Dãy chính qui i lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Phạm thị lan hơng Dãy chính qui I - lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phơng Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60. 46. 05 Ngời hớng dẫn khoa học TS. Nguyễn Thị Hồng Loan Vinh 2010 1 Mục lục Mở đầu . Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị . 1.1. Môđun hữu hạn sinh . 1.2. Phổ và giá của môđun. 1.3. Độ cao của iđêan . 1.4. Chiều Krull của vành và môđun. 1.5. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun 1.6. Dãy chính qui và độ sâu 1.7. Môđun Cohen-Macaulay và Môđun Cohen-Macaulay suy rộng 1.8. Dãy chính qui lọc 1.9. Môđun đồng điều Koszul 1.10. Môđun đối đồng điều địa phơng. Chơng 2. Dãy chính qui I-lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phơng 2.1.Tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phơng 2.2. Dãy chính qui I - lọc . 2.3. Dãy chính qui I - lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phơng . Kết luận . Tài liệu tham khảo Trang 1 3 3 3 4 4 5 5 6 7 7 8 10 10 19 22 28 29 2 Mở đầu Trong toàn bộ luận văn, chúng tôi luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether có đơn vị, M là một R môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM = d và I là một iđêan của R. Lý thuyết đối đồng điều địa phơng của Grothendiek [6] đóng vai trò quan trọng trong Hình học đại số và ngày càng có nhiều ứng dụng trong Đại số giao hoán. Nh ta đã biết, môđun đối đồng điều địa phơng H I i (M) thứ i với giá là iđêan I triệt tiêu (tức H I i (M) = 0) với mọi số nguyên i > dimM hoặc i < depth I (M). Trong trờng hợp tổng quát thì các môđun đối đồng điều địa phơng H I i (M) nói chung là không hữu hạn sinh. Nếu j là số nguyên khác không lớn nhất sao cho H I i (M) khác 0 thì môđun đối đồng điều địa phơng H I i (M) không hữu hạn sinh. Vấn đề tìm số nguyên bé nhất i sao cho môđun H I i (M) không hữu hạn sinh đã đợc nghiên cứu bởi Faltings, Raghavan và một số nhà toán học khác. Một dãy các phần tử {x 1 ,,x n } của iđêan I đợc gọi là một dãy chính qui I lọc của M nếu ( ) 1 1 1 1 , ., : , ., ) i M i i x x M x Supp x x M ữ V(I) với mọi i = 1,,n ; ở đây V(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I. Nếu (R, m) là vành địa phơng với iđêan cực đại duy nhất m thì dãy chính qui m lọc của M chính là dãy chính qui lọc của M. Do đó khái niệm dãy chính qui I lọc là một sự khái quát hóa khái niệm dãy chính qui lọc đợc đa ra bởi N. T. Cờng, N. V. Trung và P. Schenzel [5]. Cũng chú ý rằng, khái niệm dãy chính qui R-lọc (tức trờng hợp I = R) chính là M dãy yếu đã đợc giới thiệu trong [10]. Sử dụng khái niệm dãy chính qui I lọc, K. Khashyar Manesh và Sh. Salarian [7] đã đa ra đợc một số đặc trng về tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phơng H I i (M). 3 Mục đích của luận văn là trình bày lại các kết quả của bài báo [7] và cố gắng trình bày chứng minh chi tiết cho những kết quả mà trong đó không trình bày hoặc trình bày một cách vắn tắt. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Danh mục tài liệu tham khảo, luận văn đợc chia làm 2 chơng. Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chơng này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn nhằm giúp cho ngời đọc dễ theo dõi nội dung chính của luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ở Chơng 2. Chơng 2: Dãy chính qui I- lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phơng. Trong chơng này, chúng tôi trình bày về khái niệm, sự tồn tại và một số tính chất của dãy chính qui I- lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phơng. Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 10 năm 2010 tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, ngời đã hớng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Cũng nhân dịp này tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán và Khoa sau đại học, Ban giám hiệu Trờng Đại học Vinh, tác giả xin cảm ơn các bạn trong lớp Cao học 16 Đại số Lý thuyết số, các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và bạn đọc để luận văn đợc hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả 4 Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chơng này, chúng tôi nhắc lại (không chứng minh) một số kiến thức cơ sở phục vụ cho việc chứng minh Chơng 2. Sau đây chúng tôi luôn kí hiệu R là vành giao hoán, địa phơng và M là R môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM = d. 1.1. Môđun hữu hạn sinh 1.1.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun (i) Một hệ các phần tử {x i } i I , x i M đợc gọi là một hệ sinh của R-môđun M nếu mọi phần tử x M đều là tổ hợp tuyến tính trên R của hệ {x i } i I nghĩa là mọi x M thì x = i i i J a x ; a i R, J I, J < . (ii) Nếu M có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì M đợc gọi là môđun hữu hạn sinh. 1.1.2. Chú ý. (i). Mọi môđun đều có hệ sinh. (ii). Hệ sinh của một môđun là không duy nhất. (iii). Giả sử S là một hệ sinh của R-môđun M. Khi đó ta nói S là hệ sinh tối thiểu của M nếu khi ta bớt đi bất kỳ một phần tử nào của S thì hệ còn lại không còn là hệ sinh của M. 1.1.3. Mệnh đề. M là R- môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu với môđun thơng của môđun tự do R n (n Ơ ). 1.2. Phổ và giá của môđun 1.2.1. Phổ của vành. Iđêan p của R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu p R và với mọi a, b R, ab p thì a p hoặc b p. Kí hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó SpecR đợc gọi là phổ của vành R. Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V(I) = {p SpecR / p I}. 5 1.2.2. Giá của môđun. Tập con SuppM = { / 0 p p SpecR M } của SpecR đợc gọi là giá của môđun M. Với mỗi x M ta kí hiệu Ann R (x) = {a R / ax = 0}, Ann R (M) = {a R / ax = 0, x M}. Ta có Ann R (x) và Ann R (M) là những iđêan của M; Ann R (M) đợc gọi là linh tử hoá của môđun M. Hơn nữa SuppM = V(Ann R M) nếu M là môđun hữu hạn sinh. 1.3. Độ cao của iđêan. Cho R là vành giao hoán. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của R 1 2 . o n p p p p đợc gọi là một xích nguyên tố có độ dài n. Cho p là một iđêan nguyên tố của R. Cận trên của tất cả các độ dài của xích nguyên tố với 0 p p= đợc gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p). Nghĩa là: ht(p) = sup {độ dài của các xích nguyên tố với 0 p p= }. Cho I là iđêan của R, ta định nghĩa độ cao của iđêan I là ht(I) = inf {ht(p) / p Spec(R), p I }. 1.4. Chiều Krull của vành và môđun 1.4.1.Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán. (i) Cận trên của tất cả các độ dài của xích nguyên tố trong R đợc gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dimR. Ta có dimR = sup {ht(p) / p Spec(R)}. (ii) Cho M là R môđun. Khi đó dim(R/ Ann R M) đợc gọi là Chiều Krull của môđun M, kí hiệu dimM. Nh vậy, dimM dimR. 6 1.4.2. Mênh đề. (i) dimM = - M = 0. (ii) Nếu N môđun con của M thì dimN dimM, dim(M/N) dimM. (iii) Nếu x NZD R (M) thì dim(M/ xM) = dim(M) 1. 1.5. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun 1.5.1. Định nghĩa. (i) Giả sử R là một vành. Ta gọi phổ của R là tập tất cả các iđên nguyên tố của và kí hiệu là Spec(R). (ii) Giả sử p Spec(R) là một iđêan nguyên tố của R. Ta nói p là iđêan nguyên tố liên kết với R - môđun M nếu p là linh hoá tử của một môđun con xyclic của M, nghĩa là tồn tại v M \ {0} sao cho p = (0 : R vR). Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M, kí hiệu Ass R (M). (iii) Cho M là R - môđun. Phần tử x R đợc gọi là ớc của không trên môđun M nếu tồn tại m M, m 0 sao cho xm = 0. Tập tất cả các ớc của không trên M đợc kí hiệu ZD R (M) và ZD R (M) = {x R / m M \ {0} : xm = 0}. Tập hợp NZD R (M) = R \ ZD R (M) đợc gọi là tập hợp các phần tử không là ớc của không trên môđun M. 1.5.2. Mệnh đề. Nếu M là một R môđun và N là môđun con của M thì (i) ZD R (M) = ( ) R p Ass M U p; (ii) Ass R (N) Ass R (M) Ass R (M / N) U Ass R (N); (iii) Nếu M là môđun hữu hạn sinh thì #Ass R (M) < ; (iv) Ass R (0) = 0 . 1.6. Dãy chính qui và độ sâu (1) Một phần tử a R đợc gọi là phần tử chính qui của M hay M- chính qui nếu ax 0 với mọi x M, x 0. (2) Dãy các phần tử ( 1 2 , , ., n x x x ) của R đợc gọi là dãy chính qui của R - 7 môđun M hay còn gọi là M dãy chính qui nếu thoả mãn các điều kiện: (i) M/(x 1 ,, x n )M 0; (ii) x i là M/ (x 1 ,, x 1i )M chính qui với mọi i = 1, ., n. Chú ý rằng a R là phần tử chính qui của M khi và chỉ khi x p, p AssM. Do đó (x 1 ,,x n ) là dãy chính qui của M khi và chỉ khi M/(x 1 ,, x n )M 0 và x i p, p Ass M / (x 1 ,, x n )M, (i = 1,, n). Cho I là một iđêan của R . (x 1 ,, x r ) là một M- dãy chính qui trong I. Khi đó (x 1 ,, x r ) đợc gọi là một dãy chính qui cực đại trong I nếu không tồn tại y I sao cho (x 1 ,, x r , y) là dãy chính qui của M . Ta biết rằng mọi dãy chính qui cực đại trong cùng một iđêan I đều có cùng độ dài và đợc gọi là độ sâu của M đối với iđêan I kí hiệu depth I (M). Đặc biệt nếu I = m thì depth m M đợc gọi là độ sâu của M và kí hiệu depthM. Nếu ( 1 , ., n x x ) là một dãy chính qui của M thì nó cũng là một phần của hệ tham số của M, do đó depthM dimM. 1.7. Môđun Cohen - Macaulay và Môđun Cohen - Macaulay suy rộng 1.7.1. Định nghĩa. M đợc gọi là môđun Cohen - Macaulay nếu depthM = dimM. 1.7.2. Mệnh đề. M là một R - môđun Cohen - Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M đều là dãy chính quy của M. 1.7.3. Mệnh đề. M là một R - môđun Cohen - Macaulay khi đó ta có: (i) dimR/p = d với mọi p Ass R M; (ii) Nếu x 1 ,, x i là một dãy chính quy của M thì M/(x 1 ,, x i )M cũng là môđun Cohen - Macaulay; (iii) M p là môđun Cohen - Macaulay với mọi p SuppM. Cho x = (x 1 ,, x d ) là một hệ tham số của M. Kí hiệu I M (x) = l (M/xM) - e(x; M). 8 Khi đó I M (x) 0. Đặt I(M) = sup M I M (x) với x chạy trên tập các hệ tham số x của M. Ta có mệnh đề sau. 1.7.4. Mệnh đề. Các phát biểu sau tơng đơng: (i) M là một R - môđun Cohen - Macaulay; (ii) Tồn tại một hệ tham số x = (x 1 ,, x d ) của M để I M (x) = 0; (iii) Với mọi hệ tham số x = (x 1 ,, x d ) của M để I M (x) = 0; (iv) I(M) = 0. 1.7.5. Định nghĩa. M đợc gọi là môđun Cohen - Macaulay suy rộng nếu I(M) < . 1.8. Dãy chính qui lọc Cho (R, m) là vành địa phơng với iđêan cực đại m, Dãy các phần tử x 1 ,, x n của iđêan m đợc gọi là một dãy chính qui lọc của M nếu x i p, p Ass(M/(x 1 ,, x 1i )M) \ {m}, i = 1,, r. Cho I là một iđêan tuỳ ý của R thoả mãn dimM/IM > 1 và (x 1 ,, x r ) là một dãy chính qui lọc của M trong I . Khi đó (x 1 ,, x r ) đợc gọi là dãy chính qui lọc cực đại trong I nếu không tồn tại y I sao cho (x 1 ,, x r , y) là dãy chính qui lọc của M. Mọi dãy chính qui lọc cực đại trong cùng một iđêan I đều có cùng độ dài. Độ dài của một dãy chính qui lọc cực đại trong iđêan I đợc gọi là độ sâu lọc của M trong I, kí hiệu là f depth(I, M) . 1.9. Môđun đồng điều Koszul Cho x 1 ,, x s là các phần tử của vành R (s 0), với mỗi i {0, 1,, n} ta định nghĩa phức K(x i ): 0 0 i d R R trong đó d i đợc xác định nh sau: d i (r) = rx i , r R. Khi đó phức K(x 1 ,,x s ) = K(x 1 ) K(x s ) đợc gọi là phức Koszul sinh bởi x 1 ,, x s trên R, để đơn giản đôi khi ngời ta kí hiệu K(x). Nếu s = 0 thì ta định nghĩa phức Koszul K(x i ) = R. 9 Cho M là một R môđun, ta kí hiệu phức M K(x) là K(x; M), nếu cần làm rõ các chỉ số thì ta viết K(x 1 ,, x s ; M). Ta có phức 0 K s (x;M) s K s-1 (x;M) K 1 (x;M) 1 K 0 (x; M) 0 0. Khi đó môđun đồng điều thứ p của phức trên thờng đợc kí hiệu là H p (x; M). Từ định nghĩa ta thấy rằng: H 0 (x; M) = M/xM H s (x; M) = (0: M (x 1 ,, x s )) H p (x; M) = 0 p < 0 hoặc p >s. Giả sử x = (x 1 ,, x s ) là một dãy chính qui (hoặc dãy chính qui lọc) của M thì H p (x; M) = 0 (hoặc l (H p (x; M)) < ), p > 0. 1.10. Môđun đối đồng điều địa phơng Cho I là một iđêan của vành R. Với mỗi R môđun M,đặt 1 ( ) (0 : ) n I n M M I = = U = { x M | ,n xI n = 0}. Ta có ( ) I M là một môđun con của M. Với mỗi R - đồng cấu f : M N, ta có f( ( ) I M ) ( ) I N . Vì thế có một R-đồng cấu ( ) : ( ) ( ) I I I f M N , xác định bởi ( )( ) I f x = f( x ), x ( ) I M . Khi đó I là một hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái từ phạm trù R môđun vào phạm trù R môđun. I đợc gọi là hàm tử I xoắn. Với mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của I đợc kí hiệu là i I H và đợc gọi là hàm tử đối đồng điều địa phơng thứ i với giá là I. Với một R môđun M, ta kí hiệu ( ) i I H M là ảnh của M qua tác động bởi hàm tử i I H . Khi đó ( ) i I H M là một R môđun và đợc gọi là môđun đối đồng điều địa phơng thứ i của môđun M với giá là iđêan I. Từ định nghĩa trên ta có thể xác định ( ) i I H M nh sau. Trớc hết ta lấy lời giải nội xạ 1 0 1 1 0 0 1 1 : 0 . . i i d d d d di i I I I I I + + 10