Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đánh giá tính ổn định và chỉnh hóa nghiệm của phương trình truyền nhiệt ngược thời gian" pdf

¨o    ∂u ∂t = a ∂ 2 u ∂x 2 (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1), u(·, 1) − ϕ(·)  ε, u(·, 0) H s (R)  E, ϕ(·) ∈ L 2 (R) E > ε > 0 s  0 a > 0 1. ¨o    ∂u ∂t = a ∂ 2 u ∂x 2 (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1), u(·, 1) − ϕ(·)  ε, (1.1) u(·, 0) H s (R)  E, (1.2)  · ,  ·  H s (R) L 2 (R) H s (R)(s  0) L 2 (R) x u(x, t), (x, t) ∈ (−∞; +∞) × [0; 1] u(x, t) ∈ L 2 (R) t ∈ [0, 1] − − s = 0 s = 0 H s (R) = H 0 (R) = L 2 (R) s s  0 1 v(x, t) ∈ L 2 (R) t ∈ [0; 1+β]    ∂v ∂t = a ∂ 2 v ∂x 2 (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1 + β), αv(x, 0) + v (x, 1 + β) = ϕ(x), x ∈ (−∞; +∞), α > 0, β > 0 (1.3) − ¨o t ∈ (0, 1] t = 0 s > 0 2. 2.1 ( ¨o p > 1 q > 1 1 p + 1 q = 1 f ∈ L p (R), g ∈ L q (R) fg ∈ L 1 (R) fg 1  f p g q . 2.1 ( L 1 (R) f ∈ L 1 (R)  f(ξ) := 1 √ 2π  +∞ −∞ e −ix.ξ f(x)dx (y ∈ R) f f ∨ (ξ) := 1 √ 2π  +∞ −∞ e ix.ξ f(x)dx (y ∈ R). 2.2 ( f ∈ L 1 (R) ∩ L 2 (R)  f, f ∨ ∈ L 2 (R) f =   f = f ∨  2.2 ( L 2 (R)  f f ∈ L 2 (R) {f k } ∞ k=1 ⊂ L 1 (R) ∩ L 2 (R) f k → f L 2 (R)   f k −  f j  =   f k − f j  = f k − f j  {  f k } ∞ k=1 L 2 (R)  f k →  f L 2 (R)  f f L 2 (R) f ∨ 2.3 ( f, g f ∗g (f ∗g)(x) =  +∞ −∞ f(y)g(x − y)dy. 2.3 ( f, g ∈ L 2 (R) +∞  −∞ f ¯gdx = +∞  −∞ ˆ f ˆgdξ  D α f = (iξ) α  f α D α f ∈ L 2 (R)  f ∗g = √ 2π  fg f = (  f) ∨ . 2.4 f ∈ H s (R) f f H s (R) :=   +∞ −∞ |  f(ξ)| 2 (1 + ξ 2 ) s dξ  1/2 < +∞. (2.1) H(η) H(η) =  η η (1 − η) 1−η , η ∈ (0, 1), 1, η = 0 1. (2.2) H(η) ≤ 1 C(x, y) 1 > x  0, y > 0 C(x, y) =  y 1 − x  y e 1−x−y . (2.3) 2.4 x, y z x + zy  (z + 1)x 1/(z+1) y z/(z+1) . 2.5 0  p  q < ∞, q = 0 α > 0 αe −p α + e −q  H  p q  α p q . p = 0 p = q 0 < p < q < ∞ x = α, z = p q −p , y = q −p p e −q , α + e −q = x + zy  (z + 1)x 1/(z+1) y z/(z+1) , = 1  p q  p q  1 − p q   1− p q  α 1− p q e −p .  2.6 u(x, t) ∈ L 2 (R) t ∈ [0; 1] ∂u ∂t = a ∂ 2 u ∂x 2 , (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1). (2.4) u(·, t)  u(·, 1) t u(·, 0) 1−t , t ∈ [0; 1] u(x, t) ∂u ∂t = a ∂ 2 u ∂x 2 x ∂u ∂t (ξ, t) = −ξ 2 au(ξ, t). (2.5) u(ξ, t) = e a(1−t)ξ 2 u(ξ, 1), (ξ, t) ∈ R × [0, 1]. (2.6) ˆu(·, t) ∈ L 2 (R), t ∈ [0, 1] |u(ξ, t)| t = e at(1−t)ξ 2 |u(ξ, 1)| t , (ξ, t) ∈ R × [0, 1]. (2.7) t = 0 u(ξ, 0) = e aξ 2 u(ξ, 1), ξ ∈ R, (2.8) u(ξ, 1) = e −aξ 2 u(ξ, 0), ξ ∈ R. (2.9) u(ξ, t) = e −atξ 2 u(ξ, 0), (ξ, t) ∈ R ×[0, 1]. (2.10) |u(ξ, t)| (1−t) = e −at(1−t)ξ 2 |u(ξ, 0)| (1−t) , (ξ, t) ∈ R × [0, 1]. (2.11) |u(ξ, t)| = |u(ξ, 1)| t |u(ξ, 0)| (1−t) , ξ ∈ R. t = 0 t = 1 t ∈ (0, 1) p = 1 t , q = 1 1 − t , f(ξ) = |u(ξ, 1)| 2t ∈ L p (R), g(ξ) = |u(ξ, 0)| 2(1−t) ∈ L q (R) u(·, t) 2 = u(·, t) 2 =  +∞ −∞ |u(ξ, 1)| 2t |u(ξ, 0)| 2(1−t) dξ =  +∞ −∞ f(ξ)g (ξ)dξ =  +∞ −∞ |f(ξ)g(ξ)|dξ = f g 1  f p g q =   +∞ −∞ |f(ξ)| p dξ  t .   +∞ −∞ |g(ξ)| q dξ  (1−t) =   +∞ −∞ u 2 (ξ, 1)dξ  t .   +∞ −∞ u 2 (ξ, 0)dξ  (1−t) = u(·, 1) 2t .u(·, 0) 2(1−t) = u(·, 1) 2t .u(·, 0) 2(1−t)  3. 3.1 u 1 (x, t) u 2 (x, t) − t ∈ [0, 1] u 1 (·, t) − u 2 (·, t)  2C 1 (t, a, s, β)ε t E 1−t  ln E ε  − s 2 (1−t) (1 + o(1)), ε → 0 + , C 1 (t, a, s, β) =  1 + C(a, β, s)a s 2  C(a, β, s) =    e aβ s = 0, max  1, e aβ  s 2aeβ  s/2  s > 0. 3.2 3.3 u(x, t) − v α (x, t) u(·, t) − v α (·, t + β)  C(a, β, s)α t 1+β  a(1 + β) ln 1 α  s/2 E + α t+β 1+β −1 ε, ∀t ∈ [0, 1], ∀α ∈ (0, 1). α =  ε E  ln E ε  s 2  1+β , t ∈ [0; 1] u(·, t) − v α (·, t + β)  C 1 (t, a, s, β)ε t E 1−t  ln E ε  − s 2 (1−t) (1 + o(1)), ε → 0 + . 3.1 t = 0 u(·, 0) − v α (·, β)  C 1 (0, a, s, β)E  ln E ε  − s 2 (1 + o(1)), ε → 0 + . s > 0 3.4 ε < ϕ(·) τ > 1 τ ε < ϕ(·) α ε > 0 v α ε (·, 1 + β) − ϕ(·) = τε. (3.1) u(x, t) v α (x, t) α = α ε . t ∈ [0, 1] u(·, t) − v α ε (·, t + β)   C(τ, a, β, s)ε t E 1−t  ln E ε  −s(1−t)/2 (1 + o(1)) khi ε → 0 +  C(τ, a, β, s) τ, a, β, s 3.2 s E t = 0 u(·, 0) − v α ε (·, β)   C(τ, a, β, s)E  ln E ε  −s/2 (1 + o(1)) khi ε → 0 + . s > 0 4. v x ∈ R    dv dt = −aξ 2 v, 0 < t < 1 + β, αv(ξ, 0) + v(ξ, 1 + β) = ϕ(ξ), ξ ∈ (−∞; +∞), α > 0, β > 0. (4.1) v(ξ, t) = e −atξ 2 