Chiều hữu hạn chiều minimax và môđun đối đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ——————————————– Trần Khánh Linh CHIỀU HỮU HẠN - CHIỀU MINIMAX VÀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ——————————————– Trần Khánh Linh CHIỀU HỮU HẠN - CHIỀU MINIMAX VÀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 Lời cám ơn Trước vào giới thiệu trình bày luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh nói chung Phịng Sau Đại học nói riêng tạo điều kiện thuận lợi cho tất học viên nhà trường học tập rèn luyện Tôi xin gửi lời cám ơn đến Thầy Cô giảng dạy thời gian qua Đặc biệt Thầy tổ Đại Số nhiệt tình dạy dỗ, cung cấp kiến thức, giúp tơi có tảng vững cho việc làm luận văn tốt nghiệp Trên hết, xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến PGS.TS Trần Tuấn Nam – người thầy chọn đề tài thích hợp cho tơi tận tình bảo, hướng dẫn tơi suốt thời gian hồn thành khóa luận Cạnh đó, gia đình bạn bè nguồn động viên, cổ vũ lớn Nhân xin bày tỏ trân trọng quý mến đến họ Mặc dù cố gắng trình nghiên cứu hồn thành luận văn, luận văn khơng thể tránh sai sót Rất mong nhận thơng cảm góp ý chân thành từ thầy bạn để luận văn hồn chỉnh Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2016 Học viên Trần Khánh Linh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “ Chiều hữu hạn – Chiều minimax môđun đối đồng điều địa phương” thực với hướng dẫn PGS.TS Trần Tuấn Nam không chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thơng tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2016 Học viên Trần Khánh Linh Mục lục Lời cám ơn Lời cam đoan Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun đối đồng điều địa phương 1.2 Chiều hữu hạn môđun M iđêan a 1.3 Chiều hữu hạn thứ n môđun M iđêan a 1.4 Chiều b-hữu hạn môđun M iđêan a 1.5 Môđun minimax 1.6 Môđun a-cofinite 1.7 Môđun FSF Nguyên lý toàn cục – địa phương cho tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương Tính linh hóa iđêan ngun tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương 17 Kết luận 21 Tài liệu tham khảo 22 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.1.1 Cho M R-môđun a iđêan vành R Tập hợp Γa (M) = (0 : M an ) = {x ∈ M : an x = 0, n ∈ N} môđun n∈N môđun M Với R-đồng cấu f : M → N, ta có f (Γa (M)) ⊆ Γa (N) f cảm sinh nên đồng cấu Γa ( f ) : Γa (M) → Γa (N) thu hẹp f lên Γa (M) Nếu f : M → N,g : N → P đồng cấu R-mơđun Γa (g ◦ f ) = Γa (g) ◦ Γa ( f ) Γa (1 M ) = 1Γa (M) Hơn nữa, f, g : M → N đồng cấu R-mơđun r ∈ R Γa ( f + g) = Γa ( f ) + Γa (g) Γa (r f ) = rΓa ( f ) Như Γa (−) hàm tử hiệp biến, tuyến tính từ phạm trù R-mơđun vào Ta gọi Γa (−) hàm tử a-xoắn Định nghĩa 1.1.2 Với i ∈ N, hàm tử dẫn xuất phải thứ i Γa (−) (được kí hiệu Hai (−)) gọi hàm tử đối đồng điều thứ i theo iđêan a Với R-môđun M, ta gọi Hai (M) môđun đối đồng điều địa phương thứ i M theo a Γa (M) môđun a -xoắn M Nếu Γa (M) = M gọi mơđun a-xoắn tự Nếu Γa (M) = M M gọi môđun a-xoắn (nghĩa phần tử M bị linh hóa lũy thừa a) Khi đó, mơđun M ảnh R-đồng cấu M môđun a-xoắn ∗ Cách tính mơđun đối đồng điều địa phương Hai (M): Chọn phép giải nội xạ (I • , d•) mơđun M: → M → I → I → với I i R-môđun nội xạ Áp dụng hàm tử khớp trái Γa (−) vào đối phức (I • , d•) : d0 d1 di−1 di → I −→ I −→ I → → I i−1 −→ I i −→ I i+1 → ta đối phức Γa (I • ), Γa (d• ) : Γa (d0 ) Γa (d1 ) Γa (di−1 ) → Γa (I ) −→ Γa (I ) −→ Γa (I ) → → Γa (I i−1 ) −→ Γa (di−1 ) i i Γa (d ) −→ Γa (I ) −→ Γa (I i+1 ) → Lấy đối đồng điều thứ i đối phức Hai (M) = H i Γa (I • ), Γa (d• ) = ker Γa (di ) /Im Γa (di−1 ) Vì hàm tử Γa (−) hàm tử hiệp biến R-tuyến tính nên Hai (−) hàm tử hiệp biến R-tuyến tính với i Do Γa (−) hàm tử khớp trái nên Γa (−) tương đương tự nhiên với hàm tử Ha0 (−) Khi ta đồng hai hàm tử với f g Cho dãy khớp ngắn R-môđun → L → M → N → Với số tự nhiên i ta có đồng cấu nối Hai (N) → Hai+1 (L) đồng cấu nối tạo dãy khớp dài → Ha0 (L) → Ha0 (M) → Ha0 (N) → Ha1 (L) → Ha1 (M) → Ha1 (N) → → Ha2 (L) → → Hai−1 (N) → Hai (L) → Hai (M) → Hai (N) → → Hai+1 (L) → Với R-môđun M với i ∈ N, ta có lim HomR R/an , M −→ Γa (M) Ha0 (M) n lim ExtRi R/an , M −→ Hai (M) n Bổ đề 1.1.3 Cho M R-môđun (i) Nếu a chứa phần tử không ước khơng M M a-xoắn tự do, nghĩa Γa (M) = (ii) Giả sử M hữu hạn sinh Khi M a-xoắn tự a chứa phần tử không ước không M Định lý 1.1.4 Cho R vành Nơte M R-môđun a-xoắn Khi Hai (M) = với i > Hệ 1.1.5 Cho R vành Nơte M R-mơđun Khi ta có đẳng cấu Hai (M) 1.2 Hai (M/Γa (M)) với i > Chiều hữu hạn môđun M iđêan a Định nghĩa 1.2.1 Cho R-môđun hữu hạn sinh M a iđêan vành Nơte giao hoán R Khi chiều hữu hạn mơđun M iđêan a, kí hiệu fa (M), định nghĩa sau fa (M) := inf{i ∈ N : Hai (M) không hữu hạn sinh } f g Bổ đề 1.2.2 Cho L −→ M −→ N dãy R-môđun R-đồng cấu Nếu a ⊆ Rad(0 : L) a ⊆ Rad(0 : N) a ⊆ Rad(0 : M) Mệnh đề 1.2.3 Cho R-môđun hữu hạn sinh M số nguyên dương t ∈ N Khi điều kiện sau tương đương: (i) Hai (M) R-môđun hữu hạn sinh với i < t; (ii) a ⊆ Rad(0 : Hai (M)) với i < t Theo đó, chiều hữu hạn fa (M) viết lại fa (M) : = inf{i ∈ N : a Rad(0 : Hai (M))} = inf{i ∈ N : an Hai (M) với n ∈ N} Chú ý Ha0 (M) R-môđun hữu hạn sinh nên fa (M) = inf{i ∈ N0 : an Hai (M) với n ∈ N} M.P Brodmann chứng minh [10] fa (M) = inf{ faRp (Mp ) : p ∈ S pecR} Và xem chiều hữu hạn fa (M) trường hợp đặc biệt chiều hữu hạn thứ n môđun M iđêan a fan (M) với n = ta định nghĩa fa (M) = inf{ faRp (Mp ) : p ∈ S upp(M/aM) dim(R/p) 1.3 0} Chiều hữu hạn thứ n môđun M iđêan a Định nghĩa 1.3.1 Với số nguyên không âm n, chiều hữu hạn thứ n R-môđun hữu hạn sinh M iđêan a, kí hiệu fan (M), định nghĩa sau fan (M) := inf{ faRp (Mp ) : p ∈ S upp(M/aM) dim(R/p) n} Chú ý fan (M) số nguyên dương ∞ fa0 (M)= fa (M) Sử dụng định nghĩa môđun minimax, Bahmanpour chứng minh [4] fa1 (M) := inf{i ∈ N : Hai (M) khơng minimax} Ngun lý tồn cục – địa phương cho tính hữu hạn mơđun đối đồng điều địa phương phát biểu sau: i "Cho r số ngun dương Khi Rp -mơđun HaR (Mp ) hữu hạn sinh với p i r với p ∈ S pecR R-môđun Hai (M) hữu hạn sinh với i r." Ta dùng thuật ngữ "chiều hữu hạn môđun đối đồng điều địa phương" để phát biểu lại nguyên lý sau: "Cho r số nguyên dương Nguyên lý toàn cục – địa phương cho tính hữu hạn mơđun đối đồng điều địa phương bậc r cho vành R faRp (Mp ) > r với p ∈ S pecR ⇔ fa (M) > r.” 1.4 Chiều b-hữu hạn môđun M iđêan a Định nghĩa 1.4.1 Cho