Chỉnh hóa lồi và lặp cho bài toán ngược parabolic trong tài chính định lượng

L ỜI NÓI ĐẦULuận văn này đề cập đến việc nghiên cứu các phương pháp chỉnh hóa cho bài toán xác định tham biến khếch tán trong một phương trình đạo hàm riêng parabolic nảy sinh trong lĩnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Vũ An

CHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁN NGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH

ĐỊNH LƯỢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Vũ An

CHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁN NGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH

ĐỊNH LƯỢNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

L ỜI CẢM ƠN

Luận văn này là kết quả của sự làm việc nghiêm túc và cần mẫn, và không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ của nhiều người Đầu tiên, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ của tôi vì những lời động viên, hỗ trợ quý báu, để tôi có thể vượt qua những giai đoạn khó khăn trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy GS.TS Đặng Đức Trọng, người đã giới thiệu tôi vào lĩnh vực Toán tài chính và Lý thuyết bài toán ngược cùng với sự hướng dẫn tận tình trong thời gian làm luận văn

Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô ở trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình dạy dỗ, cho tôi nền tảng kiến thức vững chắc; đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy và thầy PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn

Xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn thạc sĩ

đã dành thời gian đọc luận văn của tôi và cho tôi những nhận xét quý báu

Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô thuộc Phòng quản lý Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi giúp

tôi hoàn thành khóa học

Nguyễn Vũ An

M ỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

LỜI NÓI ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1.1 Một vài kiến thức cơ bản về toán tài chính 6

1.2 Một vài kiến thức cơ bản về giải tích 9

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 14

2.1 Bài toán thuận: Phương trình Dupire 14

2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán parabolic 16

2.3 Các tính chất quan trọng của toán tử F( )⋅ 19

2.4 Bài toán ngược xác định độ biến động địa phương 28

2.4.1 Bài toán ngược của định giá quyền chọn châu Âu 28

2.4.2 Sự không chỉnh của bài toán ngược 29

2.5 Một tổng kết về vấn đề xác định độ biến động địa phương 29

CHƯƠNG 3: CHỈNH HOÁ TIKHONOV CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG 32

3.1 Chỉnh hóa lồi cho bài toán xác định độ biến động địa phương 33

3.1.1 Sự tồn tại và ổn định của những nghiệm chỉnh hóa 33

3.1.2 Sự hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa 36

3.1.3 Tốc độ hội tụ với độ đo Bregman 38

3.1.4 Sự hội tụ với qui tắc Morozov 44

3.2 Hàm chỉnh hóa Kullback-Leibler 47

3.2.1 Định nghĩa và các kết quả đã biết 47

3.2.2 Chỉnh hóa Tikhonov với hàm Kullback-Leibler 49

CHƯƠNG 4: CHỈNH HÓA LẶP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG 58

4.1 Chỉnh hóa lặp Landweber trong W21,2( ) Ω 58

4.2 Chỉnh hóa lặp Landweber trong L 2(Ω) 61

4.3 Thực thi số 68

KẾT LUẬN 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO 80

L ỜI NÓI ĐẦU

Luận văn này đề cập đến việc nghiên cứu các phương pháp chỉnh hóa cho bài toán xác định tham biến khếch tán trong một phương trình đạo hàm riêng parabolic nảy sinh trong lĩnh vực tài chính định lượng Đó chính là bài toán xác định độ biến động địa phương trong định giá hợp đồng quyền chọn Châu Âu Bài toán thuận ban đầu được viết dưới dạng phương trình mang tên Black-Scholes Năm 1973, công thức này nhanh chóng trở thành một công cụ hiệu quả cho việc định giá quyền chọn; và sau đó được phát triển thành phương trình Dupire bởi Bruno Dupire, năm 1994 Năm

1997, Scholes và Merton đã nhận giải thưởng Nobel kinh tế cho những đóng góp quan trọng này Luận văn này sẽ tập trung vào khía cạnh lý thuyết của bài toán xác định độ biến động từ những quan sát giá của hợp đồng quyền chọn Châu Âu trên thị trường Đây là bài toán không chỉnh, phi tuyến mà việc xác định nghiệm của nó sẽ cần đến những phương pháp chỉnh hóa Chúng ta sẽ tập trung trình bày sự chỉnh hóa lồi Tikhonov và chỉnh hóa lặp Landweber cho bài toán ngược này

Nội dung luận văn bao gồm 4 chương:

Chương 1: Trình bày một cách cơ bản các khái niệm, kết quả trong lĩnh vực toán tài chính và giải tích cần thiết được sử dụng trong luận văn

Chương 2: Ở phần đầu 2.1, chúng ta trình bày một vài tính chất của bài toán thuận theo mô hình Black-Scholes trong việc định giá hợp đồng quyền chọn kiểu châu Âu

Ở mục 2.2, chúng ta trình bày các kết quả về sự tồn tại, sự duy nhất và các ước lượng liên quan đến nghiệm phương trình parabolic trong bài toán thuận; và một vài kết quả

ở đây cũng đã được phát biểu ở các tài liệu khác cho nên chúng ta chỉ trích dẫn mà không chứng minh chi tiết Ở mục 2.3, chúng ta phát biểu các tính chất quan trọng của toán tử F từ đó dẫn đến tính không chỉnh của bài toán ngược; và các tính chất quan trọng liên quan đến toán tử đạo hàm F', những kết quả này là quan trọng để thu được tốc độ hội tụ của chỉnh hóa Tikhonov được trình bày ở chương 3 Một kết quả quan trọng khác là chúng ta đã chứng minh toán tử F thỏa mãn điều kiện h, và kết quả này sẽ được sử dụng cho chỉnh hóa lặp ở chương 4 Cuối chương, chúng ta trình

bày ngắn gọn một vài kết quả khác liên quan đến bài toán xác định độ biến động địa phương

Chương 3: Luận văn sẽ trình bày việc sử dụng chỉnh hóa Tikhonov bằng công cụ hàm chỉnh hóa lồi như một sự mở rộng của bài toán chỉnh hóa Tikhonov toàn phương Do

đó, chúng ta xem xét bài toán ngược trên khía cạnh của giải tích lồi và độ đo Bregman Trong mục 3.1, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại, ổn định, và sự hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa với các qui tắc chọn tham số chỉnh hóa một cách tiên nghiệm và hậu nghiệm Mặt khác, trong mục này, các tốc độ hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa đến nghiệm chính xác cũng được phát biểu bằng việc sử dụng độ

đo Bregman Ở mục 3.2, luận văn sẽ trình bày việc sử dụng chỉnh hóa Tikhonov với hàm entropy Kullback-Leibler cho bài toán ngược của chúng ta

Chương 4: Luận văn sẽ phân tích việc sử dụng lý thuyết chỉnh hóa lặp cho bài toán ngược xác định độ biến động địa phương Ở mục 4.1, chúng ta phát biểu và kiểm tra lại các giả thiết liên quan đến toán tử F cho việc sử dụng chỉnh hóa lặp Landweber Việc áp dụng chỉnh hóa lặp Landweber trong 1,2

2

W dẫn đến sự tính toán  *

·

F với tích vô hướng trong không gian này cho mỗi bước lặp Tuy nhiên, sự phức tạp của tích vô hướng này lại gây khó khăn cho việc thực thi số Do đó, trong mục 4.2, chúng

ta tiếp tục phân tích sự hội tụ của chỉnh hóa lặp Landweber bằng cách sử dụng luật phân kỳ trong không gian 2

L , điều này làm đơn giản hơn cho việc xây dựng một phương pháp số để tính toán  *

·

F Và trong mục 4.3, chúng ta cũng trình bày sơ lược một vài kết quả của thực thi số để minh họa cho những kết quả lý thuyết ở mục 4.2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 M ột vài kiến thức cơ bản về toán tài chính

Định nghĩa 1.1.1 Quyền chọn mua kiểu châu Âu là một hợp đồng cho phép người ta

sở hữu quyền, mà không bắt buộc, để mua một cổ phần chứng khoán với một giá thực thi K>0 tại thời điểm đáo hạn T>0 trong tương lai Các điều kiện của hợp đồng này là:

• Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng nếu muốn thực thi hợp đồng thì trả cho

người viết hợp đồng số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng

• Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người giữ trả, thì người

viết phải giao một cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáo hạn

Để mô hình giá tài sản S với quá trình chuyển động Brown hình học, ta cho ( , , , )U F P là không gian xác suất với lọc F( )F t t trong đó  là không gian mẫu

U là s -đại số trong  , P là độ đo xác suất

Định nghĩa 1.1.2 Một bộ lọc là một họ các s-đại số  F t t0 sao cho F t F s với mọi

0  t s

Định nghĩa 1.1.3 Một quá trình ngẫu nhiên là một tập hợp các biến ngẫu nhiên

 xt t T được định nghĩa trong không gian xác suất ( , , )U P Ánh xạ wx wt  với

tT cố định là một biến ngẫu nhiên và tx wt  với w được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.4 Một quá trình ngẫu nhiên  W t t0 tương ứng với bộ lọc  F t t0trên không gian xác suất ( , , , )U F P được gọi là một quá trình Wiener hay chuyển động Brown nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

*W00 hầu chắc chắn

* Các số gia của W t là độc lập hay nói cách khác với 0   t1 t2 t n thì các biến ngẫu nhiên 2 1, 3 2, , 1

n n



* W t W s ~ N(0,ts) với mọi 0  s t

*  W t t0có các quỹ đạo liên tục hầu chắc chắn

Một phương án đầu tư (portfolio) là tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán với các trọng số nào đấy Giả sử có n chứng khoán với giá trị tại thời điểm t là

1( ), 2( ), , n( )

, , an( )t chứng khoán S n tại mỗi thời điểm t để đầu tư Vậy giá trị của phương án ấy tại thời điểm t, ký hiệu bởi ( )Va t được xác định là:

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n

i

Va t a t S t a t S t a t S t



Vì các giá chứng khoán S t S t1( ), 2( ), ,S t n( ) là các quá trình ngẫu nhiên, nên giá trị của một phương án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên Các ai( )t ở đây là các hàm số tất định của t Một phương án đầu tư cũng còn được gọi là danh mục đầu tư,

ký hiệu là f( , )a S

Định nghĩa 1.1.6 Một phương án đầu tư ( , )a S được gọi là phương án bán đối với chứng khoán S i tại thời điểm t nếu ai( )t 0 và được gọi là phương án mua đối chứng khoán ấy nếu ai( )t 0 Giá của chứng khoán S i tại thời điểm t được ký hiệu

là S t i( )

Tại một thời điểm t, phương án đầu tư có thể được cân đối lại, tức là điều chỉnh lại việc mua và bán các chứng khoán S i (1  Điều đó có nghĩa là thay đổi các i n) trọng số của chúng từ a1( ), ,t an( )t sang b1( ), ,t bn( ).t

Nếu sau sự cân đối lại đó mà giá của phương án đầu tư không thay đổi, tức là:

1( ) ( )t S t1 n( )t S t n( ) 1( ) ( )t S t1 n( )t S t n( ),

thì ta gọi sự cân đối đó là sự cân đối tự tài trợ (self-financing) Điều đó có nghĩa là, với một phương án đầu tư tự tài trợ, thì muốn tăng đầu tư vào một chứng khoán nào

đó thì phải giảm đầu tư các chứng khoán khác Vậy một sự điều chỉnh tự tài trợ tại

lọc ( , , , )U F P , với F F t là một bộ lọc hay nói cách khác chính là luồng thông tin về thị trường, nó ghi nhận mọi biến cố xảy ra trên thị trường Các quá trình giá tài sản tài chính đều được giả thiết là thích nghi với luồng thông tin này, có nghĩa là, với mỗi t, giá đó đo được đối với F t

Định nghĩa 1.1.7 Một phương án đầu tư tự tài trợ f  được gọi là một cơ hội có

độ chênh lệch thị giá nếu quá trình giá V t f thỏa mãn các điều kiện:

*P V 0 f   0 1;

*P V T f   0 1;

*P V T f   0 0;

Với T là thời điểm đáo hạn của hợp đồng Điều kiện 1 nói lên hầu chắc chắn tại thời điểm ban đầu, vốn đầu tư là bằng không; điều kiện 2 có nghĩa là hầu chắc chắn đến lúc kết thúc hợp đồng, phương án đầu tư đó có lợi nhuận 0 ; điều kiện 3 nói rằng có khả năng kiếm lời thực sự tại thời điểm kết thúc hợp đồng Cả ba điều kiện có nghĩa

là phương án f là một phương án tay không mà kiếm được lợi nhuận

Định nghĩa 1.1.8 Ta nói rằng thị trường M S, là một thị trường không có độ 

chênh lệch thị giá, nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ nào trong  mà

có độ chênh lệch thị giá

Định nghĩa 1.1.9 Cho ( , , ) F G là một không gian xác suất, G là một s- đại số con của ,F G và X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ ( , )F  F vào

( , ( )) B  , trong đó ( )B  là s- đại số các tập Borel trên đường thẳng thực  Khi

đó, một biến ngẫu nhiên Y sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với s- đại

số G, nếu:

*Y là biến ngẫu nhiên đo được trên G

*Với mọi tập AG thì ta có

Biến ngẫu nhiên Y này sẽ được ký hiệu là E X G 

Định nghĩa 1.1.10 Một độ đo xác suất Q trên ( , , )U P được gọi là một xác suất rủi

ro trung tính nếu:

*Q tương đương với P, có nghĩa là Q(A)=0 nếu và chỉ nếu P(A)=0 với A U

*Hầu chắc chắn là ta có

 t   s 

Q r T t s r T s

  với mọi 0 s t T  

trong đó E Q· F s là kỳ vọng có điều kiện đối với F s và theo xác suất Q

Định lý 1.1.1 (19, Định lý cơ bản định giá tài sản)

Một thị trường là không có độ chênh lệch thị giá khi và chỉ khi tồn tại một xác suất rủi ro trung tính Q

1.2 Một vài kiến thức cơ bản về giải tích

Định nghĩa 1.2.1 Hai đại lượng dương a và b được gọi là tương đương nếu tồn tại

hai hằng số 0 < c < C < , sao cho

c b a C b

và ta kí hiệu

~

Định nghĩa 1.2.2 Cho f(x) và g(x) là hai hàm số được định nghĩa trên cùng tập con

của  , ta có

f x O g x khi x0

nếu tồn tại hai số dương d và M sao cho

f x M g x với x  d

Định nghĩa 1.2.3 [Bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard]

Cho X và Y là những không gian định chuẩn, và ánh xạ K X: Y (tuyến tính hoặc

Ngược lại, nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài toán

sẽ được gọi là không chỉnh

Định nghĩa 1.2.4 Cho :K X  là toán tử ( tuyến tính hoặc phi tuyến) giữa các Y

không gian Hilbert X và Y Khi đó, ta định nghĩa sự chỉnh hóa là một họ các toán tử liên tục (không nhất thiết tuyến tính)

:

Ra Y X với a  0

sao cho

0

lim R Kxa x

a  với mọi xX

Mệnh đề 1.2.1 Cho x n là một dãy trong không gian tô pô X Khi đó x n  x X khi

và chỉ khi mỗi dãy con x n của x n có dãy con của chính nó hội tụ đến x

Định nghĩa 1.2.5 Cho X là không gian Banach và :F X   , ta nói hàm F là nửa liên tục dưới yếu nếu liminf F x n F x( ) với mọi x n x

Định lý 1.2.1 Định lý biểu diễn Riesz] Với mỗi vectơ a cố định thuộc không gian

Hilbert X, hệ thức

( ) ,

f x  a x (1.2.1) xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian X, với

f  a (1.2.2) Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) nào trên không gian Hilbert X cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.2.1) trong đó a là một vectơ của X thỏa mãn (1.2.2)

Định lý 1.2.2 [Bất đẳng thức Schwartz] Cho x và y trong không gian tiền Hilbert X,

ta luôn có:

x y  x y (1.2.3)

Định lý 1.2.3 [Bất đẳng thức Holder] Nếu f L g p, L pvới 1 / p1 / p1 thì

1

f gL và ta có:

1

f g  f g  (1.2.4)

Định lý 1.2.4 [Không gian liên hợp của p

L với 1 p ]

Cho không gian độ đo X,m Ta có: 

*Nếu gL pX,m thì

X

j  m với f L X p( , )m (1.2.5)

là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên p

L và j  g p

*Nếu m là độ đo s-hữu hạn và    *

,

p

j m thì tồn tại duy nhất gL pX,m sao cho ta có (1.2.5) Và ánh xạ :J j  là song ánh, tuyến tính đẳng cự Ta thường g

đồng nhất  p * p

Định nghĩa 1.2.6 Cho I   là khoảng mở, T>0, ta kí hiệu  :  0,T  và I

1  Khi đó, ta định nghĩa p 1,2 

p

W  là không gian các hàm u t,y thỏa mãn

Định nghĩa 1.2.7 [Không gian Sobolev với bậc số thực không nguyên]

Cho N,p [1, ) và s  với k s k là số nguyên và 0 s [0,1) Khi đó ta định nghĩa không gian Sobolev

   

/

N p

D v x D v y

x y

với chuẩn

   

1/

s p k p

p p

p

p N

k

D v x D v y

x y

s

 

Khi p=2, H s( ) W s,2( ) là không gian Hilbert với tích vô hướng