q0 (y, x, t)} Nếu có (x, y) thỏa mãn 1), 2) x ∈ H(x, y) ∈ x − H(x, y) Đặt F (x, y) = x − H(x, y) Khi đó, ta thấy nghiệm toán (GEP)II tổng quát nghiệm toán tựa cân tổng quát ngược lại 18 3.2.2 Định lý tồn nghiệm Bài toán tựa cân suy rộng loại II tác giả T T T Duong, N X Tan, N T Q Anh, nghiên cứu Trong mục ta đưa điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán, (GEP)II dựa kết Chương Trước hết, áp dụng định lý hệ điểm bất động toán tựa cân tổng quát liên quan tới ánh xạ l.s.c yếu vơ hướng, ta có định lý: Định lý 3.2.1 Bài tốn (GEP)II có nghiệm điều kiện sau thỏa mãn: i) D tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P1 : D → 2D ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng với tập điểm bất động B = {x ∈ X|x ∈ P1 (x}); iii) Ánh xạ P2 : D → 2D có giá trị khác rỗng có nghịch ảnh mở P2 (x) ⊆ P1 (x) với x ∈ D; iv) Với t ∈ D cố định, A = {x ∈ D|0 ∈ / F (y, x, t), với y ∈ Q(x, t) đó} tập mở D; v) ∈ F (y, x, x), với (x, y) ∈ D × K Hệ 3.2.1 Bài tốn (GEP)II có nghiệm điều kiện sau thỏa mãn: i) D tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P1 : D → 2D ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng tập điểm bất động B = {x ∈ X|x ∈ P1 (x}); iii) Ánh xạ P2 : D → 2D có giá trị khác rỗng có nghịch ảnh mở, P2 (x)) ⊆ P1 (x) với x ∈ D; iv) Với t ∈ D cố định, ánh xạ Q(., t) : D → 2D l.s.c F (., , t) : D × K → 2X ánh xạ đóng; v) ∈ F (y, x, x), với (x, y) ∈ D × K Tiếp theo, ta xét điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán (GEP)II tổng quát, trước hết ta có bổ đề: Bổ đề 3.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng với tập điểm bất động B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)}; 19 iii) P0 : D × K → 2D ánh xạ có nghịch ảnh mở co(P0 (x, y)) ⊂ S(x, y) với (x, y) ∈ D × K; iv) Với t ∈ D cố định, A = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈ / F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (x, t, y) đó} tập mở D Khi đó, ánh xạ G : D × K → 2D xác định G(x, y) = {t ∈ P0 (x, y)|0 ∈ / F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (x, t, y) đó}, (x, y) ∈ D × K, l.s.c D × K Giả sử với (x, y) ∈ D × K cố định, ánh xạ đa trị Q0 (x, , t) : D → 2K l.s.c ánh xạ đa trị F2 (., , , t) : K × K × D → 2Y ánh xạ đóng Ta có: Bổ đề 3.2.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng với tập cố định B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)}; iii) P0 : D × K → 2D ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở co(P0 (x, y)) ⊆ S(x, y) với (x, y) ∈ D × K; iv) Với t ∈ D cố định, ánh xạ đa trị Q0 (., t, ) : D × K → 2K l.s.c ánh xạ đa trị F2 (., , , t) : K × K × D → 2Y ánh xạ đóng Khi đó, ánh xạ G : D × K → 2D : G(x, y) = {t ∈ P0 (x, y)|0 ∈ / F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (x, t, y) đó}, (x, y) ∈ D × K,, l.s.c D × K Định lý 3.2.2 Bài tốn (GEP )II tổng qt có nghiệm nếu: i) D tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng với tập cố định B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)}; iii) Ánh xạ P0 : D×K → 2D có nghịch ảnh mở co(P0 (x, y)) ⊂ S(x, y) với (x, y) ∈ D×K; iv) Với t ∈ D cố định, A = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈ / F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (x, t, y) đó} tập mở D; 20 v) Với y ∈ K, v ∈ Q0 (x, x, y), ∈ F2 (y, v, x, x) Định lý 3.2.3 Bài toán (GEP )II tổng quát có nghiệm nếu: i) D tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng với tập cố định B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)}; iii) P0 : D × K → 2D ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở co(P0 (x, y)) ⊆ S(x, y) với (x, y) ∈ D × K; iv) Với t ∈ D cố định, ánh xạ đa trị Q0 (., t, ) : D × K → 2K l.s.c ánh xạ đa trị F2 (., , , t) : K × K × D → 2Y ánh xạ đóng; v) Với y ∈ K, v ∈ Q0 (x, x, y), ∈ F2 (y, v, x, x) 3.3 3.3.1 Bài toán tựa cân suy rộng hỗn hợp Đặt toán Giả sử X, Y, Y1 , Y2 , Z khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị S : D × D → 2D , T : D × K → 2K , P : D → 2D , Q : K × D → 2K F1 : K × D × D × D → 2Y1 , F : K × D × D → 2Y2 Bài tốn: Tìm (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y); 2) ∈ F1 (y, x, x, t), với t ∈ S(x, y); 3) ∈ F (y, x, t), với t ∈ P (x) y ∈ Q(x, t) Bài tốn kết hợp toán tựa cân suy rộng loại I toán tựa cân suy rộng loại II gọi tốn tựa cân suy rộng hỗn hợp, ký hiệu (M GQEP ), với S, T, P, Q gọi ánh xạ ràng buộc, F1 , F hàm mục tiêu Ngồi ra, kết hợp tốn tựa cân suy rộng loại I toán tựa cân suy rộng loại II tổng quát ta tốn: Tìm (x, y) ∈ D × K cho 1) x ∈ S(x, y); 2) y ∈ T (x, y); 3) ∈ F1 (y, x, v, x), với v ∈ T (x, y); 4) ∈ F2 (y, v, x, t), với t ∈ P0 (x, y) v ∈ Q0 (y, x, t), đó, ánh xạ đa trị S : D × D → 2D , T : D × K → 2K , P0 : D × K → 2D , Q0 : K × D × D → 2K F1 : K × D × D × D → 2Y1 , F2 : K × K × D × D → 2Y2 Bài toán gọi toán tựa cân suy rộng hỗn hợp tổng quát, với S, T, P0 , Q0 gọi ánh xạ ràng buộc, F1 , F2 hàm mục tiêu 21 3.3.2 Định lý tồn nghiệm Điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân suy rộng hỗn hợp tác giả T T T Duong N X Tan chứng minh dựa bổ đề tác giả P H Sách L A Tuấn Trong mục này, ta vận dụng kết có chương để đưa số kết điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân suy rộng hỗn hợp tổng quát Định lý 3.3.1 Bài toán (M GQEP ) tổng quát có nghiệm điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng, lồi; iii) T : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) P0 : D × K → 2D ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng có nghịch ảnh tập mở; đồng thời, với (x, y) ∈ D × K, coP0 (x, y) ⊆ S(x, y); v) A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} tập đóng; vi) Với (y, x) ∈ K × D cố định, B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với t ∈ S(x, y)} tập khác rỗng, lồi; vii) Với t ∈ D cố định, A1 = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈ / F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (y, x, t) đó} tập mở D viii) Với y, v ∈ K cố định, ∈ F2 (y, v, x, x), với x ∈ D Hệ 3.3.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D , T : D × K → 2K ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi; iii) ψ : K × K × D × D → R hàm số thực thỏa mãn: a) Với t ∈ D cố định, hàm ψ(., , , t) : K × K × D → R u.s.c; b) ψ(y, v, x, x) ≥ 0, với y, v ∈ K, x ∈ D Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y) ψ(y, v, x, t) ≥ 0, với (t, v) ∈ S(x, y) × T (x, y) 22 Áp dụng Hệ 2.1.8, ta đưa điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân suy rộng hỗn hợp tổng quát Định lý 3.3.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) T : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) Tập A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} đóng; v) Với (y, x) ∈ K × D cố định, B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với t ∈ S(x, y)} tập khác rỗng, lồi; vi) P0 : D × K → 2D ánh xạ có nghịch ảnh mở với (x, y) ∈ P0 (x, y) × T (x, y) ta có ∈ F1 (y, x, x, t), với t ∈ S(x, y); vii) Q0 : D × D × K → 2K , F2 : K × K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị thỏa mãn với t ∈ D cố