Phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc cho bài toán ngược đặt không chỉnh

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ QUÝ HIẾU PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA BỞI HÀM LỌC CHO BÀI TỐN NGƯỢC ĐẶT KHƠNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ QUÝ HIẾU PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA BỞI HÀM LỌC CHO BÀI TỐN NGƯỢC ĐẶT KHƠNG CHỈNH Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƯỜI ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Quý Hiếu LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS Phạm Quý Mười - giảng viên khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng nhiệt tình quan tâm, giúp đỡ tác giả suốt trình thực đề tài Cùng với kiến thức, kinh nghiệm quý báu, thầy ân cần bảo tác giả q trình nghiên cứu để hồn thành luận văn Với tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến Ban lãnh đạo Khoa Tốn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, tất thầy giáo giảng dạy tận tình, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Sở Giáo Dục - Đào Tạo Tỉnh Kon Tum, Ban lãnh đạo Trường THPT Duy Tân đồng nghiệp, người thân động viên, giúp đỡ tác giả hồn thành khóa học kế hoạch Tác giả xin cảm ơn đến tất bạn lớp Tốn Giải Tích - Khóa 31 - Kon Tum nhiệt tình động viên đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả trình học tập lớp suốt thời gian qua để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ Mặc dù cố gắng, song luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận góp ý, dẫn quý thầy, cô giáo, bạn đồng nghiệp người quan tâm đến đề tài nghiên cứu Xin trân trọng cảm ơn! Tác giả Nguyễn Thị Quý Hiếu MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KHÔNG GIAN HÀM VÀ LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ BÀI TỐN NGƯỢC ĐẶT KHƠNG CHỈNH 1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM 1.1.1 Không gian định chuẩn (Normed Spaces) 1.1.2 Không gian Hilbert (Hilbert Spaces) 1.1.3 Chuẩn: Orthonormal 1.1.4 Hệ trực chuẩn: Orthonormal System 1.2 TOÁN TỬ BỊ CHẶN VÀ TOÁN TỬ LIÊN HỢP 1.2.1 Tốn tử tuyến tính (Linear Operator) 1.2.2 Toán tử liên tục (Continuos Operator) 1.2.3 Chuẩn toán tử (Boundedness, Norm of Operator) 1.2.4 Toán tử liên hợp (Adjoint Operator) 1.3 BÀI TỐN ĐẶT CHỈNH VÀ BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH 1.3.1 Bài toán đặt chỉnh (Well-Posed Problems) 1.3.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh (Ill-Posed Problems) 10 1.4 BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC 10 1.5 TÍNH ĐẶT KHƠNG CHỈNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ COMPACT 17 1.5.1 Toán tử compact (Compact Operator) 17 1.5.2 Các mệnh đề 18 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA BỞI HÀM LỌC 20 2.1 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA 21 2.1.1 Phương pháp chỉnh hóa (Regularization Strategy) 21 2.1.2 Phương pháp chỉnh hóa chấp nhận 23 2.2 HỆ KỲ DỊ CỦA TOÁN TỬ COMPACT 23 2.2.1 Giá trị kỳ dị (Singular Values) 23 2.2.2 Hệ kỳ dị (Singular Values Decomposition) 24 2.3 PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA BỞI HÀM LỌC 2.4 TỐC ĐỘ HỘI TỤ 24 26 2.5 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ CỦA HÀM LỌC 27 CHƯƠNG NGHIỆM SỐ VÀ ỨNG DỤNG 31 3.1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LOẠI MỘT 3.2 RỜI RẠC BÀI TOÁN 31 32 3.3 TÍNH ĐẶT KHƠNG CHỈNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.4 PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HĨA RỜI RẠC BỞI HÀM LỌC 32 34 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU a) Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt: ∀x ∃x N Q R Rn X, Y dim X I K K∗ KL N (K) R(K) sup (µj , xj , yj ) C[a, b] L2 [a, b] L(X, Y ) L(X, X) α Rα : với x : tồn x : Trường số tự nhiên : Trường số hữu tỷ : Trường số thực : Không gian Euclide n - chiều : Không gian Hilbert thực : Số chiều khơng gian X : Tốn tử đơn vị : Chuẩn toán tử K : Toán tử liên hợp toán tử K : Tập {kl | k ∈ K, l ∈ L} = {x ∈ X | Kx = 0} = {Kx | x ∈ X} = {y ∈ Y | ∃x : Kx = y} : Cận : Hệ kỳ dị tốn tử tuyến tính compact : Không gian hàm số thực liên tục đoạn [a,b] : Khơng gian hàm số bình phương khả tích [a,b] : Khơng gian gồm tất tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y : Không gian gồm tất ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào X : Tham số chỉnh hóa : Tốn tử chỉnh hóa b) Danh mục hình vẽ, đồ thị: Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Hình 3.1 Nghiệm xác nghiệm Hệ phương trình (3.1) ứng với n = 20 (trên cùng), n = 100 (ở giữa) n = 1000 (cuối cùng) Hình 3.2 Nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Rα1 y, Rα2 y Rα3 y với n = 20 Hình 3.3 Nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Rα1 y, Rα2 y Rα3 y với n = 100 Hình 3.4 Nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Rα1 y, Rα2 y Rα3 y với n = 1000 Trang 33 35 36 37 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong thực tế tồn hai tốn trái ngược nhau, hai tốn gọi tốn thuận tốn cịn lại gọi toán ngược Người ta thường quy ước toán thuận toán đặt chỉnh tốn ngược tốn đặt khơng chỉnh Theo J Hardamad (xem [1],[4]), toán gọi đặt chỉnh nghiệm toán tồn tại, ổn định Ngược lại, nghiệm tốn khơng thỏa mãn điều kiện trên, đặc biệt tốn khơng ổn định theo kiện ban đầu, tốn gọi đặt khơng chỉnh Khi nghiên cứu mơ hình tốn học toán khoa học kỹ thuật, chẳng hạn tốn tìm nghiệm phương trình tích phân loại một, tốn tính đạo hàm, xác định tham số phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng, dẫn đến tốn ngược đặt khơng chỉnh Vì thế, tốn ngược đặt khơng chỉnh thu hút quan tâm, nghiên cứu nhiều nhà toán học giới: Andreas Kirsch, A.B Bakushinsky, A Goncharsky, C W Groetsch, J Hadamard, Thorsten Hohage, L Landweber, F Gilbert, Ramm A.G., A.N Tikhonov, V.Y Arsenin, J Baumeister, C.R Vogel, Y Alber, Một số nhà toán học Việt Nam sâu nghiên cứu có nhiều đóng góp cho lý thuyết ứng dụng tốn đặt khơng chỉnh như: Phạm Kỳ Anh, Đặng Đình Áng, Đinh Nho Hào, Phạm Quý Mười, Đặng Đức Trọng, đạt kết khả quan Tính đặt khơng chỉnh tốn ngược, đặc biệt tính khơng ổn định, dẫn đến việc tìm nghiệm số xấp xỉ cho tốn khó khăn Do số liệu thường thu nhập thực nghiệm (đo đạc, quan trắc, ) sau lại xử lí máy tính nên chúng khơng tránh khỏi sai số Việc tìm phương pháp tìm nghiệm số xấp xỉ tốn gần với nghiệm toán xuất phát sai số liệu nhỏ, vấn đề vơ quan trọng Đã có nhiều phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh (mỗi phương pháp gọi phương pháp chỉnh hóa) nghiên cứu như: Phương pháp chỉnh hóa hàm lọc, Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, Phương pháp chỉnh hóa lặp, Phương pháp chọn, Phương pháp tựa nghiệm, Phương pháp dùng phương trình xấp xỉ, Phương pháp tựa nghịch đảo (xem [1],[4]) Đối với tốn ngược tuyến tính, phương pháp chỉnh hóa hàm lọc phương pháp đơn giản, dễ áp dụng Vì vậy, phương pháp chỉnh hóa hàm lọc phương pháp tốt giúp giải tốn ngược đặt khơng chỉnh tuyến tính Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp chỉnh hóa hàm lọc, định hướng thầy hướng dẫn TS Phạm Quý Mười, chọn nghiên cứu đề tài: “Phương pháp chỉnh hóa hàm lọc cho tốn ngược đặt khơng chỉnh” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu kỹ tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau, lĩnh hội kiến thức phương pháp chỉnh hóa hàm lọc, phân tích thành phần chính, phân tích nhân tố phương pháp Ứng dụng phương pháp chỉnh hóa hàm lọc để giải tốn ngược tuyến tính cụ thể Hy vọng luận văn sử dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên trường Đại học, Cao đẳng 36 Figure 3.3: Nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Rα1 y, Rα2 y Rα3 y với n = 100 37 Figure 3.4: Nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Rα1 y, Rα2 y Rα3 y với n = 1000 38 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn đề cập giải vấn đề sau: (1) Trình bày số khái niệm kết giải tích hàm, khái niệm toán thuận toán ngược Phát biểu định nghĩa tốn đặt chỉnh tốn đặt khơng chỉnh, đưa số ví dụ minh họa tốn đặt khơng chỉnh (2) Trình bày phương pháp chỉnh hóa hàm lọc để giải tốn ngược tuyến tính Chứng minh định lý tính chất hội tụ tốc độ hội tụ phương pháp Đưa số trường hợp cụ thể hàm lọc (3) Sử dụng phương pháp chỉnh hóa hàm lọc để giải ví dụ cụ thể phương trình tích phân loại Dùng phần mềm tốn học Matlab để tính hệ kỳ dị giải nghiệm toán Kết nghiệm số nghiệm xấp xỉ nhận phương pháp chỉnh hóa thực mơi trường Matlab Mặc dù có nhiều cố gắng, nỗ lực việc tìm tịi nghiên cứu kiến thức hạn chế thời gian không cho phép nên đề tài tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Rất mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ q thầy giáo bạn để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 39 Kiến nghị Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: (1) So sánh phương pháp chỉnh hóa hàm lọc với phương pháp chỉnh hóa khác để giải tốn ngược đặt khơng chỉnh (Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, Phương pháp chỉnh hóa dùng tốn momen hữu hạn, Phương pháp chọn, Phương pháp tựa nghiệm, Phương pháp dùng phương trình xấp xỉ, Phương pháp tựa nghịch đảo ) (2) Sử dụng phương pháp chỉnh hóa hàm lọc để giải số ví dụ khác: Tính tốn xấp xỉ đạo hàm, Tìm nghiệm phương trình tích phân 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2007), Bài toán đặt không chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hồng (2014), Giải tích hàm (Giáo trình dành cho học viên cao học chuyên ngành Toán), Đại học sư phạm Huế [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] Andreas Kirsch (1996), An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems (Second Edition) - Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, NY, Inc ... sánh phương pháp chỉnh hóa hàm lọc với phương pháp chỉnh hóa khác để giải tốn ngược đặt khơng chỉnh (Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, Phương pháp chỉnh hóa dùng tốn momen hữu hạn, Phương pháp. .. pháp chỉnh hóa) nghiên cứu như: Phương pháp chỉnh hóa hàm lọc, Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, Phương pháp chỉnh hóa lặp, Phương pháp chọn, Phương pháp tựa nghiệm, Phương pháp dùng phương trình... dụng phương pháp có lý thuyết tốn ngược đặt khơng chỉnh cho việc nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa hàm lọc • Ứng dụng phần mềm tốn học Mathlab để giải tốn ngược đặt khơng chỉnh phương pháp chỉnh hóa