Bài toán giải chập trong thống kê phi tham số tt

Mở đầu Khởi đầu cơng trình nhà toán học Leonhard Paul Euler (1707-1783), Jean le Rond D’Alembert (1717-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) Pierre-Simon de Laplace (1749 -1827), đến lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phát triển khơng ngừng đóng vai trò quan trọng lĩnh vực toán học lý thuyết lĩnh vực toán ứng dụng, thúc đẩy phát triển ý tưởng toán học nhiều lĩnh vực Vấn đề tìm lời giải cho tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng thúc đẩy phát triển nhiều kết lý thuyết giải tích hàm như: lý thuyết khơng gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, , đồng thời phát triển phương pháp giải tích số như: phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin, Tuy vậy, tính đa dạng phong phú loại tốn biên nên khơng tồn phương pháp chung để giải tốn biên, nhiều toán biên chưa giải giải phần tương ứng Việc lựa chọn sử dụng phương pháp phù hợp cho toán biên quan trọng, đặc biệt toán biên phi tuyến Bởi vậy, việc khảo sát nghiên cứu phương pháp giải toán biên cần thiết, có ý nghĩa lý luận thực tiễn Luận án chứng minh tính giải số tốn mở, dạng tốn biên cho phương trình sóng phi tuyến liên kết với phương trình tích phân phi tuyến, có nguồn gốc từ mơ hình tốn học toán khoa học kỹ thuật Hơn nữa, mặt toán học tuý, luận án cung cấp thêm số cơng cụ mang tính chất kỹ thuật vận dụng chứng minh kết Ngoài phần mở đầu, cấu trúc luận án gồm có ba chương (1, 2, 3), kết luận, phụ lục, danh mục cơng trình tác giả tài liệu tham khảo Sau phần giới thiệu tổng quan luận án Trong luận án, chúng tơi xét tốn biên cho phương trình sóng phi tuyến chiều chứa số hạng phi địa phương (nonlocal) sau utt ∂ ∂x µ x, t, Z σ [u]( x, y, t)dy u x + β( x ) Ptt ( x, t) = F x, t, u, u x , ut , P, Px , Pt , Z t G1 [u]( x, t, s)ds, Z (1) G2 [u]( x, y, t)dy , < x < 1, < t < T, liên kết với điều kiện biên điều kiện đầu B0 (t, u(0, t), u x (0, t), ut (0, t)) = g0 (t), > > < B1 (t, u(1, t), u x (1, t), ut (1, t)) = g1 (t), (2) > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), µ, σ, β, F, G1 , G2 , g0 , g1 , B0 , B1 , u˜ , u˜ hàm số cho trước thỏa mãn số điều kiện sau, hàm chưa biết u( x, t) P( x, t) liên hệ qua phương trình tích phân phi tuyến sau P( x, t) = P˜0 ( x, t) + Z t G ( x, t, s, u( x, s), P( x, s))ds, < x < 1, < t < T, (3) G, P˜0 hàm số cho trước Trong (1), chúng tơi sử dụng kí hiệu: G1 [u]( x, t, s) = G1 ( x, t, s, u( x, s), ut ( x, s), u x ( x, s)), G2 [u]( x, y, t) = G2 ( x, y, t, u( x, t), ut ( x, t), u x ( x, t)), σ [u]( x, y, t) = σ ( x, y, t, u(y, t), u x (y, t)) Luận án khảo sát trường hợp riêng toán thuộc dạng (1) – (3) thu kết trình bày ba chương Cụ thể sau Trong chương 1, luận án khảo sát hai toán biên Bài toán thứ tốn RobinDirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chiều chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân thời gian theo biến ∂ µ ( x, t)u x ) u ( > tt ∂x > > > Z t > > > > = f x, t, u, u , u , g( x, t, s, u( x, s), ut ( x, s), u x ( x, s))ds , > t x > < (4) < x < 1, < t < T, > > > > > > > u x (0, t) h0 u(0, t) = u(1, t) = 0, > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), µ, f , g, u˜ , u˜ hàm cho trước h0 số Một trường hợp riêng tốn thứ ta có tốn thứ hai tốn RobinDirichlet cho phương trình sóng với nguồn phi tuyến chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến thời gian ∂ > > utt ∂x (µ( x, t)u x ) + λut = f ( x, t, u) > > > Z t > < + g( x, t, s, u( x, s))ds, < x < 1, < t < T, (5) > > u x (0, t) h0 u(0, t) = u(1, t) = 0, > > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), λ 6= số u˜ , u˜ , f , g, µ hàm cho trước Bài tốn biên chứa số hạng nonlocal gần nhiều nhà toán toán học quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn Cavalcanti [Electron J Diff Eqns., 44 (2002)], Messaoudi [App Math Comput., 188 (2007)], Li [Applicable Analysis, 93(6) (2014)], đạt nhiều kết phong phú thể loại Các kết thu toán thứ bao gồm tồn nghiệm yếu địa phương xây dựng thuật giải xấp xỉ tuyến tính đánh giá khai triển tiệm cận đến cấp N + theo tham số bé ε, nhiên khác biệt khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán thứ so với kết trước việc thực khai triển Taylor khơng số hạng nguồn mà khai triển cho tích phân phi tuyến chứa nó; theo hiểu biết chúng tơi kỹ thuật chưa sử dụng trước Đối với toán thứ hai, phương pháp xấp xỉ Galerkin chứng minh tồn dãy lặp phi tuyến hội tụ bậc N nghiệm yếu toán tương ứng Thuật giải lặp cấp cao số giả sử dụng thành công cho số mơ hình (xem tài liệu tham khảo [63], [64], [79], [80] luận án); nhiên số lượng báo công bố sử dụng phương pháp chưa nhiều Kết thu toán thứ hai xem mở rộng nghiên cứu phương pháp lặp cấp cao cho toán biên phi tuyến Các kết chương công bố [N2] [N3] Trong chương 2, luận án khảo sát tốn biên cho phương trình sóng phi tuyến chiều kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến khơng gian Z > ∂ > µ x, t, σ ( x, y, t, u(y, t), u x (y, t))dy u x u tt > ∂x > > > > > Z > > > > = f x, t, u, u x , ut , g( x, y, t, u(y, t), u x (y, t), ut (y, t))dy , < (6) > > < x < 1, < t < T, > > > > > > > u (0, t) h0 u(0, t) = u(1, t) = 0, > > x > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), µ, σ, f , g, u˜ , u˜ hàm cho trước h0 số Gần đây, việc mở rộng kết phương trình kiểu Kirchhoff – Carrier nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Một số ví dụ chúng tơi liệt kê như: Ha [Numerical Func Anal Optim., 31(8) (2010)], Zhang [Quarterly of Applied Mathematics, 70(2) (2012)], Lee [Boundary Value Problems, (2) (2016)], tài liệu tham khảo Bài tốn khảo sát chương toán tổng qt chứa nhiều mơ hình tốn khác Một số trường hợp riêng với điều kiện biên khác nhiều tác giả nghiên cứu, chẳng hạn, xem số tài liệu tham khảo [4], [6], [9], [10], [19], [36], [39], [54], [74], (trong luận án) Một kết tồn nghiệm yếu địa phương toán chứng minh phương pháp xấp xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Galerkin định lý nhúng compact; nữa, đánh giá tiệm cận đến cấp N + theo tham số bé ε thiết lập Ngoài ra, xét hai trường hợp riêng tốn chương chúng tơi thu kết tương tự công bố [N5] gửi công bố [N6] Các kết thu tốn mở rộng tương đối kết báo kể Trong chương 3, luận án khảo sát tốn Robin cho phương trình sóng phi tuyến với nguồn chứa giá trị chưa biết > > > utt u xx = f x, t, u( x, t), u(η , t), , u(η q , t), ut ( x, t) , < x < 1, < t < T, < (7) u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0, > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), f , u˜ , u˜ hàm cho trước h0 , h1 0, η , η , , η q số cho trước thỏa h0 + h1 > 0, η < η < < η q Bài toán biên nonlocal dạng biên nhiều điểm số tác giả khảo sát Il’in [Differential Equations, 36(5) (2000)], [Doklady