v(ξ, 0), ∀t ∈ [0, 1 + β]. (4.2) t = 1 + β v(ξ, 1 + β) = e −a(1+β)ξ 2 v(ξ, 0), ϕ(ξ) = αv(ξ, 0) + v(ξ, 1 + β) = (α + e −a(1+β)ξ 2 )v(ξ, 0) v(ξ, 0) = ϕ(ξ) α + e −a(1+β)ξ 2 . (4.3) v(ξ, t) = e −atξ 2 α + e −a(1+β)ξ 2 ϕ(ξ) t ∈ [0, 1 + β] v(x, t) =  e −atξ 2 α + e −a(1+β)ξ 2 ϕ(ξ)  ∨ , ∀t ∈ [0, 1 + β]. (4.4) v = F ∗ ϕ √ 2π (4.5) F  F = e −atξ 2 α + e −a(1+β)ξ 2 . (4.6) |  F | =  F = e −atξ 2 α + e −a(1+β)ξ 2  H  t 1 + β  α t 1+β −1 , ∀t ∈ [0, 1 + β]. (4.7) v(·, t) =      F ϕ  ∨    =     F ϕ     H  t 1 + β  α t 1+β −1 ϕ = H  t 1 + β  α t 1+β −1 ϕ v(·, t)  H  t 1 + β  α t 1+β −1 ϕ, ∀t ∈ [0, 1 + β]. (4.8)  u(·, t) − v α (·, t + β) = u(·, t) − v α (·, t + β) =      e a(1−t)ξ 2 u(ξ, 1) − e −a(t+β)ξ 2 α + e −a(1+β)ξ 2 ϕ(ξ)      =      e a(1−t)ξ 2 u(ξ, 1) − e −a(t+β)ξ 2 α + e −a(1+β)ξ 2 u(ξ, 1) + e −a(t+β)ξ 2 α + e −a(1+β)ξ 2 (u(ξ, 1) − ϕ(ξ))             e a(1−t)ξ 2 − e −a(t+β)ξ 2 α + e −a(1+β)ξ 2  u(ξ, 1)      +      e −a(t+β)ξ 2 α + e −a(1+β)ξ 2 (u(ξ, 1) − ϕ(ξ))            αe a(1−t)ξ 2 α + e −a(1+β)ξ 2 u(ξ, 1)      + sup ξ∈R e −a(t+β)ξ 2 α + e −a(1+β)ξ 2 u(ξ, 1) − ϕ(ξ) =      αe −atξ 2 α + e −a(1+β)ξ 2 u(ξ, 0)      + sup ξ∈R e −a(t+β)ξ 2 α + e −a(1+β)ξ 2 u(ξ, 1) − ϕ(ξ)       αe −atξ 2 (1 + ξ 2 ) −s/2 α + e −a(1+β)ξ 2 (1 + ξ 2 ) s/2 u(ξ, 0)      + H  t + β 1 + β  α t+β 1+β −1 ε  sup ξ∈R αe −atξ 2 (1 + ξ 2 ) −s/2 α + e −a(1+β)ξ 2 u(ξ, 0) H s + H  t + β 1 + β  α t+β 1+β −1 ε  sup ξ∈R αe −atξ 2 (1 + ξ 2 ) −s/2 α + e −a(1+β)ξ 2 E + α t+β 1+β −1 ε. (4.9) A = sup ξ∈R αe −atξ 2 (1 + ξ 2 ) −s/2 α + e −a(1+β)ξ 2 . e −a(1+β)ξ 2 = αz 0 < z  1 α αe −atξ 2 (1 + ξ 2 ) −s/2 α + e −a(1+β)ξ 2 = α(αz) t 1+β  1 − ln(αz) a(1 + β)  −s/2 α(1 + z) = α t 1+β z t 1+β (1 + z)  1 − ln(αz) a(1 + β)  −s/2 = α t 1+β  a(1 + β) ln 1 α  s/2 z t 1+β (1 + z)  −ln α −ln(αz) + a(1 + β)  s/2 = α t 1+β  a(1 + β) ln 1 α  s/2 z t 1+β (1 + z)  −ln α −ln α − ln z + a(1 + β)  s/2 B = z t 1+β (1 + z)  −ln α −ln α − ln z + a(1 + β)  s/2 C(a, β, s) 0 < z  1 0 < α < 1 0  −ln α < −ln α − ln z + a(1 + β) B = z t 1+β (1 + z)  −ln α −ln α − ln z + a(1 + β)  s/2 < z t 1+β (1 + z) < 1. z > 1 0 < −ln α −ln α − ln z + a(1 + β) < 1 + ln z a(1 + β) . (4.10) 0 < a(1 + β) − ln z a(1 + β) ln(αz) = a(1 + β) + ξ 2 ln z. (4.11) z > 1 z > 1 B = z t 1+β (1 + z)  −ln α −ln α − ln z + a(1 + β)  s/2 < z t 1+β (1 + z)  1 + ln z a(1 + β)  s/2  z 1 1+β (1 + z)  1 + ln z a(1 + β)  s/2 < z 1 1+β z  ln(e a(1+β) z) a(1 + β)  s/2 = z −β 1+β  ln(e a(1+β) z) a(1 + β)  s/2 = e aβ  1 a(1 + β)  s/2 (e a(1+β) z) −β 1+β  ln(e a(1+β) z)  s/2 = e aβ  1 a(1 + β)  s/2 y −β 1+β (ln y) s/2 = e aβ  1 a(1 + β)  s/2 g(y), g(y) = y −β 1+β (ln y ) s/2 , y = e a(1+β) z > e a(1+β) > 1 g(y) y > 1 g  (y) = −β 1 + β y −β 1+β −1 (ln y) s/2 + y −β 1+β s 2 (ln y) s 2 −1 1 y = y −β 1+β −1 (ln y) s 2 −1  s 2 − β 1 + β ln y  , g  (y) = 0 ⇔ y = e s(1+β) 2β . sup y>1 g(y) = 1 s = 0 sup y>1 g(y) = g  e s(1+β) 2β  =  s(1+β) 2eβ  s/2 s > 0 B  max  1, e aβ  = e aβ s = 0, B  max  1, e aβ  s 2aeβ  s/2  s > 0. A  C(a, β, s)α t 1+β  a(1 + β) ln 1 α  s/2 E. u(·, t) − v α (·, t + β)  C(a, β, s)α t 1+β  a(1 + β) ln 1 α  s/2 E + α t+β 1+β −1 ε, ∀t ∈ [0, 1], ∀α ∈ (0, 1). α =  ε E  ln E ε  s 2  1+β u(·, t) − v α (·, t + β)  ε t E 1−t  ln E ε  − s 2 (1−t)   1 + C(a, β, s)a s 2  ln E ε ln E ε − s 2 ln ln E ε  s 2    ε t E 1−t  ln E ε  − s 2 (1−t)  1 + C(a, β, s)a s 2  (1 + o(1)) ε → 0 + lim →0 +  ln E ε ln E ε − s 2 ln ln E ε  s 2 = 1.   ρ(α) = v α (·, 1 + β) − ϕ 0 < ε < ϕ ρ lim α→0 + ρ(α) = 0, lim α→+∞ ρ(α) = ϕ, ρ [...]... các đánh giá trên ta thấy khi 0+ 1 C2 (a, , s) + C(a, , s) 1 z(ã, 0) a(1 + ) ln E s/2 E(1 + o(1)) (4.29) Từ Bổ đề 2.6, (4.20) và (4.29) ta có đánh giá z(ã, t) z(ã, 1) t z(ã, 0) 1t C3 (, t, a, , s)t E 1t ln E s(1t)/2 (1 + o(1)) khi 0+ 1t 1 ở đây C3 (, t, a, , s) = ( + 1)t(a(1 + ))s(1t)/2 C2 (a, , s) + 1 C(a, , s) Đặt C(, a, , s) = sup C3 (, t, a, , s) < + ta sẽ thu được khẳng định của định lý... + |()|2 d + 2 2 |()|2 d + ||>n 2 || n |()|2 d + ea(1+)2 2 Tiếp theo ta chứng minh khẳng định |()|2 d |()|2 d + + |()|2 d = +1 2 2 (4.13) |()|2 d (4.14) lim Từ (4.13), (4.14) và tính không âm của () ta có 1 () Vì + 