Bài toán tựa cân bằng dạng blum – oettli tổng quát và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————————— NGUYỄN QUỲNH HOA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỲNH HOA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn THÁI NGUYÊN - 2018 i Lời cam đoan Luận án hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tôi xin cam đoan cơng trình tơi Các kết đưa vào luận án đồng ý đồng tác giả GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn PGS.TS Nguyễn Bá Minh Các kết luận án chưa công bố công trình khác Tác giả Nguyễn Quỳnh Hoa ii Lời cảm ơn Luận án thực Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy Thầy tận tình dìu dắt, hướng dẫn ln động viên, khích lệ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy, tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới Ban giám hiệu, Khoa Khoa học Bộ mơn Tốn trường Đại học Kinh tế Quản trị kinh doanh - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi để tơi học tập hồn thành luận án Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp anh chị em nghiên cứu sinh ln động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu làm luận án Tác giả Nguyễn Quỳnh Hoa iii Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt vi Mở đầu Chương Kiến thức 1.1 Không gian thường dùng 1.1.1 Không gian tôpô 1.1.2 Khơng gian tuyến tính 11 1.1.3 Không gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 12 1.2 Nón ánh xạ đa trị 14 1.2.1 Các khái niệm nón 14 1.2.2 Ánh xạ đa trị tính chất 16 1.2.3 Một số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị liên tục 27 Chương Bài toán tựa cân tổng quát 31 2.1 Bài toán tựa cân dạng Blum - Oettli tổng quát 33 2.2 Bài toán với hàm mục tiêu tích Đề hai ánh xạ 52 Chương Các toán liên quan 3.1 Bài toán tựa cân suy rộng loại I 72 72 3.1.1 Đặt toán 72 3.1.2 Định lý tồn nghiệm 77 3.2 Bài toán tựa cân suy rộng loại II 81 3.2.1 Đặt toán 81 3.2.2 Định lý tồn nghiệm 84 iv 3.3 Bài toán tựa cân suy rộng hỗn hợp 91 3.3.1 Đặt toán 91 3.3.2 Định lý tồn nghiệm 94 Kết luận chung kiến nghị 103 Tài liệu tham khảo 105 v vi Danh mục ký hiệu chữ viết tắt R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm 2X tập tập tập hợp X X∗ không gian đối ngẫu tơpơ khơng gian tơpơ tuyến tính X p, x giá trị p ∈ X ∗ x ∈ X F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập Xvào tập Y Gr(F ) đồ thị hàm F dom(F ) miền xác định hàm F F −1 hàm ngược hàm F u.s.c nửa liên tục l.s.c nửa liên tục ∀x với x ∃x tồn x ∅ tập rỗng {xα } dãy suy rộng coA bao lồi tập hợp A coneA bao nón lồi tập hợp A clA, A¯ bao đóng tơpơ tập hợp A intA phần tôpô tập hợp A vii A⊆B Alà tập B A∪B hợp hai tập hợp Avà B A∩B giao hai tập hợp Avà B B tích Đề hai tập hợp Avà B A\B hiệu hai tập hợp Avà B Mở đầu Khi nghiên cứu tượng tự nhiên xã hội, ngành khoa học, thường gặp câu hỏi: Tồn hay không tồn tại? Tồn nào? Theo thuật ngữ toán học, câu hỏi thứ làm ta liên hệ với tồn hay không tồn nghiệm phương trình, tốn phát biểu sau: Tìm x ∈ D cho F (x) = 0, (1) đó, D tập khác rỗng không gian X F ánh xạ từ D vào khơng gian tuyến tính Y Bài tốn gọi phương trình tốn tử Câu hỏi thứ hai, tốn học, ta liên hệ với tốn: Tìm x ∈ D cho f (x) ≤ f (x), với x ∈ D, (2) với D tập không gian X f hàm số từ tập D vào không gian số thực R Bài tốn gọi toán tối ưu Bài toán (1) (2) đóng vai trò quan trọng việc ứng dụng toán học vào giải vấn đề đặt thực tiễn sống Các nhà toán học xây dựng lý thuyết để giải hai toán (1) (2) Lý thuyết để giải toán (1) gọi lý thuyết phương trình tốn tử Lý thuyết để giải toán (2) gọi lý thuyết tối ưu Hai tốn đóng vai trò trọng tâm hai lý thuyết Lý thuyết phương trình tốn tử lý thuyết tối ưu có mối liên hệ qua lại, tương tác lẫn Trong nhiều trường hợp, tốn (1) đưa tốn (2) ngược lại Ví dụ: Khi X khơng gian Hilbert, f hàm lồi có đạo hàm f , toán (2) 97 b) ψ(y, v, x, x) ≥ 0, với y, v ∈ K, x ∈ D Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y) ψ(y, v, x, t) ≥ 0, với (t, v) ∈ S(x, y) × T (x, y) Chứng minh Ta lấy P0 = P , ánh xạ Q0 : K × D × D → 2K xác định Q0 (y, x, t) = Q(x, y) ánh xạ F2 : K ×K ×D×D → 2R xác định F2 (y, v, x, t) = ψ(y, v, x, t) − R+ Ta thấy, với t ∈ D tùy ý, tập A1 = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈ / F (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (y, x, t) đó} = {(x, y) ∈ D × K|ψ(y, v, x, t) < 0, với v ∈ Q0 (y, x, t) đó} tập mở D × K Thật vậy, (D × K)\A1 = {(x, y) ∈ D × K|ψ(y, v, x, t) ≥ 0, với v ∈ Q(x, y)} Cho dãy (xα , yα ) ⊂ (D × K)\A1 , (xα , yα ) → (x, y) Ta cần chứng minh (x, y) ∈ (D × K)\A1 Lấy v ∈ Q(x, y) tùy ý Vì Q ánh xạ l.s.c, nên tồn vα ∈ Q(xα , yα ), vα → v Mặt khác, (xα , yα ) ∈ (D × K)\A1 nên ψ(yα , vα , xα , t) ≥ Do đó, (x, y) ∈ (D × K)\A1 , tức (D × K)\A1 tập đóng Suy A1 tập mở Khi đó, áp dụng Định lý 3.3.1, ta có điều phải chứng minh Áp dụng Hệ 2.1.8, ta đưa điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân suy rộng hỗn hợp tổng quát Kết tổng quát hóa Định lý 3.1 [24] Định lý 3.3.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) T : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) Tập A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} đóng; 98 v) Với (y, x) ∈ K × D cố định, B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với t ∈ S(x, y)} tập khác rỗng, lồi; vi) P0 : D × K → 2D ánh xạ có nghịch ảnh mở với (x, y) ∈ P0 (x, y) × T (x, y) ta có ∈ F1 (y, x, x, t), với t ∈ S(x, y); vii) Q0 : D × D × K → 2K , F2 : K × K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị thỏa mãn với t ∈ D cố định, C = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈ / F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (x, t, y) đó} tập mở D; viii) ∈ F2 (y, v, x, x), với (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y), v ∈ Q0 (x, x, y) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) x ∈ S(x, y); 2) y ∈ T (x, y); 3) ∈ F1 (y, x, x, t), với t ∈ S(x, y); 4) ∈ F2 (y, v, x, t), với t ∈ P0 (x, y), v ∈ Q0 (x, t, y) Chứng minh Với (x, y) ∈ D × K, ta định nghĩa ánh xạ H, G : D × K → 2D : H(x, y) = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, z, x, t), với t ∈ S(x, y)}, G(x, y) = {t ∈ P0 (x, y)|0 ∈ / F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (x, t, y) đó} Áp dụng Bổ đề 3.1.1 Bổ đề 3.2.1, suy H ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng G ánh xạ l.s.c tập D × K Ta thấy, tồn (x, y) ∈ H(x, y) × T (x, y) cho G(x, y) ∩ P0 (x, y) = ∅ 99 1) x ∈ S(x, y); 2) y ∈ T (x, y); 3) ∈ F1 (y, x, x, t), với t ∈ S(x, y); 4) ∈ F2 (y, v, x, t), với t ∈ P0 (x, y), v ∈ Q0 (x, t, y) định lý chứng minh Do đó, ta cần tồn điểm (x, y) Thật vậy, ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử với (x, y) ∈ H(x, y) × T (x, y), G(x, y) ∩ P0 (x, y) = ∅ Ta định nghĩa ánh xạ P : D × K → 2D×K : P (x, y) =   (G(x, y) ∩ P0 (x, y)) × {y}, x ∈ H(x, y);  P0 (x, y) × {y}, x ∈ H(x, y) Dễ thấy P thỏa mãn điều kiện Hệ 2.1.8 Áp dụng kết này, suy tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) x ∈ P (x, y) Nếu x ∈ H(x, y), / F2 (y, v, x, x) với v ∈ Q0 (x, x, y) Suy x ∈ G(x, y) ∩ P0 (x, y) ∈ mâu thuẫn với điều kiện viii) Nếu x ∈ / H(x, y), (x, y) ∈ P (x, y) = P0 (x, y) × {y} theo điều kiện vi) ta có x ∈ H(x, y) Suy mâu thuẫn với giả thiết Vậy, định lý chứng minh Nhận xét 3.3.1 Từ Định lý 3.3.2, ta thấy nghiệm toán (GEP )II tổng quát xác định tập nghiệm tốn (GEP )I Trong trường hợp vơ hướng, xét ánh xạ φ1 : K × D × D × D → R, φ2 : K × K × D × D → R Ta có hệ quả: Hệ 3.3.