Bài toán tựa cân bằng dạng blum – oettli tổng quát và ứng dụng

I HC THI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM NGUYN QUÝNH HOA B€I TO•N TÜA C…N BŒNG D„NG BLUM OETTLI TÊNG QU•T V€ ÙNG DƯNG LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HC THI NGUYN - 2018 I HC THI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM NGUYN QUíNH HOA BI TON TĩA C…N BŒNG D„NG BLUM OETTLI TÊNG QU•T V€ ÙNG DƯNG Ng nh: ToĂn GiÊi tẵch M số: 9460102 LUN N TIN S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS.TSKH Nguyạn XuƠn TĐn THI NGUYN - 2018 i Lới cam oan Luên Ăn ữủc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS.TSKH Nguyạn XuƠn TĐn Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh cừa tổi CĂc kát quÊ ữa v o luên Ăn ãu ữủc sỹ ỗng ỵ cừa cĂc ỗng tĂc giÊ l GS.TSKH Nguyạn XuƠn TĐn v PGS.TS Nguyạn BĂ Minh CĂc kát quÊ cừa luên Ăn l mợi v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt ký cổng trẳnh n o khĂc TĂc giÊ Nguyạn Qnh Hoa ii Líi c£m ìn Luªn ¡n n y ữủc thỹc hiằn tÔi Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản v ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa GS.TSKH Nguyạn XuƠn TĐn TĂc giÊ xin ữủc b y tọ lỏng biát ỡn chƠn th nh v sƠu s-c nhĐt tợi ngữới thƯy cừa mẳnh ThƯy  tên tẳnh dẳu d-t, hữợng dăn v luổn ởng viản, khẵch lằ tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu TĂc giÊ cụng xin trƠn trồng cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Ôi hồc ThĂi Nguyản, Ban Chừ nhiằm Khoa ToĂn, cĂc thƯy, cĂc cổ tham gia giÊng dÔy  tÔo mồi iãu kiằn tốt nhĐt tổi hồc têp v nghiản cựu Bản cÔnh õ, tĂc giÊ xin ÷đc b y tä láng c£m ìn tỵi Ban gi¡m hi»u, Khoa Khoa håc cì b£n v Bë mỉn To¡n cừa trữớng Ôi hồc Kinh tá v QuÊn tr kinh doanh - Ôi hồc ThĂi Nguyản  luổn tÔo iãu ki»n thuªn lđi º tỉi câ thº håc tªp v ho n th nh luên Ăn cừa mẳnh Cuối cũng, tĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp v cĂc anh ch em nghiản cựu sinh  luổn ởng viản, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v l m luên Ăn TĂc giÊ Nguyạn Quýnh Hoa iii Mửc lửc Danh mửc kỵ hiằu v chỳ viát t-t M Ưu vi Chữỡng Kián thực cỡ bÊn 1.1 Khỉng gian th÷íng dòng 1.1.1 Khæng gian tæpæ 1.1.2 Khổng gian tuyán tẵnh 11 1.1.3 Khổng gian tổpổ tuyán tẵnh lỗi a ph÷ìng Hausdorff 12 1.2 Nõn v Ănh xÔ a tr 14 1.2.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n v· nân 14 1.2.2 nh xÔ a tr v cĂc tẵnh chĐt 16 1.2.3 Mởt số nh lỵ vã im bĐt ởng cừa Ănh xÔ a tr liản tửc 27 Chữỡng B i toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt 31 2.1 B i toĂn tỹa cƠn bơng dÔng Blum - Oettli tờng quĂt 33 2.2 B i toĂn vợi h m mửc tiảu l tẵch ã cĂc cừa hai Ănh xÔ 52 Ch÷ìng C¡c b i to¡n liản quan 3.1 B 72 i toĂn tỹa cƠn bơng suy rởng loÔi I 72 3.1.1 °t b i to¡n 72 3.1.2 ành lỵ tỗn tÔi nghiằm 77 3.2 B i toĂn tỹa cƠn bơng suy rởng loÔi II 81 3.2.1 °t b i to¡n 81 3.2.2 nh lỵ tỗn tÔi nghiằm 84 iv 3.3 B i to¡n tüa c¥n b¬ng suy rëng hđp 3.3.1 to¡n 3.3.2 nh lỵ tỗn tÔi nghiằm Kát luên chung v kián ngh T i li»u tham kh£o 91 °t b i 91 94 103 105 v vi Danh mửc kỵ hiằu v chỳ viát t-t tªp hđp c¡c sè thüc R R + tªp cĂc số thỹc khổng Ơm têp cĂc têp cừa têp hủp X 2X X khổng gian ối ngău tổpổ cừa khổng gian tổpổ tuyán tẵnh X hp; xi giĂ tr cừa p X tÔi x X F :X ! 