R-môđun hữu hạn sinh M a, b hai iđêan vành R thỏa b ⊆ a, chiều b-hữu hạn M a, kí hiệu fab (M), định nghĩa fab (M) := inf{i ∈ N0 : b Như fab (M) = inf{i ∈ N0 : bn Hai (M) Rad(0 : Hai (M))} với n ∈ N} Đặc biệt, b = a faa (M) = fa (M) Nguyên lý toàn cục – địa phương mở rộng cho chiều b-hữu hạn fab (M) sau: Định nghĩa 1.4.2 Ta nói ngun lý tồn cục – địa phương cho tính linh hóa mơđun đối đồng điều địa phương bậc r cho vành R với iđêan a, b vành R thỏa b ⊆ a với R-môđun hữu hạn sinh M bR faRpp (Mp ) > r với p ∈ S pecR ⇔ fab (M) > r K.N Raghavan chứng minh [14] nguyên lý toàn cục – địa phương cho tính linh hóa mơđun đối đồng điều địa phương bậc cho vành Nơte giao hốn R Tiếp đó, [6], M.P Brodmann tiếp tục chứng Chương Nguyên lý tồn cục – địa phương cho tính minimax môđun đối đồng điều địa phương Trong phần ta giới thiệu khái niệm nguyên lý toàn cục - địa phương Falting cho tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương vành Nơte giao hoán R Ta chứng tỏ nguyên lý bậc cho vành Nơte giao hốn R tất bậc r cho vành Nơte giao hốn R có chiều khơng vượt q (dim R 3) Bổ đề 2.1 Cho R vành Nơte, a iđêan vành R M R-mơđun Khi đó, aM minimax M/ (0 : M a) minimax Chứng minh (⇒) Giả sử a = a1 , a2 , , an Xét đồng cấu f : M −→ (aM)n m −→ (ai m) Vì ker f = (0 : M a) nên M/(0 : M a) đẳng cấu với môđun (aM)n Do aM minimax nên M/(0 : M a) minimax 10 (⇐) Xét đồng cấu g : M n −→ aM n (mi ) −→ mi i=1 Khi g toàn cấu (0 : M a)n ⊂ ker g Do aM ảnh đồng cấu (M/(0 : M a))n Do M/(0 : M a) minimax nên aM minimax Bổ đề 2.2 Cho R vành Nơte, a iđêan vành R M R-môđun hữu hạn sinh Với số nguyên dương s, phát biểu sau tương đương: (i) Hai (M) minimax với i < s; (ii) Tồn số nguyên dương t thỏa at Hai (M) minimax với i < s Chứng minh (i) ⇒ (ii) : Hiển nhiên (ii) ⇒ (i) : Ta chứng minh quy nạp theo s Với s = có trường hợp i = Rõ ràng ta có điều phải chứng minh Giả sử điều phải chứng minh đến s − Bây ta chứng minh với s Theo giả thiết quy nạp, ta có Hai (M) minimax với i < s − Như ta việc chứng minh Has−1 (M) minimax Theo Bổ đề 2.1, at Has−1 (M) minimax nên Has−1 (M)/ :Has−1 (M) at minimax Do tồn môđun hữu hạn sinh N Has−1 (M) thỏa R-môđun Has−1 (M)/ N + :Has−1 (M) at Artin Mặt khác, theo [3, Định lý 2.3] R- môđun :Has−1 (M) at hữu hạn sinh N + :Has−1 (M) at R- mơđun hữu hạn sinh Khi R-mơđun Has−1 (M) có mơđun N + :Has−1 (M) at Has−1 (M)/ N + :Has−1 (M) at hữu hạn sinh thỏa Artin nên Has−1 (M) minimax Hệ 2.3 Cho R vành Nơte, a iđêan vành R M R -môđun hữu hạn sinh Kí hiệu fa1 (M) chiều hữu hạn thứ môđun M iđêan a Khi fa1 (M) = inf{i ∈ N0 |at Hai (M) không minimax với t ∈ N} 11 Chứng minh Ta biết fa1 (M) = inf{i ∈ N0 |Hai (M) không minimax } Giả sử fa1 (M) = s Theo định nghĩa ta có Hai (M) minimax với i < s Theo Bổ đề 2.2, tồn số nguyên dương t thỏa at Hai (M) minimax với i < s Do s = inf{i ∈ N0 |at Hai (M) không minimax với t ∈ N} Vậy fa1 (M) = inf{i ∈ N0 |at Hai (M) không minimax với t ∈ N} Như Hệ 2.3 suy từ định nghĩa chiều hữu hạn thứ Bổ đề 2.2 Bây ta giới thiệu khái niệm chiều b-minimax môđun M iđêan a Đây mở rộng chiều b-hữu hạn fab (M) môđun M iđêan a Định nghĩa 2.4 Cho M môđun hữu hạn sinh vành Nơte R a, b