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) T : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; 100 iv) Tập A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|φ1 (y, x, z, t) ≤ 0} đóng; v) Với (y, x) ∈ K × D cố định, B = {z ∈ S(x, y)|φ1 (y, x, z, t) ≤ 0, với t ∈ T (x, t)} tập khác rỗng, đóng; vi) P0 : D × K → 2D ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở với (x, y) ∈ P0 (x, y) × T (x, y), φ1 (y, x, x, t) ≥ 0, với t ∈ S(x, y); vii) Q0 : D × D × K → 2K , φ2 : K × K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị thỏa mãn với t ∈ D cố định, C = {(x, y) ∈ D × K|φ2 (y, v, x, t) < 0, với v ∈ Q0 (x, t, y) đó} tập mở D; viii) φ2 (y, v, x, x) ≥ 0, với (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y), v ∈ Q0 (x, x, y) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) x ∈ S(x, y); 2) y ∈ T (x, y); 3) φ1 (y, x, x, t) ≤ 0, với t ∈ S(x, y); 4) φ2 (y, v, x, t) ≥ 0, với t ∈ P0 (x, y) v ∈ Q0 (x, t, y) Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ F1 : K × D × D × D → 2R F2 : K × K × D × D → 2R : F1 (y, x, z, t) = φ1 (y, x, z, t) + R+ ; F2 (y, v, x, t) = φ2 (y, v, x, t) − R+ Ta thấy tập A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} 101 = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|φ1 (y, x, z, t) ≤ 0} tập đóng tập B = {z ∈ P (x, y)|0 ∈ φ1 (y, x, z, t) ≤ 0, với t ∈ Q(x, y)} = {z ∈ P (x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với t ∈ Q(x, y)} tập khác rỗng, lồi Ta thấy, với (x, y) ∈ P0 (x, y) × Q(x, y), ∈ F1 (y, x, x, t), với t ∈ P (x, y) với (x, y) ∈ P0 (x, y) × Q(x, y) có ψ1 (y, x, x, t) ≤ 0, với t ∈ P (x, y) Hơn nữa, tập C = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈ / F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (y, x, t) đó} = {(x, y) ∈ D × K|φ2 (y, v, x, t) < 0, với v ∈ Q(x, y) đó} tập mở D × K φ2 (y, v, x, x) ≥ 0, với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), v ∈ Q0 (x, x, y) Từ đó, suy ∈ F2 (y, v, x, x), với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), v ∈ Q0 (x, x, y) Vậy, theo Định lý 3.3.2, ta có điều phải chứng minh Chú ý sau cho ta thấy rõ mở rộng kết Ky Fan [27] kết Minty [47] Hệ 3.3.3 Chú ý 3.3.1 1) Trong trường hợp φ1 ánh xạ l.s.c với điểm (y, x, t) ∈ K × D × D cố định, φ1 (y, x, , t) : D → R hàm tựa lồi điều kiện v) vi) thỏa mãn 2) Trong trường hợp Q0 : D×D×K → 2K ánh xạ l.s.c, φ2 : K×K×D×D → 2Y hàm thỏa mãn với t ∈ D cố định, hàm φ2 (., , , t) : K × D × D → R u.s.c, điều kiện vii) thỏa mãn 102 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, ta sử dụng số kết chương (Hệ 2.1.1, Hệ 2.1.2, Hệ 2.1.5, Hệ 2.1.8, ) để xét tồn nghiệm toán tựa cân suy rộng loại I (Định lý 3.1.1, Định lý 3.1.2), toán tựa cân suy rộng loại II (Định lý 3.2.1, Hệ 3.2.1), toán tựa cân suy rộng loại II tổng quát (Định lý 3.2.2, Định lý 3.2.3) toán tựa cân suy rộng hỗn hợp tổng quát (Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.2) Các kết chương viết dựa sở báo [2], [3], [4] Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 103 Kết luận chung kiến nghị A Kết luận chung Nội dung luận án nghiên cứu toán tựa cân dạng Blum - Oettli tổng quát Ta thu kết sau: 1) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát với hàm mục tiêu tổng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng 2) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát với hàm mục tiêu tích Đề ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng 3) Ứng dụng kết thu 1) 2) để xét tồn nghiệm cho toán liên quan như: Bài toán tựa cân suy rộng loại I, Bài toán tựa cân suy rộng loại II, Bài toán tựa cân suy rộng loại hỗn hợp B Một số hướng phát triển luận án 1) Nghiên cứu ứng dụng toán tựa cân tổng quát lý thuyết điều khiển, kinh tế