Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p g iải b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố a - đặt vấn đề I-Lời mở đầu : Trong trờng phổ thông môn Toán có vị trí quan trọng Các kiến thức ph ơng pháp Toán học công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời môn Toán giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả t tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh t tởng đạo đức thẩm mỹ ngời công dân tròng THCS, dạy học Toán: với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lí; việc dạy học giải toán có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phơng pháp dạy học Toán tr ờng phổ thông Đối với học sinh THCS, coi việc giải toán hình thức chủ yếu việc học toán Cùng với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững kiến thức để học sinh vận dụng vào làm tập việc bồi d ỡng học sinh giỏi mục tiêu quan trọng ngành giáo dục nói chung bậc học THCS nói riêng Do việc h ớng dẫn học sinh kĩ tìm tòi sáng tạo trình giải toán cần thiết thiếu đợc Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán tr ờng THCS sâu nghiên cứu nội dung ch ơng trình qua thực tế dạy học thấy: ch ơng trình Toán THCS "Các toán cực trị đại số" đa dạng, phong phú Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p g iải b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố thú vị, có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học THPT để giải toán cực trị đại số ngời ta thờng dùng đến "công cụ cao cấp" toán học là: đạo hàm hàm số THCS, (hay nói xác không đ ợc phép dùng) "công cụ cao cấp" Toán học nói trên, nên ng ời ta phải cách giải thông minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải quết toán loại Chính vậy, toán cực trị đại số THCS không theo quy tắc khuôn mẫu cả, đòi hỏi ng ời học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống Trên thực tế giảng dạy Toán 8-9 năm qua nhận thấy: phần "Các toán cực trị đại số" phần trọng tâm việc bồi dỡng học sinh giỏi trờng THCS Thế nhng thực trạng học sinh tr ờng trờng dạy là: học sinh hứng thú với loại toán này, lẽ toán cực trị đại số tr ờng THCS không theo ph ơng pháp định nên em lúng túng làm toán cực trị, em không theo h ớng Hầu hết học sinh ngại gặp toán cực trị vận dụng để giải tập khác Thực trạng khiến băn khoăn suy nghĩ: "Làm để học sinh không thấy ngại có hứng thú với loại toán này" Với trách nhiệm ng ời giáo viên thấy cần giúp em học tốt phần Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p g iải b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố Tôi dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy thân số đồng nghiệp; qua tìm tòi thử nghiệm, đợc giúp đỡ bạn đồng nghiệp Đặc biệt học sau năm tr ờng s phạm Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "H ớng dẫn học sinh THCS giải toán cực trị đại số" Với đề tài hi vọng giúp học sinh không bỡ ngỡ gặp toán cực trị đại số, giúp em học tốt Đồng thời hình thành học sinh t tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học mong muốn làm đ ợc việc đạt kết cao nhất, tốt II Thực trạng vấn đề nghiên cứu 1, Đối với học sinh : Thực trạng nhận chuyên môn phân công dạy toán tiết cảm thấy hụt hẩng trớc cách học học sinh Để Thống kê lực tiếp thu học sinh dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút t ợng bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nh ng mang tính chất học vẹt chấp hành nguyên bản, trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng học sinh đ a số ví dụ học sinh lúng túng chứng minh nh Trớc thực trạng điều tra học sinh qua nhiều biện pháp kết cho thấy Lớp Sỉ số Giỏi SL 49 02 % Khá SL % 06 TB Sl 31 % Yếu- SL % 10 Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p g iải b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố Sau kiểm tra thấy học sinh hiểu làm mơ hồ, sô học sinh làm đ ợc nằm vào số học sinh khá- giỏi Số lại chủ yếu học sinh TB, Yếu, giải thích toán nh 2, Đối với giáo viên : Thực trạng đổ lỗi cho tất học sinh ngời giáo viên ngời chủ động, chủ đạo kiến thức, tuân theo SGK mà dạy toán đòi hỏi học sinh phải t tốt phải thâu tóm đ ợc kiến thức học để tận dụng vào làm tập Đôi giáo viên áp đặt gò bó em phải thê này, phải mà không đa thực tế để em nhìn nhận vấn đề Về phí học sinh cảm thấy khó tiếp thu dạng toán mà em đ ợc gặp lí mà ngời thầy phải tìm PP phù hợp để học sinh có hứng học, bớc đầu học sinh làm quen với