hai iđêan vành R thỏa b ⊆ a Chiều b-minimax M a, kí hiệu µba (M), định nghĩa sau µba (M) := inf{i ∈ N|bt Hai (M) khơng minimax với t ∈ N} Chú ý Γa (M) = Ha0 (M) minimax nên ta viết lại µba (M) = inf{i ∈ N0 |bt Hai (M) không minimax với t ∈ N} Trong µba (M) số ngun dương ∞ Hơn nữa, theo Hệ 2.3 µaa (M) = fa1 (M) Tiếp theo ta giới thiệu ngun lý tồn cục – địa phương Falting cho tính minimax môđun đối đồng điều địa phương, mở rộng nguyên lý toàn cục – địa phương Falting cho tính linh hóa mơđun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 2.5 Cho R vành Nơte giao hoán r số nguyên dương cố định Ta nói ngun lý tồn cục – địa phương Falting cho tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương bậc r cho vành R với iđêan a, b R thỏa b ⊆ a với R-mơđun hữu hạn sinh M ta có bR µaRpp (Mp ) > r với p ∈ S pecR ⇔ µba (M) > r 12 Định lý 2.6 sau đóng vai trị quan trọng việc chứng minh kết chương Định lý 2.6 Cho R vành Nơte a, b hai iđêan R thỏa b ⊆ a Cho M R-môđun hữu hạn sinh r số nguyên dương thỏa môđun đối đồng điều địa phương Ha0 (M), Ha1 (M), , Har−1 (M) a-cofinite Khi bR µaRpp (Mp ) > r với p ∈ S pecR ⇔ µba (M) > r Chứng minh Lấy i số nguyên không thỏa i r Theo định nghĩa chiều b-minimax, ta cần chứng minh tồn số nguyên không âm t0 thỏa bt0 Hai (M) minimax Trong phần [3, Định lý 2.3], tập hợp Ass bt Hai (M) hữu hạn với t ∈ N0 Vì với t ∈ N0 , tập hợp S upp bt Hai (M) tập đóng topo Zariski S pecR dãy giảm ⊇ S upp bt−1 Hai (M) ⊇ S upp bt Hai (M) ⊇ S upp bt+1 Hai (M) ⊇ dãy dừng Theo tồn số nguyên dương t0 thỏa với số nguyên t t0 S upp bt Hai (M) = S upp bt0 Hai (M) bR Lấy m iđêan tối đại vành R Theo giả thiết, µaRpp (Mp ) > r với p ∈ S pecR nên theo định nghĩa chiều bRp -minimax, tồn số nguyên u t0 thỏa i (bRm )u HaR (Mm ) minimax m Nếu lấy p ∈ S pec(R) thỏa p i (Mm ) m địa phương hóa (bRm )u HaR m pRm Rp -môđun hữu hạn sinh Mặt khác, nhờ vào đẳng cấu i (bRm )u HaR (Mm ) m pRm bu Hai (M) p nên bu Hai (M) Rp -môđun hữu hạn sinh p u Vì b Hai (M) p p aRp -xoắn nên tồn số nguyên dương v thỏa bu+v Hai (M) p = S upp bt0 Hai (M) Từ ta có S upp bt0 Hai (M) ⊆ MaxR Hơn theo giả thiết [3, Định lý 2.3], R-môđun Hom R/a, bt0 Hai (M) hữu hạn sinh Vì Hom R/a, bt0 Hai (M) ⊆ MaxR nên Hom R/a, bt0 Hai (M) Artin, kéo theo :bt0 Hai (M) a Artin 13 Kết hợp với bt0 Hai (M) = Γa bt0 Hai (M) = :bt0 Hai (M) a (do bt0 Hai (M) an xoắn), nên theo định lý K Melkersson [11, Định lý 1.3] bt0 Hai (M) Artin Như bt0 Hai (M) minimax Hệ 2.7 Cho R vành Nơte, M R-môđun hữu hạn sinh a iđêan vành R thỏa dim(M/aM) Nếu b iđêan thứ hai vành R thỏa b ⊆ a Khi với số ngun dương r bất kì, ta có bR µaRpp (Mp ) > r với p ∈ S pec(R) ⇔ µba (M) > r Chứng minh Ta có Bổ đề: “Cho R vành Nơte giao hốn, M R-mơđun hữu hạn sinh a iđêan R thỏa dim(M/aM) Khi R-mơđun Hai (M) a-cofinite với i.” Như Hệ 2.7 suy dễ dàng từ Bổ đề Định lý 2.6 Hệ 2.8 Ngun lý tồn cục – địa phương (cho tính minimax môđun đối đồng điều địa phương) bậc r cho vành Nơte giao hoán R có số chiều khơng vượt q (dim R 2) Chứng minh Theo [8, Hệ 5.2], ta có: “Cho M N hai môđun hữu hạn sinh vành Nơte giao hoán R a iđêan R Nếu dim M i dim N Hai (M, N) a-cofinite với 0.” Áp