học, 2) Nghiên cứu định lý điểm bất động cho toán liên quan tới ánh xạ liên tục tách biến 3) Nghiên cứu toán tựa cân tổng quát liên quan tới tương giao ánh xạ đa trị 104 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Quỳnh Hoa (2013), "Những toán tựa cân hỗn hợp Pareto kiểu Blum - Oettli", Tạp chí Khoa học Công nghệ – ĐHTN, 106 (6), 119-224 [2] N X T and N Q Hoa (2016), "Quasi–equilibrium problems and fixed point theorems of l.s.c mappings", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 19 (2), 52 - 63 [3] N X Tan and N Q Hoa (2017), "Quasi–equilibrium problems and fixed point theorems of the product mapping of lower and upper semicontinuous mappings", Journal of Advances in Applied Mathematics, (2), 89 - 100 [4] N X Tan, N Q Hoa, and N B Minh (2018), "Quasi–equilibrium problems and fixed point theorems of the sum of l.s.c and u.s.c mappings", Minimax Theory and its Applications, (1), 57 - 72 Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: (1) Hội thảo Tối ưu Tính tốn Khoa học lần thứ 15, 20-22/4/2017, Ba Vì, Hà Nội (2) Hội nghị Toán quốc tế “New trends in Optimizations and variational analysis for applications”, 7-10/12/2016, Đại học Quy Nhơn (3) Semina Bộ mơn Giải tích - Khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên năm 2013, 2014, 2015, 2016, 2017 (4) Semina Phòng Giải tích - Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam năm 2015, 2016, 2017 105 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), Một số vấn dề lý thuyết tối ưu đa trị, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Đơng n (2007), Giải tích đa trị, Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghệ Tiếng Pháp [5] Berge C (1959), Espaces topologiques fonctions multivoques, Dunod, Paris Tiếng Anh [6] Lam Quoc Anh, Phan Quoc Khanh, Dinh Ngoc Quy (2014), "About Semicontinuity of Set-Valued Maps and Stability of Quasivariational Inclusions", Set-Valued Var Anal, 22, 533 - 555 [7] Ansari, Q H., Oettli, W and Schlager, D (1997), "A Generalization of Vectorial Equilibria", Mathematical Methods of Operation Research, 46, 147 - 152 106 [8] Nguyen Thi Quynh Anh and Nguyen Xuan Tan (2013), "On the existence of solutions to mixed Pareto Quasivariational inclusion problems", Advances in Nonlinear variational Inequalities, Volume 16, Number 2, - 22 [9] Aubin, J P (1979), Mathematical Methods of Game and Economic Theory, North-Holland, Amsterdam [10] Aubin, J P ,Cellina, A (1994), Differential Inclusion, Springer Verlag, Berlin, Gemany [11] Balaij, M and Dinh The Luc (2010), "On Mixed variational relation problems", Computers and Mathematic with Applications, 60 (9), 2712 - 2722 [12] C D Aliprantis and K C Border (2006), Infinite Dimensional Analysis Third Edition, Springer Berlin Heidelberg, New York [13] H Ben - El - Mechaiekh (1992), "Fixed points for compact set-valued maps", Q & A in General Topology, 10, 153 -156 [14] Blum, E and Oettli, W (1993), "From Optimization and Variational inequalities to equilibrium problems", The Math Student, 64, - 23 [15] L E J Brouwer (1912), "Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten", Math Ann, 71, 97 - 115 [16] F E Browder (1968), "The fixed point theory of multi-valued mappings in topological vector spaces", Math Ann, 177, 283 - 301 [17] Chan, D and Pang, J S (1982), "The generalized quasi-variational inequality problem", Math Operations Research, 7, 211 - 222 [18] S Y Chang (1990), "On the Nash equilibrium", Soochow J Math., 16, 241 248 [19] M P Chen, L J Lin and S Park (2003), "Remarks on generalized quasiequilibrium problem", Nonlinear Analysis, 52, 433 - 444 107 [20] X P Ding, W K Kim and K K Tan (1992), "A selection theorem and its applications", Bull