Mathematics, 77(3) (2008)], [Differential Equations, 44(5) (2008)], Long [J Math Anal Appl., 385(2) (2012)], Đôi số hạng nonlocal giá trị biên chưa biết xuất số hạng nguồn phi tuyến Pellicer [Comm Pure Appl Math., 7(3) (2008)] Tuy nhiên, toán biên với biên nhiều điểm xuất số hạng nguồn phi tuyến có mặt phương trình theo hiểu biết chưa khảo sát nhiều Do đó, tốn khảo sát chương xem mở rộng nghiên cứu toán biên nhiều điểm Các kết đạt chương tồn nghiệm yếu địa phương khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé Các kết cơng bố [N4] Tồn kết thu luận án công bố báo [N1]-[N5] gửi cơng bố [N6] Ngồi ra, phần số kết báo cáo Đại hội Tốn học tồn quốc lần thứ số hội nghị, hội thảo trường đại học tổ chức Chương Khảo sát toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến thời gian Chương khảo sát hai tốn biên cho phương trình sóng chiều Mục 1.1 chúng tơi xét tốn biên Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến với nguồn chứa số hạng phi địa phương Nghiệm yếu toán thiết lập thuật giải xấp xỉ tuyến tính Trong mục 1.2, chúng tơi thiết lập khai triển tiệm cận cho nghiệm yếu toán đề cập mục 1.1 Mục 1.3 xét trường hợp riêng toán xét mục 1.1, kết tồn chứng minh nhờ vào phương pháp hội tụ bậc cao nghiệm yếu tốn Các kết trình bày công bố [N2] [N3] 1.1 Xấp xỉ tuyến tính Trong mục này, chúng tơi xét tốn Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chiều chứa số hạng phi địa phương sau ∂ > utt ∂x (µ( x, t)u x ) > > > Z t > > > > = f x, t, u, u , u , g( x, t, s, u( x, s), ut ( x, s), u x ( x, s))ds , > t x > < (1.1) < x < 1, < t < T, > > > > > > > u x (0, t) h0 u(0, t) = u(1, t) = 0, > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), µ, f , g, u˜ , u˜ hàm cho trước h0 số Trước hết, ta có nhận xét toán (1.1) xem xét trường hợp riêng toán (1) - (3) với Z > µ x, t, > σ [u]( x, y, t)dy = µ( x, t), β( x ) = 0, > > > > > > Z t Z > > > > F x, t, u, u x , ut , P, Px , Pt , G1 [u]( x, t, s)ds, G2 [u]( x, y, t)dy > > > 0 > > < Z t = f x, t, u, u , u , g( x, t, s, u( x, s), ut ( x, s), u x ( x, s))ds , t x > > > > > > > > g0 (t) = g1 (t) = 0, > > > > > > B0 (t, u, u x , ut ) = u x h0 u, > > > : B1 (t, u, u x , ut ) = u Tiếp theo, chúng tơi định nghĩa nghiệm yếu tốn (1.1) sau: Nghiệm yếu toán (1.1) hàm u L∞ (0, T; V \ H ), với ut L∞ (0, T; V ), utt L∞ (0, T; L2 ) u thỏa mãn phương trình biến phân hutt (t), wi + A(t; u(t), w) = h f [u](t), wi , với w V, hầu hết t (0, T ), với điều kiện đầu u(0) = u˜ , ut (0) = u˜ , V = fv H : v(1) = 0g, f A(t; , )gt họ dạng song tuyến tính đối xứng V V xác định A(t; u, v) = hµ(t)u x , v x i + h0 µ(0, t)u(0)v(0), 8u, v V, t 0, (1.2) f [u]( x, t) = f x, t, u( x, t), ut ( x, t), u x ( x, t), Chúng thành lập giả thiết sau: ( H1 ) (u˜ , u˜ ) V \ H V, u˜ 0x (0) ( H2 ) g C1 ([0, 1] ∆ ( H3 ) f C1 ([0, 1] R+ ( H4 ) µ C2 ([0, 1] Z t g( x, t, s, u( x, s), ut ( x, s), u x ( x, s))ds h0 u˜ (0) = 0; R3 ), ∆ = f(t, s) R2+ : s t g; R4 ) ; R+ ) tồn số µ0 > cho µ( x, t) µ0 với ( x, t) [0, 1] R+ , với T (0, T ], đặt tập hợp ∞ ∞ > W ( M, T ) = fv L (0, T; V \ H ) : vt L (0, T; V ), vtt L ( Q T ), > < với maxfkvk L∞ (0,T;V \ H ) , kvt k L∞ (0,T;V ) , kvtt k L2 (QT ) g M g, > > : W1 ( M, T ) = fv W ( M, T ) : vtt L∞ (0, T; L2 )g Bây giờ, thiết lập dãy qui nạp fum g xác định sau: Chọn u0 um W1 ( M, T ), Tìm ( um 002 W1 ( M, T ) (m 1) thỏa mãn toán biến phân hum (t), wi + A(t; um (t), w) = h Fm (t), wi , 8w V, (1.3) u˜ , (1.4) (1.5) um (0) = u˜ , u0m (0) = u˜ , Fm ( x, t) = f [um f x, t, um ]( x, t ) , um , rum , Z t g( x, t, s, um ( x, s ), um ( x, s ), r um ( x, s )) ds Khi đó, tồn dãy qui nạp cho định lý sau Định lý 1.1.1 Giả sử giả thiết ( H1 ) ( H4 ) thỏa Khi tồn số M, T > cho, với u0 u˜ , tồn dãy qui nạp fum g W1 ( M, T ) xác định (1.4) - (1.5) Trong chứng minh Định lý 1.1.1, sử dụng bổ đề sau Bổ đề 1.1.2 Ta có (i ) j A(t; u, v)j K˜ (µ) kuk kvk , 8u, v V, t T , a (ii ) A(t; v, v) (iii ) ∂A ∂t ( t; u, v ) (iv) (v) µ0 kvk2a , = ∂A ∂t ( t; u, v ) hµ0 (t)u a 8v V, x , v x i + h0 t T , µ0 (0, t)u(0)v(0), K˜ (µ) kuk a kvk a , 8u, v V, (k) (k) d dt A ( t; um ( t ), um ( t )) (k) (k) 8u, v V, t = 2A(t; um (t), u˙ m (t)) + T , (k) (k) ∂A ∂t ( t; um ( t ), um ( t )), K˜ (µ) số dạng song tuyến tính a( , ) liên tục V xác định a(u, v) = Z u x ( x )v x ( x )dx + h0 u(0)v(0), u, v V; V cưỡng V p chuẩn tương ứng sinh dạng song tuyến tính k k a = a( , ) Sử dụng kết Định lý 1.1.1 định lý nhúng compact chứng minh [ u0 ], > > < k a/ π k [ N, f , g] = γ > > : ∑ γ! D f [u0 ]Φk [γ, N, g, u0 , ~u], ~u = (u1 , , u N ) Φk [γ, N, g, u0 , ~u] = ∑ (k1 ,k2 ,k3 ,k4 )2 A˜ (γ,N ) k1 +k2 +k3 +k4 =k với k = 0, k N, (2.7) jγj=1 ( γ1 ) Pk A˜ (γ, N ) = f(k1 , , k4 ) Z4+ : γi γ = (γ1 , , γ4 ) Z4+ , (γ ) (γ ) ( γ4 ) [ N, ~u] Pk2 [ N, r~u] Pk3 [ N, ~u0 ] Pk jγj ki [ N,~κ [ N, g, u0 , ~u]], Nγi , 8i = 1, 2, 3, 4g, N, 13 (2.8) ~κ [ N, 8g, u0 , ~u] = (κ¯ [ N, g, u0 , ~u], ,Zκ¯ 1N [ N, g, u0 , ~u]) , xác định > > D β g[u0 ]Ψk [ β, N, ~u]ds, κ¯ k [ N, g, u0 , ~u] = ∑ β! > > > > β k j j > > > < (β ) (β ) (β ) Ψk [ β, N, ~u] = Pk [ N, ~u] Pk [ N, r~u] Pk [ N, ~u0 ], ∑ > > e( β,N ), (k1 ,k2 ,k3 )2 A > > > k1 +k2 +k3 =k > > > > : e Nβi , 8i = 1, 2, 3g A( β, N ) = f(k1 , k2 , k3 ) Z3+ : βi k i µ [ u ] , k = 0, > > < k b/ ρk [ N, µ, σ ] = j > u], k N, > ∑ j! D µ [ u0 ] < j! = > ∑ α! ~χα [ N, σ, u0 , ~u], > : ( j) j = 1, j k (2.11) jN, j 2, α2 Ak ( N ) với ~χ[ N, χ¯ [ N, σ, u0 , ~u] ), xác định σ, u0 , ~u] = (χ¯ [ N, σ, u0 , ~u], , Z 1N > ˜ k [ β, N, ~u]dy, k N, > χ¯ k [ N, σ, u0 , ~u] = ∑ D β σ [ u0 ] Φ > β! > > > j βj k > > > < (β ) (β ) ˜ k [ β, N, ~u] = Φ ∑ Pi [ N, ~u] Pj [ N, r~u], > > e( β,N ), (i,j)2 B > > > i + j=k > > > > : e B( β, N ) = f(i, j) Z2+ : β i Nβ , β j Nβ g 1 (2.12) Khi đó, ta có định lý sau Định lý 2.2.1 Giả sử giả thiết ( H1 ), ( H8 ) ( H9 ) Khi đó, tồn số M > T > cho toán ( Pε ) có nghiệm yếu uε W1 ( M, T ) thỏa mãn đánh giá khai triển tiệm cận đến cấp N + sau uε N ∑ k =0 u k ε k W1 ( T ) CT ε N +1 , (2.13) hàm uk , k N nghiệm yếu toán ( P0 ), ( P˜k ), k N, tương ứng CT số phụ thuộc N, T, µ, µ1 , σ, σ1 , f , f , g, g1 , uk , k N Trong chứng minh Định lý 2.2.1, sử dụng bổ đề sau Bổ đề 2.2.2 Cho π k [ N, f , g] , ρk [ N, µ, σ ] , k N, hàm xác định công thức (2.7), (2.10) tương ứng Đặt h = ∑kN=0 uk εk , ta có N (i) f [h] = ∑ π k [ N, f , g] εk + ε N +1 Rˆ N (1) [ f , g, u0 , ~u, ε], k =0 N (ii) µ[h] = (2.14) ∑ ρk [ N, µ, σ] εk (2) + ε N +1 Rˆ N [µ, σ, u0 , ~u, ε], k =0 (1) với Rˆ N [ f , g, u0 , ~u, ε] L∞ (0,T;L2 ) (2) + Rˆ N [µ, σ, u0 , ~u, ε] phụ thuộc N, T, µ, µ1 , σ, σ1 , f , f , g, g1 , uk , k 14 L∞ (0,T;L2 ) N C, C số Bổ đề 2.2.3 Giả sử giả thiết ( H1 ), ( H8 ) ( H9 ) Khi tồn số C cho k Eε k L∞ (0,T;L2 ) C ε N +1 , (2.15) N Eε ( x, t) = f [h] f [ u0 ] + ε f [ h ] + ∂ ∂x [(µ [h] µ [u0 ] + εµ1 [h]) h x ] ∑ F˜k εk , k =1 C số phụ thuộc N, T, µ, µ1 , σ, σ1 , f , f , g, g1 , uk , k N F˜k , k N xác định công thức (2.6) Kết luận chương Bài tốn biên cho phương trình sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff - Carrier với điều kiện biên khác nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, nhiều kết phong phú thu tồn nghiệm toàn cục, dáng điệu tiệm cận nghiệm, tính ổn định nghiệm, tính tắt dần nghiệm, Các tính chất nghiệm có phương trình biên xuất số hạng cụ thể đặc thù Tuy nhiên toán khảo sát chương dạng toán tổng quát nên hầu hết tính chất khơng có mà chúng tơi khảo sát tồn nghiệm yếu địa phương toán tương ứng thiết lập đánh giá khai triển tiệm nghiệm yếu Ngoài kết thu toán (2.1), hai trường hợp riêng sau toán (2.1) khảo sát Trường hợp f x, t, u, u x , ut , Z g( x, t, y, u(y, t), u x (y, t), ut (y, t))dy = f ( x, t) với điều kiện8biên Robin - Dirichlet, ta có tốn Z > ∂ > u µ x, t, g( x, y, t, u(y, t), u x (y, t))dy u x = f ( x, t) , < x < 1, < t < T, > tt ∂x > < u x (0, t) h0 u(0, t) = u(1, t) = 0, > > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), µ, f , g, u˜ , u˜ hàm cho trước h0 số cho trước kiện biên Robin, ta có tốn Trường hợp µ = với cácZđiều > > utt u xx = f x, t, u, u x , ut , g( x, t, y, u(y, t), u x (y, t), ut (y, t))dy , < x < 1, < t < T, > > < u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0, > > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), f , g, u˜ , u˜ hàm cho trước h0 , h1 số thỏa điều kiện h0 + h1 > Các kết tương tự toán (2.1) thu hai toán công bố [N5] gửi công bố [N6] Chương Khảo sát phương trình sóng phi tuyến với nguồn chứa giá trị chưa biết Trong chương khảo sát toán biên phi tuyến với nguồn chứa giá trị chưa biết Với giả thiết phù hợp, mục 3.1, chứng minh tồn nghiệm yếu tốn tương ứng Ngồi ra, mục 3.2, khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo tham số bé ε đến cấp N + thiết lập Các kết trình bày chương cơng bố [N4] 15 3.1 Sự tồn nghiệm yếu Trong mục này, xét toán Robin cho phương trình sóng phi tuyến với nguồn chứa giá trị chưa biết sau > utt u xx = f x, t, u( x, t), u(η , t), , u(η q , t), ut ( x, t) , < x < 1, < t < T, > > < (3.1) u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0, > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), f , u˜ , u˜ hàm cho trước h0 , h1 0, η , η , , η q số cho trước thỏa h0 + h1 > 0, η < η < < η q Nội dung mục khảo sát tồn nghiệm yếu toán (3.1) Trước hết, ta định nghĩa nghiệm yếu toán tương ứng số kí hiệu Nghiệm yếu toán giá trị biên ban đầu (3.1) hàm u thuộc không gian hàm L∞ (0, T; H ) cho ut L∞ (0, T; H ), utt L∞ (0, T; L2 ), đồng thời u thỏa mãn phương trình biến phân sau D E hutt (t), wi + b(u(t), w) = f , t, u(t), u(η , t), , u(η q , t), ut (t) , w , với w H , hầu hết t (0, T ), với điều kiện đầu u(0) = u˜ , ut (0) = u˜ đó, dạng song tuyến tính b( , ) xác định bởi: b(u, v) = Z u x ( x )v x ( x )dx + h0 u(0)v(0) + h1 u(1)v(1), u, v H , liên tục H H cưỡng H Chúng thiết lập giả thiết sau ( H1 ) (u˜ , u˜ ) H ( H2 ) f C1 ([0, 1] H , u˜ 0x (0) R+ h0 u˜ (0) = u˜ 0x (1) + h1 u˜ (1) = 0; Rq +2 ) Với T (0, T ] M > ta kí hiệu tập hợp sau tương tự tập W ( M, T ), W1 ( M, T ) dùng chương chương 2: ˜ W ( M, T ) = fv L∞ (0, T; H ) : vt L∞ (0, T; H ), vtt L2 ( Q T ), > > < với maxfkvk L∞ (0,T;H ) , kvt k L∞ (0,T;H ) , kvtt k L2 (QT ) g M g, > > : ˜ ( M, T ) = fv W ˜ ( M, T ) : vtt L∞ (0, T; L2 )g, W ˜ ( T ) = fv L∞ (0, T; H ) : v0 L∞ (0, T; L2 )g Ngoài ra, ta sử dụng không gian Banach W chuẩn tương ứng kvkW˜ (T ) = kvk L∞ (0,T;H1 ) + v0 L∞ (0,T;L2 ) Tiếp theo, ta thiết lập dãy hàm số fum g xác định qui sau: Chọn số hạng đầu u0 u˜ , giả sử ˜ ( M, T ) um W (3.2) ˜ Tìm hàm u 1) thỏa mãn tốn biến phân tuyến tính m W1 ( M, T ) ( m ( hu00m (t), wi + b(um (t), w) = h Fm (t), wi , 8w H , (3.3) um (0) = u˜ , u0m (0) = u˜ , Fm ( x, t) = f [um ]( x, t ) = f x, t, um ( x, t ), um ( η , t ), , um ( η q , t ), um ( x, t ) Khi đó, ta có định lý sau khẳng định tồn dãy qui nạp xác định Định lý 3.1.1 Giả sử giả thiết ( H1 ) , ( H2 ) thỏa mãn Tồn số M, T > 16 ˜ ( M, T ) cho với số hạng đầu u0 u˜ , tồn dãy qui nạp fum g W Chúng sử dụng kết Định lý 3.1.1 định lý nhúng compact để chứng minh kết tồn nghiệm yếu toán (3.1) Kết cho định lý sau Định lý 3.1.2 Giả sử giả thiết ( H1 ), ( H2 ) thỏa Khi ˜ ( M, T ) (i ) Bài tốn (3.1) có nghiệm yếu u W (ii ) Dãy qui nạp fum g xác định (3.2) - (3.3) hội tụ mạnh nghiệm u toán (3.1) ˜ ( T ) khơng gian W Và ta có đánh giá (3.4) kum ukW˜ (T ) CT km T , m N, k T [0, 1) CT số phụ thuộc T, h0 , h1 , f , u˜ , u˜ 3.2 Khai triển tiệm cận nghiệm yếu Trong mục này, giả sử giả thiết ( H1 ) Chúng thiết lập khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán nhiễu ( Pε ) theo tham số bé ε đến cấp N + Trước hết, xét toán nhiễu theo tham số bé ε, jεj sau utt u xx = Fε [u]( x, t), < x < 1, < t < T, > > < u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0, ( Pε ) > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), Fε [u]( x, t) = f [u]( x, t) + ε f [u]( x, t), > > > > < f [u]( x, t) = f x, t, u( x, t), u(η , t), , u(η q , t), ut ( x, t) , > > > > : f [u]( x, t) = f x, t, u( x, t), u(η , t), , u(η , t), ut ( x, t) 1 q Tiếp theo, để thiết lập khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán ( Pε ) theo tham số bé ε, ta cần giả sử (N) ( H2 ) f C N +1 ([0, 1] R+ Rq+2 ), f C N ([0, 1] R+ Rq +2 ) Khi đó,8cho u0 nghiệm yếu toán ( P0 ) (tương ứng ε = 0), nghĩa là: u000 ∆u0 = f [u0 ] F0 , < x < 1, < t < T, > > > > > < u0x (0, t) h0 u0 (0, t) = u0x (1, t) + h1 u0 (1, t) = 0, ( P0 ) > u0 ( x, 0) = u˜ ( x ), u00 ( x, 0) = u˜ ( x ), > > > > : ˜ ( M, T ) u0 W Xét dãy8các nghiệm yếu uk , k N, xác định toán sau: u00k ∆uk = Fk , < x < 1, < t < T, > > > > > < ukx (0, t) h0 uk (0, t) = ukx (1, t) + h1 uk (1, t) = 0, ( P˜k ) > uk ( x, 0) = u0k ( x, 0) = 0, > > > > : ˜ ( M, T ), uk W Fk ,(1 Fk = k N, xác định công thức ¯ [ N, f ] + f [u0 ], Φ k = 1, ¯ k [ N, f ] + Φ ¯k Φ 1[N 1, f ], k 17 N, (3.5) ¯ k [ N, f ] = Φ ¯ k [ N, f , u0 , u0 , ~u, ~u0 ], k N, xác định sau với Φ k = 1, > < f [ u0 ], ¯ k [ N, f ] = Φ γ ∑ γ! D f [u0 ]Ψk [γ, N, ~u, ~u ], k N, > : Ψk [γ, N, ~u, ~u0 ] ∑ = ( γ1 ) Pβ ( γ2 ) [ N, ~u( x, t)] Pβ [ N, ~u(η , t)] e(γ,N ), ( β1 , ,βq+2 )2 A β1 + + βq+2 =k (γ ) ( γ q +1 ) Pβ [ N, ~u(η q , t)] Pβ q+2 [ N, ~u0 ( x, t)], q +1 q +2 với (3.6) jγj k e(γ, N ) = f( β , , β ) Zq+2 : γi < A + q +2 : βi (3.7) Nγi , i q + 2g, q +2 γ = (γ1 , , γq+1 ) Z+ , jγj N, ~u( x, t) = (u1 ( x, t), , u N ( x, t)), ~u0 ( x, t) = (u˙ ( x, t), , u˙ N ( x, t)) Khi đó, ta có định lý sau (N) Định lý 3.2.1 Giả sử giả thiết ( H1 ) ( H2 ) thỏa Khi tồn số M > ˜ ( M, T ) thỏa mãn T > cho với ε [ 1, 1], tốn ( Pε ) có nghiệm yếu