dạng toán Toán Cực nên cảm thấy mơ hồ phân vân sai lại phải làm nh Nếu không biến đổi có tìm đ ợc kết không Từ băn khoăn học sinh giáo viên khẳng định không biến đổi nh không trả lời yêu cầu toán Sau xin đa số kinh nghiệm h ớng dẫn học sinh giải toán cực trị đại số Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p g iải b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố B- giải vấn đề I - giải pháp thực Khái niệm cực trị biểu thức Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S xác định Nếu với giá trị (x , y , z ) S mà ta có: P(x , y , z ) P(x, biến y, , z) P(x , y , z ) P(x, y, , z) ta nói P(x, y, , z) lớn nhỏ (x , y , z ) miền S P(x, y, , z) đạt giá trị lớn (x , y , z ) S gọi P đạt cực đại (x , y , z ) P m a x (x , y , z ) Tơng tự ta có: P đạt giá trị nhỏ (x , y , z ) S gọi P đạt cực tiểu (x , y , z ) P m i n (x , y , z ) Giá trị lớn nhất, nhỏ P miền xác định S gọi cực trị P miền S Nguyên tắc chung tìm cực trị biểu thức Tìm cực trị biểu thức miền xác định vấn đề rộng phức tạp, nguyên tắc chung là: Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p g iải b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố *) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai b ớc: - Chứng tỏ P k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trờng hợp xảy dấu đẳng thức *) Để tìm giá trị lớn biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai b ớc: - Chứng tỏ P k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trờng hợp xảy dấu đẳng thức Chú ý không đ ợc thiếu bớc hai bớc Ví dụ : Cho biểu thức A = x + (x - 2) Một học sinh tìm giá trị nhỏ biểu thức A nh sau: Ta có x ; (x - 2) nên A Vậy giá trị nhỏ A Lời giải có không? Giải : Lời giải không Sai lầm lời giải chứng tỏ A nhng cha đợc trờng hợp xảy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức không xảy ra, có đồng thời: x = (x - 2) = Lời giải là: A = x + (x - 2) = x + x - 4x +4 = 2x - 4x + = 2(x -2x - +1) + = 2(x - 1) + Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p g iải b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố (x - 1) Ta có: , x 2(x - 1) + A x x Do A = x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A với x = Kiến thức cần nhớ: Để tìm cực trị biểu thức đại số, ta cần nắm vững: a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen thuộc: * a2 0, tổng quát: a k (k nguyên dơng) Xảy dấu đẳng thức a = * -a 0, tổng quát: -a k (k nguyên dơng) Xảy dấu đẳng thức a = * a ( Xảy dấu đẳng thức a = 0) * - a a a ( Xảy dấu đẳng thức a = 0) a + b a+b ( Xảy dấu đẳng thức ab 0) * * a b ab ( Xảy dấu đẳng thức * a+ , a a >0 a + a b a , a a 0 1 a b ( Xảy dấu đẳng thức a = b) II - biện pháp thực (Một số dạng toán cực trị đại số) Thông qua toán sách giáo khoa (sách tham khảo) tiến hành phân loại thành số dạng toán cực trị đại số THCS h ớng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải dạng toán Sau số dạng th ờng gặp: Dạng : toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) = x - 4x+1 Trong x biến số lấy giá trị thực H ớng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi dạng A(x) k (k số) với gía trị biến trờng hợp xảy đẳng thức Lời giải : A(x) = x - 4x+1 Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p g iải b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố = x - 2.2x+1 = (x - 2.2x+4)- = (x- 2) - Với giá trị x: (x - 2) nên ta có: A(x) = (x- 2) - -3 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -3 x=2 Đáp số : A(x) n h ỏ n h ấ t = - với x=2 Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức B(x) = -5x - 4x+1 Trong x biến số lấy giá trị thực H ớng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị lớn biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đa B(x) dạng B(x) k (k số) với giá trị biến giá trị lớn B(x)= k xảy đẳng thức Lời giải : B(x) = -5x 4x+1 = -5 (x + x) +1 2 2 2 = -5 x + x + + x + = +1 25 2 = -5 x + + + 5 Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p g iải b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố 2 = -5 x + + 5 2 Với giá trị x: x + 2 nên -5 x + 9 suy ra: B(x)= -5 x + + 5 Vậy B(x)đạt giá trị lớn B(x)= Đáp số : B(x) l n n h ấ t = , x = 5 với x = 5 Ví dụ : (Tổng quát) Cho tam thức bậc hai P = ax +bx + c Tìm giá trị nhỏ P a > Tìm giá trị lớn P a < H ớng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) P ta cần phải biến đổi cho P = a.A (x) + k Sau xét với trờng hợp a>0 a