Phương pháp quasi boundary value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN PHI PHÚC PHƯƠNG PHÁP QUASI-BOUNDARY VALUE VÀ PHẦN TỬ HỮU HẠN ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN NHIỆT NGƯC THỜI GIAN Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS.Đặng Đức Trọng Thành Phố Hồ Chí Minh - 2006 Hiện công cụ tính toán phát triển cách mạnh mẽ làm thay đổi nhiều quan điểm khả giải thực tế toán khác Nhiều thuật toán trước chấp nhận khối lượng tính toán lớn ngày hoàn toàn thực cách hiệu Nhiều toán thuộc lónh vực ứng dụng, đặc biệt toán không chỉnh xuất lónh vực vật lý, kinh tế, y khoa, thăm dò, hồi phục, nhận dạng v.v… giải thuật toán hữu hiệu Đây lónh vực toán học sâu rộng, thực tiễn, hứng thú, nhiều người quan tâm đạt nhiều thành tựu Trong luận văn này, trình bày việc chỉnh hoá toán nhiệt ngược thời gian, toán không chỉnh lónh vực vật lý ứng dụng phương pháp Quasi-Boundary value phần tử hữu hạn, đồng thời trình bày số phương pháp tính số có thuật toán hữu hiệu để giải Luận văn lời nói đầu, phần kết luận, phần tài liệu tham khảo phần mục lục trình bày chương: Chương phần tổng quan toán, trình bày sơ lược lịch sử vấn đề Chương phần trình bày ký hiệu nhắc lại số kiến thức cần thiết để thuận tiện cho việc theo dõi phần Chương phần trình bày việc chỉnh hoá toán nhiệt ngược thời gian Chương phần trình bày số phương pháp tính số Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn PGS TS Đặng Đức Trọng người tận tình hướng dẫn suốt trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù bận nhiều công việc thầy dành nhiều thời gian để hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn đến quý thầy côâ tham gia giảng dạy cao học khoá 14, người truyền đạt kiến thức quý báu cho Sau cùng, không nhắc đến bạn bè, người thân người khuyến khích, động viên trình học tập, xin cảm ơn điều TP HCM, ngày 15 tháng năm 2006 Tác giả luận văn Nguyễn Phi Phúc Chương PHẦN TỔNG QUAN Trước tiên nhắc lại khái niệm toán chỉnh không chỉnh Định nghóa (Hadamard 1923) Một toán gọi chỉnh nghiệm i) Tồn tại, ii) Là nhất, iii) Phụ thuộc liên tục vào liệu ban đầu (Tính chất ổn định) Và toán gọi không chỉnh vi phạm tính chất Ở tính chất iii) quan trọng toán thực tế, để chỉnh hoá toán điều mong muốn nghiệm thay đổi liệu toán thay đổi Trong luận văn này, xét toán nhiệt ngược thời gian cho u , (t )  Au (t )  0,  t  T ,  u (T )  f (FVP) với A toán tử tự liên hợp dương, không bị chặn không gian Hilbert H cho –A sinh nửa nhóm co compắc H, thuộc tập giải –A (0(-A)), t thời gian, T thời gian cuối cho trước, hàm liệu f cho trước H, u : [0, T]  H lời giải cần tìm Bài toán toán không chỉnh, vì, tồn lời giải [0, T] lời giải không phụ thuộc liên tục theo f Thật vậy, xét toán nhiệt cho ut  u xx  0,  x  1,  t  T ,  u (0, t )  0,  u (1, t )  0, u ( x, T )  f ( x)  e 1sin x, (*) nghiệm xác (*) u ( x, t )  e (T  t )1 sin x Laáy fn (x)  e1sin x+ sinn x làm liệu thời gian cuối T Khi ta có nghiệm tương ứng n (*) với giá trị cuối fn (x) un (x, t)=e (T  t )1 sin x+ e n  n 2 (T  t ) sinn x Sai số thời gian cuối fn  f L ( ,1)  n sin n xdx  1 n   0 n 2 Và sai số thời gian đầu 2 2n  T e2 n  T n   2e sin n xdx    2n n un (., 0)  u(., 0) 2 L2 ( , 1) Vậy (*) toán không chỉnh vi phạm tính chất iii) Việc xây dựng hàm xấp xỉ ổn định nghiệm toán nhiệt ngược trường hợp riêng vấn đề chỉnh hoá toán không chỉnh Ta nêu khái niệm xác việc chỉnh hoá toán không chỉnh Xét phương trình Au  f , u  D(A)  X, f  Y Trong X, Y không gian mê tríc A : D(A)  Y toán tử Ta nói u0  D(A) nghiệm xác toán tương ứng với giá trị liệu xác f0 Au0  f Toán tử R : Y  X phụ thuộc vào tham số    (được gọi tham số chỉnh hoá) toán tử chỉnh hoá a) R f  u0   , b) Với   , tồn  ( ),  ( )  cho d X  R ( ) f , u0    ( ) neáu dY  f , f0    , f  Y Phần tử u  R ( ) f gọi nghiệm chỉnh hoá toán Bài toán (FVP) nhiều tác giả chỉnh hoá nhiều toán chỉnh khác Lattes Lions [9], Miller [11, Payne [13], Huang Zheng [6], Lavrentiev [10] xấp xỉ (FVP) cách làm nhiễu toán tử A Nghiên cứu gọi phương pháp Quasi-Reversibility Ý tưởng phương pháp nhiễu phương trình toán không chỉnh để thu toán chỉnh, dùng nghiệm toán chỉnh nghiệm xấp xỉ toán không chỉnh Trong [9] Lattes Lions chỉnh hoá toán toán ut  Au   A* Au  0,  t  T ,  u(T )  f Alekseeva Yurchuk [18] xét toán ut  Au   At  0,  t  T ,  u(T )  f Gajewski vaø Zaccharias [5] xét toán tương tự Alekseeva Yurchuk làm họ đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ u (t )  u (t )  (T  t ) u (0) t2 Showalter [14, 15] đưa phương pháp khác để chỉnh hoá toán (FVP), phương pháp việc đánh giá sai số ổn định tác giả trước Sử dụng ý tưởng Showalter, Clark Oppenheimer [3] dùng phương pháp Quasi-Boundary để chỉnh hoá toán ngược thời gian với nghiệm chỉnh hoá thoả ut  Au(t )  0,  t  T ,  u(T )   u (0)  f Cũng ý tưởng trên, Denche Bessila [4] xấp xỉ (FVP) cách nhiễu điều kiện cuối ut  Au(t )  0,  t  T ,  u(T )   u '(0)  f Huang Zheng [7] xét toán ut  Au   At  0,  t  T ,  u(T )  f đây, –A toán tử sinh nửa nhóm giải tích không gian Banach Tuy nhiên, họ chưa đưa công thức đánh giá sai số hiệu phương pháp để tính toán Trong luận văn sử dụng phương pháp Quasi-Boundary value tương tự Showalter làm điều kiện tổng quát Ở làm nhiễu điều kiện cuối Điều đưa toán Quasi-Boundary value (QBVP) sau u, (t )  Au (t )  0,  t  T ,   u (0)  u (T )  f với  số dương nhỏ, toán tử A có tập trực giao gồm hàm véc tơ riêng qi với giá trị riêng  i > 0, cho qi  sở H Khi ta biểu diễn f (FVP)  dạng f =  b q , sau toán xấp xỉ chỉnh nghiệm hội tụ i i i 0 toán gốc có nghiệm cổ điển Phần lại luận văn bao gồm ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cho luận văn Chương trình bày phương pháp Quasi- Boundary value Mục đích luận văn bổ sung vào lý thuyết xấp xỉ Clark Oppenheimer [3] phần đánh giá sai số Hiển nhiên trước tìm hiểu bổ sung tính đắn cách lấy xấp xỉ, chún g ta phải trả lời câu hỏi “ Có  tồn xấp xỉ không?” Câu trả lời có b i 2T i e hội tụ Điều nội i 1 dung chương luận văn Chương luận văn trình bày hai phương pháp tính số toán (QBVP) phương pháp xấp xỉ hữu hạn giá trị riêng, vectơ riêng phương pháp lặp Conjugate-gradient, phần cuối chương trình bày sai số xấp xỉ hữu hạn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ CÁC KÝ HIỆU Trong chương này, qui ước số ký hiệu nêu lại số kiến thức chuẩn bị cần thiết sử dụng đến chương sau 2.1 Không gian Hilbert Cho X không gian tuyến tính thực Định nghóa 2.1.1 Ánh xạ i) : X   0,   gọi chuẩn thoả u  v  u  v ,u,v  X , ii) u   u ,u  X ,    , iii) u  ,u  X; u   u  Không gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi không gian tuyến tính định chuẩn Từ sau ta giả sử X không gian tuyến tính định chuẩn  Định nghóa 2.1.2 Ta nói dãy un n 1  X hội tụ u  X neáu lim un  u  n  Ta ký hiệu: un  u  Định nghóa 2.1.3 Ta nói dãy un n 1  X dãy Cauchy với   0, N  cho un  um   , n, m  N Định nghóa 2.1.4 X gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Định nghóa 2.1.5 X gọi không gian Banach X đầy đủ Định nghóa 2.1.6 Ta nói X tách X chứa tập đếm trù mật X Cho H không gian tuyến tính thực Định nghóa 2.1.7 Ánh xạ  ,  : H  H   gọi tích vô hướng thoaû i)  u,v    v,u  , u,v  H , ii)  u  v,w    u,w    v,w  , u,v,w  H , iii)  u,v     u,v  , u,v  H ,   , iv)  u, u   0, u  H ;  u, u    u  Nếu  ,  tích vô hướng chuẩn tương ứng với u   u, u  Định nghóa 2.1.8 Không gian Hilbert không gian Banach với chuẩn sinh tích vô hướng Từ sau ta giả sử H không gian Hilbert Định nghóa 2.1.9 Hai phần tử u, v H gọi trực giao với  u, v   Khi đó, ta viết u  v Định nghóa 2.1.10 Hai tập hợp M, N H gọi trực giao với phần tử M trực giao với phần tử N Khi đó, ta viết M  N Định nghóa 2.1.11 Phần tử u H gọi trực giao với tập hợp M H u trực giao với phần tử M Khi đó, ta viết u  M  Định nghóa 2.1.12 Dãy un n1 gọi hệ trực giao không gian H phần tử dãy đôi trực giao với Tính chất 2.1.13 Cho H không gian Hilbert, u, un , v, vi ,  H Ta coù a) u  u  u  0, b)  u, u, n c) u  vi , i  1, n  u    i vi , i 1  u   u  v, d)  n  v vn  e) Tập hợp tất phần tử H trực giao với tập hợp M H gọi phần bù trực giao M (ký hiệu M  ) không gian đóng cuûa H, 2 f) u  v  u  v  u  v ,  g) Nếu un n1 hệ trực giao không gian H    un hội tụ   un n 1   n 1 Định lý 2.1.14 M không gian đóng H phần tử x H biểu diễn dạng x=y+z với yM, z M  vaø x  y  inf x  u uM ° y gọi hình chiếu trực giao x lên không gian M ° Toán tử P : H  M xác định Px  y gọi toán tử chiếu lên M toán tử tuyến tính liên tục, P  Định nghóa 2.1.15 Dãy en  gọi hệ trực chuẩn không gian H e , e    i j  neáu i  j,   i  j ij Tính chất 2.1.16 en  hệ trực chuẩn không gian H Khi với u  H n a) Phần tử v    u, ei  ei hình chiếu trực giao u lên không gian sinh i 1 n e1 , e2 , , en  vaø   u, e  i  u , i 1  b) Chuoãi   u, e  e i i i 1  c)   u, e  i    hội tụ  u -   u, ei  ei   en , n ,  i1   u i 1  Định nghóa 2.1.17 Hệ trực chuẩn en n1 gọi sở trực chuẩn không gian H véc tơ trực giao với hệ (tức u  en , n  1, 2,  u  )   Neáu u  H en n1  H sở trực chuẩn ta viết u=  u, en en n=1 Định lý 2.1.18 Giả sử  en n1 hệ trực chuẩn không gian H Các mệnh đề sau tương đương  a) Hệ en