2Y Gr(F ) dom(F ) F1 Ănh xÔ a tr tứ têp Xv o têp Y ỗ th cõa h m F mi·n x¡c ành cõa h m F h m ng÷đc cõa h m F u:s:c nûa liản tửc trản l:s:c nỷa liản tửc dữợi 8x vợi mồi x 9x tỗn tÔi x ; têp rộng fx g dÂy suy rởng coA coneA bao lỗi cừa têp hủp A bao nõn lỗi cừa têp hủp A bao õng tổpổ cừa têp hủp A clA; A intA phƯn tỉpỉ cõa tªp hđp A vii A B Al tªp cõa B A[B hđp cõa hai tªp hđp Av B A\B giao cõa hai tªp hđp Av B A B tẵch ã cĂc cừa hai têp hủp Av B AnB hi»u cõa hai tªp hđp Av B M Ưu Khi nghiản cựu cĂc hiằn tữủng tỹ nhiản v x hởi, cụng nhữ cĂc ng nh khoa hồc, thữớng gp nhỳng cƠu họi: Tỗn tÔi hay khổng tỗn tÔi? Tỗn tÔi nhữ thá n o? Theo thuêt ngỳ toĂn hồc, cƠu họi thự nhĐt l m ta liản hằ vợi sỹ tỗn tÔi hay khổng tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh, b i toĂn ÷đc ph¡t biºu nh÷ sau: T¼m x D cho F ( x ) = 0; (1) â, D l tªp kh¡c réng cõa khỉng gian X v F l Ănh xÔ i tứ D v o khổng gian tuyán tẵnh Y B i toĂn n y cỏn ữủc gồi l phữỡng trẳnh toĂn tỷ CƠu häi thù hai, to¡n håc, ta câ thº li¶n hằ vợi b i toĂn: Tẳm x D cho f( x ) f(x); vỵi måi x D; (2) vợi D l têp cừa khổng gian X v f l h m sè tø tªp D v o khæng gian c¡c sè thüc R B i to¡n n y cán ÷đc gåi l b i to¡n tèi ÷u B i to¡n (1) v (2) âng vai trá quan trång vi»c ùng döng to¡n håc v o giÊi quyát nhỳng vĐn ã t thỹc tiạn cuởc sống CĂc nh toĂn hồc  xƠy dỹng nhỳng lỵ thuyát giÊi hai b i toĂn (1) v (2) Lỵ thuyát giÊi b i toĂn (1) ữủc gồi l lỵ thuyát phữỡng trẳnh toĂn tỷ Lỵ thuyát giÊi b i toĂn (2) ữủc gồi l lỵ thuyát tối ữu Hai b i toĂn trản õng vai trỏ trồng tƠm cừa hai lỵ thuyát n y Lỵ thuyát phữỡng trẳnh toĂn tỷ v lỵ thuyát tối ữu cõ mối liản hằ qua lÔi, tữỡng tĂc lăn Trong nhi·u tr÷íng hđp, b i to¡n (1) câ thº ữa vã b i toĂn (2) v ngữủc lÔi Vẵ dư: Khi X l khỉng gian Hilbert, f l h m lỗi v cõ Ôo h m f , b i to¡n (2) 97 b) (y; v; x; x) 0, vỵi måi y; v K; x D Khi õ, tỗn tÔi (x; y) D K cho (x; y) S(x; y) T (x; y) v 0; vỵi måi (t; v) S(x; y) T (x; y): (y; v; x; t) Chùng minh Ta l§y P0 = P , Ănh xÔ Q0 : K D D!2 K x¡c ành bði R Q0(y; x; t) = Q(x; y) v Ănh xÔ F : K K D D ! x¡c ành bði F2(y; v; x; t) = (y; v; x; t) R+ Ta thĐy, vợi t D tũy ỵ, têp A1 = f(x; y) D = f(x; y) D l tªp mð D (D Kj0 2= F (y; v; x; t); vỵi v Q0(y; x; t) n o Kj (y; v; x; t) < 0; vỵi v Q0(y; x; t) n o âg âg K Thªt vªy, K)nA1 = f(x; y) D Kj (y; v; x; t) 0; vỵi måi v Q(x; y)g Cho d¢y (x ; y ) (D K)nA 1; (x ; y ) ! (x; y) Ta c¦n chùng minh (x; y) (D K)nA LĐy v Q(x; y) tũy ỵ Vẳ Q l Ănh xÔ l.s.c, nản tỗn tÔi v Q(x ; y ); v ! v M°t kh¡c, v¼ (x ; y ) (D K)nA1 n¶n (y ; v ; x ; t) Do â, (x; y) (D K)nA1, tùc l (D K)nA1 l tªp âng Suy A1 l tªp mð Khi â, ¡p dưng ành lỵ 3.3.1, ta cõ iãu phÊi chựng minh p