Một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điệu địa phương

1 Mở đầu Trong toàn luận văn giả thiết R vành Noether, giao hoán, có đơn vị R-mod phạm trù R-môđun Như biết, Lí thuyết Đối đồng điều địa phương Grothendiek[3] đóng vai trò quan trọng Hình học đại số ngày có nhiều ứng dụng Đại số giao hoán Cho I iđêan vành giao hoán, có đơn vị, Noether R Xét hàm tử xoắn ΓI xác định sau (0 :M I t ) ΓI (M ) = t≥0 với R-môđun M Khi đó, ΓI hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái phạm trù R-môđun Hàm tử dẫn xuất phải thứ i hàm tử ΓI gọi hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i iđêan I kí hiệu HIi Cho M R-môđun Khi đó, HIi (M ) gọi môđun đối đồng điều địa phương thứ i M có giá I Mục đích luận văn nghiên cứu tính chất môđun đối đồng điều địa phương, tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương thông qua đưa số tính chất địa phương hóa tính hữu hạn tập iđêan liên kết HIi (M ) Các kết luận văn viết dựa theo [2], [3] số tài liệu khác có liên quan Ngoài phần Mở đầu phần Kết luận, luận văn chia làm chương Chương thứ trình bày (không chứng minh) kiến thức sở Đại số giao hoán liên quan đến kết chứng minh luận văn với mục đích giúp người đọc dễ theo dõi nội dung luận văn Chương 2, trình bày môđun xoắn, hàm tử xoắn, hàm tử đối đồng điều địa phương tính chất chúng Chương 3, trình bày môđun đối đồng điều địa phương, tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương, địa phương hóa tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết AssR (HIi (M )) môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) Luận văn hoàn thành vào tháng 11 năm 2007 hướng dẫn, dạy tận tình cô giáo, TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Đồng thời xin cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, Sở GD ĐT tỉnh Thanh Hóa, trường THPT Yên Định I, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu Vinh, tháng 11 năm 2007 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại (không chứng minh) số kiến thức sở phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau 1.1 Biến đổi tự nhiên Cho F, G : C −→ D hai hàm tử hiệp biến từ phạm trù C đến phạm trù D Một biến đổi tự nhiên θ : F −→ G cho bởi: ∀C ∈ ob(C), ta có cấu xạ θC : F (C) −→ G(C) cấu xạ phạm trù D cho với cặp vật C, C phạm trù C ta có biểu đồ giao hoán sau F (C)  θC / G(C) F (f ) F (C ) θC /  G(f ) G(C ) với cấu xạ f : C −→ C Đặc biệt, θC : F (C) −→ G(C) đẳng cấu xạ phạm trù D θ gọi đẳng cấu tự nhiên Khi ∼ = ta nói hai hàm tử F G tương đương tự nhiên kí hiệu F → − G 1.2 Hàm tử khớp Cho F : R-mod −→ R-mod hàm tử hiệp biến từ phạm trù Rmôđun đến phạm trù R-môđun Khi (i) Hàm tử F gọi hàm tử khớp trái từ dãy khớp R-môđun −→ A −→ B −→ C −→ ta có dãy khớp R-môđun −→ F (A) −→ F (B) −→ F (C) −→ (ii) Hàm tử F gọi hàm tử khớp phải từ dãy khớp R-môđun −→ A −→ B −→ C −→ ta có dãy khớp R-môđun −→ F (A) −→ F (B) −→ F (C) −→ (iii) Hàm tử F gọi hàm tử khớp vừa khớp trái, vừa khớp phải 1.2.1 Nhận xét Cho F : R-mod −→ R-mod hàm tử hiệp biến từ phạm trù R-môđun đến phạm trù R-môđun Khi (i) Hàm tử F hàm tử khớp trái từ dãy khớp ngắn R-môđun −→ A −→ B −→ C −→ ta có dãy khớp R-môđun −→ F (A) −→ F (B) −→ F (C) (ii) Hàm tử F hàm tử khớp phải từ dãy khớp ngắn R-môđun −→ A −→ B −→ C −→ ta có dãy khớp R-môđun F (A) −→ F (B) −→ F (C) −→ (iii) Hàm tử F gọi hàm tử khớp vừa khớp trái, vừa khớp phải 1.3 Lời giải nội xạ 1.3.1 Định nghĩa (i) Một đối phức R-môđun I · : −→ I −→ I −→ I −→ gọi đối phức nội xạ I j môđun nội xạ với j (ii) Cho M R-môđun Một lời giải nội xạ M đối phức nội xạ I · với R-đồng cấu α : M −→ I cho dãy sau khớp / M α / / I0 / I1 / I· Kí hiệu lời giải nội xạ M M / I2 1.3.2 Định lí Cho M R-môđun Khi M có lời giải nội xạ 1.3.3 Định lí Cho M , N R-môđun f : M −→ N R-đồng cấu Giả sử N −→ I · lời giải nội xạ N Khi lời giải nội xạ M −→ E · M tồn cấu xạ f : E · −→ I · nâng f , tức ta có biểu đồ giao hoán sau / / / M  f / N / E0  f0 / I0 / E1  f2 / I1 / E2  f3 / I2 cấu xạ f xác định theo nghĩa sai khác đồng luân 1.4 Hàm tử dẫn xuất phải 1.4.1 Định nghĩa Giả sử F : R-mod −→ R-mod hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái phạm trù R-môđun Cho M R-môđun Khi tồn lời giải nội xạ M α / I0 d0 / I1 d1 / I2 d2 / Ta có đối phức · F (I ) : / F (I ) F (d0 ) F (d1 ) F (d2 ) / F (I ) / F (I ) / Hàm tử dẫn xuất phải R· F F họ hàm tử R· F = Ri F ∞ i=0 xác định Ri F (M ) = H i (F (I · )), H i (F (I · )) = KerF (di )/ImF (di−1 ) 1.4.2 Định lí Ri F (M ) không phụ thuộc vào việc chọn lời giải nội xạ R-môđun M 1.4.3 Định lí R· F δ-hàm tử đối đồng điều, nghĩa hai điều kiện sau thỏa mãn (i) Giả sử −→ M −→ N −→ P −→ dãy khớp ngắn R-môđun Khi đó, tồn đồng cấu nối δ i cho ta có dãy khớp dài / R0 F (M ) / / R1 F (N ) / R0 F (P ) δ0 / Ri+1 F (M ) / R0 F (N ) / Ri F (P ) δi / / / R1 F (M ) Ri+1 F (N ) / / (ii) Giả sử / M  / M / N  / N / / P  P biểu đồ giao hoán R-môđun hàng khớp Khi đó, ta có biểu đồ giao hoán sau với hàng khớp ∀i ∈ N / / Ri F (M ) i /  / R F (M ) Ri F (N ) i /  R F (N ) / Ri F (P ) i / Ri+1 F (M )  R F (P ) / R i+1 /  F (M ) / 1.4.4 Mệnh đề Ri F (Q) = 0, ∀i = Q môđun nội xạ ∼ = 1.4.5 Mệnh đề R0 F − → F Do R0 F hàm tử khớp trái 1.4.6 Định lí R· F = Ri F ∞ i=0 δ-hàm tử đối đồng điều phổ dụng, nghĩa R· F δ-hàm tử thỏa mãn tính chất phổ dụng sau: Nếu S = (Sn )n≥0 δ-hàm tử f0 : S0 −→ R0 F biến đổi tự nhiên tồn cấu xạ f = (fn )n≥0 hai δ-hàm tử R· F S nâng f 1.4.7 Mệnh đề Giả sử R, R vành giao hoán; F hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái từ phạm trù R-mod vào phạm trù R -mod Cho Fi i∈N δ-hàm tử đối đồng điều, hiệp biến từ phạm trù R-mod vào phạm trù R -mod cho tồn tương đương tự nhiên ϕ : F ∼ = / F F i (Q) = 0, ∀i ∈ N với R-môđun nội xạ Q Khi tồn đẳng cấu ψ = (ψ i )i∈N : (F i )i∈N ∼ = / (Ri F )i∈N cho ψ = ϕ 1.5 Iđêan nguyên tố liên kết 1.5.1 Định nghĩa.