Phương pháp quasi boundary cho bài toán parabolic ngược thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Đạt PHƯƠNG PHÁP QUASI – BOUNDARY CHO BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 LỜI NĨI ĐẦU Hiện cơng cụ tính tốn phát triển cách mạnh mẽ làm thay đổi nhiều quan điểm khả giải thực tế toán khác Nhiều toán thuộc lĩnh vực ứng dụng, đặc biệt tốn khơng chỉnh xuất lĩnh vực vật lí, kinh tế, y khoa, thăm dị, hồi phục, nhận dạng v.v Đây lĩnh vực toán học sâu rộng, thực tiễn, hứng thú, nhiều nhà toán học quan tâm đạt số thành tựu định Trong luận văn này, chúng tơi trình bày việc chỉnh hóa tốn truyền nhiệt ngược thời gian, tốn khơng chỉnh lĩnh vực vật lý ứng dụng phương pháp Quasi – Boundary value Luận văn - lời nói nói đầu, phần kết luận, phần tài liệu tham khảo phần mục lục trình bày chương Chương phần tổng quan tốn, trình bày sơ lược lịch sử vấn đề Chương phần trình bày ký hiệu nhắc lại số kiến thức cần thiết để thuận tiện cho việc theo dõi phần Chương Phần trình bày việc chỉnh hóa toán truyền nhiệt ngược thời gian tổng quát Chương phần trình bày việc chỉnh hóa tốn truyền nhiệt ngược thời gian khơng Cuối cùng, xin chân thành cám ơn PGS TS Đặng Đức Trọng tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Mặc dù bận nhiều công việc thầy dành nhiều thời gian để hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tôi xin cảm ơn đến quý thầy tham gia giảng dạy cao học khóa 15, người truyền đạt nhiều kiến thức quý báu cho Sau không nhắc đến bạn bè người thân, người ln khuyến khích động viên tơi q trình học tập, tơi xin cảm ơn điều TP HCM, ngày 28 tháng 05 năm 2007 Nguyễn Quốc Đạt Chương TỔNG QUAN Nội dung luận văn nghiên cứu chỉnh hoá nghiệm toán nhiệt ngược thời gian (bài tốn giá trị cuối) dạng tuyến tính khơng không gian Hilbert theo phương pháp Quasi – Boundary value Bài tốn nhiệt ngược thời gian khơng tốn tìm u thoả: u '  t   Au  t   f  t  ,  u T    ,  t  T, (1.1) với f ,   H cho trước A toán tử tự liên hợp dương không gian Hilbert tách H cho  A sinh tốn tử nửa nhóm compact S  t  H Như ta biết tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard Nghĩa tốn khơng có nghiệm, có nghiệm khơng có nghiệm khơng phụ thuộc liên tục vào giá trị liệu  Do có sai số nhỏ liệu  dẫn đến sai số lớn nghiệm (nếu có) Do vấn đề chỉnh hố toán bắt nguồn từ thực tế đo đạc để tìm nghiệm có sai số bé Trong luận văn này, sử dụng phương pháp Quasi –Boundary value [9] để xấp xỉ nghiệm toán (1.1) nghiệm toán sau: u '  t   Au  t   S T    S T  1 f  t  ,  t  T ,   T  1 1  u    u T       S T    S T   S  s  f  s  ds   (1.2) Chúng tơi chứng minh tốn (1.2) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào giá trị cuối  Và hàm nguồn f  t  thoả số điều kiện thích hợp, sai số nghiệm chỉnh hoá u  t  nghiệm xác u  t  là: u  t   u  t    t T T   1     S  s  f  s  ds  , t   0, T    Chúng tơi có kết chỉnh hố sai số sau: Nếu  sai số liệu đo đạc với u nghiệm xác tốn (1.1) tồn nghiệm chỉnh hố u cho: u  t   u  t    t T T   1 1  u     S  s  f  s  ds  , t   0, T  ,   u    u    2C T 1 ln     Ngoài ra, chúng tơi cịn có đánh giá khác nghiệm chỉnh hoá u liên tục u theo  , độ lớn u theo  , ví dụ cụ thể minh hoạ cho phương pháp toán Trước nghiên cứu chỉnh hoá nghiệm tốn khơng (1.1) chương 4, chương chúng tơi nghiên cứu tốn nhiệt ngược thời gian tổng quát theo phương pháp Quasi –Boundary Nghĩa toán giá trị cuối: u '  t   Au  t   0,  u T   f  t  T, (1.3) Một trường hợp đơn giản toán (1.3) toán truyền nhiệt chiều: u '  x, t   u  x, u   0,  u 1, T   u  0, t   0,  u  x, T     x  ,  x, t    0,1   0, T  , t   0, T  , x   0,1 (1.4) Đã nghiên cứu nhiều năm qua, hướng giải toán (1.4) sử dụng phương pháp Quasi – Reversibility để xấp xỉ toán tử  toán ban đầu toán tử khác để tạo thành tốn chỉnh Ngồi ta cịn có phương pháp khác đặt lại giá trị biên để tạo thành tốn chỉnh, phương pháp có tên gọi Quasi – Boundary value Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày sơ lược số phương pháp giải kết nghiên cứu toán (1.4) để minh hoạ cho tốn tổng qt (1.3) Luận văn gồm có chương: Chương 1: Phần tổng quan Trong chương này, chúng tơi trình bày tóm tắt nội dung cần làm luận văn, kết thu sau chỉnh hố tốn truyền nhiệt khơng Chương 2: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức giải tích hàm tốn tử compact, tốn tử nửa nhóm, khái niệm chỉnh, khơng chỉnh, chỉnh hố sử dụng chương sau Chương 3: Bài toán truyền nhiệt ngược thời gian Trong chương này, Chúng tơi trình bày phương pháp chỉnh hố toán truyền nhiệt ngược thời gian tổng quát đưa [7] Đồng thời, chúng tơi trình bày sơ lược số phương pháp giải kết toán truyền nhiệt ngược thời gian chiều nghiên cứu Trong có phương pháp Quasi –Reversibility gốc Lattes –Lions số biến dạng phương pháp Ngoài cịn có phương pháp Quasi –Boundary Showalter Chương 4: Bài tốn truyền nhiệt ngược thời gian khơng Trong chương dùng phương pháp Quasi –Boundary value [9] để giải toán parabolic ngược thời gian không Đồng thời, cuối chương trình bày ví dụ minh hoạ chỉnh hố toán (1.1) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số định nghĩa khơng gian Hilbert, tính chất tốn tử compắc, tốn tử nửa nhóm, tốn parabolic không thuận thời gian không gian Hilbert khái niệm chỉnh, không chỉnh chỉnh hoá sử dụng chương sau 2.1 Khơng gian Banach Cho X khơng gian tuyến tính thực Định nghĩa 2.1 Ánh xạ i) : X   0,   gọi chuẩn thoả: u  v  u  v , u , v  X , ii) u   u , u  X ,   , iii) u  0, u  X ; u   u  Khơng gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi không gian định chuẩn Từ trở ta giả thiết X khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 2.2 Ta nói dãy un n 1  X hội tụ u  X lim un  u  ,ta ký hiệu: un  u  n  Định nghĩa 2.3 Ta nói dãy un n 1  X dãy Cauchy với   0,  N  : un  um   , n, m  N Định nghĩa 2.4 X gọi đầy đủ với dãy Cauchy X hội tụ Định nghĩa 2.5 X gọi không gian gian Banach X đầy đủ Định nghĩa 2.6 Ta nói X tách X chứa tập đếm trù mật X 2.2 Không gian Hilbert Cho H khơng gian tuyến tính thực Định nghĩa 2.7 Ánh xạ  ,  : H  H  gọi tích vơ hướng thoả: i)  u , v    v, u  , u , v  H , ii)  u  v, w    u , w    v, w  , u , v, w  H , iii)  u , v     u , v  , u , v  H ,   , iv)  u , u   0, u  H ;  u , u    u  Ký hiệu Nếu  ,  tích vơ hướng chuẩn tương ứng với u  u, u  , uH Bất đẳng thức Schwarz  u, v   u.v ,  u, v  H  Từ ta dễ dàng suy H không gian định chuẩn Định nghĩa 2.8 không gian Hilbert không gian Banach với chuẩn sinh tích vơ hướng Từ sau ta giả thiết H không gian Hilbert Định nghĩa 2.9 Hai phần tử u, v H gọi trực giao với  u, v   Khi đó, ta ký hiệu uv Định nghĩa 2.10 Dãy  wn  gọi hệ trực chuẩn không gian H w , w    i j ij 0 neáu i  j ,  1 neáu i  j Tính chất 2.11  wn  hệ trực chuẩn khơng gian H Khi