dửng H» qu£ 2.1.8, ta ÷a i·u ki»n õ cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn tỹa cƠn bơng suy rởng hộn hủp tờng quĂt Kát quÊ n y l sỹ tờng quĂt hõa cừa nh lỵ 3.1 [24] nh lỵ 3.3.2 GiÊ sỷ cĂc iãu kiằn sau ữủc thọa mÂn: i) D; K l cĂc têp khĂc rộng, lỗi, compact; D ii) S : D K ! l Ănh xÔ liản tửc vợi giĂ tr khĂc rộng, lỗi, õng; K iii) T : D K ! l Ănh xÔ u.s.c vợi giĂ tr khĂc rộng, lỗi, õng; iv) Têp A = f(y; x; z; t) K D D Dj0 F1(y; x; z; t)g l âng; 98 v) Vỵi méi (y; x) K D cè ành, B = fz S(x; y)j0 F1(y; x; z; t); vỵi måi t S(x; y)g l têp khĂc rộng, lỗi; D vi) P0 : D K ! l Ănh xÔ cõ nghch Ênh mð v vỵi méi (x; y) P0(x; y) T (x; y) ta câ F1(y; x; x; t); vỵi måi t S(x; y); K Y vii) Q0 : D D K ! ; F2 : K K D D ! l cĂc Ănh xÔ a tr thọa mÂn vợi mội t D cố nh, C = f(x; y) D Kj0 2= F2(y; v; x; t); vỵi v Q0(x; t; y) n o âg l tªp mð D; viii) F2(y; v; x; x), vỵi måi (x; y) S(x; y) T (x; y); v Q0(x; x; y) Khi â, tỗn tÔi (x; y) D K cho 1) x S(x; y); 2) y T (x; y); 3) F1(y; x; x; t), vỵi måi t S(x; y); 4) F2(y; v; x; t), vỵi måi t P0(x; y); v Q0(x; t; y) Chùng minh Vỵi (x; y) D K, ta D nh nghắa cĂc Ănh xÔ H; G : D K ! : H(x; y) = fz S(x; y)j0 F1(y; z; x; t); vỵi måi t S(x; y)g; G(x; y) = ft P0(x; y)j0 2= F2(y; v; x; t); vỵi v Q0(x; t; y) n o âg: •p dưng Bê · 3.1.1 v Bê ã 3.2.1, suy H l Ănh xÔ u.s.c vợi giĂ tr khĂc rộng, lỗi, õng v G l Ănh xÔ l.s.c trản têp D K Ta thĐy, náu tỗn tÔi (x; y) H(x; y) T (x; y) cho G(x; y) \ P0(x; y) = ; th¼ 99 1) x S(x; y); 2) y T (x; y); 3) F1(y; x; x; t), vỵi måi t S(x; y); 4) F2(y; v; x; t), vỵi måi t P0(x; y), v Q0(x; t; y) v õ nh lỵ ữủc chựng minh Do õ, ta cƯn ch sỹ tỗn tÔi cừa im (x; y) nhữ vêy Thêt vêy, ta chựng minh bơng phữỡng phĂp phÊn chựng GiÊ sỷ vợi mồi (x; y) H(x; y) T (x; y), G(x; y) \ P0(x; y) 6= ; Ta nh nghắa Ănh xÔ P : D K ! P (x; y) = 8(G(x; y) \ P0(x; y)) fyg; < : n¸u x H(x; y); >P (x; y) y ; : > D K náu x H(x; y): fg Dạ thĐy P thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa H» qu£ 2.1.8 p dửng kát quÊ n y, suy tỗn tÔi (x; y) D K cho x S(x; y); y T (x; y) v x P (x; y) Náu x H(x; y), thẳ x G(x; y) \ P0(x; y) v â 2= F2(y; v; x; x) vỵi v Q0(x; x; y) n o õ Suy mƠu thuăn vợi iãu kiằn viii) N¸u x 2= H( x; y), â (x; y) P (x; y) = P0(x; y) fyg v ta câ x H( x; y) Suy m¥u thuăn vợi giÊ thiát Vêy, nh lỵ ữủc chựng minh theo iãu kiằn vi) Nhên xt 3.3.1 Tứ nh lỵ 3.3.2, ta th§y nghi»m cõa b i to¡n (GEP ) II tờng quĂt ữủc xĂc nh trản têp nghiằm cừa b i to¡n (GEP )I Trong tr÷íng hđp vỉ hữợng, xt cĂc Ănh xÔ K K D 1: K D D ! R Ta câ h» qu£: H» qu£ 3.3.2 GiÊ sỷ cĂc iãu kiằn sau ữủc thọa mÂn: i) D; K l cĂc têp khĂc rộng, lỗi, compact; D ii) S : D K ! l ¡nh xÔ liản tửc vợi giĂ tr khĂc rộng, lỗi, õng; K iii) T : D K ! l ¡nh xÔ u.s.c vợi giĂ tr khĂc rộng, lỗi, õng; D D ! R; : 100 iv) Tªp A = f(y; x; z; t) K D D Dj 1(y; x; z; t) 0g l âng; v) Vỵi méi (y; x) K D cè ành, B = fz S(x; y)j 1(y; x; z; t) 0; vỵi måi t T (x; t)g l tªp kh¡c réng, âng; vi) P0 : D K!2 P0(x; y) vii) Q0 : D D l T (x; y), D Ănh xÔ 1(y; K K!2 ; a trà câ nghàch £nh mð v vỵi méi (x; y) x; x; t) 0, vỵi måi t S(x; y); :K K D D!2 Y l cĂc Ănh xÔ a tr thọa mÂn vợi mội t D cè ành, C = f(x; y) D Kj 2(y; v; x; t) < 0; vỵi v Q0(x; t; y) n o âg l tªp mð D; viii) 2(y; v; x; x) 0, vỵi måi (x; y) S(x; y) T (x; y); v Q0(x; x; y) Khi õ, tỗn tÔi (x; y) D K cho 1) x S(x; y); 2) y T (x; y); 3) 1(y; x; x; t) 0, vỵi måi t S(x; y); 4) 2(y; 0, vỵi måi t P0(x; y) v v; x; t) Chùng minh Ta v Q0(x; t; y) ành ngh¾a cĂc Ănh xÔ F1 : K D D R K K D D!2 : F1(y; x; z; t) = 1(y; x; z; t) + R+; F2(y; v; x; t) = 2(y; v; x; t) R+: Ta thĐy têp A = f(y; x; z; t) K D D R D!2 v Dj0 F1(y; x; z; t)g F2 : 101 = f(y; x; z; t) K D D Dj 1(y; x; z; t) 0g l tªp âng v tªp B = fz P (x; y)j0 1(y; x; z; t) 0; vỵi måi t Q(x; y)g = fz P (x; y)j0 F1(y; x; z; t); vợi mồi t Q(x; y)g l têp khĂc rộng, lỗi Ta thĐy, vợi (x; y) P0(x; y) Q(x; y), F1(y; x; x; t), vỵi måi t P (x; y) v ch¿ vỵi (x; y) P0(x; y) Q(x; y) th¼ câ 1(y; x; x; t) 0, vỵi måi t P (x; y) Hìn núa, tªp C = f(x; y) D Kj0 2= F2(y; v; x; t); vỵi v Q0(y; x; t) n o = f(x; y) D l tªp mð D K v Kj 2(y; v; x; t) < 0; vỵi v Q(x; y) n o 2(y; âg âg v; x; x) 0, vỵi måi (x; y) P (x; y) Q(x; y); v Q0(x; x; y) Tø â, suy F2(y; v; x; x), vỵi måi (x; y) P (x; y) Q(x; y); v Q0(x; x; y) Vêy, theo nh lỵ 3.3.2, ta cõ iãu phÊi chựng minh Chú ỵ sau cho ta thĐy ró hỡn sỹ m rởng kát quÊ cõa Ky Fan [27] v k¸t qu£ cõa Minty [47] cừa Hằ quÊ 3.3.3 Chú ỵ 3.3.1 1) Trong tr÷íng hđp K D D cè ành, 1(y; x; :; t) l Ănh xÔ l.s.c v vợi mội iºm (y; x; t) : D ! R l h m tỹa lỗi thẳ iãu kiằn v) v vi) ÷đc thäa m¢n K 2) Trong tr÷íng hđp Q0 : D D K ! l Ănh xÔ l.s.c, v l h m thọa mÂn vợi mội t D cố u.s.c, thẳiãu kiằn vii) nh, h m ữủc thọa m¢n 2(:; 2: K K D D!2 :; :; t) : K D Y D!Rl 102 K˜T LUŠN CH×ÌNG Trong chữỡng n y, ta sỷ dửng mởt số kát qu£ cõa ch÷ìng (H» qu£ 2.1.1, H» qu£ 2.1.2, H» qu£ 2.1.5, H» qu£ 2.1.8, ) º x²t sü tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn tỹa cƠn bơng suy rởng loÔi I ( nh lỵ 3.1.1, nh lỵ 3.1.2), b i toĂn tỹa cƠn bơng suy rởng loÔi II ( nh lỵ 3.2.1, Hằ quÊ 3.2.1), b i toĂn tỹa cƠn bơng suy rởng loÔi II tờng quĂt ( nh lỵ 3.2.2, nh lỵ 3.2.3) v b i toĂn tỹa cƠn bơng suy rởng hộn hủp tờng quĂt ( nh lỵ 3.3.1, nh lỵ 3.3.2) CĂc kát quÊ chẵnh cừa chữỡng ữủc viát dỹa trản cỡ s l c¡c b i b¡o [2], [3], [4] Danh mửc cĂc cổng trẳnh cừa tĂc giÊ liản quan án luên Ăn 103 Kát luên chung v kián ngh A Kát luên chung Nởi dung chẵnh cừa luên Ăn l nghiản cựu vã b i toĂn tỹa cƠn bơng dÔng Blum Oettli tờng quĂt Ta  thu ữủc nhỳng kát quÊ chẵnh sau: 1) Thiát lêp iãu kiằn cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt vợi h m mửc tiảu l tờng cừa Ănh xÔ nỷa liản tửc dữợi yáu vổ hữợng v Ănh xÔ nỷa liản tửc trản yáu vổ hữợng 2) Thiát lêp iãu kiằn cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt vợi h m mửc tiảu l tẵch ã cĂc cừa Ănh xÔ nỷa liản tửc dữợi yáu vổ hữợng v Ănh xÔ nỷa