Austra Math Soc, 46, 205 - 212 [21] Ding, X P and Park, J Y (2004), "Generalized Vector Equilibrium Problems in Generalized Convex Space", Fournal of Optimization Theory and Applications, 120, 327 - 353 [22] T T T Duong and N X Tan (2010), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of typt I and Related Problems", Ad In Nonlinear Variational Inequalities, 13, 29 - 47 [23] T T T Duong and N X Tan (2011), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of typt II and Related Problems", Acta Math Vietnamica, 36, 231 - 248 [24] Truong Thi Thuy Duong (2013), "Mixed generalized quasi-equilibrium problems", J Global Optim, 56 (2), 647 - 667 [25] K Fan (1952), "Fixed-point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces", Proc Nat Acad Sci U S A, Vol 38, 121 - 126 [26] K Fan (1961), "A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem", Math Ann 142, 305 - 310 [27] K Fan (1972), "A minimax inequality and application", Inequalities III (O Shisha (Ed)), Academic Press, New - York [28] Ferro, F (1989), "A minimax theorem for vector-valued functions", J Optim Theory and Appl, 60, 19 - 31 [29] Fu, J.Y (2005), “Vector equilibrium problems Existence theorems and convexity of solution set”, J Glob Optim, 31, 109 – 119 [30] Gurraggio, A and Tan, N X (2002), "On General vector quasi-optimization Problems", Mathematical Methods of Operation Research, 55, 347 - 358 108 [31] Hadjisavvas, N (2003), "Continuity and maximallity properties of pseudomonotone operators", J Convex Anal, 10, 465 - 475 [32] N X Hai and P Q Khanh (2007), "The solution existence of general variational inclusion problems", Journal Optimization Theory Application, 135, 55 - 67 [33] Frank Heyde, Carola Schrage (2013), "Continuity concepts for set-valued functions and a fundamental duality formula for set-valued optimization", Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 397, issue 2, 772 - 784 [34] C D Horvath (1993), "Existension and selection theorems in topological spaces with a generalized convexity strusture", Ann Fac Sci Toulouse, 2, 253 - 269 [35] B T Hung, N X Tan (2011), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 14, No 1, - 16 [36] S Kakutani (1941), "A generalization of Browder’ fixed point Theorem", Duke Math Journal, 8, 457 - 459 [37] Kassay, G., Miholca, M (2015), “Existence results for vector equilibrium problems given by a sum of two functions”, J Glob Optim, 63, 195 - 211 [38] Kassay, G., Miholca, M., Vinh, N T (2016), “Vector quasi-equilibrium problems for the sum of two multivalued mappings”, J Optim Theory Appl, 169(2), 424 - 442 [39] Lai Jiu Lin and Sehie Park (1998), "On some generalized quasi-equilibrium problems", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 224, 167 - 181 [40] Lai Jui Lin and Nguyen Xuan Tan (2007), "On quasi-variational inclusion problems of type I and related problems", Journal Global Optimization, 39 (3), 393 - 407 [41] Lions, J L and Stampachia, G (1967), "Variational in equalities", Communications on Pure and Applied Mathematics, 20, 493 - 512 109 [42] D T Luc (1989), Theory of vector optimization, Lect Notes in Eco and Math System, Springer, Verlag, Berlin, Heidelberg, 319, 37 - 61 [43] Dinh The Luc and Nguyen Xuan Tan (2004), "Existence coditions in variational inclusions with constraints", Optimization, 53, 505 - 515 [44] D T Luc (2008), "An abstract problem in variational analysis", Journal Optimization Theory Application, 138, 65 - 76 [45] Nguyen Ba Minh and Nguyen Xuan Tan (2000), "Some sufficient coditions for the existence of equilibrium points concerning multivalued mappings", Vietnam Jour of Math, Vol 28, 295 - 310 [46] Nguyen Ba Minh and Nguyen