Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
406,59 KB
Nội dung
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐINH VĂN TUYÊN CÁCBÀITOÁNCỰCTRỊTRONGTAMGIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐINH VĂN TUYÊN CÁCBÀITOÁNCỰCTRỊTRONGTAMGIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chủ tịnh hội đồng bảo vệ Người hướng dẫn khoa học PGS.TS VŨ ĐỖ LONG TS.Lê Đình Định Hà Nội - 2016 STT MỤC LỤC 01 Lời cảm ơn…………………………………………………………………….02 Lời nói đầu…………………………………………………………………….03 Bố cục luận văn………………………………………………… 04 Một số ký hiệu dùng luận văn……………………………………… 07 Chƣơng Kiến thức chuẩn bị………………………………………………08 1.1 Các đẳng thức tam giác……………………………….08 1.2 Một số bất đẳng thức đại số bản……………………………… 12 1.3 Các bất đẳng thức tam giác………………………… 15 Chƣơng Cáctoáncựctrịtam giác…………………………….17 2.1 Một số phƣơng pháp giải toáncựctrịtam giác…… 17 2.1.1 Dùng phương pháp Vectơ ……………………………………… 18 2.1.2 Dùng phương pháp tam thức bậc hai…………………………… 21 2.1.3 Dùng phương pháp đạo hàm ……………………………………….29 2.1.4 Dùng bất đẳng thức đại số bản…………………………… 33 2.2 Một số toáncựctrịtam giác……………………………….44 Chƣơng Cách xây dựng toáncựctrịtam giác………… 55 Kết luận…………………………………………………………………… 77 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 78 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Lê Đình Định người thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện giúp hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ suốt trình học tập trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè tất người giúp đỡ, động viên suốt trình học tập hoàn thành luận văn LỜI NÓI ĐẦU Cáctoáncựctrịtamgiác phần quan trọngtoán sơ cấp, có nhiều điểm chung với Bất đẳng thức tamgiác phương pháp giải Có nhiều dạng toán thuộc loại khó liên quan tới chuyên đề Điểm khác biệt quan trọngtoáncựctrịtamgiáctoán bất đẳng thức tamgiác là: toán bất đẳng thức tamgiác biết trước đích ta phải đến (tức biết hai vế), toáncựctrịtamgiác không Ví dụ: a (về toán bất đẳng thức tam giác): Cho tamgiác ABC , chứng minh cos A 2cos B cos C b.(về toáncựctrịtam giác): Cho tamgiác ABC , tìm giá trị lớn biểu thức M cos A 2cos B cos C toáncựctrịtamgiác có độ phức tạp toán bất đẳng thức tamgiác Tuy nhiên, nắm vững phương pháp giải toán bất đẳng thức tamgiác dễ dàng làm toáncựctrịtam giác, ngược lại Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, toán liên quan đến Cáctoáncựctrịtamgiác hay đề cập thuộc loại khó Cáctoán chứng minh bất đẳng thức, cựctrịtamgiác hay nhận dạng tamgiác đề cập nhiều tài liệu bồi dưỡng giáo viên học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông Các kết nghiên cứu nội dung đến tương đối đầy đủ hoàn thiện Chính để có kết có ý nghĩa nội dung việc làm khó thân Tuy nhiên, với nỗ lực nhận thức thân, luận văn cung cấp số kiến thức đẳng thức bất đẳng thức tam giác, hệ thống số phương pháp việc giải toáncựctrịtam giác, nêu số toáncựctrịtamgiác Đồng thời đưa số cách xây dựng toáncựctrịtamgiácTrong trình hoàn thành luận văn tác giả không ngừng nỗ lực để học hỏi, tìm tòi sưu tầmtoáncựctrịtamgiác Tuy nhiên, hiểu biết thân, điều kiện thời gian khuân khổ luận văn thạc sĩ, nên chắn trình nghiên cứu không tránh khỏi khiếm khuyết Tác giả mong dạy thầy (cô) giáo quí bạn đọc để luận văn thêm hoàn thiện Bố cục luận văn bao gồm: Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Chương