dụng vào Hệ 2.8 với dim R M R-mơđun hữu hạn sinh, Hai (R, M) = Hai (M) a-cofinite với i Với r số nguyên dương bất kì, áp dụng Định lý 2.6 ta có điều phải chứng minh Hệ 2.9 Nguyên lý toàn cục - địa phương (cho tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương) bậc cho vành Nơte giao hoán R 14 Chứng minh Chú ý Ha0 (M) a-cofinite Xét vành Nơte giao hoán R bất kì, áp dụng Định lý 2.6 cho r = 1, ta có Ha0 (M) a-cofinite, nguyên lý toàn cục - địa phương xảy bậc r = Hệ 2.10 Cho R vành Nơte giao hoán a, b hai iđêan R thỏa b ⊆ a, M R-môđun hữu hạn sinh thỏa aM M Khi bR µaRpp (Mp ) > grade M (a) với p ∈ S pecR ⇔ µba (M) > grade M (a) Chứng minh Suy trực tiếp từ định nghĩa grade M (a) Định lý 2.6 Hệ 2.11 mở rộng Hệ 2.10 Hệ 2.11 Cho R vành Nơte giao hoán a, b hai iđêan R thỏa b ⊆ a M R-môđun hữu hạn sinh r ∈ { fa (M), fa1 (M), fa2 (M)} Khi bR µaRpp (Mp ) > r với p ∈ S pecR ⇔ µba (M) > r Chứng minh Suy từ [4, Định lý 2.3 3.2] Định lý 2.6 Bây ta phát biểu chứng minh định lý quan trọng chương Định lý 2.12 ngun lý tồn cục-địa phương Falting cho tính minimax môđun đối đồng điều địa phương xảy bậc vành Nơte giao hốn R Định lý 2.12 Ngun lý tồn cục-địa phương (cho tính minimax môđun đối đồng điều địa phương) bậc cho vành Nơte giao hốn R bR Chứng minh Cho M R-môđun hữu hạn sinh thỏa µaRpp (Mp ) > với p ∈ S pecR Ta chứng minh µba (M) > Theo Hệ 2.9, µba (M) > 1, theo định nghĩa chiều b-minimax, ta việc chứng minh tồn số nguyên không âm t thỏa R-môđun bt Ha2 (M) minimax Đặt M = M/Γb (M) Ta chứng minh R-môđun HomR R/a, Ha2 (M) hữu hạn sinh Dãy khớp → Γb (M) → M → M → cảm sinh nên dãy khớp dài → Ha1 (M) → Ha1 (M ) → Ha2 (Γb (M)) → Ha2 (M) → Ha2 (M ) → 15 Địa phương hóa dãy khớp iđêan nguyên tố p với dim(R/p) > 0, ta thu dãy khớp dài 1 2 → HaR (Mp ) → HaR (Mp ) → HaR (Γb (Mp )) → HaR (Mp ) → p p p p → HaR (Mp ) → p Vì tập AssR (Ha1 (M)) hữu hạn (theo chứng minh Định lý 2.6 với p ∈ S pecR dim(R/p) > 0) nên tồn số nguyên không âm u thỏa bu Ha1 (M) p = u 1 Suy bRp HaR (Mp ) = hay bRp ⊆ Rad : HaR (Mp ) p p Hơn tồn số nguyên không âm v thỏa bv Hai Γb (M) = với i Áp dụng cho i = i = ta có trường hợp riêng bv Ha2 Γb (M) = v bv Ha3 Γb (M) = , địa phương hóa ta thu bRp HaR ΓbRp (Mp ) = p v 2 ΓbRp (Mp ) bRp HaR ΓbRp (Mp ) = Suy bRp ⊆ Rad : HaR p p bRp ⊆ Rad : HaR ΓbRp (Mp ) p f g Ta có ý: Cho L −→ M −→ N dãy khớp R-môđun R-đồng cấu Nếu a ⊆ Rad(0 : L) a ⊆ Rad(0 : N) a ⊆ Rad(0 : M) Ta bRp ⊆ Rad : HaR (Mp ) bRp ⊆ Rad : HaR ΓbRp (Mp ) , p p áp dụng ý vào dãy khớp dài ta bRp ⊆ Rad : HaR (Mp ) p k hay bRp HaR (Mp ) = với k ∈ N0 p Theo định nghĩa M M R-mơđun hữu hạn sinh b-xoắn tự Theo đó, tồn phần tử x ∈ b không ước không M Khi xk HaR (Mp ) = p xk Dãy khớp ngắn → Mp −→ Mp −→ Mp /xk Mp → cảm sinh nên dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương (theo aRp ) 1 → HaR Mp /xk Mp → HaR (Mp ) → HaR (Mp ) → p p p 1 Ta thấy HaR (Mp ) ảnh đồng cấu HaR Mp /xk Mp , HaR (Mp ) p p p Rp -môđun hữu hạn sinh với p ∈ S pec(R) thỏa dim(R/p) > Theo [4, Định 16 lý 2.2] ta Ha1 (M ) hữu hạn sinh Do R-mơđun HomR R/a, Ha2 (M ) R-mơđun minimax bR Vì µaRpp (Mp ) > nên tương tự với chứng minh Định lý 2.6, với p ∈ S