định, C = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈ / F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (x, t, y) đó} tập mở D; viii) ∈ F2 (y, v, x, x), với (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y), v ∈ Q0 (x, x, y) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y); 2) ∈ F1 (y, x, x, t), với t ∈ S(x, y); 3) ∈ F2 (y, v, x, t), với t ∈ P0 (x, y), v ∈ Q0 (x, t, y) Nhận xét 3.3.1 Từ Định lý 3.3.2, ta thấy nghiệm toán (GEP )II tổng quát xác định tập nghiệm tốn (GEP )I Trong trường hợp vơ hướng, xét ánh xạ φ1 : K ×D×D×D → R, φ2 : K ×K ×D×D → R Ta có hệ quả: Hệ 3.3.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; 23 ii) S : D × K → 2D ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) T : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) Tập A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|φ1 (y, x, z, t) ≤ 0} đóng; v) Với (y, x) ∈ K × D cố định, B = {z ∈ S(x, y)|φ1 (y, x, z, t) ≤ 0, với t ∈ T (x, t)} tập khác rỗng, đóng; vi) P0 : D × K → 2D ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở với (x, y) ∈ P0 (x, y) × T (x, y), φ1 (y, x, x, t) ≥ 0, với t ∈ S(x, y); vii) Q0 : D × D × K → 2K , φ2 : K × K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị thỏa mãn với t ∈ D cố định, C = {(x, y) ∈ D × K|φ2 (y, v, x, t) < 0, với v ∈ Q0 (x, t, y) đó} tập mở D; viii) φ2 (y, v, x, x) ≥ 0, với (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y), v ∈ Q0 (x, x, y) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y); 2) φ1 (y, x, x, t) ≤ 0, với t ∈ S(x, y); 3) φ2 (y, v, x, t) ≥ 0, với t ∈ P0 (x, y) v ∈ Q0 (x, t, y) Chú ý sau cho ta thấy rõ mở rộng kết Ky Fan kết Minty Hệ 3.3.3 Chú ý 3.3.1 1) Trong trường hợp φ1 ánh xạ l.s.c với điểm (y, x, t) ∈ K × D × D cố định, φ1 (y, x, , t) : D → R hàm tựa lồi điều kiện v) vi) thỏa mãn 2) Trong trường hợp Q0 : D × D × K → 2K ánh xạ l.s.c, φ2 : K × K × D × D → 2Y hàm thỏa mãn với t ∈ D cố định, hàm φ2 (., , , t) : K × D × D → R u.s.c, điều kiện vii) thỏa mãn 24 Kết luận chung kiến nghị A Kết luận chung Nội dung luận án nghiên cứu toán tựa cân dạng Blum - Oettli tổng quát Ta thu kết sau: 1) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát với hàm mục tiêu tổng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng 2) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát với hàm mục tiêu tích Đề ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng 3) Ứng dụng kết thu 1) 2) để xét tồn nghiệm cho toán liên quan như: Bài toán tựa cân suy rộng loại I, Bài toán tựa cân suy rộng loại II, Bài toán tựa cân suy rộng loại hỗn hợp B Một số hướng phát triển luận án 1) Nghiên cứu ứng dụng toán tựa cân tổng quát lý thuyết điều khiển, kinh tế học, 2) Nghiên cứu định lý điểm bất động cho toán liên quan tới ánh xạ liên tục tách biến 3) Nghiên cứu toán tựa cân tổng quát liên quan tới tương giao ánh xạ đa trị ... hướng; 2.1 Bài tốn tựa cân dạng Blum - Oettli tổng quát Trong mục này, ta đưa số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân dạng Blum - Oettli tổng quát Đây toán tựa cân tổng quát hàm mục tiêu tổng hai... Bài toán tựa cân suy rộng loại I, Bài toán tựa cân suy rộng loại II, Bài toán tựa cân suy rộng loại hỗn hợp B Một số hướng phát triển luận án 1) Nghiên cứu ứng dụng toán tựa cân tổng quát lý thuyết... Q toán (8) trở dạng toán (7) Bài toán tựa cân tổng quát (8) bao hàm nhiều lớp toán tối ưu mà ta biết toán tựa bao hàm thức biến phân, toán tựa quan hệ biến phân, Điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán