Bài toán giải chập trong thống kê phi tham số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Diệu Huyền BÀI TOÁN GIẢI CHẬP TRONG THỐNG KÊ PHI THAM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Diệu Huyền BÀI TOÁN GIẢI CHẬP TRONG THỐNG KÊ PHI THAM SỐ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Để thực tốt luận văn này, cố gắng nổ lực thân, nhận quan tâm, giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè gia đình Nhân đây, xin gởi lời cảm ơn Trước hết, xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh truyền thụ kiến thức bổ ích, làm tảng cho trình nghiên cứu luận văn Và hết, xin gởi lời tri ân sâu sắc đến GS TS Đặng Đức Trọng, người tận tình hướng dẫn, dạy bảo phương pháp nghiên cứu khoa học, tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Quý thầy cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian xem xét, chỉnh sửa đưa nhận xét quý báu để luận văn hoàn thiện Bên cạnh dạy thầy cô, nhận quan tâm gia đình bạn bè Xin chân thành cảm ơn người Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2013 Nguyễn Thị Diệu Huyền MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức giải tích điều hòa  ,   ( 3) 1.1.1 Các phép toán  1.1.2 Một số kiến thức độ đo 1.1.3 Tích vô hướng Hermit không gian vectơ 1.1.4 Một số chuẩn đặc biệt 1.1.5 Các biến đổi Fourier  10 1.1.6 Các yếu tố giải tích điều hòa  ( 3)  15 1.2 Một số kiến thức xác suất thống kê 18 1.2.1 Khái niệm hàm phân phối, hàm mật độ 18 1.2.2 Các giá trị đặc trưng biến ngẫu nhiên X 19 CHƯƠNG 2: GIẢI CHẬP TRÊN  BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰA TRÊN CÁC HÀM WAVELET 23 2.1 Giới thiệu toán nhân chập 2.2 Giải toán nhân chập   23 phương pháp dựa hàm wavelet 24 2.2.1 Cơ sở lý thuyết 24 2.2.2 Thuật toán giải chập dựa wavelet 34 CHƯƠNG 3: GIẢI CHẬP CẦU BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BỘ HÀM 35 3.1 Giới thiệu toán nhân chập cầu 35 3.2 Giải toán chập cầu phương pháp tiếp cận hàm 36 3.2.1 Cơ sở lý thuyết 36 3.2.2 Thuật toán cực tiểu hóa ước lượng Lasso 58 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 CÁC KÝ HIỆU = [ −∞; +∞ ]  = ( −∞; +∞ ) ,  { }  n = x =( x j ) | x j ∈ ,i =1,n j = −1} {a + bi | a,b ∈ , i2 = { {( x ) ∈  | x }  n = x =( x j ) | x j ∈ , j =1,n j = j j {  m×n = X =( x jk )  ( 3= ) {X ∈  m×n 3×3 } + x 22 + x= : mặt cầu đơn vị  } | x jk ∈ , j =1,m, k =1,n : không gian ma trận thực cấp m × n : X ma trận trực giao } : nhóm quay    p  p ( Ω= )  f : Ω →  : ∫ f dµ < ∞    Ω χ A : hàm đặc trưng tập A thỏa 1 , x ∈ A 0 , x ∉ A χA ( x ) =  LỜI MỞ ĐẦU Bài toán tích chập xảy nhiều lĩnh vực thống kê phi tham số Bài toán thường