gồm định lí, công thức số đẳng thức, bất đẳng thức tamgiác như: định lí hàm số sin, định lí hàm số cos, công thức tính diện tích tam giác, công thức tính bán kính, công thức đường trung tuyến, công thức đường phân giác, công thức hình chiếu, số đẳng thức tam giác, số bất đẳng thức đại số thường gặp, số bất đẳng thức tamgiác Chƣơng Cáctoáncựctrịtamgiác Gồm phần: Phần 1: Sử dụng tính chất tích vô hướng a) a b a.b n b) i 1 để giải toán tìm cựctrịtamgiác Phần 2: Sử dụng tính chất dấu tam thức bậc hai Cho f x ax bx c a) af x 0; x b) Nếu cho: af x1 ; x2 để giải toán tìm cựctrịtamgiác Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải toán tìm cựctrịtamgiác Phần 4: Dùng bất đẳng thức để giải toáncựctrịtamgiác Phần 5: Nêu số toáncựctrịtamgiác Chƣơng Cách xây dựng toáncựctrịtamgiácTrong chương tác giả dùng kiến thức phổ thông, đẳng thức bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức biết, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức Trêbưsep, bất đẳng thức Jensen … để xây dựng lên toáncựctrịtamgiác Ngày … tháng 12 năm 2016 Học viên Một số ký hiệu dùng luận văn 1) ABC : tamgiác ABC A;B;C: đỉnh, đồng thời số đo ba góc tamgiác ABC a; b;c: số đo độ dài ba cạnh BC; AC; AB 2) ; hb ; hc : độ dài đường cao tương ứng cạnh a; b; c 3) la ; lb ; lc : độ dài đường phân giác tương ứng cạnh a; b; c 4) ma ; mb ; mc : độ dài đường trung tuyến tương ứng cạnh a; b; c 5) ; rb ; rc : bán kính đường tròn bàng tiếp tương ứng góc:A;B;C 6) R; r: bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tamgiác ABC 7) p; S: thứ tự nửa chu vi diện tích tamgiác ABC 8) Min; max: giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 9) : với 10) CMR: chứng minh 11) Đpcm: Điều phải chứng minh 12) ; ; : tập số thực, tập số nguyên, tập số tự nhiên Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các đẳng thức tamgiác 1.1.1 Các định lí công thức tamgiác 1.1.1.1 Định lý hàm số sin : a b c 2R sin A sin B sin C 1.1.1.2 Định lý hàm số cos : a2 b2 c2 2bc.cos A b2 a c2 2ac.cos A c2 a b2 2ab.cos A 1.1.1.3 Định lý hàm số tan : A B tan a b a b tan A B B C bc b c tan B C tan CA ca C A c a tan tan 1.1.1.4 Công thức tính diện tích tamgiác SABC 1 ah a bhb chc 2 1 ab.sin C bc.sin A ca.sin B 2 abc pr ( p a)ra ( p b)rb ( p c)rc 4R 2R2 sin A sin B sin C p( p a)( p b)( p c) 10 (công thức He - ron) 1.1.1.5 Công thức bán kính: - Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R a b c abc 2sin A 2sin B 2sin C 4S - Bán kính đường tròn nội tiếp: r ( p a) tan A B C S ( p b) tan ( p c) tan 2 p - Bán kính đường tròn bàng tiếp: p tan A S pa rb p tan B S p b rc p tan C S pc 1.1.1.6 Công thức đƣờng trung tuyến ma b2 c a mb c a b2 mc a b2 c2 1.1.1.7 Công thức phân giác lb 2ca B cos ca lc 2ab C cos ab la 2bc A cos bc 1.1.1.8 Công thức hình chiếu a b.cos C c.cos B r (cot B C cot ) 2 11 b a.cos C c.cos A r (cot A C cot ) 2 c a.cos B b.cos A r (cot B A cot ) 2 Chứng minh ( Xem [1] ) 1.1.2 Một số đẳng thức tamgiácTrong ABC ta có: A B 1.1.2.1 sin A sin B sin C 4cos cos cos C 1.1.2.2 sinh A sin 2B sin 2C 4sin A sin B sin C 1.1.2.3 sin A sin B sin C 2cos A cos B cos C 1.1.2.4 cos A cos B cos C 4sin A B C sin sin 2 1.1.2.5 cos A cos 2B cos 2C 4cos A cos B cos C 1 1.1.2.6 cos2 A cos2 B cos2 C 2cos A cos B cos C Chứng minh: Các từ 1.1.2.1 đến 1.1.2.6 chứng minh tương tự sử dụng công thức lượng giác để biến đổi vế trái thành vế phải Lƣu ý: A B C Ta chứng minh 1.1.2.3 ý lại tương tự Ta có sin A sin B sin C cos A cos B cos C 2 cos( A B) cos( A B) cos C cos C cos( A B) cos C AC B A B C sin 2 2(1 cos A cos B cos C ) cos C.