pecR thỏa dim(R/p) > 0, tồn up ∈ N0 thỏa bup Ha2 (M) p = Lại áp dụng ý vào dãy khớp dài 1 2 → HaR (Mp ) → HaR (Mp ) → HaR (Γb (Mp )) → HaR (Mp ) → p p p p → HaR (Mp ) → HaR (Γb (Mp )) → p p với giả thiết bRp ⊆ Rad : HaR (Mp ) bRp ⊆ Rad : HaR ΓbRp (Mp ) , ta thu p p bRp ⊆ Rad : HaR (Mp ) hay bvp Ha2 (M ) p p = với vp ∈ N0 Vì R-mơđun HomR R/a, Ha2 (M ) hữu hạn sinh nên theo chứng minh Định lý 2.6 trên, tồn số nguyên k ∈ N0 thỏa bk Ha2 (M ) Artin Do S upp bk Ha2 (M ) ⊆ MaxR Đặt s = v + k Khi S upp b s Ha2 (M) ⊆ S upp bk Ha2 (M ) ⊆ MaxR Giả sử S upp b s Ha2 (M) := {m1 , , mr } Theo giả thiết, với j thỏa ≤ j ≤ r, tồn số nguyên không âm s j b s j Ha2 (M) mj s thỏa Rm j -môđun minimax Đặt t = max{s1 , s2 , , sr } S upp bt Ha2 (M) ⊆ {m1 , , mr } bt Ha2 (M) mj Rm j -môđun minimax với j thỏa ≤ j ≤ r Vì bt Ha2 (M) R-môđun minimax Như định lý chứng minh Hệ 2.13 Nguyên lý tồn cục - địa phương (cho tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương) bậc r cho vành Nơte giao hốn R có số chiều không vượt (dim R 3) Chứng minh Theo M.P Brodmann [5], ta có: “Cho M R-mơđun hữu hạn sinh khác khơng có số chiều hữu hạn n Khi R-mơđun Han (M) Artin.” Hệ 2.13 suy trực tiếp từ Hệ 2.8, Hệ 2.9, Định lý 2.12 kết 17 Chương Tính linh hóa iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Mục đích chương nghiên cứu mối liên hệ nguyên lý toàn cục – địa phương Falting cho tính minimax tính linh hóa mơđun đối đồng điều địa phương Dựa vào đưa cách chứng minh khác cho kết Brodmann [6]: Ngun lý tồn cục - địa phương cho tính linh hóa mơđun đối đồng điều địa phương bậc r = cho vành R bậc r cho vành R có số chiều khơng vượt (dim R 3) Hơn nữa, chương nội dung chương ứng dụng để chứng minh kết tính hữu hạn mơđun đối đồng điều địa phương mở rộng kết Brodmann – Lashgari [7] Phạm Hùng Quý [13] Kết chương Định lý 3.6 Mệnh đề 3.1 mối quan hệ nguyên lý tồn cục - địa phương cho tính minimax tính linh hóa mơđun đối đồng điều địa phương vành Nơte giao hoán R Mệnh đề 3.1 Nếu ngun lý tồn cục-địa phương cho tính minimax (của mơđun đối đồng điều địa phương) bậc r cho tính linh hóa (của mơđun đối đồng điều địa phương) bậc r Chứng minh Cố định r số nguyên không âm Giả sử ngun lý tồn cục - địa phương cho tính minimax môđun đối đồng điều địa phương 18 bậc r bR Lấy M R-môđun hữu hạn sinh Giả sử faRpp (Mp ) > r với p ∈ S pecR Ta cần chứng minh fab (M) > r bR bR Vì faRpp (Mp ) > r nên µaRpp (Mp ) > r Theo giả thiết, nguyên lý tồn cục - địa phương cho tính minimax xảy bậc r vành R nên µba (M) > r Do tồn t ∈ N thỏa bt Hai (M) minimax với i r Khi tập AssR bt Hai (M) tập hữu hạn Đặt AssR bt Hai (M) := {p1 , , p s } Theo giả thiết, với số nguyên j thỏa j s, tồn số nguyên t j t thỏa bt j Haj (M) pj = Đặt k := max{t1 , , t s } Khi AssR bk Hai (M) = ∅ bk Hai (M) = Như fab (M) > r Hệ 3.2 Hệ Mệnh đề 3.1 kết M.P Brodmann [6, Định lý 2.6] Hệ 3.2 Nguyên lý toàn cục – địa phương cho tính linh hóa mơđun đối đồng điều địa phương bậc cho vành Nơte giao hốn R Chứng minh Theo Định lý 2.12, ta có ngun lý tồn cục – địa phương cho tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương xảy bậc r = vành Nơte giao hốn R Hơn nữa, theo Mệnh đề 