Chỉnh hóa tikhonov cho bài toán giải chập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Hoàng Yến CHỈNH HÓA TIKHONOV CHO BÀI TOÁN GIẢI CHẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Hoàng Yến CHỈNH HÓA TIKHONOV CHO BÀI TOÁN GIẢI CHẬP Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí minh - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan : Những nội dung luận văn tự thực hướng dẫn trực tiếp Gs.Ts Đặng Đức Trọng Mọi tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng ghi cụ thể phần tài liệu tham khảo Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2014 Học viên Hồ Hoàng Yến LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tất quý Thầy Cô tận tình giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quan trọng suốt thời gian học khoa Toán - Tin, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy hướng dẫn Gs.Ts Đặng Đức Trọng, người tận tình hướng dẫn, động viên, lo lắng, giúp đỡ vượt qua khó khăn để hoàn thành luận văn Tôi vô biết ơn ba mẹ bên tôi, động viên, khích lệ, chăm lo cho để có điều kiện tốt vật chất lẫn tinh thần học tập sống Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để xem xét góp ý cho điểm thiếu sót để rút kinh nghiệm cho luận văn cho trình học tập sau Rất mong nhận bảo quý báu quý Thầy Cô đóng góp chân thành quý bạn đọc Xin chân thành cảm ơn Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2014 Học viên Hồ Hoàng Yến MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 1.1 Không gian đo - Tích phân Lebesgue 12 1.2 Biến số ngẫu nhiên 15 1.3 Không gian định chuẩn 21 p 1.4 Không gian L , 1p < +∞ 22 1.5 Không gian Hilbert 23 1.6 Biến đổi Fourier 25 1.7 Không gian Sobolev 28 1.8 Bài toán không chỉnh 31 1.9 Tính không chỉnh toán giải chập 32 Chương PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TIKHONOV 38 2.1 Bổ đề 2.1.1 39 2.2 Định lý 2.2.1 42 2.3 Định lý 2.3.1 43 Chương CHẶN TRÊN VÀ CHẶN DƯỚI CỦA SAI SỐ XẤP XỈ 45 3.1 Chặn sai số xấp xỉ 47 3.2 Chặn sai số xấp xỉ 51 3.3 Chứng minh bổ đề 3.1.1 54 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU Thống kê phi tham số phương pháp thống kê không dựa yếu tố tham số hóa phân bố xác suất Các yếu tố bao gồm số liệu thống kê dựa mô tả suy luận Thống kê phi tham số giống thống kê đơn mà ta biết, có thông số đặc trưng: trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn Tuy nhiên, không giống thống kê có tham số, thống kê phi tham số không giả định hay đặt điều kiện phân bố xác suất biến ngẫu nhiên đánh giá Thống kê phi tham số thường sử dụng rộng rãi nhằm nghiên cứu đối tượng để đưa đánh giá mang tính chất phân cấp xếp đối tượng Phương pháp phi tham số hữu ích liệu nghiên cứu dù xếp lại rõ ràng mặt số học Nếu xét mức độ đo lường, phương pháp phi tham số thường cho liệu có thứ tự Tích chập phép toán liên quan sử dụng nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật đặc biệt toán học Trong toán học, đặc biệt lý thuyết xác suất, phân phối xác suất tổng hai biến ngẫu nhiên tích chập hai phân phối xác suất hai biến ngẫu nhiên Trong việc ước lượng mật độ hạt nhân, hàm