liản tửc trản yáu vổ hữợng 3) ng dửng cĂc kát quÊ thu ữủc 1) v 2) xt sỹ tỗn tÔi nghiằm cho cĂc b i toĂn liản quan nhữ: B i toĂn tỹa cƠn bơng suy rởng loÔi I, B i toĂn tỹa cƠn bơng suy rởng loÔi II, B i toĂn tỹa cƠn bơng suy rởng loÔi hộn hủp B Mởt số hữợng phĂt trin cừa luên Ăn 1) Nghiản cựu ựng dửng cừa b i toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt lỵ thuyát iãu khin, kinh tá hồc, 2) Nghiản cựu nh lỵ im bĐt ởng cho b i toĂn liản quan tợi Ănh xÔ liản tửc tĂch bián 3) Nghiản cựu b i toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt liản quan tợi sỹ tữỡng giao cừa cĂc Ănh xÔ a tr 104 DANH MệC CC CặNG TRœNH CÕA T•C GIƒ LI–N QUAN ˜N LUŠN •N [1] Nguyạn XuƠn TĐn, Nguyạn Quýnh Hoa (2013), "Nhỳng b i toĂn tỹa cƠn bơng hộn hủp Pareto kiu Blum - Oettli", TÔp chẵ Khoa hồc v Cổng nghằ HTN, 106 (6), 119-224 [2] N X T and N Q Hoa (2016), "Quasi equilibrium problems and fixed point theorems of l.s.c mappings", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 19 (2), 52 - 63 [3] N X Tan and N Q Hoa (2017), "Quasi equilibrium problems and fixed point theorems of the product mapping of lower and upper semicontinuous mappings", Journal of Advances in Applied Mathematics, (2), 89 - 100 [4] N X Tan, N Q Hoa, and N B Minh (2018), "Quasi equilibrium problems and fixed point theorems of the sum of l.s.c and u.s.c mappings", Minimax Theory and its Applications, (1), 57 - 72 CĂc kát quÊ cừa luên Ăn  ữủc bĂo cĂo v thÊo luên tÔi: (1) Hởi thÊo Tối ữu v Tẵnh toĂn Khoa hồc lƯn thù 15, 20-22/4/2017, Ba V¼, H Nëi (2) Hëi nghà To¡n quèc t¸ New trends in Optimizations and variational analysis for applications , 7-10/12/2016, Ôi hồc Quy Nhỡn (3) Semina cừa Bở mổn GiÊi tẵch - Khoa ToĂn - Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản cĂc n«m 2013, 2014, 2015, 2016, 2017 (4) Semina cõa Pháng GiÊi tẵch - Viằn ToĂn hồc, Viằn H n lƠm Khoa håc v Cỉng ngh» Vi»t Nam c¡c n«m 2015, 2016, 2017 105 T i li»u tham kh£o Ti¸ng Viằt [1] Nguyạn XuƠn TĐn, Nguyạn BĂ Minh (2006), Mởt số vĐn dã lỵ thuyát tối ữu a tr, NXB GiĂo Dửc [2] Nguyạn XuƠn TĐn, Nguyạn BĂ Minh (2007), Lỵ thuyát tối ữu khổng trỡn, NXB Ôi hồc Quèc gia H Nëi [3] Ho ng Töy (2005), H m thỹc v giÊi tẵch h m, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi [4] Nguyạn Yản (2007), GiÊi tẵch a tr, Nh xuĐt bÊn Khoa hồc tỹ nhiản v Cỉng ngh» Ti¸ng Ph¡p [5] Berge C (1959), Espaces topologiques fonctions multivoques, Dunod, Paris Ti¸ng Anh [6] Lam Quoc Anh, Phan Quoc Khanh, Dinh Ngoc Quy (2014), "About Semicontinuity of Set-Valued Maps and Stability of Quasivariational Inclusions", Set-Valued Var Anal, 22, 533 - 555 [7] Ansari, Q H., Oettli, W and Schlager, D (1997), "A Generalization of Vectorial Equilibria", Mathematical Methods of Operation Research, 46, 147 - 152 106 [8] Nguyen Thi Quynh Anh and Nguyen Xuan Tan (2013), "On the existence of solutions to mixed Pareto Quasivariational inclusion problems", Advances in Nonlinear variational