Phương pháp tựa biên cho bài toán cauchy của phương trình eliptic nhiều chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Nhơn Quý PHƯƠNG PHÁP TỰA BIÊN CHO BÀI TỐN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NHIỀU CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Nhơn Quý PHƯƠNG PHÁP TỰA BIÊN CHO BÀI TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC NHIỀU CHIỀU Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 64 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành tốt luận văn này, tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu thầy cô Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp tơi có sở lí luận kỹ nghiên cứu khoa học vững chắc, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt q trình học tập làm luận văn Tơi xin chân thành bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy GS.TS Đặng Đức Trọng - Trưởng Khoa Toán Tin - Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đặt đề tài hướng dẫn thời gian thực luận văn Bên cạnh đó, tơi khơng qn gửi lời cảm ơn đến NCS Nguyễn Đăng Minh - Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ trình tìm kiếm tài liệu, bày tận tình giúp cho tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân bạn bè khơng ngừng quan tâm, động viên tơi suốt trình học tập làm luận văn Học viên Phạm Nhơn Quý CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG Không gian vectơ n chiều n : Chuẩn không gian L2 ( n ) : p Chuẩn không gian Lp ( n ), ≤ p ≤ ∞ : ( xn ) ∈ X : Dãy hàm không gian định chuẩn X ux = ∂u : Đạo hàm bậc hàm u theo biến x ∂x ∂ 2u u xx = : Đạo hàm bậc hai hàm u theo biến x ∂x C[a, b] : Tập tất hàm liên tục [a, b] C1[a, b] : Tập tất hàm khả vi liên tục cấp [a, b] C [a, b] : Tập tất hàm khả vi liên tục cấp [a, b] MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tích vơ hướng, chuẩn, khơng gian định chuẩn không gian Hilbert [6, tr 18] 1.1.1 Tích vơ hướng 1.1.2 Chuẩn X 1.1.3 Không gian định chuẩn 1.1.4 Không gian Hilbert 1.2 Tích phân khả tích Lebesgue [4] 1.2.1 Tích phân Lebesgue .7 1.2.2 Khả tích Lebesgue 1.3 Công thức biến đổi tọa độ cầu  n [31, tr 244] 1.4 Không gian Lp ( X ) ([3, tr 19], [6, tr 9] ) .10 1.5 Phép biến đổi Fourier đẳng thức Parseval 10 1.6 Bất đẳng thức Holder [1, tr 12-13] 11 1.7 Không gian Sobolev [3, tr 30] 14 1.8 Bài tốn chỉnh hóa [12, tr 9] .15 1.9 Sự chỉnh hóa [12, tr 24] .16 1.10 Khái niệm hàm trơn 17 1.11 Bất đẳng thức Gronwall 17 Chương BÀI TỐN CAUCHY KHƠNG CHỈNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NHIỀU CHIỀU 19 2.1 Tính khơng chỉnh tốn .19 2.1.1 Phép biến đổi Fourier cho toán (1.1)-(1.5) 19 2.1.2 Bổ đề [26] 20 2.1.3 Chứng minh tốn (1.1)-(1.5) khơng chỉnh 21 Chương PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TỰA BIÊN (QBV) VÀ ĐÁNH GIÁ SAI SỐ .24 3.1 Phương pháp tựa biên (QBV) 24 3.2 Cách chọn thông số tiên nghiệm 26 3.2.1 Bổ đề 26 3.2.2 Định lý 27 3.2.3 Định lý 30 3.3 Cách chọn thông số hậu nghiệm 33 3.3.1 Bổ đề 33 3.3.2 Bổ đề 34 3.3.3 Bổ đề 35 3.3.4 Bổ đề 36 3.3.5 Định lý 38 Chương VÍ DỤ SỐ CỦA PHƯƠNG PHÁP QBV 40 KẾT LUẬN .43 TÀI LIỆU THAM KHẢO .44 