phân phối ước lượng dựa điểm mẫu phép tích chập với hạt nhân Giải chập thuật ngữ việc giải phương trình tích chập Một phương trình tích chập thường có dạng f * g = h Thông thường h hàm có trước, f hàm cần tìm sau giải phương trình tích chập, nhiên f lại có quan hệ chặt chẽ xác định với g Nếu biết g , dạng g ta dễ dàng giải phương trình tích chập để tìm f Nếu ta hàm g , ta sử dụng phương pháp ước lượng thống kê nhằm ước lượng hàm g Phương trình tích chập sử dụng nhiều lĩnh vực kỹ thuật điện, phương trình vi tích phân, xử lý ảnh xử lý tín hiệu, thị giác máy tính đặc biệt thống kê việc ước lượng hàm mật độ biến ngẫu nhiên rời rạc Bài toán giải chập thường toán không chỉnh Các phương pháp để giải toán chưa nghiên cứu nhiều Gần đây, nhiều tác giả quan tâm việc ước lượng hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên độc lập phân phối đồng X , X , , X n từ mô hình Y j = X j + Z j , biến ngẫu nhiên không khảo sát sai số, phân phối hàm mật độ xác suất g độc lập với X j Bài toán biết đến toán giải chập thống kê phi tham số Một phương pháp phổ biến để giải toán phương pháp ước lượng hạt nhân Phương pháp đề cập đến báo Stefanski Carroll [18], Fan [15], [16], Goldenshluger [6] Tuy nhiên, dạng Fourier g ft ( t ) hàm mật độ g báo thường giả định khác với t ∈  , điều kiện không tự nhiên số trường hợp Trường hợp nhận giá trị đề cập đến vài báo Ta biết toán giải chập toán không chỉnh cần phải chỉnh hóa Trong lý thuyết toán không chỉnh, phương pháp chỉnh hóa thường dùng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Trong luận văn này, làm rõ ý báo Tikhonov's regularization to Deconvolution problem tác giả Đặng Đức Trọng, Cao Xuân Phương, Trương Trung Tuyến Đinh Ngọc Thanh (trong [14] phần tài liệu tham khảo) trường hợp đề cập Trong báo này, tác giả quan tâm đến việc ước lượng hàm mật độ f biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối đồng X , X , , X n dựa biến ngẫu nhiên trực tiếp Y1 , Y2 , , Yn từ mô hình Y j = X j + Z j với j = 1,2, , n (1) Ở Z j biến ngẫu nhiên không quan sát sai số, phân phối hàm mật độ g độc lập với biến X j Chúng ta biết h hàm mật độ xác suất Y j có quan hệ h = f * g, (2) kí hiệu * biểu thị tích chập hai hàm f g , +∞ ( f * g )( x ) = ∫ f ( x − t ) g ( t ) dt −∞ Ta biểu diễn biến đổi Fourier hàm f +∞ f ft ( t ) = ∫ f ( x ) eitx dx, t ∈  (3) −∞ Đặt NZg = {t ∈  : g ft ( t ) ≠ 0} Thông thường, biết h , áp dụng biến đổi Fourier cho hai vế (2) để có f ft h ft = ft với t ∈ NZg , g (4) sau sử dụng biến đổi Fourier ngược, ta tìm f Đây toán cổ điển giải tích Trong thực tế, hàm mật độ h , có biến khảo sát Y j , j = 1, , n Bài toán tìm ngược lại hàm f từ biến khảo sát Y j phân phối phụ thuộc vào h gọi toán giải chập thống kê hay ngắn gọn toán giải chập Phương trình (2) phương trình tích phân việc giải (2) toán không chỉnh điển hình Một toán giải chập cụ thể toán hội tụ Để chứng minh toán giải chập hội tụ, tồn dãy xấp xỉ f n cho lim f n ( ;Y1 , , Yn ) − f X n→+∞ = 0, X không gian Banach thích hợp Thực tế, trường hợp đơn giản NZg =  Trong trường hợp này, có nhiều phương pháp để xây dựng ước lượng f n ( x;Y1 , , Yn ) Như đề cập trên, ước lượng hạt nhân cách tiếp cận phổ biến để nói toán giải chập Trong phương pháp này, ta xấp xỉ hàm mật độ f ước lượng fn ( x ) = 2π +∞ ∫e −∞ − itx K ft ( tb ) n itY j ∑e dt , g ft ( t ) n j =1 (5) K hàm hạt nhân K ft có giá compact Phương pháp lần đầu giới thiệu báo Stefanski Carroll [18], Fan[15],[16] Ước lượng (5) biết đến hàm mật độ hạt nhân giải chập tiêu chuẩn Chúng ta ý ước lượng (5) có ý nghĩa g ft ( t ) ≠ với t ∈  , điều kiện NZg =  trở thành điều kiện phổ biến cho đề tài giải chập Thực chất, điều kiện g thường thỏa { g ft ( t ) C (1 + t ) exp −C0 t −α g }, C , C0 > 0,α0, γ 0 α + γ > Tương tự, trường hợp biến ngẫu nhiên hai chiều, Goldenshluger [6] giả định ft g ( t ) C exp {−C0t } , ∀v > t v Tuy nhiên, có nhiều hàm mật độ quan trọng không thỏa NZg =  , ví dụ hàm mật độ g đoạn [ −a, a ] , a > , hàm mật độ tự tích chập tích chập hàm mật độ tùy ý với hàm mật độ Bài toán giải chập trường hợp NZg ≠  khó Theo biết, có vài báo đề cập đến trường hợp Bài báo xem xét vấn đề Devroye [17] Tính hội tụ lập theo chuẩn không gian L1 (  ) Sử dụng kỹ thuật chặt cụt, ông xây dựng ước lượng f n hội tụ hàm mật độ cần tìm f dạng Fourier g ft bị triệt tiêu tập có độ đo Lebesgue không,   K ( th ) n itY j   Re  ∫ e − itx ft e dt  , x < t , ∑ g t n f n ( x;Y1 , , Yn ) =  2π ( ) =1 j A  r   , x Kt ,  { } Ar = t ∈ < : g ft ( t ) < r , r > 0, h > , dạng Fourier hàm hạt nhân K ft có giá compact [ −c, c ] , c > Tuy nhiên, tỉ lệ hội tụ không nói đến báo Trong báo Meister [8], hàm mật độ toán giải chập xem xét trường hợp hàm mật độ cần tìm f chứa FS ,C ,β - lớp hàm mật độ thỏa S ∫ f ( x ) dx = −S +∞ ∫ f ft (t ) (1 + t ) β −∞ dtC , với S , C , β > mà hàm mật độ sai số thuộc vào gu ,v - lớp hàm mật độ thỏa g ft ( t ) u với t ∈ [ −v, v ] MISE ( f n , f ) =  f n − f L2 (  ) g ∞ C Tỉ lệ hội tụ ( MISE :sai số trung bình bình phương tích phân) phụ thuộc vào lớp định nghĩa cho f g đạt đến lượng ( ( ln n ) −2 β (1−δ ) ( ln ln n ) 2β ) với δ ∈[0,1) Tỉ lệ có kích  ( ln n )δ δ thước mẫu n chọn đủ lớn để điểm cuối S ∈  ;0 ( ln n )  (1) ( )    Thực điều kiện không tự nhiên S xác thông thường chọn n cách xác Tính hội tụ MISE ( f n , f ) nghiên cứu báo ông f có giá đoạn [ − S , S ] cố định, hội tụ trường hợp Kết báo [8] xây dựng dựa giả định hàm mật độ cần tìm có giá compact giá trị biến đối Fourier hàm mật độ sai số thừa nhận Cũng tương tự đề tài trên, Groeneboom Tongbloed [19], tác giả tập trung xem xét toán giải chập mô hình hàm mật độ đồng Họ cách chọn dãy sóng phù hợp, xây dựng ước lượng hàm mật độ cần tìm f f có điểm cuối bên trái hữu hạn Trong báo Hall Meister [20], tác giả đưa hướng tiếp cận toán giải chập trường hợp NZg ≠  Để tránh việc chia cho , tác giả sử dụng hàm hn ( t ) = n −ξ t p với ξ > 0, p > thay g ft cực đại hai hàm g ft ( t ) với hn ( t ) Hàm hn ( t ) gọi "hàm sóng" Một xấp xỉ cho hàm mật độ f định nghĩa   f n ( x ) = Re   2π  +∞ ∫e −∞ − itx g ft ( −t ) f ( max { g ft ft (t ) r ( t ) ; hn ( t )}) r +2  n itY j  ∑e dt  n j =1   (6) với r0 Tỉ lệ hội tụ sai số trung bình bình phương tích phân  fn − f L2 (  ) xây dựng lớp hàm mật độ xác suất g thỏa g ft ( t ) không triệt tiêu t T C1 sin ( λt ) t  g ft ( t ) C2 sin ( λt ) t u −v u −v , t > T, (7) với u1 , v > , 0C1C2 , λ > , T > Các tỉ lệ tối ưu việc ước lượng đồng thời trình bày Sử dụng phương pháp biến đổi hạt nhân, Delaige Meister [10] cho kết tương tự Tuy nhiên, thấy điều kiện (7) áp đặt lên g ft không tự nhiên Trong báo này, hàm mật độ g giả sử thỏa { g ft ( t ) c sin ( kt ) (1 + t ) exp −d t n −α β }, (8) với t ∈  , k > , c > , d > , α0 , β 0 , α + β > , ν > Trong  nπ  trường hợp này,  \ NZg ⊂  , n ∈   Nói theo cách khác, vị trí mà  k  hàm g ft bị triệt tiêu đường thẳng thực cố định Khi g hàm mật độ đều, dễ thấy g thỏa (8) trường hợp g hàm mật độ tùy ý điều kiện (8) thường không thỏa Để trình bày vấn đề trên, luận văn trình bày việc xem xét toán giải chập trường hợp dạng Fourier phân phối sai số nhận giá trị đường thẳng thực, không số hạn chế đặc biệt NZg Sử dụng tính chất hàm nguyên vài kết giải tích điều hòa, xem xét tập mức phân phối sai số Bằng cách ước lượng độ đo Lebesgue tập mức hàm g ft kết hợp với phép chỉnh hóa Tikhonov, trình bày ước lượng f n hàm mật độ cần tìm f đánh giá tỉ lệ hội tụ sup sup  f n − f g∈s ,g , M ,T f ∈q , K Ngoài ra, chặn sup 10 sup  f n − f g∈s ,g , M ,T f ∈q , K trình bày L2 (  ) L2 (  ) Bố cục luận văn bao gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, phát biểu định nghĩa, định lý áp dụng trình chứng minh hai chương lại định nghĩa không gian đo, biến đổi Fourier, toán không chỉnh Ngoài chương chứng minh tính không chỉnh toán giải chập từ đưa yêu cầu phải chỉnh hóa chương 2, sau đánh giá sai số xấp xỉ chương Chương 2: Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Trong chương trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov việc sử dụng để đưa xấp xỉ cho hàm mật độ xác suất Chương 3: Chặn chặn sai số xấp xỉ Chúng trình bày phát biểu chứng minh định lý liên quan đến sai số xấp xỉ Ngoài ra, cung cấp chặn chặn sai số xấp xỉ Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2014 Hồ Hoàng Yến 11 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian đo - Tích phân Lebesgue Định nghĩa 1.1.1 Cho M họ tập tập X Ta nói M σ − đại số X M thỏa tiên đề sau Tiên đề X ∈ M Tiên đề Nếu A∈ M AC ∈ M , với AC = X \ A phần bù A X Tiên đề Nếu { An } dãy phần tử M , nghĩa An ∈ M , ∀n ∈  A = ∪∞n=1 An A∈ M Khi M σ − đại số X , ( X , M ) gọi không gian đo phần tử M gọi tập đo Định nghĩa 1.1.2 Với X tập không rỗng τ họ tập X , τ ⊂  ( X ) , ta nói τ tôpô X a) ∅, X ∈τ b) Nếu Vi ∈τ , i = 1,2, , n , V1 ∩ V2 ∩ ∩ Vn ∈τ c) Nếu {Vα }α∈I họ phần tử τ ∪α∈I Vα ∈τ Bây  ( X ,τ ) , hay vắn tắt X tôpô X ngầm hiểu, coi không gian tôpô, phần tử τ gọi tập mở (trong ) tập có phần bù X tập mở gọi tập đóng (trong X ) Định nghĩa 1.1.3 Cho ( X ,τ ) không gian tôpô σ − đại số B sinh τ gọi σ − đại số Borel X , ký hiệu B ( X ) Khi đó, phần tử B gọi tập Borel X 12 Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian đo ( X , M ) Ta xét ánh xạ µ : M → ( 0, ∞ ) không tầm thường, nghĩa