Xuan Tan (2005), "On the existence of solution of quasi-variational inclusion problems of Stampachia type", Adv Nonlinear Var Inequal, 8, - 16 [47] George J Minty (1967), "On the generalization of direct method of the calculus of variations", Bulettin of American Mathematical Society, volume 73, 314 - 321 [48] George J Minty (1978), "On Variational Inequalities for Monotone Operators", Advances in Mathematics, 30, - [49] Oettli, W and Schlager, D (1998), "Existence of Equilibria for Monotone Multivalued Mappings", Mathematical Methods of Operations Research, 48, 219 228 [50] S Park (1999), "Continuos selection theorems in generalized convex spaces", Numer Funct Anal Optim, 25, 567 - 583 [51] S Park (2000), "Fixed point and quasi-equilibrium problems", Mathematical and Computer Modelling, 32, 1297 - 1304 [52] Jian Wen Peng and Dao Li Zhu (2006), "Generalized vector quasi-equilibrium problems with set-valued mapping", Journal of Inequalities and Applications, - 12 110 [53] Pham Huu Sach and Le Anh Tuan (2007), "Existence Results for Set-valued Vector Quasi equilibrium Problems", J Optim Theory and Appl, 133, 229 -240 [54] M H Shih and K K Tan (1985), "Generalized quasi-variational inequalities in locally convex topological vector spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 108, 333 - 343 [55] Schauder (1934), "Der Fixpunktsats in Funktionalraeuman", Studia Math, 2, 171 - 180 [56] M Sion (1958), "On general minimax theorems", Pacific J Math, 8, 171 - 176 [57] N X Tan (1985), "Quasi-variational inequalities in topological linear locally convex Hausdorff", Math Nachrichten, 122, 231 - 245 [58] Nguyen Xuan Tan and Phan Nhat Tinh (1998), "On the existence of equilibrium points of vector functions", Number Funct Anal and Opt, 19, 141 - 159 [59] N X Tan (2004), "On the existence of solutions of quasi-variational inclusion problems", Journal of Opt Theory and Appl, 123, 619 - 638 [60] Nguyen Xuan Tan and Nguyen Thi Quynh Anh (2011), "Generalized quasiequilibrium problems of type II and their applications", Viet Nam journal of mathematics, volume 39, - 25 [61] Le Anh Tuan and Pham Huu Sach (2004), "Existence of solution of generalized quasi-variational inequalities with set-valued maps", Acta Math Vietnam, 29, 309 - 316 [62] Le Anh Tuan and Pham Huu Sach (2009), "Generalizations of vector quasivariational inclusion problems with set-valued maps", Journal Global Optimization, 43 (1), 23 - 45 [63] W Rudin (1934), Principles of Methematical Analysis, Third Edition, McGraw - hill 111 [64] X Wu (1997), "A new fixed point theorem and its applications", Proc Amer Math Soc, 125, 1779 - 1783 [65] N C Yannelis and N D Prabhakar (1983), "Existence of maximal elements and equilibria in linear topological spaces", J Math Economics, 12, 233 - 245 [66] Z T Yu and L J Lin (2003), "Continuos selection and fixed point theorems", Nonlinear Anal, 52, 445 - 455 [67] Mikhail Z Zgurovsky, Valery S Mel’nik, Pavlo O Kasyanov (2010), Evolution Inclusion and Variation Inequalities for Earth Data Processing I, Springer Science & Business Media ... Chương Bài toán tựa cân tổng quát 31 2.1 Bài toán tựa cân dạng Blum - Oettli tổng quát 33 2.2 Bài toán với hàm mục tiêu tích Đề hai ánh xạ 52 Chương Các toán liên quan 3.1 Bài toán. .. Q toán (8) trở dạng toán (7) Bài toán tựa cân tổng quát (8) bao hàm nhiều lớp toán tối ưu mà ta biết toán tựa bao hàm thức biến phân, toán tựa quan hệ biến phân, Điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán. .. liên tục yếu vô hướng (2) Ứng dụng kết (1), nghiên cứu tồn nghiệm số toán liên quan: Bài toán tựa cân suy rộng loại I, Bài toán tựa cân suy rộng loại II Bài toán tựa cân suy rộng hỗn hợp Xuất