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài, ý nghĩa khoa học thực tiễn Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tốn khơng chỉnh truyền thống xuất nhiều lĩnh vực thực tiễn địa lí [35], [44], vật lý plasma [22], đồ thị (cardiology) [15], môi trường sinh học [32], kiểm tra đánh giá tính khơng phá hủy (non-destructive) [8] Khi tốn khơng chỉnh khơng phải với kiện tốn có nghiệm thường nghiệm toán tồn (theo nghĩa đó) nghiệm khơng phụ thuộc liên tục (theo mêtric đó) vào kiện Do tính khơng ổn định tốn nên việc giải số tốn gặp khó khăn với sai số nhỏ kiện toán dẫn đến sai số lớn nghiệm [35], [32], [30] Việc tính tốn để phát triển phương pháp số cho toán từ kiện nhiễu khơng chỉnh lại điều khó khăn, ln có sai số đo lường, sai số rời rạc, sai số làm tròn dẫn đến nghiệm số khơng ổn định Do đó, việc đưa phương pháp số hữu hiệu để giải toán cách ổn định điều cần thiết Chúng ta tìm hiểu vấn đề với số phương pháp chỉnh hóa [18] Các nhà toán học A N Tikhonov, M M Lavrent’ev, F John, C Pucci, V K Ivanov người tiên phong việc nghiên cứu lý thuyết tốn khơng chỉnh Sau A N Tikhonov đưa phương pháp chỉnh hóa tốn đặt khơng chỉnh tiếng năm 1963 [43], tốn khơng chỉnh toán ngược trở thành ngành riêng vật lý tốn khoa học tính tốn Bài tốn Cauchy phương trình Laplace trường hợp riêng tốn Cauchy phương trình elliptic nhiều chiều, biết đến tốn khơng chỉnh điển hình theo kiểu Hadamard [23] Trong năm gần đây, nhiều phương pháp chỉnh hóa đặc biệt cho tốn Cauchy phương trình Laplace đề nghị thuật tốn Backus-Gilbert [29], phương pháp sóng (wavelets) Meyer [42], xấp xỉ thống kê (statistical approach) [21], phương pháp tựa đảo (quasi-reversibility) [13], phương pháp làm nhuyễn (mollification) [25], phương pháp chỉnh hóa Fourier (Fourier regularization) [20],…Tuy nhiên, nhiều phương pháp chỉnh hóa cho phương trình Laplace lại khơng phù hợp cho việc giải tốn Cauchy khơng chỉnh cho phương trình elliptic với hệ số khác khơng gian nhiều chiều Đó nhu cầu cần thiết cho việc tìm hiểu đề tài “Phương pháp tựa biên cho tốn Cauchy phương trình elliptic nhiều chiều” Luận văn trình bày lại giải thích chi tiết kết báo [49] Tình hình nghiên cứu ngồi nước Trong luận văn này, tơi trình bày tốn tìm hàm u = u ( x, y ) thỏa hệ  Lu ( x, y ) + ∆ y u ( x, y= ) 0, x ∈ (0,1), y ∈ y n ,   = y ∈ yn , u (0, y ) ϕ ( y ), u (0, y ) 0, = y ∈ yn   x Ở ∂2 , i =1 ∂yi (1.1) n ∆ y =∑ (1.2) ∂2 ∂ L = a ( x ) + b( x ) + c ( x ) ∂x ∂x (1.3) Các hệ số hàm L thỏa a( x) ∈ C 0,1 , b( x) ∈ C1 0,1 , c( x) ∈ C 0,1 , (1.4) < λ ≤ a( x) ≤ A, c( x) ≤ 0, x ∈ 0,1 (1.5) Khi a= ( x) 1, b= ( x) c= ( x) , toán (1.1)-(1.5) toán Cauchy phương trình Laplace Việc giải tốn (1.1)-(1.5) với hệ số khác không gian nhiều chiều phức tạp nhiều so với giải tốn Cauchy phương trình Laplace Những năm gần đây, nhiều nhà tốn học sâu nghiên cứu, tìm tòi hướng giải cách đánh giá sai số ổn định cho quy tắc chọn thông số tiên nghiệm hậu nghiệm cho toán (1.1)-(1.5) Đinh Nho Hào cộng trình bày phương pháp làm nhuyễn (mollification) [26] với hạt nhân de la Vallée Poussin hạt nhân Dirichlet cho toán chỉnh hóa khơng gian chiều Tương tự, Hao Cheng cộng trình bày phương pháp làm nhuyễn khác với hạt nhân Gauss [16] để đề cập đến tốn Trong [40], Qian trình bày phương pháp sóng (wavelet method), chứa đựng số đánh giá sai số cho quy tắc chọn tiên nghiệm hậu nghiệm chưa có kết số Trong [50], Zhang trình bày phương pháp tựa biên sửa đổi (QBV) phương pháp QBV dùng tất trường hợp Nhóm tác giả Xiaoli Feng, Wantao Ning Zhi Qian đề cập phương pháp giá trị tựa biên (quasi boundary value QBV), tảng [11], [10], [14], [27], [28], [24], [34], trình bày luận văn Tác giả trình bày phương pháp QBV để chỉnh hóa tốn Cauchy phương trình elliptic nhiều chiều, cung cấp cách đánh giá sai số hội tụ tiên nghiệm hậu nghiệm lời giải xấp xỉ với lời giải xác Phương pháp QBV vài tác giả trình bày Abdulkeromov [7], Vabishchevich với cộng [46], [47], [48], Melnikova với cộng [38], [39] Hơn nữa, Đinh Nho Hào cộng nghiên cứu đánh giá sai số liệu khảo sát tối ưu sai số Gần đây, Đinh Nho Hào cộng trình bày chiến lược tìm tốc độ hội tụ hậu nghiệm [27], [28] Có nhiều phương pháp chỉnh hóa cho tốn khơng chỉnh gần phương pháp Tikhonov cổ điển [19], phương pháp sóng (wavelet) [43], [41], [17], phương pháp sai phân (difference), phương pháp làm nhuyễn (mollification) [16], [24], phương pháp Fourier [20], [19], [17] Tuy nhiên, khơng có phương pháp đa năng, giải thấu đáo loại tốn Trong phương pháp kể trên, số có đánh giá sai số tốt chúng không chuyên trường hợp số miền tổng quát, số khác lại chun việc tính tốn số Ví dụ như: Phương pháp phần tử biên (the boundary element method) kết hợp với vài phương pháp chỉnh hóa đề cập Ngồi ra, cần thiết cho việc đánh giá tích phân kì dị (singular integrals) Phương pháp giải phương pháp không lưới (meshless) đòi hỏi phải xây dựng giả biên bên miền So với phương pháp này, phương pháp QBV khơng có kết lý thuyết tốt mà cịn chun phép tốn số Trong khía cạnh lý thuyết, phương pháp QBV có tính chất tương tự phương pháp Tikhonov Chúng ta thấy điều từ hạt nhân [42] phương trình tốn tử Người ta áp dụng phương pháp QBV để đánh giá sai số tốt Ví dụ luận văn này, tơi trình bày phương pháp QBV để đánh giá sai số Holder cho quy tắc chọn thông số hai trường hợp tiên nghiệm hậu nghiệm Ngồi ra, khía cạnh phương pháp số, lợi phương pháp QBV làm cho tốn tựa biên chỉnh hóa tốt hơn, có phương trình vi phân giống tốn gốc ngoại trừ điều kiện biên Do đó, người ta sử dụng nhiều phương pháp số cổ điển cho tốn chỉnh hóa tốt để nghiên cứu tốn tựa biên, hệ số biến, miền tổng qt (khơng hình chữ nhật) phương trình không gian ba chiều Mục tiêu đề tài Đề tài nghiên cứu phương pháp tựa biên (QBV) cho tốn Cauchy phương trình elliptic nhiều chiều với mục tiêu sau a) Tìm hiểu tính khơng chỉnh cho tốn Cauchy phương trình elliptic nhiều chiều b) Giới thiệu phương pháp tựa biên (QBV) làm sở cho việc chỉnh hóa nghiệm c) Trình bày cách đánh giá sai số hội tụ tiên nghiệm hậu nghiệm phép giải xấp xỉ với phép giải d) Trình bày ví dụ minh họa để đánh giá tính ổn định hiệu phương pháp 34 Suy ∧δ ∧δ v(0,.) ϕ (.) ∧ δ lim ρ (m ) = lim ϕδ − ϕ (.) = − ϕ (.) = →+∞ →+∞ + m v(1,.) mm d) Giả sử µ2 > µ1 > , ta có µ ,δ = ρ ( µ1 ) µ= (1, y ) , ρ ( µ2 ) µ2 u µ ,δ (1, y ) u Suy µ ,δ ρ ( µ2 ) µ2 u (1, y ) µ2 = = > µ2 > µ1 > ρ ( µ1 ) µ1 u µ ,δ (1, y ) µ1 Vậy ρ ( µ ) hàm tăng ngặt 3.3.2 Bổ đề Nếu a( x) dãy giảm, cho < x < v( x, x ) x ≤ Cv(1, x ) (3.28) C phụ thuộc vào hệ số c1 c2 (3.23) Chứng minh Từ bổ đề 1, ta biết x v( x, x ) ≤ c1e Đặt f ( x) := A( x) x x A( x ) x (3.29) 35 x x dx −∫ a ( x) a ( x) = x f ' ( x) = x 1  − ds  a x a s ( ) ( )   ∫0  Khi a( x) dãy giảm, f ' ( x) ≥ 0, f ( x) hàm tăng Vì vậy, f ( x) ≤ f (1), A( x) ≤ A(1) x v( x, x ) x ≤ c1e Do đó, x A( x ) x ≤ c1e x A(1) ≤ c1 v(1, x ) c2 (3.30) 3.3.3 Bổ đề ( x, y ) u ( x, y ) − u µ ,δ ( x, y ) Nếu a( x) hàm giảm, cho < x < , Đặt z= z ( x,.) ≤ C x z (1,.) x z (0,.) 1− x , (3.31) đó, C tương tự bổ đề Chứng minh Khi z= ( x, y ) u ( x, y ) − u µ ,δ ( x, y ) , ta có ∧ ∧ ∧ µ ,d z ( x,.) = z (1,.) = u ( x,.) − u ( x,.) ∧ = ∫ v( x, x )ϕ (x ) − n ∧ =∫ v( x, x ) ϕ (x ) −  n ∧d x ∧ dd ∧ ∧ ϕ (x ) ϕ (x ) ϕ (x ) − + µ v(1, x ) + µ v(1, x ) v( x, x ) ϕ (x ) dx + µ v(1, x ) 2(1− x ) dx 36 1− x x 1     2x x 2(1− x ) 1− x dd     ∧ ∧        ∧ ϕ (x ) ϕ (x )     ∧ ≤  ∫  v( x, x ) ϕ (x ) −  dx   d x   ∫  ϕ (x ) − + µ v(1, x )  + µ v(1, x )   n    n               x 1− x 2       ∧ dd ∧    ∧ ∧    ϕ (x ) ϕ (x ) dx  ≤  ∫  C v(1, x ) ϕ (x ) − d x   ∫ ϕ (x ) − + µ v(1, x )    n + µ v(1, x )  n           ≤ C x z (1,.) x z (0,.) 1− x 3.3.4 Bổ đề ∧δ Chọn τ > 1, cho < τδ < ϕ Khi đó, tồn thơng số µδ > chỉnh hóa cho u µδ δ ( 0,.) − ϕ δ (.) = τδ (3.32) Hơn nữa, ta có bất đẳng thức sau  z (1,.) ≤ 1 +   + (τ − 1)2 (τ − 1)2   u (1,.)   (3.33) Chứng minh Theo bổ đề 5, ta tìm số µδ > cho (3.22) thỏa mãn Mặt khác, ta thấy z (1,.) = u (1,.) − u µ ,δ (1,.) ≤ u (1,.) + u µ ,δ (1,.) , (3.34) 37 2 ∧ µ ,dd ∧ u= (1,.) u= (1,.) µ ,d ∫ n v(1, ξ ) ϕ (ξξ ) d + µ v(1, ξ ) = ∫ n ∧ ∧  v(1, ξ )  ∧ d ) −ϕ( ) +ϕ( ) d  ϕ (ξξξξ + µ v(1, ξ )   2   ∧d ∧   v (1, ξξ ) v(1, ) ∧  ≤2 ∫ ϕ( ) d  ) −ϕ( ) d + ∫  ϕ (ξξξξξ  n + µ v(1, ξ )   + µ v (1, ξ )  n    ≤ 2 µ  δ2 ≤ 2 µ  ) − ϕ ( ) d + ∫ v(1, ) ϕ ( ) d  ∫n ϕ (ξξξξξξ  n  ∧d ∧ ∧  + u (1,.)  (3.35)  Theo (3.32), ta có  2 ∧d (1, ) v µ ξ ϕ ( ) d  τdξξ = = ∫  n + µ v(1, ξ )    1  2 ∧ ∧  ∧d  (1, ) v µ ξ   ( ) ( ) ( ) d ϕ ξ ϕ ξ ϕ ξξ − +    ∫n + µ v(1, ξ )      2  2  ∧d ∧ ∧ 2   (1, ) v µ ξ   ) −ϕ( ) d ) ϕ ( ) d  ≤ + µ u (1,.) ≤ ∫ +  µ ∫ v(1, ξξξd  ϕ (ξξξ   n + µ v(1, ξ )      n     Điều suy δ u (1,.) ≤ µ (τ − 1)2 Ta kết luận (3.33) từ (3.34)-(3.36)  (3.36) 38 Chú ý Từ (3.2), (3.32) định nghĩa z ( x, y ) , ta có cơng thức chỉnh hóa nghiệm x = z (0,.) = u (0,.) − u µ ,δ (0,.) ≤ ϕ (.) − ϕ δ (.) + ϕ δ (.) − u µ ,δ (0,.) ≤ (1 + τ )δ (3.37) Kết hợp (3.8), (3.37), bổ đề 6, kết tiểu phần cho theo cơng thức 3.3.5 Định lý Giả sử có điều kiện (3.8) tồn τ > cho < τδ < ϕ δ Nếu a( x) dãy giảm, cho < x < 1, µ chọn (3.32), ta có  + (τ − 1)2 u ( x,.) − u µ ,δ ( x,.) ≤ C x 1 +  (τ − 1)2  x   (1 + τ )1− x E xδ 1− x ,   đó, C tương tự bổ đề Chứng minh Theo (3.31) bồ đề ta có z ( x,.) ≤ C x z (1,.) x z (0,.) 1− x Và theo kết (3.37) ta có z (0,.) ≤ (1 + τ )δ Theo (3.22) định lí thỏa bổ đề nên ta có  z (1,.) ≤ 1 +   + (τ − 1)2 (τ − 1)2   u (1,.)   (3.38) 39 Theo cách chọn µ (3.22) ta có u (1,.) H p ( n ) ( ) p 2 ∧ := + ξξ u (1, ) ≤ E, p > L ( ) n Sử dụng (3.38) ta có  + (τ − 1)2 u ( x,.) − u µ ,δ ( x,.) ≤ C x 1 +  (τ − 1)2  x   (1 + τ )1− x E xδ 1− x   40 Chương VÍ DỤ SỐ CỦA PHƯƠNG PHÁP QBV Trong phần này, tơi trình bày ví dụ để kiểm tra tính hiệu phương pháp QBV Chúng tơi quan tâm với việc tính tốn nghiệm x = Khi nghiệm chỉnh hóa cho cơng thức (3.6) (3.7), tương ứng hàm v(1, ξ ) tìm tường minh, ta trực tiếp sử dụng phép biến đổi Fourier rời rạc ngược rời rạc (thuật toán FFT IFFT giống nhau) Đơn giản hơn, chương này, ta xét toán Cauchy cho phương trình Laplace n = Ta nói toán ∆u ( x, y ) =0, x ∈ (0,1), y ∈ y n ,  u (0, y ) ϕ ( y ), y ∈ y n , = u (0, y ) 0, y ∈ y n  x = (4.1) Trong trường hợp này, hạt nhân v(1, ξ ) không bị chặn, ta chọn ) cosh( ), ( , , , n ) ∈  n = v(1, ξξξξξξ = Ta có kiện nhiễu rời rạc ϕ δ cách cộng thêm nhiễu ngẫu nhiên kiện đầu vào ϕ sau ϕ d= ϕ + e randn( size(ϕ )) Trong tất ví dụ, ta chọn thơng số tiên nghiệm chỉnh hóa µ = 0,1.10 (4.2) −3 thơng số hậu nghiệm µ cho công thức (3.32) Cho n = , ta cho ví dụ có biểu thức nghiệm u ( x, y ) Đây thuận lợi cho độc giả thử lại 41 Ví dụ Ta xem hàm u ( x, y ) = e x − y2 cos(2 xy ) nghiệm toán (4.1) với kiện xác ϕ ( y ) = e− y [20] Thơng thường, ta khơng thể tìm biểu thức giải tích rõ ràng tốn (4.1), ta xây dựng ví dụ [26] Lấy ∧ ∧ y ( y ) ∈ L2 (y) dùng phép biến đổi Fourier ngược ∧ ψ = (ξξξ ) u= (1, ) v(1, ) ϕ (ξ ) Ta giải tốn chỉnh hóa 0, x ∈ (0,1), y ∈ y, ∆u ( x, y ) =  os(2 y ) y ( y ), y ∈ y, u (1, y ) e1− y c= = u = y ∈ y  x (0, y ) 0, (4.3) để đưa xấp xỉ u (0, y ) Cụ thể hơn, sử dụng kỹ thuật phép biến đổi Fourier rời rạc ngược ∧ ∧ ψ (ξξ ) 2ψ ( ) rời rạc kết hợp với công thức= u (0, ξ ) = ξξ cosh( ξ ) e + e− ∧ Khi đó, ta đặt nhiễu ngẫu nhiên cho u (0, y ) để dưa liệu nhiễu ϕ δ Cuối cùng, ta sử dụng kỹ thuật chỉnh hóa đề cập để đạt nghiệm x = so sánh với liệu xác y ( y ) (4.3) để tính hiệu ổn định phương pháp Lập trình vẽ đồ thị matlab, ta có kết clear syms y w t; y=linspace(-6,6,100); eps1=10^-3; eps2=10^(-5/2); 42 psi1=exp(1-y.^2).*cos(2*y); ipsi1=fourier(psi1,w); g=exp(-y.^2); v1=cosh(sqrt(int(w^2,0,pi))); vn1=v1./(1+0.1*eps1^0.5*v1); vn2=v1./(1+0.1*eps2^0.5*v1); iu0=ipsi1./v1; u0=1/(2*pi)*fourier(iu0,w); un01=u0+eps1*randn(size(u0)); un02=u0+eps2*randn(size(u0)); iun01=fourier(un01,w); iun02=fourier(un02,w); iun1=vn1.*iun01; iun2=vn2.*iun02; un1=1/(2*pi)*fourier(iun1,t); un2=1/(2*pi)*fourier(iun2,t); subplot(1,2,1) plot(y,u0); subplot(1,2,2) plot(y,psi1,y,un1,'r',y,un2,'g'); legend('nghiem chinh xac','tien nghiem xap xi','hau nghiem xap xi') (a) (b) nghiem chinh xac tien nghiem xap xi hau nghiem xap xi 0.9 2.5 0.8 0.7 0.6 1.5 0.5 0.4 0.3 0.5 0.2 0.1 -6 -4 -2 -0.5 -6 -4 -2 Hình 4.1 (a) Dữ liệu đầu vào u (0, y ) (b) Nghiệm xác, xấp xỉ tiên nghiệm xấp xỉ hậu nghiệm x = 43 KẾT LUẬN Trong luận văn này, dựa vào báo [49], tơi trình bày lại phương pháp QBV để xét tốn Cauchy cho phương trình elliptic tổng qt Tơi trình bày cách đánh giá sai số cho hai trường hợp chọn thơng số tiên nghiệm hậu nghiệm Ví dụ thực nghiệm cho thấy phương pháp mà tác giả trình bày hiệu Về phương diện lý thuyết, so sánh định lý (trang 25) định lý (trang 35), ta thấy chúng có bậc hội tụ, kết định lý tốt định lý Về phương diện tính tốn số, thấy kết số tốt cho phương pháp chọn thông số tiên nghiệm hậu nghiệm Kết cho thấy phương pháp tiên nghiệm tốt chút so với phương pháp hậu nghiệm, ta nên hiểu thông số tiên nghiệm bị phụ thuộc vào điều kiện bị chặn liệu cho trước, cách chọn thơng số hậu nghiệm khơng cần Do đó, phương pháp chọn hậu nghiệm có ý nghĩa lớn ứng dụng thực hành Dù hạt nhân v(1, ξ ) cần thiết cho việc xét toán elliptic, khó tìm Nếu ta khơng biết hạt nhân v(1, ξ ) ta tính tốn nghiệm từ (4.1) cách trực tiếp dựa vào tính bị chặn theo bổ đề Phần hạn chế luận văn trình bày lại kết báo [49], chưa đưa kết ví dụ thực nghiệm cịn 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2008), Giáo trình giải tích hàm, Nxb Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Bích Huy (2014), Bài giảng giải tích hàm, Khoa Tốn - Tin, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Bích Huy (2014), Bài giảng giải tích thực, Khoa Tốn - Tin, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Bích Huy (2006), Giáo trình giải tích sở, Tài liệu ôn thi cao học, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Hội Nghĩa Nguyễn Thành Long (2002), Giải tích hàm lý thuyết ứng dụng, dịch từ Haim Brézis, Analyse Fonctionnelle Théorie et Applications, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Đặng Đức Trọng (2014), Bài giảng giải tích thực, Khoa Toán – Tin, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Tài liệu tiếng Anh Abdulkerimov L.Sh (1997), “Regularization of an ill-posed Cauchy problem for evolution equations in a Banach space”, Azerbaidzan Gos Univ Ucen Zap, Fiz i Mat 32–36.(MR0492645), (in Russian) Alessandrini G (1993), “Stable determination of a crack from boundary measurements”, Proc R Soc Edinburgh A 123:497–516 Alessandrini G., Rondi L., Rosset E and Vessella S (2009), “The stability for the Cauchy problem for elliptic equations”, Inverse Prob 25: 123004 (47pp) 45 10 Ames K.A and Payne L.E (1999), “Continuous dependence on modeling for some well-posed perturbations of the backward heat equation”, J Inequal Appl 3:51– 64 11 Ames K.A., Clark G.W., Epperson J.F and Oppenheimer S.F (1998), “A comparison of regularizations for an ill-posed problem”, Math Comp 67:1451–1471 12 Andreas Kirsch (2011), “An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems (second edition)”, Applied Mathematical Sciences (Volume 120), Springer New York Dordrecht Heidelberg London 13 Bourgeois L (2006), “Convergence rates for the quasi-reversibility method to solve the Cauchy problem for Laplace’s equation”, Inverse Prob 22:413–430 14 Clark G.W and Oppenheimer S.F (1994), “Quasireversibility methods for non-wellposed problems”, Electron J Differ Equ 08, approx 9pp (electronic), Inverse Problems in Science and Engineering 17 15 Colli-Franzone P and Magenes E (1980), “On the inverse potential problem of