tồn A∈ M cho µ ( A ) < ∞ thỏa tính chất cộng tính đếm được, nghĩa ∞  ∞ µ  An  = ∑µ ( An ) ,  n=1  n=1 với dãy { An } phần tử M đôi rời (nghĩa Ai ∩ Aj = ∅ i ≠ j ), gọi độ đo (dương) không gian đo ( X , M ) Khi ( X , M, µ ) gọi không gian đo Cho ( X , M ) , (Y , N ) hai không gian đo ánh xạ f : X →Y Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ f : X → Y gọi đo f −1 (W ) tập đo (trong X ) với tập đo W (trong Y ), nghĩa f −1 (W ) ∈ M, ∀W ∈ N Định lý 1.1.1 Với hàm đo f : X → ( 0, ∞ ) , tồn hàm đơn giản đo không âm sn X cho a) 0s1s2 f , b) sn ( x ) → f ( x ) n → ∞ , với x ∈ X Định nghĩa 1.1.6 Với hàm đo đơn giản s : X → ( 0, ∞ ) , cho n s = ∑α i I A , i =1 i α1 , ,α n giá trị khác s với E ∈ M , ta đặt n ∫sd µ = ∑α µ ( A ∩ E ) i E i =1 13 i Tổng quát, với hàm đo f : X → ( 0, ∞ ) với E ∈ M , ta đặt ∫ fd µ = sup ∫sd µ , E E đó, sup lấy tất hàm đo đơn giản s cho 0sf ∫ fd µ gọi tích phân Lebesgue f E độ đo E µ Định lý 1.1.2 (Định lý hội tụ đơn điệu) Cho { fn} dãy hàm đo X cho a) 0f1 ( x )f ( x ) ∞ , với x ∈ X , b) f n ( x ) → f ( x ) n → ∞ , với x ∈ X Ta có f hàm đo ∫ f d µ → ∫ fd µ n X n → ∞ X Định lý 1.1.3 (Định lý Radon – Nikodym) Cho µ độ đo dương σ − hữa hạn σ − đại số M X , nghĩa X viết thành hội đếm Ei ∈ M với µ ( Ei ) < ∞ Nếu λ độ đo dương M , liên tục tuyệt đối µ tồn hàm đo dương h cho d λ = hd µ , nghĩa λ ( E ) = ∫hd µ , với E ∈ M E Hàm h gọi đạo hàm Radon - Nikodym λ µ , ký hiệu h = dλ dµ Định lý 1.1.4 (Định lý hội tụ bị chận Lebesgue) Giả sử hàm đo X cho f ( x ) = lim f n ( x ) n→∞ 14 { fn} dãy tồn với x ∈ X Nếu tồn hàm g ∈ L1 ( µ ) cho f n ( x ) g ( x ) , với n ∈ , x ∈ X , f ∈ L1 ( µ ) , lim ∫ f n − f d m = 0, n→∞ X = ∫ fd lim ∫ f n d mm n→∞ X X Định lý 1.1.5 (Định lý Fubini) Cho F khả tích Ω1 × Ω Khi với hầu hết x thuộc Ω1 , ta có F ( x, ⋅) : y  F ( x, y ) khả tích Ω , x  ∫ F ( x, y ) dy khả tích Ω1 Ω2 Kết luận tương tự đổi vai trò x cho y , Ω1 cho Ω Hơn ta có ∫ dx ∫ F ( x, y ) dy = ∫ dy ∫ F ( x, y ) dx = ∫ Ω1 Ω2 Ω2 Ω1 Ω1×Ω2 F ( x, y ) dxdy 1.2 Biến số ngẫu nhiên Cho Ω không gian mẫu phép thử τ , M σ - đại số biến cố Ω P độ đo xác suất xác định M , ta có Định nghĩa 1.2.1 Cho ( M,Ω ) ( M', Ω′ ) hai không gian đo Xét ánh xạ X : Ω → Ω′ Nếu X ánh xạ đo được, ta nói X biến ngẫu nhiên Đặc biệt, ( M', Ω′ ) = ( , B,  ) , ta gọi X biến ngẫu nhiên thực hay vắn tắt biến số ngẫu nhiên ( M', Ω′ ) = (  k , B,  k ) , ta gọi X vectơ ngẫu nhiên 15 Định lý 1.2.1 Cho ( Ω, M, P ) không gian xác suất X : Ω →  k hàm Borel đo Với B ∈ ( B,  k ) , đặt PX ( B ) = P, X ∈ B Ta có PX độ đo xác suất ( B,  k ) Khi PX gọi phân phối biến ngẫu nhiên X : Ω →  k Đặc biệt, xét tập Bx , , x = ( −∞, x1 ) × × ( −∞, xk ) , k với x1 , , xk ∈  k , ta có Định nghĩa 1.2.2 Với PX phân phối biến ngẫu nhiên X : Ω →  k , X (ω ) = ( X (ω ) , , X k (ω ) ) , ω ∈ Ω , hàm số FX :  k →  xác định ( FX ( x1 , , xk ) = PX Bx , , x k ) = P ( X x , , X x ) , 1 k k gọi hàm phân phối tích lũy X Mệnh đề 1.2.1 Cho X biến số ngẫu nhiên có hàm phân phối tích lũy FX :  →  Ta có a) 0FX ( x )1 , ∀x ∈  b) FX hàm tăng, nghĩa FX ( x )FX ( y ) x < y c) FX liên tục bên phải điểm, nghĩa lim FX ( t ) = FX ( x ) , t → x+ ∀∈  d) lim FX ( X ) = lim FX ( X ) = x →−∞ x →+∞ Đặc biệt, biến ngẫu nhiên X : Ω →  k có phân phối PX độ đo 16 liên tục tuyệt đối độ đo Lebesgue mk  k , ký hiệu PX  mk , nghĩa với tập Borel đo B  k cho mk ( B ) = , ta có PX ( B ) = , định lý Radon - Nikodym tồn hàm khả tích f X :  k →  cho f X 0 PX ( B ) = P ( X ∈ B ) = ∫ fdmk , B với tập Borel đo B  k Khi đó, ta nói X biến ngẫu nhiên liên tục f X (một) hàm mật độ xác suất X Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, ta có kết quan trọng sau Mệnh đề 1.2.2 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ xác suất f X hàm phân phối tích lũy FX Ta có, a) Với a ∈  , FX ( X ) = P ( X a ) = P ( X < a ) = ∫ ( −∞ ,a ) f X ( X ) dx b) Với a, b ∈  , P ( aX b ) = FX ( b ) − FX ( a ) c) FX′ ( X ) = f X ( X ) điểm liên tục hàm f X Định nghĩa 1.2.3 Cho ( Ω, M, P ) không gian xác suất X biến số ngẫu nhiên xác định Ω Nếu X ∈ L1 ( P ) , trung bình X , ký hiệu E ( X ) , cho E ( X ) = ∫ XdP Ω E ( X ) gọi kỳ vọng X , ký hiệu µ X 17 Hơn nữa, với hàm Borel đo g :  →  , hàm số g  X lại biến số ngẫu nhiên Ω mà ta ký hiệu g ( X ) Trung bình biến số ngẫu nhiên này, có ký hiệu E  g ( X )  Nếu biến ngẫu nhiên X có trung bình µ X = E [ X ] với hàm số g ( x ) = ( x − µ X ) , ta biến số ngẫu nhiên g ( X ) = ( X − µ X ) trung 2 bình biến số ngẫu nhiên này, có, gọi phương sai X , ký hiệu var ( X ) , cho công thức 2 var ( X ) = E ( X − µ X )  = ∫ ( X − µ X ) dP,   Ω với hàm số g ( x ) = x n , n ∈  , ta biến ngẫu nhiên g ( X ) = X n trung bình biến ngẫu nhiên này, có, gọi mômen thứ n X, E ( X n ) = ∫ X n dP Ω Do định nghĩa, trung bình hay trung bình X mômen thứ X Ngoài ra, bậc hai phương sai X gọi độ lệch chuẩn X , ký hiệu σ X , σ X = var ( X ) Định lý 1.2.2 Cho X biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất f X Ta có a) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc µ X = E ( X ) = ∑xf X ( x ) ,σ x2 = var ( X ) = ∑ ( x − µ X ) f X ( x ) , x x mômen thứ n X 18 [...]... đo, biến đổi Fourier, bài toán không chỉnh Ngoài ra trong chương này chúng tôi sẽ chứng minh tính không chỉnh của bài toán giải chập và từ đó đưa ra yêu cầu phải chỉnh hóa trong chương 2, sau đó đánh giá sai số xấp xỉ trong chương 3 Chương 2: Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov và việc sử dụng nó để đưa ra một xấp xỉ cho hàm mật độ xác... xét bài toán giải chập trong trường hợp dạng Fourier của phân phối sai số nhận giá trị 0 trên đường thẳng thực, không chỉ trên một số hạn chế đặc biệt trong NZg Sử dụng các tính chất của các hàm nguyên và một vài kết quả của giải tích điều hòa, chúng tôi xem xét các tập dưới mức của phân phối sai số Bằng cách ước lượng độ đo Lebesgue trên các tập dưới mức của hàm g ft và kết hợp với phép chỉnh hóa Tikhonov, ... có điểm cuối bên trái hữu hạn Trong bài báo của Hall và Meister [20], các tác giả cũng đưa ra một hướng tiếp cận bài toán giải chập trong trường hợp NZg ≠  Để tránh việc chia cho 0 , các tác giả đã sử dụng hàm hn ( t ) = n −ξ t p với ξ > 0, p > 0 và