n1 sở trực chuẩn không gian H,  b) u  H , u    u, ei  , i 1  c) u, v  H ,  u, v     u, ei  v, ei  , i 1 d)   en n1 tuyến tính trù mật H (tức bao tuyến tính en n1 ) trù mật H Định nghóa 2.1.19 Toán tử A : H  H tuyến tính liên tục , toán tử liên hợp A : H  H thỏa mãn  Au, v    u, Av  , u, v  H Định nghóa 2.1.20 Toán tử A : H  H tuyến tính liên tục , A gọi tự liên hợp A  A , nói cách khác A tự liên hợp  Au, v    u, Av  , u, v  H °Toaùn tử chiếu lên không gian M toán tử P biến u thành hình chiếu Pu lên M tự liên hợp Thật vậy, u, v  H ta coù u = u'+u'' , v = v'+v'' với u', v'  M, Pu = u', Pv = v' u'', v''  M   Pu, v    u', v    u', v'    u, v'    u, Pv  °A, B tự liên hợp A-1, A+ B, I, A     toán tử tự liên hợp Định nghóa 2.1.21 Toán tử A : H  H tuyến tính liên tục , A gọi toán tử đối xứng u, v  H ta coù  Au, v    u, Av  °Toán tử tự liên hợp toán tử đối xứng °Nếu A toán tử đối xứng giá trị riêng số thực véc tơ riêng A ứng với giá trị riêng khác trực giao °H không gian n chiều, ei i 1,n hệ n véc tơ riêng toán tử đối xứng A ứng với cacù giá trị riêng i làm thành sở trực chuẩn với u thuộc H ta có  n n  i 1   Au, u    A    u, ei  ei  ,   u, ei  ei    i 1  n  =    u, ei  Aei ,  i 1 n  =   i  u, ei  ei ,  i 1 n n    u, e  e  i i i 1 n    u, e  e  i i i 1 = i  u, ei  i 1 Định lý 2.1.22 Nếu A toán tử đối xứng A  sup  Au, u   sup  Au, u  u 1 u 1 Định lý 2.1.23 Toán tử A : H  H tự liên hợp Khi Phổ A ký hiệu  (A) tập giá trị riêng A thoả (A)   m, M  với m, M  (A) logx lim xlogx  lim  lim x  lim  -x   x 0 x0 x 0 1 x 0 - x x     Suy f  x   1,x   ,1 Vậy (**) nên (*) Trường hợp 2:     ta có 1 1 g    g 1     g 1  1   1    ,   ,1   1  1    Theo chứng minh trường hợp ta có (*) Lưu ý: Ta chứng minh trực tiếp    1 Từ ta có 1      1  p dụng nhận xét định lý 3.2.1 ta suy định lý sau Định lý 3.2.3 Với giả thiết định lý 3.2.1, ta có t u(t )    u(0)  T    1  Choïn  ( )   1  t T   ( ) u(t )   ta coù   u( 0)  1  t* T (1 )  t* Chứng minh Ta có u(t )    u(t )       t*  u 0)  T    (1 ) t* Chọn  ( ) nghiệm phương trình ẩn  :  T    (1 ) số biến đổi ta có  ( )   1  t T Thay  ( ) vào bất đẳng thức ta suy điều cần phải chứng minh Cuối luận văn dùng phương pháp tính sốá để xây dựng tính xấp xỉ  chương sau Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH SỐ 4.1 Phương pháp sử dụng gía trị riêng véc tơ riêng xấp xỉ Phần sử dụng xấp xỉ khai triển hàm riêng để xấp xỉ nghiệm (QBVP) Do S(t) = e  tA nên làm việc trực tiếp với hàm riêng, giá trị riêng toán tử A Ta viết nghiệm chỉnh hoá sau:  e  t  f , qi  qi  T   i 1    e   i *     (21) i Giả sử có xấp xỉ hàm riêng giá trị riêng có số thứ nguyên hữu hạn, iN ih  i , qih  qi ,1  i  N tức có tập hợp  ih , qih  i 1 Bây ta định nghóa nghiệm xấp xỉ nghiệm chỉnh hoá   ,h h i *  e  t     T i 1   e  N h i  h h   f , qi  qi   Nếu định nghóa xấp xæ h i , qih  (22) iN i 1 qua phương pháp phần tử hữu hạn   , có a  qih ,wh   ih  qih ,wh  ,wh  S h     H 01    (23) Ở đây, S h    không gian xấp xỉ sơ’ hữu hạn a(.,.) dạng song tuyến tính liên hợp với toán tử –A Vì xấp xỉ nghiệm (QBVP) cách giải toán ma trận giá trị riêng bắt nguồn từ (23) sau tính toán nghiệm xấp xỉ qua (21), nói cách khác ta tiến hành với thuật toán sau Bước 1: Tính  ih , qih      S h    từ (23), Bước 2: Tính  f , qih  , h i * Bước 3: Tính hệ số ci  e  t  f ,q  h i h i   e T cuûa (22), Bước 4: Biến đổi trở lại ( cần) tới sở điểm nút Nhận xét: ° Ta thấy tập hợp  ih , qih  sử dụng (22), nhiên muốn xác việc xấp xỉ gần buộc đến tính chất xấp xỉ không gian S h    Từ (6) (22) ta dễ dàng N N h i h i *  ,h   e   T  ,h ,qih qih   e  t  f ,qih  qih i 1 i 1 Từ định nghóa toán tử xấp xỉ N h i K1,h v   e  T  v, qih qih , i 1 N h i * K 2,h v   e   t  v, qih qih i 1 °Một điều hạn chế phương pháp toán giá trị riêng rời rạc rộng Đặc biệt, toán chỉnh R2, R3, lý mà xét phương pháp lặp phần sau Tuy nhiên có mặt hàm số mũ phân rã hệ số khai triển xấp xỉ, chặt cụt khai triển Ta lấy  sai số cho phép, ta bỏ qua tất số hạng cho  t f , qih    ,  * ,   e  T    T h i (24) Sự có mặt số  làm cho việc tính toán chi tiết phần bị chặn ih khó khăn Tuy nhiên, 1  2    Nếu f , qih   f , qih        Để có (24) ta cần có điều kiện ih    log  f ,qih     T  2   f ,q  h i Thaät vaäy 1 2 2 f ,qih     f ,qih            f ,qih         f ,q    f ,q  h i h i 2  4   4    e  ihT   f ,q    f ,q  h i h i  4 2  h  T  f ,qi    log     f ,q  h i h i      log  T  f ,qih     ih  log  f ,qih  T  2   4         f ,qih   4  2 h i Neáu     f ,q  h i   4     h f , q  f , qih    i      Tương tự, để có (22) ta cần có điều kiện   f ,qih    log    t*  h i     4.2 Xấp xỉ số qua lặp conjugate gradient (gọi tắt CG) Có lẽ kỹ thuật lặp tốt để sử dụng cho việc giải (6) phương pháp CG, cho ta tốc độ hội tụ nhanh toán Để thấy rõ điều này, luận văn dựa vào kết Winther 17  Tác giả Winther nghiên cứu việc tìm nghịch đảo toán tử I + B, B compắc Thay đổi thu phương pháp giải cho toán ta với toán tử  I  K1 , K1 compắc Một cách tổng quát, phương pháp CG phương pháp lặp phương trình toán tử A  f cho   n1   n  an sn   rn1  rn  an Asn ,  s  r  b s  n1 n1 n n  , an  rn  Asn , sn  , (25) , bn  rn1 rn 2 Với n  0, s0  r0  f  A , ta coù tính chất tối ưu Phương pháp CG có   dãy  n xấp xỉ khác  sinh (25) với       , A        , A     , n  n n n n (26) Bây ta chứng minh kết quan trọng sau Định lý 4.2 Nếu A =I + B với B compắc, xác định dương, tự liên hợp giá trị riêng       1   max (27) Thì ước lượng sai số phép lặp CG (25) xác định    n  (cn )n    , (28)    max  n  i  n cn          i 1  i   (29) Chứng minh Từ (25) ta viết lại  n    Pn 1 ( A)r0 , (30) r0  f  A  A     Pn1 đa thức A có bậc cao n-1 Nên ta coù  n    Pn 1 (B )r0 (31) Pn1 đa thức B có bậc cao n - Sự tối ưu CG quan tâm tới việc lựa chọn đa thức thích hợp, để có điều ta định nghóa  n    Qn1 (B)r0 ,    , (32) Đối với đa thức Qn1 có bậc cao n - 1, ta định nghóa Q n ( )   1    Qn1 ( ) , (33) n   Q n ( )   i i 1  i  (34) thoả mãn Do A   n   A  A n  f - Ay n  f - A  f  Qn-1 (B)r0   f - Af - AQn-1 (B )r0  r0 - AQn-1 (B )r0   I - AQn-1 (B)  r0   I -  I  B  Qn-1 (B)  r0 (33) = Q n (B )r0 Và từ giả thiết A ta có  A   max  A -1  1 ), (A-1 có giá trị riêng  min  i     (A có giá trị riêng 1+ i ),  x, Ax    x, Ax     max  x, x  x Nên ta có 1     - n     - , A  -     - n , A  - n  n n (do (26))   A 1 A  - n  , A  - n   A 1 A  - n   A 1 Q n  B   A 1 Q n  B   r0 A 2  0 Vaäy  - n    max     Qn  B      Vấn đề lại chặn Q n  B  Ta coù Q n  B   sup v Q n (B )v v 2 2  0 (35)   Q ( )v n  sup k 1 v0  k k k v k 1  n  i   k     vk k 1 i 1   i    sup  v0 k v k 1 n   i   k    vk   k  n 1 i 1   i    sup  v k v k 1  n  i     vk k 1 i 1   i    sup  v v (do  k i   k i  , k  n  ) i  i  k 1  v k n  i   sup    v i 1   i   v k k  n 1  k 1 n      i  i 1   i   (36) Từ (35), (36) ta thu  - n    max        2 n  i       i 1   i   neân n  - n   cn     , với    max  n   i   n cn          1 i  i      Trong luận văn ta có B   1K1 i   1eT   i Neân  cn     1e 1T    n n  iT  i 1   e  roõ ràng n cn  0 Để ứng dụng phương pháp CG cho toán, xây dựng xấp xỉ hữu hạn cho toán tử compắc K1 Ước lượng sai số phương pháp lặp CG toán điều chỉnh  I  K1 , K1 compắc, điều chỉnh n  ,h  n,h   cnh   ,h  0,h , số lặp số trên,  ,h định nghóa mục 4.1, n,h xấp xỉ  ,h thoả (25) Tốc độ hội tụ định  cnh     1e  T   h  n     T k 1    e h k  n  ,  kh giá trị riêng thứ k xấp xỉ dạng K1 k  k    cn   nhanh, chí số  nhỏ Ta thấy nh  Điều cho ta thấy hội tụ phép lặp nhanh 4.3 Đánh giá sai số Để tạo điều kiện cho việc đánh giá sai số, trước tiên ta nhắc lại số tính chất sau  Không gian xấp xỉ Ta giả sử nghiệm xấp xỉ phần tử không gian V h     L2    với tính chất,   H s    ,  I  V h    cho  - I  Ch r  r , (37) với  r  s , kết xấp xỉ phần tử hữu hạn  2 Trong trường hợp cổ điển xấp xỉ tuyến tính mẩu ta có kết  - I  Ch  Ta để ý cách chọn (có nhiều cách chọn)  I hình chiếu trực giao Ph L2 định nghóa   Ph , vh   0, vh V h    (38)  Toán tử xấp xỉ Ở ta giả sử toán tử xấp xỉ K1,h , K 2,h xác nghóa tồn số dương cho K i  Ki ,h  v  Ci hq v q , i  1, , với q  (39)  Tính trơn liệu ban đầu Ta nói liệu f pre-diffused  tồn số M  cho   b e  2 i i  M 2 , (40) i 1 bi hệ số f khai triển theo sở hàm riêng lưu ý : u (0)  m f pre-diffused T Để kết thúc luận văn ta chứng minh định lý sau Định lý 4.3 Lấy  ,h nghiệm xấp xỉ nghiệm chỉnh hoá  e t      f , qi  qi ,  T   i 1    e   i* i tính toán theo kỹ thuật xấp xỉ theo giá trị riêng (mục 4.1) Nếu ,, đúng, với   2T  t vaø   H r () tồn số C  cho     ,h  C   M   h r  r  m , h h q f q   q  , ûđây,    t  T T  1, eh m ,h  2 2 1, h h ,  eh  K e eh  Ph   ,h Chứng minh Ta có bất đẳng thức tam giác    ,h         ,h (41) ° Mỗi  thõa   2T  t ta coù:     t  T  , từ định lý 3.2.1 T ta có      2     bi e2(1 )  T   i 1   (42) i maø 1 1   2(1 )  T    2( t )     2    2(  t )     bi e  =   bi e     bi e  , đặt M     bi e   i 1   i 1   i 1   i1  i  i i        M  nên từ (42) ta có: i (43) °Ta có  K1   I   K 1, h K  K2 f ,   I  ,h  K 2,h f Neân  K 2,h  f   K1   I    K1,h   I  ,h =  K1,h   I  vh   ,h   K1  K1,h vh    vh    Do K 1, h   I  vh   ,h    K  K 2,h  f    vh      K1,h vh  K1  (44) Laáy vh  Ph  V h () định nghóa eh  Ph   , h Khi (44) viết lại K 1, h   I  eh   K  K 2,h  f    Ph      K1,h  K1   K1,h  Ph    (45) Lấy tích vô hướng vế (45) với eh ta coù  K 1, h   K   I  eh , eh    K 2,h  f , eh     Ph , eh    K1,h   Ph  , eh      K1,h  K1   , eh ( 46) Từ  ta coù  K  K   K  , e    K  K   K 2,h  f , eh   K  K 2,h  f eh  C2 h q f 1, h  Từ  định nghóa Ph ta có h 1, h  eh  C1h q  q eh , q eh    Ph , eh  =0 (do eh  V h    ),  K  vaø 1, h   Ph  , eh  =0 (do K1,h tự liên hợp) nên từ (46) ta coù  K 1, h    I  eh , eh  C3h q eh f q   q  (47) Mặt khác  K 1, h    I  eh , eh   K1, heh , eh     eh , eh  2  K eh + eh 1,h  K eh    +  eh    1,h    e  h    (48) Từ (47) (48) ta có  K eh   +  eh    1,h    e  C hq e h  h     f q   q  neân C3h q Ph   ,h = eh  f   q q Ch  C3h q m ,h eh  f q q Với eh m ,h  2 2 f q   1, h   2 1,h eh eh  eh  K eh K eh + q  eh  K eh 1,h Vaäy    , h    Ph  Ph   ,h , q   C4 h r  r  C3hq m ,h f q   q  (49) (do   H r    ,   Ph  vh  V h    thõa ) Từ (41), (43) (49) suy tồn số C  cho     ,h  C   M   h r  r  hq m , h  f q   q  Nhận xét : Nếu liệu ban đầu không pre-diffused theo định lý 3.2.2 ta sử dụng sai số chỉnh hoá để chặn thực việc đánh giá cuối     , h  C m   h r  r  h q m ,h Với   f q   q  , t*   1 vaø m ,h   Nh T T  e Để có tốc độ hội tụ tốt với kết có, ta giả sử sử dụng phần tử hữu hạn tuyến tính, lấy r  q  vaø   Điều tốt ta làm với m ,h m ,h   1 điều qua kinh nghiệm tính toán cho ta thấy bảo toàn Khi đánh giá     ,h  C  M   h   h 2 1  f    Để “cân bằng” đóng góp sai số từ số hạng phân hoạch ta lấy   h s tìm s cho   h s điều cho s = đánh giá cuối    ,h  Ch  M   f    Ta thấy đánh giá điều bảo toàn thực tế toán xảy Trong trường giảm cách nhanh chóng điều Tuy nhiên, đánh giá thực tính trơn liệu ban đầu tăng (khi mà chúng điều chỉnh kích cỡ  ) ảnh hưởng tới đánh giá sai số Sự sai số chỉnh hoá thông  21  thường dạng  , ta có đánh giá cuối là: O  h     Caùc kết trình bày luận văn không mới, tất phát biểu chứng minh định hướng số tài liệu tham khảo Điều mà luận văn thực trình bày chứng minh cách chi tiết hơn, đồng thời vận dụng số kết số tài liệu tham khảo với giúp đỡ gợi ý thầy hướng dẫn có kết hệ số tốc độ hội tụ (định lý 4.2) Qua luận văn này, thân hiểu kỹ kiến thức mà quý thầy lớp cao học truyền thụ suốt trình học tập bắt đầu tiếp cận với nghiên cứu khoa học Luận văn có ý nghóa thực tiễn kết hợp số phần mềm ứng dụng Matlab,… Do thời gian có hạn kiến thức phần mềm tác giả luận văn hạn chế nên luận văn chưa đưa ứng dụng thiết thực hạn chế luận văn Hướng phát triển luận văn nghiên cứu phương pháp luận văn cho toán nhiệt không nghiên cứu phần mềm toán học để giải số lónh vực ứng dụng thực tế sống  TÀI LIỆU THAM KHẢO Ames, K A., Clark, G , Epperson, J F., Oppenheimer, S.F (1998), “ A comparison Of regularizations for an ill-posed problem”, Mathematics of computation, vol 67, no 224, pp 1451-1471 Brenner, S C., Scott, R.S (1994), The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer-Verlag, New York Clark, G., Oppenheimer, S.F (1994), “Quasireversibility Methods for Non-WellPosed Problems”, Elect J Diff Eqns Denche, M., Bessila, K (2005), “A modified quasi-boundary value method for illposed problems”, J Math Anal Appl, vol 301 , pp 419-426 Gajewski, H., Zaccharias, K (1972), “ Zur Regularisierung einer Klass nichtkorrekter Probleme bei Evolutiongleichungen”, J Math Anal Appl No 38, pp 784-789 Huang, Y., Zheng (2004), “Regularization for ill-posed Cauchy problems associated With generators of analytic semigroups”, J Differential Equations, No 1, pp 38-54 Huang, Y., Quan, Z (2005), “Regularization for a class of ill-posed Cauchy problems”, Proc.Amer.Math.Soc., Vol 133, pp 3005-3012 Kelley, C T (1995), “Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations”, SIAM, Philadelphia Lattes, R., Lions, J.L ( 1967), Methode de Quasi-Reversibility et Applications, Dunod, Paris (English translation Bellman, R ( 1969), Elsevier, New York) 10 Lavrentiev, M M (1973), “Some Improperly Posed problem of Mathematical Physics”, Springer Tracts in Natural Phisolophy, vol 11 , pp 161-171 11 Miller, K (1973), Stabilized quasireversibility and other nearly best possible methods for non-well-posed problems, Symposium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, pp 161-176 12 Nagel, R., Engel, K J (1999), One parameter semigroups for linear evolution quations, Springer-Verlag, New York 13 Payne, L E (1973), Some general remarks on improperly posed problems for partial differential equations, Symposium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, pp 1-30 14 Showalter, R E (1974), “The Final Value Problem for Evolution Equations”, J Math Anal Appl 47, pp 563-572 15 Showalter, R E (1983), “Cauchy Problem for Hyper-Parabolic Partial Differential Equations, Trends in the Theory and Practice of Non-Linear Analysis”, Elsevier 16 Đặng Đức Trọng, Nguyễn Huy Tuấn (2006), “ Regularization and error estimates For nonhomogeneous backward heat problems”, J Differential Equations, vol 2006, No 04, pp 1-10 17 Winther, R (1980), “Some Superlinear Convergence Results for the Conjugate Gradient Method”, SIAM J Num Anal., Vol 17, no 1, pp 14-17 18 Yurchuk, N I., Alekseeva, M (1998), “The quasi-reversibility method for the problem of the control of an initial condition for the heat equation with an integral boundary condition”, Differential Equations 34 , no 4, pp 493-500 ... chỉnh hoá toán nhiệt ngược thời gian, toán không chỉnh lónh vực vật lý ứng dụng phương pháp Quasi- Boundary value phần tử hữu hạn, đồng thời trình bày số phương pháp tính số có thuật toán hữu hiệu... trình bày hai phương pháp tính số toán (QBVP) phương pháp xấp xỉ hữu hạn giá trị riêng, vectơ riêng phương pháp lặp Conjugate-gradient, phần cuối chương trình bày sai số xấp xỉ hữu hạn Chương... tử I + B, B compắc Thay đổi thu phương pháp giải cho toán ta với toán tử  I  K1 , K1 compắc Một cách tổng quát, phương pháp CG phương pháp lặp phương trình toán tử A  f cho   n1   n 