1 + + nên theo nguyên lý kẹp ta có lim () = Tiếp theo, ta chứng minh khẳng + = định d) Giả sử 0 < 1 < 2 Ta sẽ chứng minh (1 ) < (2 ) Thật vậy, ta thấy 0< Ngoài ra, vì sao... tồn tại số nguyên dương n0 |()|2 d > 0 (4.16) n0 Từ (4.12), (4.15) và (4.16) ta kết luận được (1 ) < (2 ) Cuối cùng, ta chứng minh khẳng định a) Giả sử 0 là một số dương bất kỳ Ta chứng minh liên tục tại 0 Vì 0 > 0 và > 0 nên từ (4.12) ta thấy 2 (0 ) > 0 hay (0 ) > 0 (Do (0 ) là đại lượng không âm) Với là số dương bất kỳ ta có đánh giá sau (0 )|() (0 )| + (() + (0 ))|() (0 )| = |2 () 2 (0 )|... )ea(1+) ( + ea(1+)2 )(0 + ea(1+)2 ) | 0 | , n N 0 (4.18) Từ (4.17) và (4.18) ta có (0 )|() (0 )| Từ đó, ta có 0 2 | 0 | 0 |() (0 )| + |()|2 d = 2 2 | 0 | 2 0 (0 ) | 0 | 2 = 0 nên theo nguyên lý kẹp 0 0 (0 ) (0 )| = 0 hay lim () = (0 ) Vậy liên tục tại 0 Vì lim 2 0 | 0 | 2 0 ta kết luận được lim |() 0 Từ các tính chất trên của hàm chứng tỏ tồn tại duy nhất một số dương thỏa mãn (3.1) Đặt... (1 + 2 )s/2 1+ E + + ea(1+)2 (4.21) Mặt khác, sử dụng kết quả đánh giá đại lượng A trong trường hợp t = 0 trong chứng minh Định lý 3.3 ta thu được (1 + 2 )s/2 sup a(1+) 2 R + e trong đó C2 (a, , s) = ea(1+) a(1 + ) C2 (a, , s) 1 ln nếu s = 0, max 1, ea(1+) s s/2 2 nếu s/2 s > 0 (4.22) (4.23) Từ (4.21), (4.22) ta có đánh giá z(ã, 0) Mặt khác, ta có + ea(1+)2 1 1+ E + u(, 1) ( v (, 1 +... hết ta chứng minh khẳng định b) Giả sử là một số dương bé tuỳ ý, vì 2 = 2 + 2 = |()|2 d nên tồn tại số nguyên dương n sao cho ||>n |()|2 d < 2 Từ (4.12) ta có đánh giá với mọi thỏa mãn 2 0 > 0, s (a) Khoa Toán, trường Đại Học Vinh (b) Lớp 47A, Khoa Toán, trường Đại Học Vinh 0, a > 0, (ã) L2 (R) ... mãn (3.1) Đặt z(ã, t) = u(ã, t) v (ã, t + ) với mọi t [0, 1] Ta có zt = azxx , (x, t) (, +) ì (0; 1) z(ã, 1) = (4.19) u(ã, t) v (ã, t + ) u(ã, t) + v (ã, t + ) + = (1 + ) Bây giờ ta đánh giá z(ã, 0) z(ã, 0) (4.20) Ta có: = u(ã, 0) v (ã, ) = u(ã, 0) v (ã, ) = ea u(, 1) = ea u(, 1) 2 2 ea () + ea(1+)2 2 2 2 ea ea (u(, 1) ()) 2 u(, 1) + + ea(1+) + ea(1+)2 2 e a 2 2 ea + ea(1+)2