Xét phương trình parabolic tuyến tính không thuần nhất với hệ số không hằng ut(x, t)−a(t)uxx(x, t) = f(x, t), (x, t)∈ (0, π)×[0,1)
trong đó
a(t) = 2t+ 1, f(x, t) =−sin(t) sin(x)
exp(t2+t) . (3.5) Nghiệm chính xác của phương trình là
u(x, t) = cos(t) sin(x)
exp(t2+t) . (3.6)
Khi đó, ta có
u(x,1) = g(x) = cos(1) sin(x)
exp(2) . (3.7)
Từ (1.6), ta được
u(x,1) = g(x) =cos(1) sin(x)
exp(2) . (3.8)
Cho t= 0, từ (3.6), ta suy ra
u(x,0) = sin(x). (3.9)
Xét dữ liệu đo được như sau
gε(x) = (1+ε
s 4 exp(4)
π(cos(2) + 1))g(x), (3.10) thì ta có
kgε −gk = ε s
4 exp(4)
π(cos(2) + 1) kgk =ε. (3.11)
Từ (2.17) và (3.10), chúng ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho trường hợp t= 0
uε(gε)(x,0) =
∞
X
m=1
um(g)(0)sin(mx), trong đó
um(g)(0) = 1
β()+ exp{−2m2}gm−
T
Z
t
exp{m2(s2+s−2)}
β()+ exp{−2m2} fm(s)ds.
Cho lần lượtεcác giá trị ε1 = 10−1, ε2 = 10−5, ε3 = 10−50, ε4 = 10−60, ε5 = 10−100. Chúng ta có bảng sai số sau cho trường hợp t = 0
ε
uεi(gi)(.,0)−u(.,0) ε1 = 10−1 9.231542e-001
ε2 = 10−5 6.520434e-001 ε3 = 10−50 4.298486e-008 ε4 = 10−60 9.260810e-010 ε5 = 10−100 3.253301e-016
Tiếp theo, chúng ta sẽ minh họa nghiệm chính xác và các nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm t = 0.
Hình 5: nghiệm chính xác và các nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm t = 0 Chú ý rằng trong hình 5 đường số 0 biểu diễn cho nghiệm chính xác gần như trùng với các đường số i biểu diễn cho nghiệm chỉnh hóa tương ứng với ε i, i= 3, ...,5.
Tiếp theo, chúng ta có hình vẽ của nghiệm chính xácu(., t)và nghiệm chỉnh hóa uεi(gεi)(., t), i = 1,2,3,4,5.
Hình 6: nghiệm chính xác u(., t)và nghiệm chỉnh hóa u εi(gεi)(., t), i= 1,2.
Hình 7: nghiệm chỉnh hóa uεi(gεi)(., t), i = 3,4,5.
Kết luận
Trong đề tài nghiên cứu: BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI HỆ SỐ KHÔNG HẰNG, chúng tôi đã tiến hành khảo sát và chỉnh hóa hai bài toán truyền nhiệt ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong miền bị chặn [0, π] cho trường hợp nguồn nhiệt thuần nhất và không thuần nhất. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một số thực nghiệm tính toán cho hai bài toán trên. Những kết quả trên đã được chúng tôi công bố trong hai bài báo sau:
1. Nguyen Huy Tuan, Pham Hoang Quan, Dang Duc Trong, Le Minh Triet, On a backward heat problem with time-dependent coefficient: Regularization and error estimates, Applied Mathematics and Computation, 219 (2013) 6066-6073 (SCIE).
2. Triet Minh Le, Quan Hoang Pham, Trong Duc Dang, Tuan Huy Nguyen, A backward parabolic equation with time-dependent coefficient: regularization and error estimates, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 237, Issue 1, 1 January 2013, Pages 432-441 (SCI).
Tài liệu tham khảo
[1] R. Lattes, J. L. Lions, 1967, Methode de Quasi-reversibilite et Applications, Dunod, Paris.
[2] Miller, K., 1973, Stabilized quasi-reversibility and other nearly-best-possible methods for non-well-posed problems, Symposium on Non-Well-Posed Prob- lems and Logarithmic Convexity (Heriot-Watt University, Edinburgh, 1972), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 316 (Berlin: Springer), pp. 161-176 . [3] L. E. Payne, 1975, Improperly Posed Problems in Partial Differential Equa-
tions, SIAM, Philadelphia, PA.
[4] R. E. Showalter, 1975, Quasi-reversibility of first and second order parabolic evolution equations, Improperly posed boundary value problems (Conf., Univ.
New Mexico, Albuquerque, N. M., 1974), pp. 76-84. Res. Notes in Math., n0 1, Pitman, London.
[5] R. E. Ewing, 1975,The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations, SIAM J. Math. Anal., Vol. 6, No. 2, 283-294.
[6] Clark, G. and Oppenheimer, C., 1994, Quasi-reversibility methods for non- well-posed problem, Electronic Journal of Differential Equations, 8, 1-9.
[7] D.N. Hao, 1994, A mollification method for ill-posed problems, Numer. Math.
68, 469-506.
[8] T. Schroter, U. Tautenhahn, 1996, On optimal regularization methods for the backward heat equation, Z. Anal. Anw. 15, 475-493.
[9] D. Lesnic, L. Elliott, D.B. Ingham, 1998,An iterative boundary element method for solving the backward heat conduction problem using an elliptic approxi- mation, Inverse Probl. Eng. 6, 255-279.
[10] Alekseeva, S. M. and Yurchuk, N. I., 1998, The quasi-reversibility method for the problem of the control of an initial condition for the heat equation with an integral boundary condition, Differential Equations 34, no. 4, 493-500.
[11] Ames, K.A., 2000, Continuous dependence on modelling and non-existence results for a Ginzburg-Landau equation, Mathematical Methods in Applied Sciences, 23, 1537-1550.
[12] B.Yildiz, M. Ozdemir, 2000,Stability of the solution of backwrad heat equa- tion on a weak conpactum, Appl. Math. Comput. 111, 1-6.
[13] Dence, M. and Bessila, K., 2001, Quasi-boundary value method for non- well posed problem for a parabolic equation with integral boundary condition, Math. Probl. Eng. 7 (2), 129-145.
[14] N.S. Mera, L. Elliott, D.B. Ingham, D. Lesnic, 2001, An iterative boundary element method for solving the one dimensional backward heat conduction problem, Int. J. Heat Mass Transfer 44, 1937-1946.
[15] S.M. Kirkup, M.Wadsworth, 2002,Solution of inverse diffusion problems by operator-splitting methods, Appl. Math. Modelling 26, 1003-1018.
[16] M. Jourhmane, N.S. Mera, 2002, An iterative algorithm for the backward heat conduction problem based on variable relaxation factors, Inverse Probl.
Eng. 10, 293-308.
[17] I. V. Melnikova, Q. Zheng and J. Zheng, 2002, Regularization of weakly ill-posed Cauchy problem, J.Inv. Ill-posed Problems 10 5, 385-393.
[18] B.Yildiz, H. Yetis, A.Sever, 2003, A stability estimate on the regularized solution of the backward heat problem, Appl.Math.Comput. 135, 561-567.
[19] Y. Huang, Q. Zhneg, 2004, Regularization for ill-posed Cauchy problems associated with generators of analytic semigroups, J. Differential Equations 203, (1), 38-54.
[20] M. Denche, K. Bessila, 2005, A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems, J.Math. Anal. Appl, Vol.301, pp.419-426.