(2).sin 1.1.2.7 cot A B C A B C cot cot cot cot cot 2 2 2 1.1.2.8 tan A B B C C A tan tan tan tan tan 2 2 2 12 : 1.1.2.9 cot A cot B cot B cot C cot C cot A 1.1.2.10 tan A tan B tan C tan A tan B tan C ( ABC không vuông) Chứng minh Cách chứng minh bốn từ 1.1.2.7 đến 1.1.2.10 tương tự nhau, ta chứng minh 1.1.2.9 Ta có: cot( A B) cot C cot A cot B cot C cot A cot B cot A cot B cot B cot C cot C cot A A B 1.1.2.11 cos cos cos 1.1.2.12 tan C p ; 4R sin A B C r 4R ; tan tan 2 p A B C r sin sin 2 4R cot A B C p cot cot 2 r Chứng minh ( Xem [1] ) 1.1.3 Một số toán đẳng thức dạng tổng quát Chứng minh ABC k ta có: 1.1.3.1 sin(2k 1) A sin(2k 1) B sin(2k 1)C (1)k 4cos(2k 1) A B C cos(2k 1) cos(2k 1) 2 1.1.3.2 sin 2kA sin 2kB sin 2kC (1)k 1 4sin kA sin kB sin kC 1.1.3.3 cos(2k 1) A cos(2k 1) B cos(2k 1)C (1)k 4sin(2k 1) A B C sin(2k 1) sin(2k 1) 2 1.1.3.4 cos 2kA cos 2kB cos 2kC 1 (1)k 4cos kA cos kB cos kC 1.1.3.5 tan kA tan kB tan kC tan kA tan kB tan kC 1.1.3.6 cot(2k 1) A B C A B C cot(2k 1) cot(2k 1) cot(2k 1) cot(2k 1) cot(2k 1) 2 2 2 1.1.3.7 13 A B B C C A tan(2k 1) tan(2k 1) tan(2k 1) tan(2k 1) tan(2k 1) 2 2 2 cot kA cot kB cot kB cot kC cot kC cot kA 1.1.3.8 tan(2k 1) 1.1.3.9 cos2 kA cos2 kB cos2 kC (1)k 2cos kA cos kB cos kC 1.1.3.10 sin kA sin kB sin kC (1)k 1 2cos kA cos kB cos kC Chứng minh Bài 1.1.3.1 tổng quát Bài 1.1.2.1 Ta có: sin(2k 1) A sin(2k 1) B sin(2k 1)C 2sin(2k 1) A B A B C C cos(2k 1) 2sin(2k 1) cos(2k 1) 2 2 2(1)k cos(2k 1) C A B A B cos(2k 1) cos(2k 1) 2 2 (1)k 4cos(2k 1) A B C cos(2k 1) cos(2k 1) 2 Bài 1.1.3.2.; 1.1.3.3.; 1.1.3.4 tổng quát 1.1.2.2.; 1.1.2.3.; 1.1.2.4 cách chứng minh tương tự 1.1.3.1 Bài 1.1.3.5 tổng quát 1.1.2.10 Ta có: tan kA tan k k ( B C ) tan(kB kC ) tan kB tan kC tan kB tan kC Từ có được: tan kA tan kB tan kC tan kA tan kB tan kC Bài 1.1.3.6 tổng quát 1.1.2.7 chứng minh tương tự 1.1.3.5 Bài 1.1.3.7 tổng quát 1.1.2.8 Ta có tan(2k 1) A BC tan(2k 1)( ) 2 B C cot (2k 1) (2k 1) 2 B C tan (2k 1) (2k 1) 2 14 B C tan(2k 1) 2 B C tan(2k 1) tan(2k 1) 2 tan(2k 1) Từ ta có đựơc: tan(2k 1) A B C C A tan(2k 1) tan(2k 1) tan(2k 1) tan(2k 1) tan(2k 1) 2 2 Bài 1.1.3.8 tổng quát 1.1.2.9 cách chứng minh tương tự 1.1.3.7 Bài 1.1.3.9 tổng quát 1.1.2.6 Ta có: cos2 kA cos2 kB cos2 kC 2 = (1 cos 2kA) (1 cos 2kB) (1) k cos kC cos k ( A B) (1)k cos kC cos k ( A B) cos k ( A B) (1)k 2cos kA cos kB cos kC Bài 1.2.3.10 tổng quát Bài 1.2.1.3 chứng minh tương tự 1.2.3.9 tập 1.2.1.; tập 1.2.2.; tập 1.2.3 1.2 Một số bất đẳng thức đại số 1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy Cho n số không âm: a1 , a2 , , an Ta có bất đẳng thức: a1 a2 an n a1a2 an n Dấu đẳng thức xẩy a1 a2 an 1.2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski Cho n cặp số bất kì: a1 , a2 , , an ; b1, b2 , , bn Ta có bất đẳng thức: (a1b1 a2b2 anbn )2 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 Hay gọn hơn: 15 n n n bi a i bi Dấu đẳng thức xẩy khi: i 1 i 1 i 1 k : kbi (*) Với i 1, 2, , n (nếu bi 0; i(*) viết: a a1 a2 n ) b1 b2 bn 1.2.3 Bất đẳng thức Trêbƣsep Cho hai dãy số thứ tự