3.1 ngun lý tồn cục địa phương cho tính minimax xảy bậc r = kéo theo cho tính linh hóa bậc r = Như Hệ 3.2 – kết Brodmann [6] chứng minh lại cách suy trực tiếp từ Định lý 2.12 – kết ngun lý tồn cục địa phương cho tính minimax Hệ 3.1 Trong [13], Phạm Hùng Quý giới thiệu lớp môđun FSF nghiên cứu vài tính chất môđun Mệnh đề 3.3 Cho R vành Nơte, M R-môđun hữu hạn sinh, a iđêan vành R r số nguyên dương thỏa at Ha0 (M), , at Har−1 (M) FSF với t ∈ N0 Khi R-mơđun HomR R/a, Har (M) hữu hạn sinh R-môđun Ha0 (M), , Har−1 (M) a-cofinite Đặc biệt, tập Ass Har (M) hữu hạn 19 Chứng minh Với i < r, at Hai (M) mơđun FSF nên tồn môđun hữu hạn sinh Ni at Hai (M) thỏa tập hợp S upp at Hai (M)/Ni hữu hạn Vì với p ∈ S pecR thỏa dim(R/p) > 1, ta có dim at Hai (M)/Ni t i aRp HaR (Mp ) p at Hai (M) p (Ni )p t i Do Rp -mơđun aRp HaR (Mp ) hữu hạn sinh với i < r p t i Vì aRp HaR (Mp ) aRp -xoắn nên tồn số nguyên không âm s thỏa aRp p t+s i HaR (Mp ) = p i Khi HaR (Mp ) Rp -môđun hữu hạn sinh với p ∈ S pecR thỏa dim(R/p) > p với i < r Như HomR R/a, Har (M) R-môđun hữu hạn sinh Rmôđun Ha0 (M), , Har−1 (M) a-cofinite Hệ 3.4 Cho R vành Nơte, M R-môđun hữu hạn sinh, a iđêan vành R r số nguyên dương thỏa R-môđun at Ha0 (M), , at Har−1 (M) FSF Khi R-mơđun Ha0 (M), , Har−1 (M) a-cofinite với iđêan b vành R thỏa b ⊆ a bR µaRpp (Mp ) > r với p ∈ S pec(R) ⇔ µba (M) > r Chứng minh Vì R-mơđun at Ha0 (M), , at Har−1 (M) R-môđun FSF nên theo Mệnh đề 3.3 Ha0 (M), , Har−1 (M) R-môđun a-cofinite Với b iđêan vành R thỏa b ⊆ a, áp dụng Định lý 2.6 ta bR µaRpp (Mp ) > r với p ∈ S pecR ⇔ µba (M) > r Như Hệ 3.4 chứng minh Hệ 3.5 Cho R vành Nơte, M R-môđun hữu hạn sinh, a iđêan vành R r số nguyên dương thỏa R-môđun at Ha0 (M), , at Har−1 (M) có giá hữu hạn với t ∈ N0 Khi R-mơđun Ha0 (M), , Har−1 (M) a-cofinite với iđêan b vành R thỏa b ⊆ a bR µaRpp (Mp ) > r với p ∈ S pecR ⇔ µba (M) > r Chứng minh Với i < r, tập S upp at Hai (M) hữu hạn nên theo định nghĩa mơđun FSF, ta có R-mơđun at Hai (M) FSF Khi Hệ 3.5 suy trực tiếp từ Hệ 3.4 20 Định lý 3.6 – kết luận văn – mở rộng kết M.P Brodmann – F.A Lashgari [7] Phạm Hùng Quý [13] Định lý 3.6 Cho R vành Nơte, M R-môđun hữu hạn sinh, a iđêan vành R r số nguyên dương thỏa at Hai (M) FSF với i < r t ∈ N0 Khi với N mơđun minimax Har (M) R-mơđun HomR R/a, Har (M)/N hữu hạn sinh Đặc biệt, Ass Har (M)/N tập hữu hạn Chứng minh Theo Mệnh đề 3.3 R-mơđun HomR R/a, Har (M) hữu hạn sinh Mặt khác, theo [12, Mệnh đề 4.3] N a-cofinite Dãy khớp ngắn → N → Har (M) → Har (M)/N → cảm sinh nên dãy khớp dài → HomR R/a, Har (M) → HomR R/a, Har (M)/N → → ExtR1 (R/a, N) → Vì HomR R/a, Har (M) ExtR1 (R/a, N) hữu hạn sinh nên HomR R/a, Har (M)/N hữu hạn sinh Trong [3, Định lý 2.3], Bahmanpour Naghipour chứng minh Ha0 (M), , Har−1 (M) minimax Ha0 (M), , Har−1 (M) a-cofinite Hệ 3.7 sau mở rộng [3, Định lý 2.3] Hệ 3.7 Cho R vành Nơte, M R-môđun hữu hạn sinh, a iđêan vành R r số nguyên dương thỏa R-môđun at Ha0 (M), , at Har−1 (M) FSF với t ∈ N0 Khi Ass Har (M) tập hữu hạn Chứng minh Vì R-mơđun at Ha0 (M), , at Har−1 (M) skinny nên lại theo [2, Định lí 3.3], chúng R-môđun FSF Như vậy, áp dụng Định lý 3.6 với