gặp ước lượng hàm mật độ biến ngẫu nhiên X dựa liệu bị nhiễu Y= X + ε ε biến ngẫu nhiên chưa biết hàm mật độ xem biết Trong hai thập kỷ gần đây, toán quan tâm ngày nhiều hơn, việc mở rộng toán tích chập  thành toán tích chập cầu  đồng nghĩa với việc mở rộng ứng dụng nhiều lĩnh vực, kinh tế, y học, kỹ thuật,… Đặc trưng toán tích chập tìm kết cách xác mà dạng “gần đúng” Do đó, có không nhà toán học đưa phương pháp giải toán kết không dừng lại đó, có phương pháp khác cho kết “tốt hơn” Vì vậy, chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phương pháp nghiên cứu phát triển đề tài theo hướng nhà khoa học nước Nội dung luận văn gồm ba chương Cụ thể sau: Chương 1: Trong phần này, đưa kiến thức bản, đặc biệt lý thuyết giải tích Fourier  ,   ( 3) , nhằm cung cấp cho việc giải toán chương Chương 2: Trong phần này, dựa chủ yếu vào sách [1], trình bày lại phương pháp xây dựng ước lượng hàm mật độ f toán giải chập  dựa hàm wavelet đánh giá ước lượng thông qua đánh giá MISE (được định nghĩa (2.10)) Chương 3: Dựa chủ yếu vào báo [11], trình bày lại cách xây dựng ước lượng Lasso hàm mật độ f toán giải chập cầu, cực tiểu hóa ước lượng cách thiết lập bất đẳng thức oracle với giả thiết cổ điển dựa hàm tổng quát CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức giải tích điều hòa  ,   ( 3) 1.1.1 Các phép toán  Giả sử z ∈  , z =ℜ ( z ) + iℑ ( z ) =( ℜ ( z ) , ℑ ( z ) ) ∈  , với ℜ ( z ) , ℑ ( z ) phần thực, phần ảo z, nên xem  =  Ta kí hiệu z =ℜ ( z ) − iℑ ( z ) số phức liên hợp z, z= ℜ2 ( z ) + ℑ2 ( z ) môđun z Các phép toán  : z = z , z.z = ℜ2 ( z ) + ℑ2 ( z ) = z , z + z =2ℜ ( z ) , z − z = 2iℑ ( z ) , z + w =z + w , z.w = z.w 1.1.2 Một số kiến thức độ đo Độ đo Lebesgue Cho tập X ≠ ∅ , họ F tập X gọi σ -đại số X thỏa mãn điều kiện sau: i X ∈F , A ∈ F X \ A ∈F ii Hợp đếm tập thuộc F tập thuộc F Khi đó, (X , F) gọi không gian đo được, tập A∈ F gọi tập đo F F – đo Và xét hàm f : A →  Với a ∈  , ta kí hiệu A [f < a ] = {x ∈ A : f ( x ) < a} Hàm f gọi đo A (đối với F hay F – đo được) A [f < a ] ∈ F , ∀a ∈  Một ánh xạ µ : F → [ 0, ∞ ] gọi độ đo xác định F i) µ ( ∅ ) = ii) µ có tính chất σ − cộng, nghĩa ∀ {A n } n ∞  ∞ ⊂ F, ( A n ∩ A m ≠ ∅,n ≠ m ) ⇒ µ   A n  =∑ µ ( A n )  n =1  n =1 Khi đó, ( X, F, µ ) gọi không gian độ đo Độ đo µ gọi độ đo tầm thường (độ đo 0) µ ( A ) = , ∀A ∈ F Nếu X =  , tức σ -đại số F tập  , tập A ∈ F gọi tập đo theo Lebesgue hay tập (L) – đo được, hàm f gọi hàm đo theo Lebesgue hay hàm (L) – đo được, độ đo µ xác định F gọi độ đo Lebesgue Nếu ( X,τ ) không gian tôpô, σ -đại số F sinh họ τ F gọi σ -đại số Borel, tập A ∈ F gọi tập Borel, độ đo µ xác