giống nhau: a1 a2 an ; b1 b2 bn Ta có bất đẳng thức sau: a1 a2 an b1 b2 bn a1b1 a2b2 anbn n n n (*) Dấu đẳng thức xảy a1 a2 an b1 b2 bn ; CHÚ Ý: Nếu hai dãy số xếp ngược chiều bất đẳng thức (*) đổi chiều 1.2.4 Bất đẳng thức Jensen Bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức áp dụng cho hàm lồi Trước hết xin nhắc lai định nghĩa hàm lồi 1.2.4.1 Cho hàm số y f x xác định a; b Hàm f gọi lồi thoả mãn điều kiện sau đây: Nếu x1 x2 a, b , m, n : m n f mx1 nx2 mf x1 nf x2 1.2.4.2 Hàm số y f x xác định đoạn a, b gọi lõm đó, -f(x) lồi Điều kiện đủ dùng để xét xem hàm số lồi (hoặc lõm) Cho f(x) hàm liên tục đến đạo hàm cấp hai a, b - Nếu f ''( x) 0; x (a, b) f ( x) hàm lồi a, b - Nếu f ''( x) 0; x (a, b) f x hàm lõm a, b 16 1.2.4 Bất đẳng thức Jensen Cho f x hàm lồi a, b Giả sử x1 , x2 , , xn a, b Khi ta có bất đẳng thức sau: x x xn f n n f x1 f x2 f xn Đẳng thức xảy x1 x2 xn 1.3 Các bất đẳng thức tamgiác a) cos A cos B cos C b) sin A sin B sin C ( ABC nhọn) 3 c) sin A B C sin sin 2 2 d) cos A B C 3 cos cos 2 2 e) cos A cos B cos C f) sin A sin B sin C A B A B g) cos cos cos h) sin sin sin 3 C 3 C i) cot A cot B cot C ( ABC nhọn ) j) tan A tan B tan C 3 ( ABC nhọn) k) tan A B C tan tan 2 l) cot A B C cot cot 3 2 m) tan A.tan B.tan C 3 17 A B n) tan tan tan C 3 Chứng minh (Xem [1]) 18 Chƣơng Cáctoáncựctrịtamgiác 2.1 Một số phƣơng pháp giải toáncựctrịtamgiác Nhận xét: Tuy số lượng toán bất đẳng thức toáncựctrịtamgiác tương đối nhiều khó, nắm cách giải vận dụng linh hoạt trở thành đơn giản Các cách giải gì? dựa vào phép biến đổi tương đương sử dụng phương pháp giải phù hợp phương pháp vectơ, phương pháp tam thức bậc hai, phương pháp đạo hàm…đó sử dụng số bất đẳng thức biết Đặc biệt, ý đến đánh giá quan trọng sau hàm số lượng giác cos , tức cos x với x Dấu đẳng thức xảy x Ví dụ Cho tamgiác ABC , tìm giá trị lớn biểu thức sau M sin A + sin B - cos C Lời giải Ta có M s in A sin B cos C 2sin A B A B C cos cos C 2cos cos C 2 Lại có: C C C C 1 3 2cos cos C 2cos 2cos 1 2 cos 2 2 2 Vì vậy: M sin A sin B cos C 3 Vậy max M A B 2 C tamgiác ABC cân C với C cos 2 Ví dụ Cho tamgiác ABC , tìm giá trị lớn biểu thức sau: P sin A sin B 19 cos C Lời giải Ta có: P sin A sin B A B A B C cos C 2sin cos cos C 2cos cos C 2 3 Lại có: cos C C C cos C cos (2 cos 1) 2 3 2 C 3 cos 2 3 3 Vì vậy: sin A sin B cos C Vậy max P tamgiác ABC cân C với C 2.1.1 Phƣơng pháp vectơ Sử dụng tính chất a a b a.b n b i 1 Ví dụ Cho tamgiác ABC , tìm giá trị lớn biểu thức sau T= cos A 2cos B cos C Lời giải Gọi e1; e2 ; e3 thứ tự vectơ sau BC CA AB e1 ; e2 ; e3 BC CA AB Ta có 2e1 3e2 e3 cos A 2cos B cos C cos A 2cos B cos C (đpcm) Vậy max T 2e1 3e2 3e3 Suy 20 ... cực trị tam giác Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải toán tìm cực trị tam giác Phần 4: Dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị tam giác Phần 5: Nêu số toán cực trị tam giác Chƣơng Cách xây dựng toán. .. đẳng thức bất đẳng thức tam giác, hệ thống số phương pháp việc giải toán cực trị tam giác, nêu số toán cực trị tam giác Đồng thời đưa số cách xây dựng toán cực trị tam giác Trong trình hoàn thành... trọng toán cực trị tam giác toán bất đẳng thức tam giác là: toán bất đẳng thức tam giác biết trước đích ta phải đến (tức biết hai vế), toán cực trị tam giác không Ví dụ: a (về toán bất đẳng thức tam