Inequalities, Volume 16, Number 2, - 22 [9] Aubin, J P (1979), Mathematical Methods of Game and Economic Theory, North-Holland, Amsterdam [10] Aubin, J P ,Cellina, A (1994), Differential Inclusion, Springer Verlag, Berlin, Gemany [11] Balaij, M and Dinh The Luc (2010), "On Mixed variational relation problems", Computers and Mathematic with Applications, 60 (9), 2712 - 2722 [12] C D Aliprantis and K C Border (2006), Infinite Dimensional Analysis Third Edition, Springer Berlin Heidelberg, New York [13] H Ben - El - Mechaiekh (1992), "Fixed points for compact set-valued maps", Q & A in General Topology, 10, 153 -156 [14] Blum, E and Oettli, W (1993), "From Optimization and Variational inequalities to equilibrium problems", The Math Student, 64, - 23 [15] L E J Brouwer (1912), "Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten", Math Ann, 71, 97 - 115 [16] F E Browder (1968), "The fixed point theory of multi-valued mappings in topological vector spaces", Math Ann, 177, 283 - 301 [17] Chan, D and Pang, J S (1982), "The generalized quasi-variational inequality problem", Math Operations Research, 7, 211 - 222 [18] S Y Chang (1990), "On the Nash equilibrium", Soochow J Math., 16, 241 248 [19] M P Chen, L J Lin and S Park (2003), "Remarks on generalized quasiequilibrium problem", Nonlinear Analysis, 52, 433 - 444 107 [20] X P Ding, W K Kim and K K Tan (1992), "A selection theorem and its applications", Bull Austra Math Soc, 46, 205 - 212 [21] Ding, X P and Park, J Y (2004), "Generalized Vector Equilibrium Problems in Generalized Convex Space", Fournal of Optimization Theory and Applications, 120, 327 - 353 [22] T T T Duong and N X Tan (2010), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of typt I and Related Problems", Ad In Nonlinear Variational Inequalities, 13, 29 - 47 [23] T T T Duong and N X Tan (2011), "On the existence of solutions to general-ized quasi-equilibrium problems of typt II and Related Problems", Acta Math Vietnamica, 36, 231 - 248 [24] Truong Thi Thuy Duong (2013), "Mixed generalized quasi-equilibrium problems", J Global Optim, 56 (2), 647 - 667 [25] K Fan (1952), "Fixed-point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces", Proc Nat Acad Sci U S A, Vol 38, 121 - 126 [26] K Fan (1961), "A generalization of Tychonoff's fixed point theorem", Math Ann 142, 305 - 310 [27] K Fan (1972), "A minimax inequality and application", Inequalities III (O Shisha (Ed)), Academic Press, New - York [28] Ferro, F (1989), "A minimax theorem for vector-valued functions", J Optim Theory and Appl, 60, 19 - 31 [29] Fu, J.Y (2005), Vector equilibrium problems Existence theorems and convex-ity of solution set , J Glob Optim, 31, 109 119 [30] Gurraggio, A and Tan, N X (2002), "On General vector quasi-optimization Problems", Mathematical Methods of Operation Research, 55, 347 - 358 108 [31] Hadjisavvas, N (2003), "Continuity and maximallity properties of pseudomonotone