môđun minimax N = 0, ta có Hệ 3.7 21 Kết luận Luận văn nghiên cứu trình bày cách chi tiết kết nguyên lý toàn cục - địa phương cho tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương Luận văn đạt kết sau: • Cho R vành Nơte a, b hai iđêan R thỏa b ⊆ a Cho M R-môđun hữu hạn sinh r số nguyên dương thỏa môđun đối đồng điều địa phương Ha0 (M), Ha1 (M), , Har−1 (M) a-cofinite Khi bR µaRpp (Mp ) > r với p ∈ S pec(R) ⇔ µba (M) > r • Ngun lý tồn cục - địa phương (cho tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương) xảy bậc bậc vành Nơte giao hốn R bất kì, xảy bậc vành Nơte giao hốn có chiều khơng vượt • Cho R vành Nơte, M R-môđun hữu hạn sinh, a iđêan vành R r số nguyên không âm thỏa at Hai (M) FSF với i < r t ∈ N0 Khi với N mơđun minimax Har (M) R-mơđun HomR R/a, Har (M)/N hữu hạn sinh Đặc biệt, Ass Har (M)/N tập hữu hạn 22 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh Bahmanpour K (2010), "On the category of weakly laskerian cofinite modules", Math Scand., to appear Bahmanpour K and Naghipour R (2008), “On the cofiniteness of local cohomology modules”, Proc Amer Math Soc., 136, 2359-2363 Bahmanpour K., Naghipour R and Sedghi M (2003), “Minimaxness and cofiniteness properties of local cohomology modules”, Comm Algebra, 41, 2799-2814 Brodmann B M and Sharp R.Y (1998), Local cohomology; an algebraic introduction with geometric applications, Camribge University Press, Camribge Brodmann M.P., Rothaus Ch and Sharp R.Y (2000), “On annihilators and associated primes of local cohomology modules”, J Pure and Appl Algebra, 153, 197-227 Brodmann M.P and Lashgari F.A (2000), “A finiteness result for associated primes of local cohomology modules”, J Pure and Appl Algebra, 153, 197-227 23 N.T Cuong, S Goto and N.V Hoang, "On the cofiniteness of generalized local cohomology modules", preprint Faltings G (1981), "Der Endlichkeitssatz in der lokalen Kohomologie", Math Ann., 255, 45-56 10 Grothendieck A.(1966), Local cohomology, Notes by R Hartshorne, Lecture Notes in Math, Springer, New York 11 Melkersson L (1990), “On Asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal”, Math Proc Camribge Philos Soc., 107, 267-271 12 Melkersson L (2005), “Modules cofinite with respect to an ideal”, J Algebra, 285, 649-668 13 P.H Quy (2010), On the finiteness of associated primes of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc., 138, 1965-1968 14 Raghavan K.N (1994), “Local-Global principle for annihilation of local cohomology”, Contemporary Math., 159, 329-331 15 Zoschinger H (1986), "Minimax modules", J Algebra., 102, 1-32 ... chuẩn bị 1.1 Môđun đối đồng điều địa phương 1.2 Chiều hữu hạn môđun M iđêan a 1.3 Chiều hữu hạn thứ n môđun M iđêan a 1.4 Chiều b -hữu hạn môđun M iđêan... địa phương cho tính hữu hạn môđun đối đồng điều địa phương bậc r cho vành R faRp (Mp ) > r với p ∈ S pecR ⇔ fa (M) > r.” 1.4 Chiều b -hữu hạn môđun M iđêan a Định nghĩa 1.4.1 Cho R -môđun hữu hạn. .. cục - địa phương cho tính minimax tính linh hóa mơđun đối đồng điều địa phương vành Nơte giao hoán R Mệnh đề 3.1 Nếu ngun lý tồn cục -địa phương cho tính minimax (của môđun đối đồng điều địa phương)