chỉnh hóa lồi và lặp cho bài toán ngược parabolic trong tài chính định lượng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ An CHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁN NGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH ĐỊNH LƯỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ An CHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁN NGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH ĐỊNH LƯỢNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn kết làm việc nghiêm túc cần mẫn, hoàn thành giúp đỡ nhiều người Đầu tiên, xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ lời động viên, hỗ trợ quý báu, để vượt qua giai đoạn khó khăn trình học tập hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy GS.TS Đặng Đức Trọng, người giới thiệu vào lĩnh vực Toán tài Lý thuyết toán ngược với hướng dẫn tận tình thời gian làm luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình dạy dỗ, cho tảng kiến thức vững chắc; đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy thầy PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô hội đồng chấm luận văn thạc sĩ dành thời gian đọc luận văn cho nhận xét quý báu Cuối xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô thuộc Phòng quản lý Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành khóa học Nguyễn Vũ An MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một vài kiến thức toán tài .6 1.2 Một vài kiến thức giải tích .9 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 14 2.1 Bài toán thuận: Phương trình Dupire .14 2.2 Sự tồn nghiệm toán parabolic 16 2.3 Các tính chất quan trọng toán tử F(⋅) 19 2.4 Bài toán ngược xác định độ biến động địa phương 28 2.4.1 Bài toán ngược định giá quyền chọn châu Âu .28 2.4.2 Sự không chỉnh toán ngược .29 2.5 Một tổng kết vấn đề xác định độ biến động địa phương 29 CHƯƠNG 3: CHỈNH HOÁ TIKHONOV CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG 32 3.1 Chỉnh hóa lồi cho toán xác định độ biến động địa phương 33 3.1.1 Sự tồn ổn định nghiệm chỉnh hóa .33 3.1.2 Sự hội tụ nghiệm chỉnh hóa 36 3.1.3 Tốc độ hội tụ với độ đo Bregman 38 3.1.4 Sự hội tụ với qui tắc Morozov .44 3.2 Hàm chỉnh hóa Kullback-Leibler 47 3.2.1 Định nghĩa kết biết 47 3.2.2 Chỉnh hóa Tikhonov với hàm Kullback-Leibler 49 CHƯƠNG 4: CHỈNH HÓA LẶP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG 58 4.1 Chỉnh hóa lặp Landweber W21,2 (Ω) 58 4.2 Chỉnh hóa lặp Landweber L2(Ω) 61 4.3 Thực thi số 68 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 LỜI NÓI ĐẦU Luận văn đề cập đến việc nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa cho toán xác định tham biến khếch tán phương trình đạo hàm riêng parabolic nảy sinh lĩnh vực tài định lượng Đó toán xác định độ biến động địa phương định giá hợp đồng quyền chọn Châu Âu Bài toán thuận ban đầu viết dạng phương trình mang tên Black-Scholes Năm 1973, công thức nhanh chóng trở thành công cụ hiệu cho việc định giá quyền chọn; sau phát triển thành phương trình Dupire Bruno Dupire, năm 1994 Năm 1997, Scholes Merton nhận giải thưởng Nobel kinh tế cho đóng góp quan trọng Luận văn tập trung vào khía cạnh lý thuyết toán xác định độ biến động từ quan sát giá hợp đồng quyền chọn Châu Âu thị trường Đây toán không chỉnh, phi tuyến mà việc xác định nghiệm cần đến phương pháp chỉnh hóa Chúng ta tập trung trình bày chỉnh hóa lồi Tikhonov chỉnh hóa lặp Landweber cho toán ngược Nội dung luận văn bao gồm chương: Chương 1: Trình bày cách khái niệm, kết lĩnh vực toán tài giải tích cần thiết sử dụng luận văn Chương 2: Ở phần đầu 2.1, trình bày vài tính chất toán thuận theo mô hình Black-Scholes việc định giá hợp đồng quyền chọn kiểu châu Âu Ở mục 2.2, trình bày kết tồn tại, ước lượng liên quan đến nghiệm phương trình parabolic toán thuận; vài kết phát biểu tài liệu khác trích dẫn mà không chứng minh chi tiết Ở mục 2.3, phát biểu tính chất quan trọng toán tử F từ dẫn đến tính không chỉnh toán ngược; tính chất quan trọng liên quan đến toán tử đạo hàm F', kết quan trọng để thu tốc độ hội tụ chỉnh hóa Tikhonov trình bày chương Một kết quan trọng khác chứng minh toán tử F thỏa mãn điều kiện h , kết sử dụng cho chỉnh hóa lặp chương Cuối chương, trình bày ngắn gọn vài kết khác liên quan đến toán xác định độ biến động địa phương Chương 3: Luận văn trình bày việc sử dụng chỉnh hóa Tikhonov công cụ hàm chỉnh hóa lồi mở rộng toán chỉnh hóa Tikhonov toàn phương Do đó, xem xét toán ngược khía cạnh giải tích lồi độ đo Bregman Trong mục 3.1, chứng minh tồn tại, ổn định, hội tụ nghiệm chỉnh hóa với qui tắc chọn tham số chỉnh hóa cách tiên nghiệm hậu nghiệm Mặt khác, mục này, tốc độ hội tụ nghiệm chỉnh hóa đến nghiệm xác phát biểu việc sử dụng độ đo Bregman Ở mục 3.2, luận văn trình bày việc sử dụng chỉnh hóa Tikhonov với hàm entropy Kullback-Leibler cho toán ngược Chương 4: Luận văn phân tích việc sử dụng lý thuyết chỉnh hóa lặp cho toán ngược xác định độ biến động địa phương Ở mục 4.1, phát biểu kiểm tra lại giả thiết liên quan đến toán tử F cho việc sử dụng chỉnh hóa lặp Landweber Việc áp dụng chỉnh hóa lặp Landweber W21,2 dẫn đến tính toán F  · với * tích vô hướng không gian cho bước lặp Tuy nhiên, phức tạp tích vô hướng lại gây khó khăn cho việc thực thi số Do đó, mục 4.2, tiếp tục phân tích hội tụ chỉnh hóa lặp Landweber cách sử dụng luật phân kỳ không gian L2 , điều làm đơn giản cho việc xây dựng phương pháp số để tính toán F  · Và mục 4.3, trình bày sơ * lược vài kết thực thi số để minh họa cho kết lý thuyết mục 4.2 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một vài kiến thức toán tài Định nghĩa 1.1.1 Quyền chọn mua kiểu châu Âu hợp đồng cho phép người ta sở hữu quyền, mà không bắt buộc, để mua cổ phần chứng khoán với giá thực thi K>0 thời điểm đáo hạn T>0 tương lai Các điều kiện hợp đồng là: • Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng muốn thực thi hợp đồng trả cho người viết hợp đồng số tiền giá thực thi hợp đồng • Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi người giữ trả, người viết phải giao cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáo hạn Để mô hình giá tài sản S với trình chuyển động Brown hình học, ta cho (,U , F , P) không gian xác suất với lọc F  ( Ft )t  không gian mẫu U s -đại số , P độ đo xác suất Định nghĩa 1.1.2 Một lọc họ s -đại số Ft t0 cho Ft  Fs với 0t  s Định nghĩa 1.1.3 Một trình ngẫu nhiên tập hợp biến ngẫu nhiên xt tT định nghĩa không gian xác suất (,U , P) Ánh xạ w  xt w  với t  T cố định biến ngẫu nhiên t  xt w  với w   gọi quỹ đạo trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.4 Một trình ngẫu nhiên Wt t0 tương ứng với lọc Ft t0 không gian xác suất (,U , F , P) gọi trình Wiener hay chuyển động Brown điều kiện sau thỏa mãn: * W0  hầu chắn * Các số gia Wt độc lập hay nói cách khác với  t1  t2   tn biến ngẫu nhiên Wt2  Wt1 ,Wt3  Wt2 , ,Wtn  Wtn1 độc lập * Wt  Ws ~ N (0, t  s ) với  s  t * Wt t0 có quỹ đạo liên tục hầu chắn Một phương án đầu tư (portfolio) tổ hợp số hữu hạn chứng khoán với trọng số Giả sử có n chứng khoán với giá trị thời điểm t S1 (t ), S2 (t ), , S n (t ) Một phương án đầu tư cách chọn a1 (t ) chứng khoán S1 , , an (t ) chứng khoán Sn thời điểm t để đầu tư Vậy giá trị phương án thời điểm t, ký hiệu V a (t ) xác định là: n V a (t )  a1 (t ) S1 (t )   an (t ) Sn (t )   (t ) Si (t ) i1 Vì giá chứng khoán S1 (t ), S2 (t ), , Sn (t ) trình ngẫu nhiên, nên giá trị phương án đầu tư trình ngẫu nhiên Các (t ) hàm số tất định t Một phương án đầu tư gọi danh mục đầu tư, ký hiệu f  (a, S ) Định nghĩa 1.1.6 Một phương án đầu tư (a, S ) gọi phương án bán chứng khoán Si thời điểm t (t )  gọi phương án mua đối chứng khoán (t )  Giá chứng khoán Si thời điểm t ký hiệu Si (t ) Tại thời điểm t, phương án đầu tư cân đối lại, tức điều chỉnh lại việc mua bán chứng khoán Si (1  i  n) Điều có nghĩa thay đổi trọng số chúng từ a1 (t ), , an (t ) sang b1 (t ), , b n (t ) Nếu sau cân đối lại mà giá phương án đầu tư không thay đổi, tức là: b1 (t ) S1 (t )   b n (t ) Sn (t )  a1 (t ) S1 (t )   an (t ) Sn (t ), ta gọi cân đối cân đối tự tài trợ (self-financing) Điều có nghĩa là, với phương án đầu tư tự tài trợ, muốn tăng đầu tư vào chứng khoán phải giảm đầu tư chứng khoán khác Vậy điều chỉnh tự tài trợ thời điểm t phương án đầu tư làm tăng giảm vốn đầu tư: (a, S )  (b , S )  V b (t )  V a (t ) , xét thời điểm t * Xét mô hình thị trường M gồm chứng khoán S họ phương án đầu tư tự tài trợ   f  a, S  Ta kí hiệu M   S ,  Các giá chứng khoán St S xem trình ngẫu nhiên xét không gian xác suất có lọc (,U , F , P ) , với F  Ft  lọc hay nói cách khác luồng thông tin thị trường, ghi nhận biến cố xảy thị trường Các trình giá tài sản tài giả thiết thích nghi với luồng thông tin này, có nghĩa là, với t, giá đo Ft Định nghĩa 1.1.7 Một phương án đầu tư tự tài trợ f   gọi hội có độ chênh lệch thị giá trình giá Vt f  thỏa mãn điều kiện: * P V0 f   0  1; * P VT f   0  1; * P VT f   0  0; Với T thời điểm đáo hạn hợp đồng Điều kiện nói lên hầu chắn thời điểm ban đầu, vốn đầu tư không; điều kiện có nghĩa hầu chắn đến lúc kết thúc hợp đồng, phương án đầu tư có lợi nhuận  ; điều kiện nói có khả kiếm lời thực thời điểm kết thúc hợp đồng Cả ba điều kiện có nghĩa phương án f phương án tay không mà kiếm lợi nhuận Định nghĩa 1.1.8 Ta nói thị trường M   S ,  thị trường độ chênh lệch thị giá, không tồn phương án đầu tư tự tài trợ  mà có độ chênh lệch thị giá Định nghĩa 1.1.9 Cho (, F , G ) không gian xác suất, G s - đại số F , G  F X biến ngẫu nhiên, tức ánh xạ đo từ (, F ) vào ( , B (  )) , B(  ) s - đại số tập Borel đường thẳng thực  Khi đó, biến ngẫu nhiên Y gọi kỳ vọng có điều kiện X s - đại số G , nếu: *Y biến ngẫu nhiên đo G *Với tập A  G ta có  YdP   XdP A A Biến ngẫu nhiên Y ký hiệu E  X G  Định lý 4.2.2 Giả sử (2.1.10) có nghiệm a † ∈ Bρ ( a0 ) cho k* = k* (δ , vδ ) chọn theo qui tắc dừng (4.2.1), (4.2.2) Khi nghiệm lặp Landweber akδ hội tụ đến * nghiệm xác a † δ → Chứng minh Cho {δ n } dãy hội tụ đến n → ∞ Đặt := vδ dãy tương n ứng liệu nhiễu, kn = k* (δ n , ) Đầu tiên, giả sử {kn } có điểm tụ hữu hạn k Không tính tổng quát, ta cho kn = k , ∀n ∈  Do đó, từ định nghĩa kn suy ( ) − F akδ n L2 ( Ω ) ≤ τδ n (4.2.17) Vì k cố định, aδk phụ thuộc liên tục vào liệu nhiễu vδ, đó, ta cho n → ∞ (4.2.17), ta ( ) akδ n → ak , F akδ n → F ( ak ) , n → ∞ Hay nói cách khác, nghiệm lặp Landweber thứ k liệu xác v nghiệm xác F ( a ) = v , a † = ak δ n → Trường hợp lại, giả sử kn → ∞ n → ∞ Khi đó, cho kn > k với Mệnh đề 4.2.1 ta có akδnn − a † L2 ( Ω ) ≤ akδ n − a † L2 ( Ω ) ≤ akδ n − ak L2 ( Ω ) + ak − a † L2 ( Ω ) Cho ε > , với Định lý 4.2.1, ta cố định k = k ( ε ) đủ lớn cho ak − a † akδ n − ak L2 ( Ω ) L2 ( Ω ) < ε / Do tính ổn định phép lặp Landweber phi tuyến, ta có < ε / , với n > n ( ε , k ) , suy akδnn − a † kn > k ) Do đó, akδnn → a † L2 (Ω) n → ∞ 67 L2 ( Ω ) [...]... việc cực tiểu hóa có trọng số của sự sai khác giữa giá Black-Scholes và giá thực tế trên thị trường trên một tập hợp các thời điểm đáo hạn và giá đáo hạn Những phương pháp này bao gồm những kỹ thuật chỉnh hóa cho bài toán ngược đã được nghiên cứu Trong đó, hai phương pháp quan trọng để giải các bài toán ngược phi tuyến là chỉnh hóa Tikhonov và chỉnh hóa lặp Chỉnh hóa Tikhonov để xác định độ biến động... hơn và cho phép sự hội tụ trong những không gian khác với các không gian mà chỉnh hóa bậc hai sử dụng Mặt khác, trong những năm gần đây, người ta cũng chú trọng đến phương pháp chỉnh hóa lặp như một sự thay thế hấp dẫn cho chỉnh hóa Tikhonov Khó khăn lớn nhất trong việc áp dụng phương pháp chỉnh hóa lặp cho các bài toán phi tuyến không chỉnh là cần đến các giả thiết thêm cho tính phi tuyến của bài toán. .. F compact và đóng yếu nên { ( )} F ( ank ) → F(a) Tuy nhiên, F −1 F ( ank ) = {ank } ( chú ý toán tử F là một đơn ánh) không hội tụ mạnh trong H 1+ε (Ω) Do đó F −1 không liên tục ■ Sự không chỉnh của bài toán ngược, đòi hỏi chúng ta phải dùng đến các phương pháp chỉnh hóa Một trong các đóng góp của luận văn này là phân tích các phương pháp chỉnh hóa Tikhonov và chỉnh hóa lặp cho bài toán ngược này... tại x Định lý1.2.7 [16, Định lý 2.22] Cho không gian Banach X và các hàm lồi f , g : X     Nếu tồn tại một điểm thuộc D( f )  D( g ) sao cho f liên tục tại đó thì với mọi x  X ta có   f  g  x  f ( x)  g ( x) 13 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN Trong chương này, đầu tiên chúng ta trình bày bài toán thuận của định giá quyền chọn, toán tử F(⋅) và miền... Do đó, bài toán ngược cho định giá quyền chọn mà chúng ta quan tâm trong luận văn này là: xác định tham biến a* = a* ( τ,y ) ∈ D(F) 28 (2.4.3) là nghiệm của toán tử F(⋅) ở (2.1.10) với tập hợp dữ liệu được cho mà có thể bị nhiễu như trong (2.4.2) 2.4.2 Sự không chỉnh của bài toán ngược Bổ đề 2.4.1 Bài toán ngược xác định độ biến động địa phương σ(T ,K ) từ phương trình toán tử (2.1.10) là không chỉnh. .. tìm các nghiệm chỉnh hóa của bài toán là các phần tử cực tiểu aαδ của (3.0.2) trong D(F) 3.1 Chỉnh hóa lồi cho bài toán xác định độ biến động địa phương 3.1.1 Sự tồn tại và ổn định của những nghiệm chỉnh hóa Bổ đề 3.1.1 Với mỗi α > 0 và M > 0 các tập mức Mα (M) := levelM ( Tα ,v ) = {a ∈ D(F) : Tα ,v (a) ≤ M} là compact tương đối yếu và đóng yếu Chứng minh Do α fa0 (a) ≤ Tα ,v (a) và fa0 (⋅) coercive... giản hóa sự phân tích bài toán thuận và bài toán ngược Cho I ⊂  là một khoảng mở có thể không bị chặn, và= Ω : (0,T ) × I miền xác định của bài toán (2.7), (2.8) Với a1 ,a2 ∈  là các hằng số sao cho 0 < a1 ≤ a2 < ∞ và 15 một hàm cố định a0 ∈ H 1+ε (Ω ) , ε > 0 thỏa mãn a1 ≤ a0 ≤ a2 , ta định nghĩa D(F) := { a ∈ a0 + H 1+ε (Ω ) : a1 ≤ a ≤ a2 } (2.1.9) Điều kiện a ∈ D(F) cho ta biết a không âm và bị... thuộc vào các cận của tham biến và p1 sao cho uyy − uy Lp1 ( Ω ) ≤ C Chứng minh có thể xem ở [6], Mệnh đề 4.4 (2.2.10) ■ 2.3 Các tính chất quan trọng của toán tử F(⋅) Các tính chất này sẽ cho ta thấy bài toán ngược tương ứng với bài toán thuận ở mục (2.1) sẽ không chỉnh và chúng thực sự cần thiết cho việc xây dựng sự chỉnh hóa sau này Định lý 2.3.1 Toán tử F(⋅) liên tục và compact Hơn nữa, nó cũng liên... thỏa mãn bài toán parabolic với điều kiện biên thuần nhất Theo trên, bây giờ chúng ta sẽ phát biểu bài toán thuận cho định giá quyền chọn như sau: Cho một hàm a ∈ D(F) , hãy xác định F(a) = u(a) − u(a0 ) với u(a) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.7), (2.8) với tham biến khuếch tán a 2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán parabolic 1,2 Trong phần này, chúng ta trình bày sự tồn tại và duy nhất... giải quyết trong luận văn thông qua điều kiện η ở Định lý 2.3.2 Ở Chương 4, chúng ta sẽ trình bày sự chỉnh hóa cho độ biến động địa phương bằng phương pháp lặp Landweber 31 CHƯƠNG 3: CHỈNH HOÁ TIKHONOV CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG Trong Chương 1, chúng ta đã phát biểu các tính chất đáng chú ý của toán tử F Tiếp theo dưới đây, chúng ta sẽ trình bày các kết quả cho chỉnh hóa Tikhonov ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ An CHỈNH HĨA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TỐN NGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH ĐỊNH LƯỢNG Chun ngành: Tốn giải tích... bao gồm kỹ thuật chỉnh hóa cho tốn ngược nghiên cứu Trong đó, hai phương pháp quan trọng để giải tốn ngược phi tuyến chỉnh hóa Tikhonov chỉnh hóa lặp Chỉnh hóa Tikhonov để xác định độ biến động... trường Đây tốn khơng chỉnh, phi tuyến mà việc xác định nghiệm cần đến phương pháp chỉnh hóa Chúng ta tập trung trình bày chỉnh hóa lồi Tikhonov chỉnh hóa lặp Landweber cho tốn ngược Nội dung luận