operators", J Convex Anal, 10, 465 - 475 [32] N X Hai and P Q Khanh (2007), "The solution existence of general variational inclusion problems", Journal Optimization Theory Application, 135, 55 - 67 [33] Frank Heyde, Carola Schrage (2013), "Continuity concepts for set-valued functions and a fundamental duality formula for set-valued optimization", Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 397, issue 2, 772 - 784 [34] C D Horvath (1993), "Existension and selection theorems in topological spaces with a generalized convexity strusture", Ann Fac Sci Toulouse, 2, 253 - 269 [35] B T Hung, N X Tan (2011), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 14, No 1, - 16 [36] S Kakutani (1941), "A generalization of Browder' fixed point Theorem", Duke Math Journal, 8, 457 - 459 [37] Kassay, G., Miholca, M (2015), Existence results for vector equilibrium prob-lems given by a sum of two functions , J Glob Optim, 63, 195 - 211 [38] Kassay, G., Miholca, M., Vinh, N T (2016), Vector quasi-equilibrium problems for the sum of two multivalued mappings , J Optim Theory Appl, 169(2), 424 - 442 [39] Lai Jiu Lin and Sehie Park (1998), "On some generalized quasi-equilibrium problems", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 224, 167 - 181 [40] Lai Jui Lin and Nguyen Xuan Tan (2007), "On quasi-variational inclusion problems of type I and related problems", Journal Global Optimization, 39 (3), 393 - 407 [41] Lions, J L and Stampachia, G (1967), "Variational in equalities", Communications on Pure and Applied Mathematics, 20, 493 - 512 109 [42] D T Luc (1989), Theory of vector optimization, Lect Notes in Eco and Math System, Springer, Verlag, Berlin, Heidelberg, 319, 37 - 61 [43] Dinh The Luc and Nguyen Xuan Tan (2004), "Existence coditions in variational inclusions with constraints", Optimization, 53, 505 - 515 [44] D T Luc (2008), "An abstract problem in variational analysis", Journal Optimization Theory Application, 138, 65 - 76 [45] Nguyen Ba Minh and Nguyen Xuan Tan (2000), "Some sufficient coditions for the existence of equilibrium points concerning multivalued mappings", Vietnam Jour of Math, Vol 28, 295 - 310 [46] Nguyen Ba Minh and Nguyen Xuan Tan (2005), "On the existence of solution of quasi-variational inclusion problems of Stampachia type", Adv Nonlinear Var Inequal, 8, - 16 [47] George J Minty (1967), "On the generalization of direct method of the calculus of variations", Bulettin of American Mathematical Society, volume 73, 314 - 321 [48] George J Minty (1978), "On Variational Inequalities for Monotone Operators", Advances in Mathematics, 30, - [49] Oettli, W and Schlager, D (1998), "Existence of Equilibria for Monotone Mul-tivalued Mappings", Mathematical Methods of Operations Research, 48, 219 - 228 [50] S Park (1999), "Continuos selection theorems in generalized convex spaces", Numer Funct Anal Optim, 25, 567 - 583 [51] S Park (2000), "Fixed point and quasi-equilibrium