thay g ft bởi cực đại của hai hàm g ft ( t ) với hn ( t ) Hàm hn ( t ) ở trên được gọi là "hàm sóng" Một xấp xỉ cho hàm mật độ f được định nghĩa bởi... trong bài báo của ông khi f có giá trên một đoạn [ − S , S ] cố định, nhưng không có sự hội tụ trong trường hợp này Kết quả của bài báo [8] được xây dựng dựa trên sự giả định là hàm mật độ cần tìm có giá compact trong khi giá trị 0 trong biến đối Fourier của hàm mật độ sai số được thừa nhận Cũng tương tự các đề tài trên, trong Groeneboom và Tongbloed [19], các tác giả tập trung xem xét bài toán giải chập. .. X Định lý 1.1.5 (Định lý Fubini) Cho F khả tích trên Ω1 × Ω 2 Khi đó với hầu hết x thuộc Ω1 , ta có F ( x, ⋅) : y  F ( x, y ) khả tích trên Ω 2 , và x  ∫ F ( x, y ) dy khả tích trên Ω1 Ω2 Kết luận tương tự khi đổi vai trò của x cho y , Ω1 cho Ω 2 Hơn nữa ta có ∫ dx ∫ F ( x, y ) dy = ∫ dy ∫ F ( x, y ) dx = ∫ Ω1 Ω2 Ω2 Ω1 Ω1×Ω2 F ( x, y ) dxdy 1.2 Biến số ngẫu nhiên Cho Ω là không gian mẫu của phép... Lebesgue của f trên E đối với độ đo E µ Định lý 1.1.2 (Định lý hội tụ đơn điệu) Cho { fn} là một dãy các hàm đo được trên X sao cho a) 0f1 ( x )f 2 ( x ) ∞ , với mọi x ∈ X , b) f n ( x ) → f ( x ) khi n → ∞ , với mọi x ∈ X Ta có f là hàm đo được và ∫ f d µ → ∫ fd µ n X khi n → ∞ X Định lý 1.1.3 (Định lý Radon – Nikodym) Cho µ là một độ đo dương σ − hữa hạn trên một σ − đại số M của X , nghĩa là X... thì tồn tại hàm đo được dương h sao cho d λ = hd µ , nghĩa là λ ( E ) = ∫hd µ , với mọi E ∈ M E Hàm h còn được gọi là đạo hàm Radon - Nikodym của λ đối với µ , ký hiệu h = dλ dµ Định lý 1.1.4 (Định lý hội tụ bị chận Lebesgue) Giả sử các hàm đo được trên X sao cho f ( x ) = lim f n ( x ) n→∞ 14 { fn} là dãy tồn tại với mọi x ∈ X Nếu tồn tại hàm g ∈ L1 ( µ ) sao cho f n ( x ) g ( x ) , với mọi n ∈... được gọi là một tập đóng (trong X ) Định nghĩa 1.1.3 Cho ( X ,τ ) là một không gian tôpô σ − đại số B sinh bởi τ được gọi là σ − đại số Borel trên X , ký hiệu B ( X ) Khi đó, phần tử của B được gọi là tập con Borel của X 12 Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian đo được ( X , M ) Ta xét một ánh xạ µ : M → ( 0, ∞ ) không tầm thường, nghĩa là tồn tại A∈ M sao cho µ ( A ) < ∞ thỏa tính chất cộng tính đếm được,... B trong  k sao cho mk ( B ) = 0 , ta có PX ( B ) = 0 , thì do định lý Radon - Nikodym tồn tại hàm khả tích f X :  k →  sao cho f X 0 và PX ( B ) = P ( X ∈ B ) = ∫ fdmk , B với mọi tập Borel đo được B trong  k Khi đó, ta nói X là biến ngẫu nhiên liên tục và f X là (một) hàm mật độ xác suất của X Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, ta có các kết quả quan trọng sau Mệnh đề 1.2.2 Cho biến ngẫu nhiên... µ ) được gọi là không gian đo Cho ( X , M ) , (Y , N ) là hai không gian đo được và ánh xạ f : X →Y Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ f : X → Y được gọi là đo được nếu f −1 (W ) là một tập đo được (trong X ) với mọi tập đo được W (trong Y ), nghĩa là f −1 (W ) ∈ M, ∀W ∈ N Định lý 1.1.1 Với mọi hàm đo được f : X → ( 0, ∞ ) , tồn tại các hàm đơn giản đo được không âm sn trên X sao cho a) 0s1s2 f , b) sn (