với u  H n a) Phần tử v    u , wi  wi hình chiếu trực giao u lên không gian sinh i 1 n w1, w2 , , wn    u, wi   u , i 1  b) Chuỗi   u, wi  wi i 1  c)   u, wi      i 1  hội tụ  u    u, wi  wi   wn ,  u i 1 Định nghĩa 2.12 Hệ trực chuẩn wn n 1 gọi sở trực chuẩn không gian H vectơ  trực giao với hệ (tức u  wn , n  1, 2,  u  )  Nếu u  H en n 1  H sở trực chuẩn ta vieát u=  u, en en  n=1 wn n1  Định lý 2.13 Giả sử hệ trực chuẩn không gian H Các mệnh đề sau tương đương: a) Hệ wn n 1 sở trực chuẩn không gian H   b) u  H , u    u , wi  2 i 1  c) u , v  H ,  u , v     u , wi  v, wi  i 1 d) wn n1 tuyến tính trù mật H (tức bao tuyến tính wn n1 ) trù mật H   2.3 Toán tử tuyến tính 2.3.1 Tốn tử tuyến tính khơng gian Banach thực Cho X Y không gian Banach thực Định nghĩa 2.14 i) Ánh xạ K : X  Y gọi toán tử tuyến tính K   u   v    Ku   Kv , với u, v  X ;  ,   ii) Miền giá trị K   R  K   v  v  Ku, u  X , miền xác định K   D  K   u  XKu Y Định nghĩa 2.15 Tốn tử tuyến tính K : X  Y gọi bị chặn có số thực c cho Ku  c u , với u  X Nếu K bị chặn, ta đặt K  sup Ku , u 1 gọi chuẩn K Ta suy Ku  K u , u  X Dễ dàng kiểm tra tốn tử tuyến tính bị chặn liên tục Định nghĩa 2.16 Cho K : X  Y tốn tử tuyến tính gọi compắc K  A  compắc Y với tập A bị chặn X 2.3.2 Tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng  ,. có dim H   Định nghĩa 2.17 Cho K : H  H   gọi giá trị riêng K tồn vectơ khác không   H cho K   ,  gọi vectơ riêng K ứng với  Định nghĩa 2.18 Toán tử K : H  H tuyến tính liên tục, tốn tử liên hợp K  : H  H thoả mãn  Ku, v    u, K *v  , u, v  H Định nghĩa 2.19 Toán tử K : H  H tuyến tính liên tục, K gọi tự liên hợp K  K  , nói cách khác K tự liên hợp  Ku, v    u, Kv  , u , v  H Định lý 2.20 Toán tử K : H  H tự liên hợp Khi phổ K ký hiệu   K  tập giá trị riêng K thoả:  (K )   m, M  , với m, M    K  , m  inf  Kx, x  , M =sup  Kx, x  x 1 x 1 Hệ 2.21 Nếu K  tự liên hợp Khi  (K )   K  m K  M Định nghĩa 2.22 Giả sử K tốn tử compắc tự liên hợp khơng giá trị riêng K thì: i) Tốn tử K có hệ đếm n ,  n  tất vectơ riêng giá trị riêng K ii) Tất giá trị riêng n thực n  n   iii) Các vectơ riêng n hệ sở trực chuẩn đầy đủ H Định nghĩa 2.23 Toán tử K : H  H gọi xác định dương  Ku, u   0, u  H \ 0  Nếu i , i  1, 2, giá trị riêng tốn tử K xác định dương i  0, i  1, 2, 2.4 Toán tử nửa nhóm: Cho H khơng gian Hilbert tách với tích vơ hướng  ,. Định lý 2.25 Cho K : H  H toán tử bị chặn thoả điều kiện sau: i) K compắc với dim R  K    R  K  trù mật H , ii) K toán tử tự liên hợp dương Đặt A  K 1 , A tồn A : D  A   R  A   H  H A có hệ đếm  wn , n  tất vectơ riêng giá trị riêng A thoả:  n  n1 , n  , lim n   n  Với kí hiệu xét tốn tìm u :  0,    H toán truyền nhiệt giá trị ban đầu sau: u '  ty   Au  t   0,  u    v, với v  H Do u  t   H , ta có t  0, (2.1)  u  t    un  t  wn , (2.2) n 1 với un  t    u  t  , wn  Suy ra:  u '  t    u 'n  t  wn , n 1  Au  t    nun  t  wn n 1 Với n , nhân wn vào phương trình (2.1) lấy tích vơ hướng ta được: un'  t   nun  Hay un  t   e  tn , (2.3)  un     v, wn  Thay (2.3) vào (2.2) ta được:  u  t    e  tn wn , t  0 n 1 Đặt  S  t  v   e  tn wn , t  0 (2.4) n 1 Như nghiệm tốn (2.1) cho cơng thức: u t   S t  v Toán tử S  t  định nghĩa (2.4) tốn tử nửa nhóm định nghĩa sau: Định nghĩa 2.26 (Định nghĩa tốn tử nửa nhóm) a) Một tập T  t t 0 toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào H gọi tốn tử nửa nhóm thoả tính chất sau: với w  H s, t  i) T   w  w , ii) T  t  s  w  T  t  T  s  w  T  s  T  t  w , iii) ánh xạ t  T  t  w liên tục từ  0,   vào H b) T  t  gọi toán tử nửa nhóm co T t   Định nghĩa 2.27 Ta viết T t  u  u   D  A   u  H | lim tồn H  , t 0 t    Au  lim t 0 T t  u  u , t  u  D  A  Định lý 2.28 Toán tử S  t  với t  (2.4) tốn tử nửa nhóm co có tốn tử sinh  A Chứng minh: Bước 1: Chứng minh S  t  tốn tử nửa nhóm co Lấy v  H , ta có  v   vnn , n 1 với   v, n  Ta thấy S  t  tốn tử tuyến tính, ta chứng minh S  t  bị chặn H Thật vậy, ta có:  S  t  v   e  tn n 1     e 2tn n 1    v 2 n 1 Ta suy S t   Ta có S  t  n  e  tn n với n Suy S  t  S  s  n  S  s  t  n Nhân hai vế (2.5) cho , ta S  t  S  s  vnn  S  t  s  vnn Suy S t  S  s  v  S t  s  v Mặt khác S  t  t 0  v Như S  t  tốn tử nửa nhóm co Bước 2: Chứng minh  A toán tử sinh S  t  Ta có (2.5)  S t  v  v etn vnn  vnn lim  lim  t 0 t 0 t t n 1 etn   nvnn  n 1 t n   lim  t 0    n vnn n 1   Av Vậy  A tốn tử sinh nửa nhóm S  t  t  0 „ Định lý 2.29 Giả sử v  D  A  i) AS  t  v  S  t  Av, t  0 ii) Ánh xạ t  S  t  v khả vi d S  t  v   AS  t  v, dt t  0 Từ sau ta gọi toán tử A toán tử tự liên hợp dương cho  A tốn tử sinh tốn tử nửa nhóm compắc S  t  H 2.5 Khái niệm khơng chỉnh chỉnh hố 2.5.1 Bài tốn khơng chỉnh Theo quan điểm Hadamard, toán ngược tốn khơng chỉnh, tốn thuận tốn chỉnh Hadamard khẳng định mơ hình toán học cho toán vật lý (vấn đề phương trình đạo hàm riêng tốn biên) phải có tính chỉnh nghĩa thoả ba tính chất sau: Tồn nghiệm toán (tồn tại) Có nhiều nghiệm (duy nhất) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào liệu (ổn định) Trong tốn học, tồn nghiệm có mở rộng không gian nghiệm Nếu tốn có nhiều nghiệm, thơng tin mơ hình bị thiếu Trong trường hợp cần thêm điều kiện, tính chất ta có nghiệm u cầu tính ổn định quan trọng Nếu toán mà thiếu tính ổn định nghiệm khó tính tốn thực tế đo đạc tính tốn số khơng tránh khỏi sai số Nếu nghiệm toán mà khơng phụ thuộc vào liệu sai số nhỏ liệu dẫn đến sai số lớn nghiệm, nghiệm tính tốn khơng sử dụng để xấp xỉ nghiệm xác Ta có định nghĩa chỉnh khơng chỉnh sau Định nghĩa 2.30 Cho X Y hai không gian định chuẩn, K : X  Y ánh xạ (tuyến tính phi tuyến) Bài tốn Ku  v gọi chỉnh có tính chất sau: i) Tồn tại: Với v  Y có (ít nhất) u  X cho Ku  v ii) Duy nhất: Với v  Y có nhiều u  X với Ku  v iii) Ổn định: Nghiệm u phụ thuộc liên tục vào v , nghĩa với dãy un   X với Kun  v un  u  n    Bài tốn có (ít nhất) tính chất khơng gọi khơng chỉnh Ví dụ 2.31 Ta xét tốn truyền nhiệt chiều sau  u  x, t   2u  x, t   ,  x  t u  0, t   u  , t   0,   x, t    0,     0, T  t   0, T  Nếu ta cho giá trị cuối u  x, T     x   , tốn có nghiệm u  x, y   Và cho u  x, T    n  x   sin nx n 0  x   , tốn có nghiệm u n  x, t   e T t  n sin nx n Nhận thấy cho n   liệu  n tiến 0, giá trị liệu  Tuy nhiên ta có lim  u n  x, t   u  x, t    , n với  x, t    0, T    0,   Đây tính khơng ổn định nghiệm Như toán giá trị cuối tốn khơng chỉnh 2.5.2 Vấn đề chỉnh hố Cho K : X  Y , ta xét tốn tìm u sau Ku  v Giả sử với v0  R  K  có u0  X cho Ku0  v0 nghiệm không ổn định Trong thực tế ta thấy liệu v0 khơng xác sai số đo đạc Giả sử với liệu xác v0 ta có liệu đo v  Y thoả v0  v   ,   gọi hệ số nhiễu Vấn đề chỉnh hố tìm xấp xỉ u  X nghiệm xác u theo liệu v cho cách tính u ổn định u xấp xỉ u Định nghĩa 2.32 Ta gọi R  u ,   toán tử chỉnh hố phương trình Az  u lân cận uex thoả tính chất sau i) Tồn 1  cho R  u ,   xác định với    0, 1  , u U thoả   uex , u    ii) Với   , tồn    , uex   1 cho   u , uex         z , zex    (với z  R  u ,   ) Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng định nghĩa toán tử chỉnh hoá sau (bao hàm định nghĩa 2.32) Định nghĩa 2.33 R  u ,   gọi toán tử chỉnh hố phương trình Az  u lân cận uex thoả tính chất sau i) Có số 1  cho R  u ,   xác định với   với u U cho   u, uex     1 ii) Có hàm      cho với   , tồn      1 cho u U   u , uex         z , zex    (trong z  R  u ,     ) Để hiểu rõ vấn đề chỉnh hóa, ta xét ví dụ (2.34) sau Ví dụ 2.34 (Bài tốn truyền nhiệt giá trị đầu khơng nhất) Trong khơng gian Hilbert H ta xét tốn tìm u :  0, T   H sau: u '  t   Au  t   f  t   u    v 0  t  T  , (2.6) với A toán tử tự liên hợp dương cho  A sinh nửa nhóm compắc S  t  f  t  , v  H cho trước Bài toán gọi tốn giá trị đầu khơng Định lý 2.35 (Cơng thức nghiệm tốn (2.6)) Bài tốn (2.6) có nghiệm cho cơng thức t u  t   S  t  v   S  t  s  f  s  ds Chứng minh: Từ phương trình toán (2.6) ta suy ra: un'  t   nun  t   f n  t  , với un  t    u  t  , n  ; f n  t    f  t  , n  Suy t  0 (2.7) un  t   e  t n t   e t  s n f n  s  ds Do ta có (2.7) Nhận thấy nghiệm toán (2.6) biểu diễn theo (2.7) „ Định lý 2.36 (Tính chỉnh tốn (2.6)) Bài tốn (2.6) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào giá trị ban đầu v Chứng minh: Gọi u1 , u nghiệm toán (2.6) tương ứng với giá trị ban đầu v1 , v2 Ta có u1  t   u  t   S t   v1  v2   S  t  v1  v  v1  v Như tốn (2.6) có nghiệm phụ thuộc vào giá trị ban đầu „ Các kết trình bày luận văn khơng mới, tất phát biểu chứng minh định hướng số tài liệu tham khảo Điều mà luận văn thực trình bày chứng minh cách chi tiết hơn, đồng thời vận dụng số kết số tài liệu tham khảo với nhiệt tình giúp đỡ gợi ý thầy hướng dẫn Qua luận văn này, thân hiểu kỹ kiến thức mà quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học khóa 15 truyền thụ suốt q trình học tập qua bắt đầu tiếp cận với nghiên cứu khoa học Do thời gian có hạn kiến thức hạn chế, tác giả luận văn chưa đưa số ứng dụng thực tiễn đời sống toán hạn chế luận văn Hướng phát triển luận văn nghiên cứu phương pháp Quasi – Boundary cho tốn truyền nhiệt ngược thời gian khơng không gian Banach  TÀI LIỆU THAM KHẢO M Ababna (1998), Regularization by non-local boundary conditions for a control problem by initial condition of evolution operator differential equation, Vestn Beloruss Gos Univ Ser Phys-Mat Inform 2, 60 – 63 (in Russian) K.A Ames, G Clark, J.F Epperson, S.F Oppenheimer (1998), A comparison Of regularizations for an ill-posed problem, Mathematics of computation, vol 67, No 224, pp 1451 – 1471 K.A Ames, L.E Payneb (1998), Asymtotic behavior for two regularizations of the Cauchy problem for the backward heat equation, Math Models Methods App Sci 8, pp 187 – 202 K.A Ames and L.E Payne (1999), Continuous dependence on Modelling for some well-posed problems perturbations of the backward heat equation, J Inequal Appl 3, n 01 , pp 51 – 64 K.A Ames and L.E Payne (2004), P.W Schaefer, Energy and pointwise bounds in non–standard parabolic problems, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A Mathematics 134, No 1, pp – G.W Clark, S.F Oppenheimer (1994), Quasireversibility methods for non-well-posed problems, Electron J Differential Equation 8, pp – M Denche, K Bessila (2005), A modified quasi-boudary value method for ill-posed problems, J Math Appl 301, pp 419 – 426 M Denche and S Djezzar (2006), A modified quasi–boundary value method for a class of abstract parabolic ill–pose problem, Hindawi publishing coporation, Boundary value problems, vol 2006, Article ID 37524, pp – Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Nguyễn Huy Tuấn Trần Vũ Khanh (2007), A Nonlinear Case of the 1-D Backward Heat Problem: Regularization and Error Estimate, ZAA J., vol 26, Issue 2, pp 231–245 10 Đặng Đức Trọng, Nguyễn Huy Tuấn (2006), Regularization and error estimates for nonhomogenous backward heat problems, Electron J Differential Equations, vol 2006, No 04, pp – 10 11 V.K Ivanov, I.V Mel’nikova, and A.I Filinnov (1995), Operator –Differential Equations and Ill –Posed problems, Fitmatlit “Nauka”, Moscow 12 R Lattés and J.L Lions (1967), Méthode de Quasi–Réversibilité et Application, Travaux et Recherches Mathématiques, No 15, Dunod, Paris 13 M.M Lavrentiev (1967), Some improperly Posed Problems of Mathematical Physics, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol 11, Springer, Berlin 14 I.V Mel’nikova (1992), Regularization of ill–posed problems, Sibiskii Matematicheskii Zhurnal 33, No 2, 125 – 134, 221 (Russian), translated in Siberian Math J 33 (1992), No 2, pp 289 – 298 15 K Miller (1973), Stabilized quasi – reversibility and other nearly – best – possible methods for non – well – posed problems, Symposium on Non – Well – Posed Problems and Logarithmic Convexity (Heriod – Watt Univ., Edinburgh, 1972), Lecture Notes in Mathematics, vol 316, Springer, Berlin, pp 161 – 176 16 L.E Payne (1973), Some general remarks on improperly posed problems for partial differential equations, Symposium on Non – Well – Posed Problems and Logarithmic Convexity (Heriod – Watt Univ., Edinburgh, 1972), Lecture Notes in Mathematics, vol 316, Springer, Berlin, pp 1-30 17 R.E Showalter (1974), The final value problem for evolution equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications 47, No 3, pp 563 – 572 18 R.E Showalter (1975), Quasi-reversibility of first and second order parabolic evolution equations, Improperly posed boundary value problems (Conf., Univ New Mexico, Albuquerque, N M., 1974), pp 76 – 84 Res Notes in Math., n 1, Pitman, London 19 R.E Showalter (1985), Cauchy problem for hyperparabolic patial differential equations, Trends in the Theory and Practice of Nonlinear Analysis (Arlington, Tex, 1984), North – Holland Math Stud., vol 110, North – Holland, Amsterdam, pp 421 – 425  ... chỉnh hoá nghiệm toán nhiệt ngược thời gian (bài toán giá trị cuối) dạng tuyến tính khơng khơng gian Hilbert theo phương pháp Quasi – Boundary value Bài tốn nhiệt ngược thời gian khơng tốn tìm... số phương pháp giải kết toán truyền nhiệt ngược thời gian chiều nghiên cứu Trong có phương pháp Quasi –Reversibility gốc Lattes –Lions số biến dạng phương pháp Ngồi cịn có phương pháp Quasi ? ?Boundary. .. ? ?Boundary Showalter Chương 4: Bài toán truyền nhiệt ngược thời gian không Trong chương dùng phương pháp Quasi ? ?Boundary value [9] để giải tốn parabolic ngược thời gian khơng Đồng thời, cuối chương trình