uε W đánh giá tiệm cận đến bậc N + sau uε N ∑ k =0 u k ε k ˜ (T ) W CT j ε j N + , (3.8) hàm uk , k N nghiệm yếu toán ( P0 ), ( P˜k ), k N, tương ứng CT số phụ thuộc N, T, f , f , uk , k N Trong chứng minh Định lý 3.2.1, sử dụng bổ đề sau ¯ k [ N, f ], k Bổ đề 3.2.2 Cho Φ N, hàm xác định công thức (3.6) - (3.7) N Đặt h = ∑ uk εk , ta có k =0 N f [ h ] = f [ u0 ] + ∑ Φ¯ k [ N, f ]εk + jεj N +1 Rˆ N [ f , u0 , ~u, ~u0 , ε], k =1 với Rˆ N [ f , u0 , ~u, ~u0 , ε] L∞ (0,T;L2 ) C, C số phụ thuộc N, T, f , uk , u˙ k , k N (N) Bổ đề 3.2.3 Giả sử giả thiết ( H1 ) ( H2 ) thỏa Đặt N Eε ( x, t) = f [h] f [ u0 ] + ε f [ h ] ∑ Fk εk , k =1 với Fk , k N, xác định (3.5) Khi đó, tồn số C phụ thuộc N, T, f , f , uk , u˙ k , k Eε k L∞ (0,T;L2 ) C jεj N +1 k N cho Kết luận chương Bài toán biên nonlocal dạng nhiều điểm số tác giả khảo sát Tuy nhiên, toán biên với biên nhiều điểm xuất số hạng nguồn phi tuyến có mặt phương trình theo hiểu biết chúng tơi chưa khảo sát nhiều Do đó, tốn khảo sát chương xem mở rộng nghiên cứu toán biên nhiều điểm Bài toán (3.1) xem trường hợp riêng tốn (1) - (3) lý sau 18 Xét toán Robin cho phương trình sóng với nguồn chứa số hạng phi địa phương Z > > u u = F x, t, u ( x, t ) , g(u(y, t))dy , < x < 1, < t < T, > tt xx > < (3.9) u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0, > > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), F, g hàm số liên tục Nếu u( x, t) liên tục theo x, với t, tích phân Z g(u(y, t))dy xấp xỉ tổng Riemann Z 1 g(u(η i , t)), q với q đủ lớn η i = i/q, i = 1, 2, , q Khi đó, ta có tốn "xấp xỉ" toán (3.9) sau q > > utt u xx = F x, t, u( x, t), ∑i=1 g(u(η i , t)) , < x < 1, < t < T, > > q < (3.10) u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0, > > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ) Bài toán (3.10) xem trường hợp riêng toán (3.1) Giả sử uq nghiệm toán (3.10), vấn đề đặt u = lim uq theo nghĩa q g(u(y, t))dy t ∑i=1 có nghiệm tốn (3.9) hay khơng tốn mở q!∞ Kết luận Trong luận án, sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến phù hợp để nghiên cứu tính giải số tính chất nghiệm ba lớp tốn biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng phi địa phương Các toán khảo sát luận án có dạng tổng quát chứa nhiều lớp toán biên dạng Các trường hợp riêng toán đề cập luận án có nhiều ý nghĩa học, vật lý số ngành khoa học ứng dụng Nội dung luận án tập trung khảo sát ba lớp toán biên: Lớp toán biên thứ tốn Robin-Dirichlet cho phương trình sóng chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến thời gian Lớp toán biên thứ hai toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng kiểu Kirchhoff-Carrier với nguồn chứa tích phân phi tuyến theo biến khơng gian Lớp toán biên thứ ba toán Robin cho phương trình sóng với nguồn chứa giá trị chưa biết Các kết thu luận án khảo sát ba lớp toán biên kể bao gồm: Sự tồn nghiệm yếu địa phương khai triển tiệm cận nghiệm cho toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chiều chứa số hạng phi địa phương ∂ > > utt ∂x (µ( x, t)u x ) > > Z t > > > < = f x, t, u, ut , u x , g( x, t, s, u( x, s), ut ( x, s), u x ( x, s))ds , < x < 1, < t < T, > > > > u x (0, t) h0 u(0, t) = u(1, t) = 0, > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ) Sự tồn hội bậc cao dãy lặp phi tuyến fum g nghiệm yếu 19 toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng với nguồn phi tuyến chứa số hạng phi địa phương ∂ utt ∂x (µ( x, t)u x ) + λut = f ( x, t, u) > > > > Z t > > > < + g( x, t, s, u( x, s))ds, < x < 1, < t < T, > > > u x (0, t) h0 u(0, t) = u(1, t) = 0, > > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ) Sự tồn nghiệm yếu địa phương khai triển tiệm cận nghiệm cho tốn Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff - Carrier với nguồn chứa tích phân phi tuyến Z > u ∂ > σ ( x, y, t, u(y, t), u x (y, t))dy u x > tt ∂x µ x, t, > > > > > Z > < = f x, t, u, u x , ut , g( x, y, t, u(y, t), u x (y, t), ut (y, t))dy , < x < 1, < t < T, > > > > > > > u x (0, t) h0 u(0, t) = u(1, t) = 0, > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ) Sự tồn nghiệm yếu địa phương khai triển tiệm cận nghiệm cho tốn Robin cho phương trình sóng phi tuyến với nguồn chứa giá trị chưa biết > utt u xx = f x, t, u( x, t), u(η , t), , u(η q , t), ut ( x, t) , < x < 1, < t < T, > > < u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0, > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ) Ngoài kết thu trình bày chi tiết luận án, nêu số hướng nghiên cứu mở rộng luận án sau a Khảo sát toán xét luận án trường hợp nhiều chiều b Trong trường hợp số hạng phi tuyến dạng đặc thù, tìm kiếm thêm tính chất khác nghiệm như: dáng điệu tiệm cận nghiệm, tính ổn nghiệm, tính tắt dần nghiệm, tính bùng nổ nghiệm, c Xây dựng thuật giải lặp cấp cao cho toán tương ứng d Nghiên cứu mối liên hệ hai tốn (3.9) (3.10) 20 Danh mục cơng trình tác giả [N1] L T P Ngoc, N H Nhan, T M Thuyet, N T Long, A nonlinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 18(4) (2013) 545-578 (Scopus) [N2] N H Nhan, L T P Ngoc, T M Thuyet, N T Long, On a high order iterative scheme for a nonlinear wave equation with the source term containing a nonlinear integral, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 21(1) (2016) 65-84 (Scopus) [N3] N H Nhan, L T P Ngoc, T M Thuyet, N T Long, A Robin-Dirichlet problem for a nonlinear wave equation with the source term containing a nonlinear integral, Lithuanian Mathematical Journal, 57(1) (2017) 80-108 (SCI-E) [N4] N H Nhan, L T P Ngoc, N T Long, Existence and asymptotic expansion of the weak solution for a wave equation with nonlinear source containing nonlocal term, Boundary Value Problems, 2017(1) (2017) Article: 87 (SCI-E) [N5] N H Nhan, L T P Ngoc, N T Long, On a nonlinear wave equation of Kirchhoff-Carrier type : Linear approximation and asymptotic expansion of solution in a small parameter, Mathematical Problems in Engineering, (SCI-E) (accepted for publication) [N6] N H Nhan, L T P Ngoc, N T Long, The Robin problem for a nonlinear wave equation with source containing nonlocal term (submitted) 21 ... dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến phù hợp để nghiên cứu tính giải số tính chất nghiệm ba lớp toán biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng phi địa phương Các toán khảo sát luận... phương trình sóng phi tuyến với nguồn chứa số hạng phi địa phương Nghiệm yếu toán thiết lập thuật giải xấp xỉ tuyến tính Trong mục 1.2, thiết lập khai triển tiệm cận cho nghiệm yếu toán đề cập mục... trình bày ba chương Cụ thể sau Trong chương 1, luận án khảo sát hai toán biên Bài toán thứ tốn RobinDirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chiều chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân thời