problems", Mathematical and Computer Modelling, 32, 1297 - 1304 [52] Jian Wen Peng and Dao Li Zhu (2006), "Generalized vector quasiequilibrium problems with set-valued mapping", Journal of Inequalities and Applications, - 12 110 [53] Pham Huu Sach and Le Anh Tuan (2007), "Existence Results for Set-valued Vector Quasi equilibrium Problems", J Optim Theory and Appl, 133, 229 -240 [54] M H Shih and K K Tan (1985), "Generalized quasi-variational inequalities in locally convex topological vector spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 108, 333 - 343 [55] Schauder (1934), "Der Fixpunktsats in Funktionalraeuman", Studia Math, 2, 171 - 180 [56] M Sion (1958), "On general minimax theorems", Pacific J Math, 8, 171 - 176 [57] N X Tan (1985), "Quasi-variational inequalities in topological linear locally convex Hausdorff", Math Nachrichten, 122, 231 - 245 [58] Nguyen Xuan Tan and Phan Nhat Tinh (1998), "On the existence of equilibrium points of vector functions", Number Funct Anal and Opt, 19, 141 - 159 [59] N X Tan (2004), "On the existence of solutions of quasi-variational inclusion problems", Journal of Opt Theory and Appl, 123, 619 - 638 [60] Nguyen Xuan Tan and Nguyen Thi Quynh Anh (2011), "Generalized quasi- equilibrium problems of type II and their applications", Viet Nam journal of mathematics, volume 39, - 25 [61] Le Anh Tuan and Pham Huu Sach (2004), "Existence of solution of generalized quasi-variational inequalities with set-valued maps", Acta Math Vietnam, 29, 309 - 316 [62] Le Anh Tuan and Pham Huu Sach (2009), "Generalizations of vector quasi- variational inclusion problems with set-valued maps", Journal Global Optimiza-tion, 43 (1), 23 - 45 [63] W Rudin (1934), Principles of Methematical Analysis, Third Edition, McGraw - hill 111 [64] X Wu (1997), "A new fixed point theorem and its applications", Proc Amer Math Soc, 125, 1779 - 1783 [65] N C Yannelis and N D Prabhakar (1983), "Existence of maximal elements and equilibria in linear topological spaces", J Math Economics, 12, 233 - 245 [66] Z T Yu and L J Lin (2003), "Continuos selection and fixed point theorems", Nonlinear Anal, 52, 445 - 455 [67] Mikhail Z Zgurovsky, Valery S Mel'nik, Pavlo O Kasyanov (2010), Evolution Inclusion and Variation Inequalities for Earth Data Processing I, Springer Science & Business Media ... m G v H kh¡c v ta gồi l "B i toĂn tỹa cƠn bơng dÔng Blum - Oettli tờng quĂt"  cõ rĐt nhiãu tĂc giÊ nghiản cựu vã nhỳng b i toĂn dÔng Blum - Oettli, tùc l c¡c b i to¡n a trà câ h m mửc tiảu l... a tr liản tửc 27 Chữỡng B i toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt 31 2.1 B i toĂn tỹa cƠn bơng dÔng Blum - Oettli têng qu¡t 33 2.2 B i to¡n vỵi h m mửc tiảu l tẵch ã cĂc cừa hai Ănh xÔ ... X l khổng gian ối ngău cừa X, T : D ! X l Ănh xÔ ỡn trà, : D ! R l h m sè thüc 3 Nôm 1994, Blum v Oettli [14]  ữa b i toĂn im cƠn bơng (EP): Cho Ănh xÔ f : D D ! R; f(x; x) = 0; vợi x D Tẳm