định tập Borel gọi độ đo Borel Độ đo Haar (hay gọi độ đo Radon) Trong giải tích toán học, độ đo Haar độ đo gán “tập bất biến” vào tập nhóm tôpô compact địa phương sau định nghĩa tích phân hàm nhóm tôpô Cho (G,.) nhóm tôpô compact địa phương Hausdorff, F σ -đại số Borel tập tất tập compact G Với g ∈ G , S∈ F , ta định nghĩa tịnh tiến trái tịnh tiến phải tập Borel S sau: • Tịnh tiến trái tập S tập = gS • Tịnh tiến phải tập S tập = Sg {g.s : s ∈ S} {s.g : s ∈ S} Các tập gS , Sg tập Borel Một độ đo µ xác định σ -đại số Borel F gọi bất biến tịnh tiến trái với g ∈ G , S∈ F , ta có µ ( gS) = µ ( S) Bất biến tịnh tiến phải định nghĩa tương tự • Một độ đo µ xác định σ -đại số Borel F gọi quy nếu: i) Độ đo µ hữu hạn tập compact: µ ( K ) < ∞ với K compact ii) Độ đo µ quy tập Borel E: = µ (E) inf {µ ( U ) : E ⊆ U, U mở Borel} iii) Độ đo µ quy tập Borel E: = µ (E) sup {µ ( K ) : K ⊆ E, K compact} Lưu ý: Nếu G =  n ii), iii) hệ i)  Định nghĩa độ đo Haar Cho µ độ đo Borel dương, không tầm thường, µ gọi độ đo Haar trái (phải) nếu: i µ quy ii µ bất biến tịnh tiến trái (phải) Độ đo Haar trái thường gọi độ đo Haar Từ định nghĩa, ta có độ đo Haar µ tồn nhất, µ ( U ) > , với U mở Borel Đặc biệt, G compact < µ ( G ) < ∞ Độ đo xác suất Haar không gian đo Borel ( G, F ) , thường kí hiệu  , độ đo Haar thỏa ≤  ( E ) ≤ , ∀E ⊆ G ,  ( G ) = Cho không gian độ đo Borel ( X, F, µ ) với µ độ đo Haar Xét hàm f : G →  liên tục, có giá compact Tích phân f G theo độ đo Haar µ , gọn ∫ g∈G f ( g ) dµ ( g ) hay viết ∫ f ( g ) dg , định nghĩa tổng Riemann G ∫ f ( g ) dg = G N ∑ f ( g )µ ( A ) i i =1 g i ∈ A i , A i ∩ A j = ∅ , i ≠ j i N A i =G i =1 Ta có tính chất: Với c1 ,c ∈  , f1 ,f : G →  + c 2f )( g ) dg = • ∫ (c f • ∫ f ( hg ) dg G G 1 = c1 ∫ f1 ( g ) dg + c ∫ f ( g ) dg ∫ f ( g ) dg G G G với h ∈ G , f : G →  Hàm bình phương khả tích Hàm f : Ω →  bình phương khả tích f hàm đo Lebesgue với độ đo µ thỏa mãn ∫ Ω f dµ < ∞ 1.1.3 Tích vô hướng Hermit không gian vectơ Giả sử V không gian vectơ trường  Tích , : V × V →  tích vô hướng Hermit không gian vectơ V , thỏa mãn điều kiện sau : i) u1 + u , v = u1 , v + u , v ii) cu, v = c u, v với u, v ∈ V , c ∈  ; với u, v ∈ V ; iii) u, v = v,u iv) với u1 ,u , v ∈ V ; u,u ≥ với u ∈ V ; u,u = ⇔ u = θ (với θ phần tử không V) Từ điều kiện suy v) u, v1 + v = u, v1 + u, v vi) u,cv = c u, v vii) θ ,u = 0= Khi u := với u, v1 , v ∈ V ; với u, v ∈ V , c ∈  ; u,θ với u ∈ V u,u gọi chuẩn liên hợp u Chú ý cu = c u với u ∈ V , c ∈  Mệnh đề sau cần thiết sở lý thuyết Mệnh đề 1.1 u + v= 2 u 2 + v với u, v ∈ V + 2ℜ u, v 2 Thật u+v 2 = u + v,u + v = u,u + u, v + + v, v = u,u + u, v + u, v + v, v = u 2 + v 2 v,u + 2ℜ u, v Hệ 1.1 (qui tắc hình bình hành) u+v 2 ( + u−v = 2 u 2+ v 2 ) với u, v ∈ V Ngoài ra, giả sử A:V×V →  B:V× V →  cho = u, v A ( u, v ) + iB ( u, v ) với u, v ∈ V Khi ta có • A B song tuyến tính  ; • A đối xứng xác định dương; • B không đối xứng; • A ( iu,iv ) = A ( u, v ) với u, v ∈ V ; • A ( iu, v ) = − B ( u, v ) với u, v ∈ V Trong trường hợp cụ thể:  Tích vô hướng Hermit không gian vectơ  n Với u = ∈  n , v ( v1 , , v n ) ∈  n Khi ( u1 , ,u n )= u, v = n ∑u v i i =1 i tích vô hướng Hermit u v  n  Tích vô hướng Hermit  (   ( 3) ) Với g, h ∈  (   ( 3) ) Khi g,h =∫ x∈( 3) g ( x ) h ( x )dx tích vô hướng Hermit g h  (   ( 3) ) Lưu ý: • ∫ f ( x )dx Ω f •= = ∫ ℜ ( f ( x ) ) dx + i ∫ ℑ ( f ( x ) )dx Ω = f ,f Ω ∫ Ω f ( x )f (= x )dx 1.1.4 Một số chuẩn đặc biệt Với ≤ p < ∞ , chuẩn  p xác định sau ∫ Ω f ( x ) dx ≥ λ p  p với λ =  ∑ λk  =  k =1  K p ( λ1, , λK ) ∈ K Khi đó, ta có λ p 1 với λ = ( λ1, , λK ) ∈ K với λ = max λk = ( λ1, , λK ) ∈ K ≤ K λ p Chứng minh: Sử dụng bất đẳng thức Jensen Chuẩn  ∞ xác định λ Cho λ = ( λ1, , λK ) ∈ K , ∞ 1≤ k ≤ K tập J ⊂ {1, ,K} , J C = {1, ,K} \ J k Ta ký hiệu λJ ∈  K vectơ với thành phần λJ( ) thỏa λk , k ∈ J λJ( k ) =  , k ∈ JC 0 với λk ∈ {λ1 , , λK } 1.1.5 Các biến đổi Fourier  Trước hết, ta định nghĩa tích chập  Cho f , g ∈ 1 (  ) , tích chập f g , kí hiệu f ∗ g , định nghĩa f ∗ g(= x) ∫ f ( y ) g ( x − y ) dy , x∈ 1.1.5.1 Biến đổi Fourier 1 (  ) Với f ∈ 1 (  ) , biến đổi Fourier f , kí hiệu f ft , có dạng f ft ( t ) = ∫ exp ( itx )f ( x ) dx xác định không gian 1 (  ) Bổ đề sau tóm tắt tính chất quan trọng Bổ đề 1.1 Giả sử f , g ∈ 1 (  ) , λ , µ ∈  Khi ta có Tính tuyến tính: Tích chập: ( λf + µg ) (f * g) ft ft =λ f ft + µ g ft = f ft g ft 10 , t∈ sup t∈ f ft ( t ) ≤ f Tính bị chặn: Tính liên tục đều: f ft ( t ) − f ft ( s ) → Sự mở rộng tuyến tính: f (.a + b )  ft t −s → ( t ) = a −1 exp ( −itb / a ) f ft ( t / a ) ft f ( t + a ) + f ft ( t − a ) , ∀a ∈  2 Biến đổi Fourier: f ( ⋅) cos ( a ⋅)  (= t) ft Tính đối xứng: Nếu f ( t ) ∈  , ∀t ∈  f ft ( − t ) = f ft ( t ) , ∀t ∈  Hơn nữa, f đối xứng, tức f ( − t ) = f ( t ) ∀t ∈  , f ft ( − t ) = f ft ( t ) , ∀t ∈  Chứng minh: Do tính tuyến tính tích phân Với f , g ∈ 1 (  ) , ta có ∫ exp ( itx )∫ f ( y )g ( x − y ) dydx ∫ exp ( ity )f ( y ) ∫ exp ( it ( x − y ) ) g ( x − y ) dxdy = (f * g) ( t ) ft = = ∫ exp ( ity )f ( y ) dy ∫ exp ( ity ) g ( y ) dy (do định lí Fubini) = f ft ( t ) g ft ( t ) Ta có = f ft ( t ) ∫ exp ( itx )f ( x ) dx ≤ exp ( itx ) f ( x ) dx ∫   =1 = ∫ f ( x ) dx = f , ∀t ∈  Ta có f ft ( t ) − f ft ( s ) ≤ = ∫ exp ( itx ) − exp ( isx ) f ( x ) dx ∫ exp ( i ( t − s ) x ) − f ( x ) dx Vì exp ( i ( t − s ) x ) − f ( x ) ≤ f nên f ft ( t ) − f ft ( s ) ≤ f Mặt khác, với t ∈  , ta có exp ( i ( t − s ) x ) − f ( x ) → t − s → , ∀x ∈  11 Do f ft liên tục  Ta có f= (.a + b ) ( t ) ft = ∫ exp ( itx )f ( ax + b ) dx exp ( it ( u − b ) a )f ( u ) du a∫ = exp ( −itb a ) ∫ exp ( itu a )f ( u ) du a = exp ( −itb a ) f ft ( t a ) a Sử dụng công thức Euler, ta có f ( ⋅) cos ( a ⋅)  ft = ∫ exp ( itx ) f ( x ) cos ( ax ) dx (t) = = 1 exp ix t + a f x dx + exp ix ( t − a )  f ( x ) dx   ( ) ( )   2∫ 2∫ ft f ( t + a ) + f ft ( t − a ) 2 Với t ∈  , ta có f ft ( − t= ) ∫ exp ( −itx ) f ( x ) dx= ∫ exp ( itx )f ( x ) dx= f ft ( t ) Hơn nữa, f đối xứng f (t) = ft +∞ ∫ exp ( itx ) f ( x ) dx + −∞ ∫ exp ( itx ) f ( x ) dx +∞ +∞ 0 = ∫ exp ( −itx ) f ( x ) dx + ∫ exp ( itx ) f ( x ) dx +∞ = ∫ cos ( tx ) f ( x ) dx ∈  Suy f ft ( − t ) = f ft ( t ) , ∀t  Định lí 1.1 Giả sử f ∈ 1 (  ) bị chặn liên tục x ∈  , f ft ∈ 1 (  ) Khi đó, ta có = f (x) exp ( −itx )f ft ( t ) dt ∫ 2π 12 Chứng minh: Xem [1, tr.181-182] 1.1.5.2 Biến đổi Fourier  (  ) Giả sử  tập hợp hàm bị chặn liên tục thuộc 1 (  ) mà biến đổi Fourier khả tích Dễ dàng ta thấy  không gian tuyến tính từ Bổ đề 2.1 (trong chương 2), ta có  ⊆  (  ) Với f ∈  , g ∈ 1 (  ) , ta có = f ,g ∫ f ( x ) g ( x )dx = 2π ∫∫ exp ( −itx ) f ( t ) dtg ( x )dx = 2π ∫∫ exp ( −itx ) g ( x )dxf ( t ) dt ft ft g ft ( − t ) f ft ( t ) dt ∫ 2π = = g ft ( t )f ft ( t ) dt ∫ 2π = ft ft f ,g 2π Nếu g = f , ta f 2 = ft f 2π Bổ đề sau cho ta thấy hàm f ∈  (  ) xấp xỉ hàm  Bổ đề 1.2 Ta có  tập trù mật  (  ) Tức là, với f ∈  (  ) , tồn ( f n )n ⊂  cho fn − f n →∞  → Chứng minh: Xem [1, tr.183-184] Từ ta có định lí sau Định lí 1.2 13 Biến đổi Fourier  (  ) , xác định liên tục biến đổi Fourier  , song ánh từ  (  ) vào  (  ) Ánh xạ ngược ánh xạ f ft f ( −.) Hơn nữa, với f , g ∈  (  ) , ta có 2π f ,g f 2 = ft ft f ,g 2π (đẳng cự Plancherel) = ft f 2π (đẳng thức Parseval) 2 Để so sánh biến đổi Fourier 1 (  )  (  ) , ta khác biến đổi Fourier ảnh hàm 1 (  ) với hàm  (  ) Mặt khác, biến đổi Fourier hàm  (  ) nói chung không cần liên tục hay bị chặn Tuy nhiên, Bổ đề 1.1 tính chất 1, 5, biến đổi Fourier  (  ) , riêng tính chất 7, từ “với mọi” thay “hầu khắp nơi” theo nghĩa Lebesgue Tương tự, kết giải chập đưa bổ đề sau Bổ đề 1.3 Với f ∈  (  ) , g ∈ L1 (  ) ∩ L (  ) , ta có (f * g) ft = f ft g ft Chứng minh:  Trường hợp 1: f ∈ 1 (  ) ∩  (  ) , g ∈ 1 (  ) ∩  (  ) Theo tính chất Bổ đề 1.1 ta có Bổ để 1.3  Trường hợp 2: f ∈  (  ) , tùy ý Áp dụng Bổ đề 1.2, ta có 1 (  ) ∩  (  ) trù mật  (  ) nên với f ∈  (  ) , tồn ( f n )n ⊂ 1 (  ) ∩  (  ) cho f n → f ứng với chuẩn  (  ) Tức fn − f n →∞  → Do tính chất Bổ đề 1.1, g ∈ 1 (  ) ∩  (  ) nên g ft ( t ) ≤ g ( fn ∗ g ) ft = f nft g ft 14 Và theo đẳng thức Parseval, ta có n →∞ → f ft g ft ∈  (  ) f nft g ft  Mặt khác, sử dụng đẳng thức Parseval, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz định lí Fubini, ta có ( fn ∗ g ) ft − (f ∗ g) ft 2 = 2π ( f n − f ) ∗ g 2 ≤ 2π ∫ ∫ f n ( x − y ) − f ( x − y ) g ( y ) 12 g ( y) 12 dy dx ≤ 2π ∫∫ f n ( x − y ) − f ( x − y ) g ( y ) dxdy g = n →∞ → 2π f n − f g  2 Định lí 1.3 Giả sử f ∈  (  ) có giá [ −π , π ] Khi đó, ta có π ∫π − f (x) − 2π ∑ exp ( −ikx ) f ( k ) ft n →∞ dx  → k ≤n Hơn nữa, đẳng thức Parseval dạng rời rạc f 2 = 2π ∑ f (k) ft k Chứng minh: Xem [1, tr.193-194] 1.1.6 Các yếu tố giải tích điều hòa  ( 3)  1.1.6.1 Biến đổi Fourier  ( 3) Trên  ( 3) cho ma trận  cosφ − sin φ   cosθ sin θ    u (φ ) =  sin φ cosφ  , a (θ ) =    − sin θ cosθ   0     φ ∈ [ 0,2π ) , θ ∈ [ 0, π ) Theo khai triển góc Euler, với g ∈  ( 3) , g viết dạng g = u (φ ) a (θ ) u (ψ ) 15  φ , ψ ∈ [ 0,2π ) , θ ∈ [ 0, π ) góc góc Euler Xét hàm = Dmn ( g )  = D mn (φ ,θ ,ψ ) e − i( mφ + nψ )  Pmn ( cosθ ) φ ,ψ ∈ [ 0,2π ) , θ ∈ [ 0, π ) ; m , n ∈ [ −, − + 1, ,  − 1,  ] với  = 0,1,  Pmn ( cosθ ) = i m−n sin n −m θ (1 + cosθ )  (  − n )!   12  2 (  + m )!(  − m )!  (  + n )! × d +n d ( cosθ ) 12 m ( cosθ − 1) ( cosθ + 1) +m +n −m  , với − ≤ m,n ≤ ,  =0,1, , hàm riêng toán tử Laplace Các hàm Pmn Beltrami  ( 3) { Hơn nữa, }  2 + 1Pmn : − ≤ m,n ≤ ,  =0,1, sở trực chuẩn đầy đủ 2 (   ( 3) ) ứng với độ đo xác suất Haar hàm điều hòa quay Ta định nghĩa: • Với g ∈  ( 3) , − ≤ m,n ≤ ,  =0,1, D ( g ) =  Dmn ( g )  ma trận cấp ( 2 + 1) × ( 2 + 1) • Với f ∈  (   ( 3) ) , biến đổi Fourier f  ( 3) : (f ) ∗ ( Và f ∗ =  f ∗ ) mn mn = ∫ ( 3) f ( g ) Dmn ( g ) dg  ma trận cấp ( 2 + 1) × ( 2 + 1)  Lấy nghịch đảo ta f (g) =  ∑ ∑ ( 2 + 1) f  ≥0 m,n = − =  ∑ ∑ ( 2 + 1) f −  ≥0 m,n = ∗ mn ∗ mn Dmn ( g ) Dnm ( g −1 ) Đẳng thức hiểu không gian  với việc bổ sung điều kiện trơn, điểm 16 Giải tích Fourier cầu  có kết tương tự 1.1.6.2 Biến đổi Fourier  Với w ∈  , ta có w = ( cosφ sin θ ,sin φ sin θ ,cosθ ) t φ ∈ [ 0,2π ) , θ ∈ [ 0, π ) Xét hàm Ym ( w ) = Ym (φ ,θ ) = ( −1) m ( 2 + 1)(  − m )!.P cosθ eimφ ) m( 4π (  + m )! với φ ∈ [ 0,2π ) , θ ∈ [ 0, π ) Pm ( cosθ ) hàm hợp Legendre Nhắc lại, Pm ( x ) hàm hợp Legendre Pm ( x ) nghiệm tắc phương trình Legendre tổng quát sau  m2  (1 − x ) y′′ − 2xy′ +   (  + 1) − − x  y =0   Phương trình tương đương với   m ′ (1 − x ) y′ +   (  + 1) − y =   − x   Và nghiệm thu phương trình P (x) = ( −1) (1 − x  m m ) m2 d m ( P ( x ) ) dx m , nên P ( cosθ ) =  m ( −1) m sin θ m d m ( P  ( cosθ ) ) dcos mθ Và theo công thức Rodrigues P ( cosθ )   d ( − sin θ ) =  ! dcos θ  Suy P ( cosθ ) =  m ( −1) d + m ( − sin θ ) sin θ 2.! dcos + mθ  m m 17 Ta thấy hàm Ym thỏa mãn ( −1) Y−m (φ ,θ ) = { m Ym (φ ,θ ) } ( ) , xem Hơn nữa, tập Ym : − ≤ m ≤ ,  =0,1, sở trực chuẩn   sở điều hòa cầu Ta định nghĩa: ( ) , biến đổi Fourier cầu f có dạng Với f ∈   (f ) ∗ = m ∫ f ( w )Y ( w )dw  m 2 dw độ đo xác suất cầu  ( Và f ∗ =  f ∗ ) m  , với − ≤ m ≤  ,  = 0,1, , ma trận cấp 2 +  Lấy nghịch đảo ta f (w) =  ∑ ∑ (f ) ∗ − ≥0 m = m Ym ( w ) , w ∈  Các quan trọng việc nhận biết phân tích giá trị kỳ dị (SVD) toán tử nhân chập tạo mô hình ( ) Với fε ∈  (  , tích chập fε f định nghĩa  ( 3) ) , f ∈   −1 fε ∗ f ( w ) = ∫ fε ( u ) f ( u ( w ) )du , w ∈  ( 3) Và biến đổi Fourier tích chập ( fε ∗ f )m ∗  = ∑ ( fε∗ ) n =−  (f ) ∗ mn n , m ∈ [ −;  ] ,  = 0,1, 1.2 Một số kiến thức xác suất thống kê 1.2.1 Khái niệm hàm phân phối, hàm mật độ Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X: • Biến X rời rạc Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có không gian mẫu Ω ={x1 , , x N } (N hữu hạn vô hạn) pi xác suất x i với i = 1, N Ta có bảng phân phối xác suất X sau: 18 [...]... đó trên  2 (  ) Mặt khác, biến đổi Fourier của một hàm trong  2 (  ) nói chung không cần liên tục hay bị chặn Tuy nhiên, trong Bổ đề 1.1 các tính chất 1, 5, 6 và 7 cũng đúng đối với biến đổi Fourier trong  2 (  ) , riêng tính chất 7, từ “với mọi” sẽ thay bằng “hầu khắp nơi” theo nghĩa Lebesgue Tương tự, kết quả giải chập cũng được đưa ra trong bổ đề sau Bổ đề 1.3 Với mọi f ∈  2 (  ) , g ∈ L1... ( w )dw  m 2 trong đó dw là độ đo xác suất đều trên quả cầu  2 ( Và f ∗ =  f ∗ ) m  , với − ≤ m ≤  ,  = 0,1, , là ma trận cấp 2 + 1  Lấy nghịch đảo ta được f (w) =  ∑ ∑ (f ) ∗ − ≥0 m = m Ym ( w ) , w ∈  2 Các căn cứ trên rất quan trọng trong việc nhận biết sự phân tích giá trị kỳ dị (SVD) của toán tử nhân chập tạo bởi mô hình của nó ( ) 2 Với fε ∈  2 (  , tích chập của fε và... Các biến đổi Fourier trên  Trước hết, ta định nghĩa tích chập trên  Cho f , g ∈ 1 (  ) , tích chập của f và g , kí hiệu f ∗ g , được định nghĩa bởi f ∗ g(= x) ∫ f ( y ) g ( x − y ) dy , x∈ 1.1.5.1 Biến đổi Fourier trong 1 (  ) Với f ∈ 1 (  ) , biến đổi Fourier của f , kí hiệu f ft , có dạng f ft ( t ) = ∫ exp ( itx )f ( x ) dx xác định trong không gian 1 (  ) Bổ đề sau sẽ tóm tắt các tính... fε và f được định nghĩa bởi  ( 3) ) , f ∈  2  −1 2 fε ∗ f ( w ) = ∫ fε ( u ) f ( u ( w ) )du , w ∈  ( 3) Và biến đổi Fourier của tích chập ( fε ∗ f )m ∗  = ∑ ( fε∗ ) n =−  (f ) ∗ mn n , m ∈ [ −;  ] ,  = 0,1, 1.2 Một số kiến thức về xác suất thống kê 1.2.1 Khái niệm hàm phân phối, hàm mật độ Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X: • Biến X rời rạc Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có không... yếu tố của giải tích điều hòa trên  ( 3) và  2 1.1.6.1 Biến đổi Fourier trên  ( 3) Trên  ( 3) cho các ma trận  cosφ − sin φ 0   cosθ 0 sin θ    u (φ ) =  sin φ cosφ 0  , a (θ ) =  0 1 0   − sin θ 0 cosθ   0 0 1     trong đó φ ∈ [ 0,2π ) , θ ∈ [ 0, π ) Theo sự khai triển góc Euler, với g ∈  ( 3) , g được viết duy nhất dưới dạng g = u (φ ) a (θ ) u (ψ ) 15  trong đó φ ,... f −  ≥0 m,n = ∗ mn ∗ mn Dmn ( g ) Dnm ( g −1 ) Đẳng thức trên được hiểu trong không gian  2 với việc bổ sung điều kiện trơn, nó có thể đúng từng điểm 16 Giải tích Fourier trên quả cầu  2 cũng có kết quả tương tự 1.1.6.2 Biến đổi Fourier trên  2 Với bất kì w ∈  2 , ta có w = ( cosφ sin θ ,sin φ sin θ ,cosθ ) t trong đó φ ∈ [ 0,2π ) , θ ∈ [ 0, π ) Xét các hàm Ym ( w ) = Ym (φ ,θ ) = ( −1)... (φ ,θ ,ψ ) e − i( mφ + nψ )  Pmn ( cosθ ) trong đó φ ,ψ ∈ [ 0,2π ) , θ ∈ [ 0, π ) ; m , n ∈ [ −, − + 1, ,  − 1,  ] với  = 0,1, và  Pmn ( cosθ ) = i m−n sin n −m θ (1 + cosθ )  (  − n )!   12  2 (  + m )!(  − m )!  (  + n )! × d +n d ( cosθ ) 12 m ( cosθ − 1) ( cosθ + 1) +m +n −m  , với − ≤ m,n ≤ ,  =0,1, , là các hàm riêng của toán tử Laplace Các hàm Pmn Beltrami trên... Khi đó, ta có = f (x) 1 exp ( −itx )f ft ( t ) dt ∫ 2π 12 Chứng minh: Xem [1, tr.181-182] 1.1.5.2 Biến đổi Fourier trong  2 (  ) Giả sử  là tập hợp các hàm bị chặn và liên tục thuộc 1 (  ) mà biến đổi Fourier khả tích Dễ dàng ta thấy  cũng là không gian tuyến tính và từ Bổ đề 2.1 (trong chương 2), ta có  ⊆  2 (  ) Với f ∈  , g ∈ 1 (  ) , ta có = f ,g ∫ f ( x ) g ( x )dx = 1 2π ∫∫ exp (... (  ) Theo tính chất 2 của Bổ đề 1.1 ta có Bổ để 1.3  Trường hợp 2: f ∈  2 (  ) , tùy ý Áp dụng Bổ đề 1.2, ta có 1 (  ) ∩  2 (  ) trù mật trong  2 (  ) nên với f ∈  2 (  ) , tồn tại ( f n )n ⊂ 1 (  ) ∩  2 (  ) sao cho f n → f ứng với chuẩn trong  2 (  ) Tức là fn − f 2 n →∞  → 0 Do tính chất 2 và 3 của Bổ đề 1.1, g ∈ 1 (  ) ∩  2 (  ) nên g ft ( t ) ≤ g ( fn ∗ g ) ft = f nft... f ft ( t ) dt ∫ 2π = = 1 g ft ( t )f ft ( t ) dt ∫ 2π = 1 ft ft f ,g 2π Nếu g = f , ta được f 2 2 = 1 ft 2 f 2 2π Bổ đề sau cho ta thấy các hàm f ∈  2 (  ) xấp xỉ bởi các hàm trong  Bổ đề 1.2 Ta có  là tập trù mật trong  2 (  ) Tức là, với mọi f ∈  2 (  ) , tồn tại ( f n )n ⊂  sao cho fn − f 2 n →∞  → 0 Chứng minh: Xem [1, tr.183-184] Từ đây ta có định lí sau Định lí 1.2 13 Biến đổi