electrocardiology”, Calcolo.16:459–538 16 Cheng H., Feng X.L and Fu C.L (2010), “.Amollification regularization method for the Cauchy problem of an elliptic equation in a multi-dimensional case”, Inverse Problems in Science and Engineering 18:971–982 17 Eldén L., Berntsson F and Regi´nska T (2000), “Wavelet and Fourier methods for solving the sideways heat equation”, SIAM J Sci Comput 21:2187–2205 (electronic) 18 Engl H.W., Hanke M and Neubauer A (1996), “Regularization of inverse problems”, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group 19 Fu C.L (2004), “Simplified Tikhonov and Fourier regularizationmethods on a general sideways parabolic equation”, J Comput Appl Math 167:449–463 20 Fu C.L., Li H.F., Qian Z and Xiong X.T (2008), “Fourier regularization method for solving a Cauchy problem for the Laplace equation”, Inverse Problems in Science and Engineering 26:159–169 46 21 Golubev G and Khasminskii R (2001), “A statistical approach to theCauchy problem for the Laplace equation”, In: de GunstM, Klaassen C., van der Vaart A and editors (1999), “State of the art in probability and statistics”, (Leiden), Vol 36, IMS Lecture Notes — Monograph Series, Beachwood (OH): Institute of Mathematical Statistics p 419–433 22 Gorenflo R (1965), “Funktionentheoretische Bestimmung des Aussenfeldes zu einer zweidimensionalen magnetohydrostatischen Konfiguration”, Z Angew Math Phys 16:279–290 23 Hadamard J (1953), “Lectures on Cauchy’s problem in linear partial differential equations”, New York (N.Y): Dover 24 Hào D.N and Reinhardt H.J (1997), “On a sideways parabolic equation”, Inverse Prob 13:297–309 25 Hào D.N and Hien P.M (2003), “Stability results for the Cauchy problem for the Laplace equation in a strip”, Inverse Prob 19:833–844 26 Hào D.N., Hien P.M and Sahli H (2007), “Stability results for a Cauchy problem for an elliptic equation”, Inverse Prob 23:421–461 27 Hào D.N., Van Duc N and Lesnic D (2009), “A non-local boundary value problem method for the Cauchy problem for elliptic equations”, Inverse Prob 25:055002 28 Hào D.N., Van Duc N and Lesnic D (2010), “Regularization of parabolic equations backward in time by a non-local boundary value problem method”, IMA J Appl Math 75:291–315 29 Hon Y.C and Wei T (2001), “Backus-Gilbert algorithm for the Cauchy problem of the Laplace equation”, Inverse Prob 17:261–271 30 Isakov V (2006), “Inverse problems for partial differential equations”, Vol 127; Applied Mathematical Sciences (2nd ed.), New York (N.Y): Springer 31 Jake Gipple (2014), “The Volume of n-balls”, Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal Volume 15 47 32 Johnson C.R (1997), “Computational and numerical methods for bioelectric field problems”, Crit Rev Biomed Eng 25:1–81 33 Knabner P and Vessella S (1988), “The optimal stability estimate for some ill-posed Cauchy problem for a parabolic equation”, Math Methods Appl Sci 10 575–83 34 Lattès R and Lions J.L (1969),“The method of quasi-reversibility”, Applications to partial differential equations; Translated from the French edition and edited by Richard Bellman, Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics, No 18, New York (N.Y.): American Elsevier Publishing Co Inc 35 Lavrent’ev M.M., Romanov V.G and Šišatskiˇi S.P (1986), “Ill-posed problems of mathematical physics and analysis”, Vol 64, Translations of Mathematical Monographs Providence (R.I.): American Mathematical Society 36 Lavrentiev M.M (1967), “Some improperly posed problems of mathematical physics”, New York (N.Y.): Springer-Verlag 37 Lavrentiev M.M., Romanov V.G and Šišatskiˇi S.P (1980), “Nekorrektnye Zadachi Matematicheskoi Fiziki I Analiza”, (Moscow): Nauka 38 Mel’nikova I.V (1992), “Regularization of ill-posed differential problems”, Siberian Math J 33:289–298 39 Mel’nikova I.V and Filinkov A ( 2001), “Abstract Cauchy problems: three approaches”, Boca Raton (F.L.): Chapman and all 40 Payne L.E (1975), “Improperly posed problems in partial differential equations”, Regional Conference Series in Applied Mathematics Philadelphia (P.A.): S.I.A.M 41 Qian A.L (2008), “A new wavelet method for solving an ill-posed problem”, Appl Math Comput 203:635–640 42 Qian Z and Fu C.L (2007), “Regularization strategies for a two-dimensional inverse heat conduction problem”, Inverse Prob 23:1053–1068 43 Qiu C.Y and Fu C.L (2008), “Wavelets and regularization of the Cauchy problem for the Laplace equation”, J Math Anal Appl 338:1440–1447 48 44 Tikhonov A.N (1963), “On the solution of ill-posed problems and the method of regularization”, (Russian) Dokl Akad Nauk SSSR, 151, p.p 501-504 45 Tikhonov A.N and Arsenin V.Y (1977), “Solutions of ill-posed problems”, Washington (D.C.):Winston 46 Vabishchevich P.N (1983), “Numerical solution of nonlocal elliptic problems” Izv Vyssh Uchebn.Zaved Mat., 13–19 (in Russian) 47 Vabishchevich P.N and Pulatov P.A (1984), “A method of numerical solution of the Cauchy problem for elliptic equations”, Vestnik Moskov Univ Ser XV Vychisl Mat Kibernet, 3–8 (in Russian) 48 Vabishchevich P.N and Denisenko Ayu (1993), “Regularization of nonstationary problems for elliptic equations”, J Eng Phys Thermophys 65:1195–1199 49 Xiaoli Feng, Wantao Ning and Zhi Qian (2013), “A Quasi-Boundary-Value method for a Cauchy problem of an elliptic equation in multiple dimension” Inverse Problems in Science and Engineering 50 Zhang H.W (2011), “Modified quasi-boundary value method for Cauchy problems of elliptic equations with variable coefficients”, Electron J Differ Equ 106:1–10 ... biên (QBV) cho toán Cauchy phương trình elliptic nhiều chiều với mục tiêu sau a) Tìm hiểu tính khơng chỉnh cho tốn Cauchy phương trình elliptic nhiều chiều b) Giới thiệu phương pháp tựa biên (QBV)... khía cạnh phương pháp số, lợi phương pháp QBV làm cho toán tựa biên chỉnh hóa tốt hơn, có phương trình vi phân giống tốn gốc ngoại trừ điều kiện biên Do đó, người ta sử dụng nhiều phương pháp số... HỒ CHÍ MINH Phạm Nhơn Quý PHƯƠNG PHÁP TỰA BIÊN CHO BÀI TỐN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC NHIỀU CHIỀU Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 64 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: