Dãy chính qui i lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ LAN HƢƠNG DÃY CHÍNH QUI I - LỌC VÀ TÍNH HỮU HẠN SINH CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60 46 05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thị Hồng Loan VINH 2010 MỤC LỤC Trang Mở đầu……………………………………………………………… … Chƣơng Kiến thức chuẩn bị………………………… ……………… 1.1 Môđun hữu hạn sinh………………………………………… 1.2 Phổ giá môđun………………………………………… 1.3 Độ cao iđêan…………………………………………… 1.4 Chiều Krull vành môđun……………………………… 1.5 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun……………… 1.6 Dãy qui độ sâu……………………………………… 1.7 Môđun Cohen-Macaulay Môđun Cohen-Macaulay suy rộng 1.8 Dãy qui lọc………………………………………… 1.9 Mơđun đồng điều Koszul……………………………………… 1.10 Môđun đối đồng điều địa phương…………………………… Chƣơng Dãy qui I-lọc tính hữu hạn sinh môđun đối đồng điều địa 10 10 19 phương………………………………………… 2.1.Tính hữu hạn sinh mơđun đối đồng điều địa phương……… 2.2 Dãy qui I - lọc………………………………………… 2.3 Dãy qui I - lọc tính hữu hạn sinh môđun đối đồng điều địa phương……………………………………………… Kết luận……………………………………………………… ……… Tài liệu tham khảo…………………………………………….…… 22 28 29 MỞ ĐẦU Trong tồn luận văn, chúng tơi ln giả thiết R vành giao hốn Noether có đơn vị, M R – môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM = d I iđêan R Lý thuyết đối đồng điều địa phương Grothendiek [6] đóng vai trị quan trọng Hình học đại số ngày có nhiều ứng dụng Đại số giao hoán Như ta biết, môđun đối đồng điều địa phương HIi(M) thứ i với giá iđêan I triệt tiêu (tức HIi(M) = 0) với số nguyên i > dimM i < depthI(M) Trong trường hợp tổng qt mơđun đối đồng điều địa phương HIi(M) nói chung khơng hữu hạn sinh Nếu j số nguyên khác không lớn cho HIi(M) khác mơđun đối đồng điều địa phương HIi(M) không hữu hạn sinh Vấn đề tìm số ngun bé i cho mơđun HIi(M) không hữu hạn sinh nghiên cứu Faltings, Raghavan số nhà toán học khác Một dãy phần tử {x1,…,xn} iđêan I gọi dãy  qui I – lọc M Supp    x1, , xi1  M :M xi    V(I) với i = 1,…,n ; x1 , , xi 1 ) M  V(I) tập iđêan nguyên tố chứa I Nếu (R, m) vành địa phương với iđêan cực đại m dãy qui m – lọc M dãy qui lọc M Do khái niệm dãy qui I – lọc khái quát hóa khái niệm dãy qui lọc đưa N T Cường, N V Trung P Schenzel [5] Cũng ý rằng, khái niệm dãy qui R-lọc (tức trường hợp I = R) M – dãy yếu giới thiệu [10] Sử dụng khái niệm dãy qui I – lọc, K Khashyar Manesh Sh Salarian [7] đưa số đặc trưng tính hữu hạn sinh mơđun đối đồng điều địa phương HIi(M) Mục đích luận văn trình bày lại kết báo [7] cố gắng trình bày chứng minh chi tiết cho kết mà khơng trình bày trình bày cách vắn tắt Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Danh mục tài liệu tham khảo, luận văn chia làm chương Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở Đại số giao hốn có sử dụng luận văn nhằm giúp cho người đọc dễ theo dõi nội dung luận văn Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có nhằm phục vụ cho chứng minh Chương Chƣơng 2: Dãy qui I- lọc tính hữu hạn sinh mơđun đối đồng điều địa phƣơng Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm, tồn số tính chất dãy qui I- lọc tính hữu hạn sinh môđun đối đồng điều địa phương Luận văn hoàn thành vào tháng 10 năm 2010 trường Đại học Vinh hướng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ, người hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc suốt trình học tập, nghiên cứu Cũng xin trân trọng cảm ơn thầy, giáo Khoa Tốn Khoa sau đại học, Ban giám hiệu Trường Đại học Vinh, tác giả xin cảm ơn bạn lớp Cao học 16 Đại số – Lý thuyết số, đồng nghiệp, bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại (không chứng minh) số kiến thức sở phục vụ cho việc chứng minh Chương Sau kí hiệu R vành giao hốn, địa phương M R – môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM = d 1.1 Môđun hữu hạn sinh 1.1.1 Định nghĩa Cho M R-môđun (i) Một hệ phần tử {xi}i I, xi  M gọi hệ sinh R-môđun M phần tử x  M tổ hợp tuyến tính R hệ {xi}i I nghĩa x  M x =  a x ;  R, J  I, iJ i i J <  (ii) Nếu M có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử M gọi mơđun hữu hạn sinh 1.1.2 Chú ý (i) Mọi mơđun có hệ sinh (ii) Hệ sinh môđun không (iii) Giả sử S hệ sinh R-môđun M Khi ta nói S hệ sinh tối thiểu M ta bớt phần tử S hệ cịn lại khơng cịn hệ sinh M 1.1.3 Mệnh đề M R- môđun hữu hạn sinh M đẳng cấu với môđun thương môđun tự Rn (n  ) 1.2 Phổ giá môđun 1.2.1 Phổ vành Iđêan p R gọi iđêan nguyên tố p  R với a, b  R, ab  p a  p b  p Kí hiệu SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi SpecR gọi phổ vành R Với iđêan I R ta kí hiệu V(I) = {p  SpecR / p  I} 1.2.2 Giá môđun Tập SuppM = { p  SpecR / M p  } SpecR gọi giá môđun M Với x  M ta kí hiệu AnnR(x) = {a  R / ax = 0}, AnnR(M) = {a  R / ax = 0,  x  M} Ta có AnnR(x) AnnR(M) iđêan M; AnnR(M) gọi linh tử hố mơđun M Hơn SuppM = V(AnnRM) M môđun hữu hạn sinh 1.3 Độ cao iđêan Cho R vành giao hoán Một dãy giảm iđêan nguyên tố R po  p1  p2   pn gọi xích ngun tố có độ dài n Cho p iđêan nguyên tố R Cận tất độ dài xích nguyên tố với p0  p gọi độ cao p, kí hiệu ht(p) Nghĩa là: ht(p) = sup {độ dài xích nguyên tố với p0  p } Cho I iđêan R, ta định nghĩa độ cao iđêan I ht(I) = inf {ht(p) / p  Spec(R), p  I } 1.4 Chiều Krull vành môđun 1.4.1.Định nghĩa Cho R vành giao hoán (i) Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dimR Ta có dimR = sup {ht(p) / p  Spec(R)} (ii) Cho M R – môđun Khi dim(R/ Ann R M) gọi Chiều Krull mơđun M, kí hiệu dimM Như vậy, dimM  dimR 1.4.2 Mênh đề (i) dimM = -   M = (ii) Nếu N môđun M dimN  dimM, dim(M/N)  dimM (iii) Nếu x  NZD R (M) dim(M/ xM) = dim(M) – 1.5 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun 1.5.1 Định nghĩa (i) Giả sử R vành Ta gọi phổ R tập tất iđên nguyên tố kí hiệu Spec(R) (ii) Giả sử p  Spec(R) iđêan nguyên tố R Ta nói p iđêan nguyên tố liên kết với R - môđun M p linh hố tử mơđun xyclic M, nghĩa tồn v  M \ {0} cho p = (0 : R vR) Tập iđêan nguyên tố liên kết M, kí hiệu AssR (M) (iii) Cho M R - môđun Phần tử x  R gọi ước không môđun M tồn m  M, m  cho xm = Tập tất ước khơng M kí hiệu ZDR(M) ZDR(M) = {x  R /  m  M \ {0} : xm = 0} Tập hợp NZDR(M) = R \ ZDR(M) gọi tập hợp phần tử không ước không môđun M 1.5.2 Mệnh đề Nếu M R môđun N mơđun M (i) ZDR(M) = pAssR ( M ) p; (ii) AssR (N)  AssR (M)  AssR (M / N) AssR (N); (iii) Nếu M mơđun hữu hạn sinh #AssR(M) <  ; (iv) AssR(0) = 1.6 Dãy qui độ sâu (1) Một phần tử a  R gọi phần tử qui M hay M- qui ax  với x  M, x  (2) Dãy phần tử ( x1 , x2 , , xn ) R gọi dãy qui R mơđun M hay cịn gọi M – dãy qui thoả mãn điều kiện: (i) M/(x ,…, x n )M  0; (ii) x i M/ (x ,…, x i1 )M – qui với i = 1, , n Chú ý a  R phần tử qui M x  p,  p  AssM Do (x ,…,x n ) dãy qui M M/(x ,…, x n )M  x i  p,  p  Ass M / (x ,…, x n )M, (i = 1,…, n) Cho I iđêan R (x ,…, x r ) M- dãy qui I Khi (x ,…, x r ) gọi dãy qui cực đại I khơng tồn y  I cho (x ,…, x r , y) dãy qui M Ta biết dãy qui cực đại iđêan I có độ dài gọi độ sâu M iđêan I kí hiệu depth I (M) Đặc biệt I = m depth m M gọi độ sâu M kí hiệu depthM Nếu ( x1 , , xn ) dãy qui M phần hệ tham số M, depthM  dimM 1.7 Môđun Cohen - Macaulay Môđun Cohen - Macaulay suy rộng 1.7.1 Định nghĩa M gọi môđun Cohen - Macaulay depthM = dimM 1.7.2 Mệnh đề M R - môđun Cohen - Macaulay hệ tham số M dãy quy M 1.7.3 Mệnh đề M R - mơđun Cohen - Macaulay ta có: (i) dimR/p = d với p  AssRM; (ii) Nếu x1,…, xi dãy quy M M/(x1,…, xi)M mơđun Cohen - Macaulay; (iii) Mp môđun Cohen - Macaulay với p  SuppM Cho x = (x1,…, xd) hệ tham số M Kí hiệu IM(x) = (M/xM) - e(x; M) Khi IM(x)  Đặt I(M) = supM IM(x) với x chạy tập hệ tham số x M Ta có mệnh đề sau 1.7.4 Mệnh đề Các phát biểu sau tương đương: (i) M R - môđun Cohen - Macaulay; (ii) Tồn hệ tham số x = (x1,…, xd) M để IM(x) = 0; (iii) Với hệ tham số x = (x1,…, xd) M để IM(x) = 0; (iv) I(M) = 1.7.5 Định nghĩa M gọi môđun Cohen - Macaulay suy rộng I(M) <  1.8 Dãy qui lọc Cho (R, m) vành địa phương với iđêan cực đại m, Dãy phần tử x ,…, x n iđêan m gọi dãy qui lọc M x i  p,  p  Ass(M/(x ,…, x i1 )M) \ {m},  i = 1,…, r Cho I iđêan tuỳ ý R thoả mãn dimM/IM > (x ,…, x r ) dãy qui lọc M I Khi (x ,…, x r ) gọi dãy qui lọc cực đại I không tồn y  I cho (x ,…, x r , y) dãy qui lọc M Mọi dãy qui lọc cực đại iđêan I có độ dài Độ dài dãy qui lọc cực đại iđêan I gọi độ sâu lọc M I, kí hiệu f – depth(I, M) 1.9 Môđun đồng điều Koszul Cho x1,…, xs phần tử vành R (s  0), với i  {0, 1,…, n} ta định nghĩa phức K(xi): di   R   R  0 10 di xác định sau: di(r) = rxi,  r  R Khi phức K(x1,…,xs) = K(x1)  …  K(xs) gọi phức Koszul sinh x1,…, xs R, để đơn giản đơi người ta kí hiệu K(x) Nếu s = ta định nghĩa phức Koszul K(xi) = R Cho M R – mơđun, ta kí hiệu phức M  K(x) K(x; M), cần làm rõ số ta viết K(x1,…, xs; M) Ta có phức      Ks(x;M)   Ks-1(x;M)   …   K1(x;M)   K0(x; M)   s Khi mơđun đồng điều thứ p phức thường kí hiệu Hp(x; M) Từ định nghĩa ta thấy rằng: H0(x; M) = M/xM Hs(x; M) = (0:M (x1,…, xs)) Hp(x; M) =  p <  p >s Giả sử x = (x1,…, xs) dãy qui (hoặc dãy qui lọc) M Hp(x; M) = (hoặc (Hp(x; M)) <  ),  p > 1.10 Môđun đối đồng điều địa phƣơng Cho I iđêan vành R Với R – môđun M,đặt I (M )   n 1 (0 :M I n ) = { x  M | n, xI n = 0} Ta có  I ( M ) môđun M Với R - đồng cấu f : M   N, ta có f(  I ( M ) )   I ( N ) Vì  I ( N ) , xác định  I ( f )( x) = f( x ), có R-đồng cấu I ( f ) : I (M )   x   I ( M ) Khi  I hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái từ phạm trù R – mơđun vào phạm trù R – môđun  I gọi hàm tử I – xoắn Với số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i  I kí hiệu H I i gọi hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá I 18   0 đó, e = HIi-1(p) đồng cấu cảm sinh đồng cấu tự nhiên p: M   M/xM,  đồng cấu tự nhiên,  đồng cấu nối,  xác định m +  1 (N) u+N i-1  (m) (với m  HI (M/xM),  xác định xu Ngoài Ker(  ) = e(HIi-1(M)) môđun hữu hạn sinh R Noether, N hữu hạn sinh nên  1 (N) hữu hạn sinh , ta có dãy khớp j-1 j HIj-1(M)   HI (M/xM)   HI (M) , j  Kết HIk(M/xM) hữu hạn sinh với k < i - Vì theo quy nạp ta có T := H I i 1 ( M / xM )  1 ( N ) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết Vì N hữu hạn sinh nên ta có #AssR(N) <  Do hợp hai tập hữu hạn tập hữu hạn nên để chứng minh #AssR (HIi(M)/N) <  , ta chứng minh AssR (HIi(M)/N)  AssR (T) AssR (N) Để làm điều ta lấy p  AssR (HIi(M)/N) \ AssR(T) p  AssR(N) với p  AssR (HIi(M)/N) \ AssR(T), cách chọn phần tử h  HIi(M) hợp lý ta có p = :R R  (h) Xét môđun U :=  1 (R  (h)) T Khi đó, hàng thứ hai sơ đồ giao hoán (*) cho ta dãy khớp    R  (h)    (R  (h))   U   0  đó,  xác định u (**)  (u),  u  U  xác định v  (v),  v  R  (h) Do U mơđun T nên ta có AssR (R  (h))  AssR(U)  AssR (  (R  (h))) 19 Lại do, p  AssR (R  (h)) nên p  AssR (  (R  (h))) Vì  (R  (h)) = R  (  (h)) = R(   )(h) = R(id (x ))(h) = Rxh nên p  AssR(Rxh) Điều chứng tỏ tồn s  R cho p = :R Rxsh Vì x  I HIi(M) I - xoắn nên tồn n  cho xn(xsh) = Do đó, xn  :R Rxsh = p Vì I iđêan nguyên tố nên ta có x  p = :R R  (h) Điều kéo theo xh + N =  (xh) = x  (h) = Do xh  N kéo theo xsh  N Vì p = :R Rxsh nên p  AssR(N) Vậy mệnh đề chứng minh 2.1.15 Hệ Giả sử I iđêan vành Noether R, M R-môđun hữu hạn sinh, i  cho HIj(M) hữu hạn sinh với j  {0, 1, 2,…, i - 1} Khi #AssR(HIi(M)) <  Chứng minh Kết suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.14 2.1.16 Bổ đề Cho I iđêan vành Noether R L R-môđun cho #AssR(L) <  Giả sử với p  AssR(L), tồn np  cho (I n L)p p = Khi đó, InL = với n = max{np / p  AssR(L)} Chứng minh Giả sử x  L tuỳ ý t1, t2, , tr  L cho In x = r  Rt i 1 i Lấy p  AssR(L) Theo cách chọn n ta có (Inx)p  (InL)p  (I n L)p p Do r (  Rti )p = (Inx)p = i 1 Do vậy, với i  {1, 2,…, r} tồn phần tử si,p  R \ p cho si,pti = Đặt 20 n sp = s i 1 i, p Khi đó, sp  R \ p spti = với i = 1, 2,…, r Điều kéo theo spInx = Xét iđêan b :=  pAssR ( L ) Rs p Ta có bInx = Do sp  b, sp  p nên ta có b  p với p  AssR(L) Do tập AssR(L) hữu hạn nên ta có b  p = NZDR(L), với p  AssR(L) Do đó, tồn b  b NZDR(L) Lại bInx  bInx = nên Inx = Mặt khác, x  L tuỳ ý nên ta có điều phải chứng minh 2.1.17 Định lí Giả sử I iđêan vành Noether R, M R-môđun hữu hạn sinh, r  Khi phát biểu sau tương đương: (i) HIi(M) R - môđun hữu hạn sinh với i < r; (ii) HIi(M)p Rp - môđun hữu hạn sinh với i < r p  Spec(R); (iii) HIiR p (Mp) Rp - môđun hữu hạn sinh với i < r p  Spec(R) Chứng minh:(i)  (ii): tính chất địa phương hoá (ii)  (iii): Ta chứng minh HIi(M)p  HIiR p (Mp) Kết suy từ Hệ 2.1.5 (ii)  (i): Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp theo r Với r = HI0(M) =  I (M)  M môđun hữu hạn sinh Ta xét trường hợp r > 1: Theo giả thiết quy nạp ta có HIi(M) mơđun hữu hạn sinh với i < r - Ta cần chứng minh L := HIr-1(M) môđun hữu hạn sinh Theo Định lí 2.1.11, ta hạn chế để I  :R L Do ta tìm phần tử n  cho InL = Theo Mệnh đề 2.1.14, ta có AssR(L) <  Lấy p  AssR(L) Theo giả thiết qui nạp Lp hữu 21 hạn sinh Rp - môđun Do L I-xoắn nên Lp IRp - xoắn Do đó, tồn np  cho (I n L)p = I n Rp Lp = (IRp) n Lp = p p p Áp dụng Bổ đề 2.1.16 ta có điều phải chứng minh 2.1.18 Hệ Giả sử I iđêan vành Noether R, M R-mơđun hữu hạn sinh Khi fa(M) = min{faR p (Mp) p  Spec(R)} = min{faR p (Mp) pVar ( I ) Supp(M)} Chứng minh Theo Định lí 2.1.17 suy điều phải chứng minh 2.2 Dãy qui I - lọc 2.2.1 Định nghĩa Cho I iđêan vành R x1, x2,…, xn dãy phần tử thuộc iđêan I Khi x1, x2,…, xn gọi dãy quy I – lọc M  ( x1 , , xi 1 ) M :M xi    V(I)  ( x1 , , xi 1 ) M  Supp  với i = 1,…, n; V(I) tập iđêan nguyên tố chứa I 2.2.2.Nhận xét (i) Từ định nghĩa ta thấy dãy phần tử x1, x2,…, xn I gọi dãy quy I – lọc M với i = 1,…, n ta ln có xi  P với P  AssM/(x1, x2,…, xn )M thoả mãn tính chất P  I (ii) Nếu  R, M  vành địa phương với iđêan cực đại M dãy qui M - lọc khái niệm qui lọc (hay gọi f dãy) đưa N T Cường, P Shenzel N V Trung [5] Do dãy qui I - lọc khái qt hố khái niệm dãy qui lọc 22 Mệnh đề sau cho thấy với số ngun dương n ln tồn dãy qui I - lọc M có độ dài n Điều chứng tỏ độ dài dãy qui I - lọc vơ hạn 2.2.3 Mệnh đề Giả sử x1, x2,…, xn dãy qui I - lọc M, i = 1, 2, …, n Khi ln tồn phần tử y  I cho x1, x2,…, xn, y dãy qui I - lọc M Chứng minh Nếu HI0(M) = M ta chọn tuỳ ý phần tử y  I Nếu HI0(M)  M HI0(M/HI0(M)) = Suy depth(M/HI0(M)) > Do tồn phần tử y  I M/HI0(M) - qui  x1, x2,…, xn, y dãy qui I - lọc M 2.2.4 Định nghĩa Một dãy phần tử x1, x2,…, xn gọi dãy qui I - lọc hốn vị M x1, x2,…, xn dãy qui I - lọc M với hốn vị 2.2.5 Mệnh đề Nếu x1, x2,…, xn dãy qui I - lọc hốn vị M tồn phần tử xn +  I cho x1, x2,…, xn, xn + dãy qui I - lọc hoán vị M Chứng minh Nếu r = ta chọn tuỳ ý phần tử x1  I\ pAss ( M )\V ( I ) p Nếu r  Đặt S := {p : p  Ass(M/(  Rxi )M) iI giả sử xn +  I\ pS \V ( I ) p Giả sử y1,…, yn + dãy hoán vị x1, x2,…, xn , xn + Giả sử yl = xn + với  l  n + Bây với i = 1,… ,n + 1, yi  p p  Ass(M/(  Rxi )M)\ V(I) Theo giả thiết với số nguyên dương iI i, + l  i  n + p  Ass(M/(  Rxi )M)\ V(I) cho yi  p Khi ta có iI dãy y1,…, yl,…, yi,…, yn+1 dãy qui I - lọc M Bây ta có 23 yj y y y y y1 y , , i , , n 1 , với  pRp Mp - dãy Cho nên , , i , , n 1 1 1 1 i 1 Mp - dãy Suy pRp  Ass(Mp/(  y j )Mp) j 1 2.2.6 Mệnh đề Giả sử I iđêan vành R x1,…, xn dãy phần tử I Khi mệnh đề sau tương đương: (i) x1, …, xn dãy qui I – lọc M; (ii) x x1 , , n Rp Mp- dãy nghèo,  p  Supp(M) \ V(I), i = 1,…, n; 1 (iii) x1t , , xnt dãy qui I – lọc M,  t1,…, tn  n Chứng minh: (i)  (ii) Ta cần chứng minh trường hợp r = phương pháp quy nạp suy kết luận Với r = ta chứng minh : * x1 phần tử quy Mp,  p  Supp(M) \ V(I) mà x1  p, * x1  p,  p  Ass(M) \ V(I) Thật vậy, M R-môđun hữu hạn sinh R vành Noether nên M Rmôđun Noether nên tồn n0  cho 0:M (V(I))n = 0:M (V(I)) n n Đặt M’ = 0:M (V(I)) n Ta có (V(I)) n M’ = Suy 0 M’  V(I).M’  (V(I))2.M’  …  (V(I)) n 1 M’  (V(I)) n M’ = Do (0:M (V(I)) n ) = 0 ’ RM <  Mặt khác x1 phần tử quy lọc nên theo định nghĩa dãy quy lọc ta có :M x1  0:M (V(I)) n suy AssR (0 :M x1)  V(I) Do SuppR (0 :M x1)  V(I) Suy p  V(I) p  SuupR (0 :M x1)  (0 : x1)p = Giả sử p Ass(M) \ V(I), x1  p, từ (*) ta có (*) 24 (0 : x1)p  (< : x1 >)p = 0p :< x1 >p = :  :M p   Do x1 Rp x1 Rp = x1 phần tử quy Mp x1  pRp,  pRp  AssMp x1  pRp nên pRp  AssMp suy p  AssMp điều mâu thuẫn với p Ass(M) \ V(I) Vậy x1  p, p  Ass(M) \ V(I) Kết sau chứng minh [9,3.4] 2.2.7 Mệnh đề Giả sử x1,…, xn (n>1) dãy chinh qui I – lọc M Khi ta có đẳng cấu i   H ( x1 , , xn ) ( M ),  i  n Ha (M)   i n n H ( H ( M )), n  i  a ( x , , x ) n  i 2.2.8 Định nghĩa Giả sử I iđêan vành Noether R, M R – môđun Một dãy phần tử x1,…, xn iđêan I gọi M- dãy I – yếu với i = 1,…, n ta có (x1,…, xi-1).M :M xi = (x1,…, xi-1).M : M I 2.2.9 Chú ý (i) Cho I iđêan vành Noether R, M R – môđun Nếu dãy phần tử x1,…, xn iđêan I M- dãy I – yếu x1,…, xn dãy qui I - lọc (ii) Cho (R,m) vành địa phương, M R - môđun hữu hạn sinh Khi M mơđun Cohen - Macaulay suy rộng tồn k cho hệ tham số M M - dãy mk - yếu 25 2.3 Dãy qui I - lọc tính hữu hạn sinh mơđun đối đồng điều địa phƣơng 2.3.1 Bổ đề Giả sử n, k số nguyên cho IkHIi(M) = 0, với i = 0, 1, …, n-1 Khi với j cố định,  j < n, I  j HIi(M/(x1,…, xj)M) = 0, với i = 0, 1,…, n-j-1 x1,…, xn dãy qui I – lọc M  j = 3jk Chứng minh Để chứng minh bổ đề ta sử dụng phương pháp qui nạp j  Với j = ta có  = 30k = k  Giả sử bổ đề với  j (0  j < n), kết chứng minh cho giá trị nhỏ j Giả sử x1,…, xn dãy qui I – lọc M Đặt Mj-1 = M/(x1,…, xj-1)M, ý xj dãy qui I – lọc Mj-1.Theo mệnh đề 2.2.7, ta có HI0(Mj-1)  H x (Mj-1) Bây từ giả thiết j qui nạp ta có HI0(Mj-1) = 0: M j 1 xj  j 1 Xét dãy khớp ngắn     Mj-1  (0 :M x j )  j 1 j 1 M j 1 :M j1 x j  j 1   Theo giả thiết ta có I  j 1 HIi( M j 1 :M j1 x j  j 1 ) = 0,  i = 0, 1,…., n-j Từ ta có dãy khớp ngắn   M j 1 :M j1 x j j   M j 1 x  j 1 :M j1 x j    j 1 M j 1 (0 :M j1 x j  j 1 )  x j M j1 với  i = 0, 1,…, n-j, I  j 1 HIi( M j 1 (0 :M j1 x j  j 1 )  x j M j 1 )=0   0, 26 với dãy khớp ngắn   (0 :M j1 x j  j 1 )  x j M j 1 x j M j 1   M j 1 x j M j 1   M j 1 (0 :M j1 x j  j 1 )  x j M j 1   Từ suy I  j 1 HIi(Mj-1/xjMj-1) = 0,  i = 0, 1,…, n - j - Như ta có  j  3 j 1 = 3.3j-1k = 3jk Định lí sau kết [7] 2.3.2 Định lí Cho I iđêan vành Noether R, M R - môđun hữu hạn sinh, n số nguyên dương, mệnh đề sau tương đương: (i) HIj(M) R - môđun hữu hạn sinh với  j < n; (ii) Tồn số nguyên k cho IkHIj(M) = 0,  j < n; (iii) Tồn số nguyên k cho tất dãy qui I – lọc M có độ dài n M - dãy I k- yếu; (iv)Với số nguyên k x1,…, xn  I k cho x1 , , xn M- dãy I k- yếu, n với 1 , ,  n  {1, 2}; (v) Tồn số nguyên k cho I kHp(x1,…, xr, M) = 0, với x1,…, xr dãy qui I – lọc M (1  r  n) với p > 0, Hp(x1,…, xr, M) môđun đồng điều Koszul thứ p M x1,…, xr Chứng minh (i)  (ii) Chính Hệ 2.1.13 (ii)  (iii) Giả sử x1,…, xn dãy qui I – lọc M Theo Bổ đề 2.3.1, ta xét dãy tăng số nguyên 0  1    n1 cho I  j 1 HI0( M ) = 0,  j = 0, 1,…, n – ( x1 , , x j ) M Đặt k =  n1 Do  j = 0, 1,…, n – dãy phần tử xj+1 phần tử qui I – lọc M , ta có phép nhúng ( x1 , , x j ) M 27 ( x1 , , x j ) M :M x j 1   HI (M/(x1,…, xj)M) ( x1 , , x j ) M Từ suy điều phải chứng minh (iii)  (iv) Giả sử x1,…, xn dãy qui I k- lọc M Do x1,…, xn dãy qui I – lọc theo chứng minh (i)  (iii) Mệnh đề 2.2.6 ta suy điều cần chứng minh (iv)  (ii) Từ giả thiết x1 1 M - dãy I k – yếu,   {1, 2}, ta kiểm tra HI0(M)  0:Mx1 Như I kHI0(M) = mệnh đề với j = Bây giờ, chứng minh qui nạp với số nguyên j (1  j < n) giả sử mệnh đề với số nguyên nhỏ j Chú ý x1 ước M x1 1 ,…, xn  n :M x1 M - dãy I :M x1 k – yếu, với j j  M   1 , ,  n  {1, 2} Hơn có HI (M)  HI   , với j > Do  :M x1  khơng tính tổng quát có giả thiết qui nạp x1 ước không M Do x1 1 ,…, xn  n M – dãy I k – yếu, với 1 , ,  n  {1, 2}, suy theo giả thiết qui nạp  M   =  x1 M  I kHIj-1  Từ dãy khớp ngắn x  M   M    M   x12 M ta có dãy khớp dài  M  x1 M  H I j 1  …  Do ta có  x12  H I j ( M )   H I j ( M )   …    28  M   0: H I j ( M ) x1    x1 M  HIj  Từ suy I k(0: H I j (M ) x12) = Do x1  I k, ta có HIj(M) = HI0(HIj(M)) = 0: H I j (M ) I k Suy điều cần chứng minh (iii)  (v) Ta chứng minh qui nạp theo r Với r = 1, giả sử x1 phần tử qui I – lọc M Khi H1(x1, M) = 0:Mx1 Do I kH1(x1, M) = Bây giờ, giả sử < r  n mệnh đề với số nguyên dương nhỏ r Giả sử x1, …, xr dãy chinh qui I – lọc M Xét dãy khớp dài  H p ( x1 , , xr 1 , M )   H p ( x1 , , xr , M )   H p 1 ( x1, , xr 1, M ) …  p1 ( 1) xr   H p 1 ( x1 , , xr 1 , M )   Theo giả thiết qui nạp với p > ta có I 2kHp(x1, …, xr,M) = Từ dãy khớp dài ta có dãy khớp sau H1(x1,…, xr-1, M)   H1(x1,…, xr, M)   0: H ( x1 , , xr 1 , M )xr   Do 0: H ( x1 , , xr 1 , M ) xr  ( x1 , , xr 1 ) M :M xr ( x1 , , xr 1 ) M nên 0: H ( x1 , , xr 1, M ) xr bị triệt tiêu I k Do I 2k H1(x1,…, xr, M) = 29 (v)  (ii) Giả sử x1,…, xn dãy qui I – lọc M Từ giả thiết ta suy với 1 , ,  n  , I kHp( x1 , , xn , M ) = 0,  p > Do I k H j ( x , , x ) (M ) = 0, n n  j < n Vì từ Mệnh đề 2.2.7, ta suy điều phải chứng minh 2.3.4 Chú ý Cho p  SuppM, M - độ cao iđêan kí hiệu htMp xác định sau htMp = dimR p Mp Cho (R, m) vành địa phương Noether với iđêan cực đại m; M R - môđun hữu hạn sinh Trong [5], N T Cường, N V Trung P Schenzel chứng minh M R - môđun Cohen - Macaulay suy rộng tồn số nguyên k cho hệ tham số M M dãy mk - yếu Do từ Định lý 2.3.4, ta có hệ sau 2.3.5 Hệ Giả sử m iđêan cực đại R Khi điều kiện sau tương đương: (i) Hmi(M) R - môđun hữu hạn sinh với i < htMm; (ii) Mm Rm – môđun Cohen – Macaulay suy rộng; (iii) Tồn k  cho dãy qui m – lọc M có chiều dài htMm M – dãy mk – yếu; (iv) Tồn k  cho mkHp(x1,…, xr, M) = 0, với dãy qui m - lọc x1,…, xr M (1  r  htMm)  p >0 30 KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn này, chúng tơi trình bày cách tường minh kết báo [7] K Khashyarmanesh and Sh Salarian Cụ thể hồn thành nội dung sau Tính hữu hạn sinh mơđun đối đồng điều địa phương chủ yếu theo [4] số tài liệu liên quan khác Khái niệm số tính chất dãy qui I - lọc Khái niệm khái quát hoá khái niệm dãy qui lọc (f - dãy) đưa N T Cương, P Schezel and N V Trung năm 1978 Mối liên hệ dãy qui I - lọc tính hữu hạn sinh môđun đối đồng điều địa phương Đây kết báo [7] 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIÊNG VIỆT [1] Nguyễn Thị Phượng (2009), Về dãy qui lọc, Luận văn thạc sỹ tốn học, Trường Đại học Vinh [2] Trần Anh Tuấn (2006), Dãy qui suy rộng mơđun vành giao hốn, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh [3] Nguyễn Hữu Tuấn(2007), Một số tính chất môđun đối đồng điều địa phương, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh TIẾNG ANH [4] M Brodmann (2005), Four lectures on local cohomolory, Proceedings of the international workshop on commutative algebra and algebraic algeometry, Dept of Mathematics St.Joseph’s College, Irinjalakuda, Kerala, India [5] N.T.Cuong, P.Schezel and N.V.Trung (1978), Verallgemeinerte Cohen Macaulay-Moduln, Math, Nachr, 85,57-73 [6] A.Grothendieck(1967), Local Cohomology (notes by R.Hartshorne), Lecture Notes in Math, Vol 41 (Springer – Verlag) [7] K Khashyarmanesh and Sh.Salarian(1998), Filter regular sequences and the Finiteness of local cohomology modules, Communications in algebra, 26(8),2483 – 2490 32 [8] K.Khashyarmanesh and Sh.Salarian(1999), On the associated primes of local cohomology modules, Communications in algebra,27(12), 61916198 [9] U.Nagel and P.Schenzel, (1994) Cohomological annihilators and Castelnuovo Mumford regularity, Commutative algebra: Syzygies, multiplicities, and birational algebra (South Hadley, MA, 1992) 307 - 328, Contemp Math Providence, RI [10] J.Stuckrad and W.Vogel (1986), Buchsbaum rings and Applycations, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin ... 1.10 Môđun đ? ?i đồng ? ?i? ??u địa phương? ??………………………… Chƣơng Dãy qui I- lọc tính hữu hạn sinh mơđun đ? ?i đồng ? ?i? ??u địa 10 10 19 phương? ??……………………………………… 2.1 .Tính hữu hạn sinh môđun đ? ?i đồng ? ?i? ??u địa phương? ??……... Chứng minh (i)  (ii) Vì HIi(M) I- xoắn hữu hạn sinh v? ?i i < r nên tồn n  cho InHIi(M) = Do I  (ii)  (i) : Giả sử I  cho In i  ni  :R H I i ( M ) v? ?i i < r :R H I i ( M ) v? ?i i < r Khi v? ?i i... M R-mơđun hữu hạn sinh, r  Khi phát biểu sau tương đương: (i) HIi(M) R - môđun hữu hạn sinh v? ?i i < r; (ii) HIi(M)p Rp - môđun hữu hạn sinh v? ?i i < r p  Spec(R); (iii) HIiR p (Mp) Rp - môđun