(i) Giả sử R vành Ta gọi phổ R tập tất iđêan nguyên tố R kí hiệu Spec(R) (ii) Giả sử p ∈ Spec(R) iđêan nguyên tố R Ta nói p iđêan liên kết với R-môđun M p linh hóa tử môđun xyclic M , nghĩa tồn v ∈ M \ {0} cho p = (0 :R vR) Tập iđêan nguyên tố liên kết M , kí hiệu AssR (M ) (iii) Cho M R-môđun Phần tử x ∈ R gọi ước không môđun M tồn m ∈ M, m = cho xm = Tập tất ước không M kí hiệu ZDR (M ) Vậy ZDR (M ) = {x ∈ R | ∃m ∈ M \ {0} : xm = 0} Tập hợp N ZDR (M ) = R \ ZDR (M ) gọi tập hợp phần tử không ước không môđun M 1.5.2 Mệnh đề Nếu M R-môđun N môđun M (i) ZDR (M ) = p∈AssR (M ) p (ii) AssR (N ) ⊆ AssR (M ) ⊆ AssR (M/N ) ∪ AssR (N ) (iii) Nếu M môđun hữu hạn sinh AssR (M ) < ∞ (iv) AssR (0) = ∅ 1.6 Dãy quy độ sâu 1.6.1 Định nghĩa Cho M R-môđun hữu hạn sinh (i) Một dãy x1 , x2 , , xr phần tử R gọi dãy quy M hay gọi M -dãy i−1 xi ∈ N ZDR (M/ xj M ), ∀i = 1, , r j=1 Trường hợp đặc biệt, x = xj M -dãy x ∈ N ZDR (M ) Khi ta nói x phần tử quy M Ta quy ước xj M = j=1 (ii) Giả sử x1 , x2 , , xr M -dãy r gọi độ dài dãy (iii) Cho I iđêan vành R cho IM = M x1 , x2 , , xr M -dãy I Khi x1 , x2 , , xr gọi dãy quy cực đại I không tồn x ∈ I cho x1 , x2 , , xr , x dãy quy M Ta biết dãy quy cực đại iđêan I có độ dài Độ dài dãy quy cực đại iđêan I kí hiệu gradeM (I) Khi I ⊆ ZDR (M ) gradeM (I) = M = grade0 (I) = ∞ (iv) Giả sử (R, m) vành địa phương, Noether M hữu hạn sinh Khi đó, gradeM (m) gọi độ sâu M kí hiệu depthM (hoặc depthR M ) (v) Cho I iđêan vành R Khi đó, hạng số học (arithmetical rank) I kí hiệu ara(I), số tự nhiên nhỏ r cho tồn √ r a1 , a2 , , ar ∈ R để I Nghĩa i=1 R =   r  √  ara(I) = r | ∃a1 , a2 , , ar ∈ R : R = I   i=1 Chú ý ara(I) = ⇔ √ I= √ 1.6.2 Bổ đề Nếu x1 , x2 , , xr ∈ R, s ∈ {1, 2, , r − 1} M R-môđun (i) x1 , x2 , , xr M -dãy x1 , x2 , , xs M -dãy xs+1 , xs+2 , , xr M/ s l=1 xl M -dãy (ii) x1 , x2 , , xr M -dãy x1 ∈ N ZDR (M ) x2 , , xr M/x1 M -dãy 1.7 Chiều Krull vành môđun 1.7.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán Một dãy iđêan nguyên tố R p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ⊃ pn gọi xích nguyên tố có độ dài n (i) Cho p iđêan nguyên tố R Cận tất độ dài xích nguyên tố với p0 = p gọi độ cao p, kí hiệu ht(p) Nghĩa ht(p) = sup độ dài xích nguyên tố với p0 = p Cho I iđêan R, ta định nghĩa ht(I) = inf {ht(p) | p ∈ Spec(R), p ⊇ I} (ii) Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dimR Ta có dimR = sup {ht(p) | p ∈ Spec(R)} (iii) Cho M R-môđun Khi dim(R/AnnR M ) gọi chiều Krull môđun M kí hiệu dimR M ( dimM ta không để ý đến vành R) Như vậy, dimR vô hạn ht(p) vô hạn dimM ≤ dimR 1.7.2 Mệnh đề (i) dim(M ) = −∞ ⇔ M = (ii) Nếu N môđun M dim(N ) ≤ dim(M ), dim(M/N ) ≤ dim(M ) (iii) Nếu x ∈ N ZDR (M ) dim(M/xM ) = dim(M ) − 1.8 Giới hạn thuận Cho (I, ≥) tập thứ tự có tính chất định hướng Cho (Mα )α∈I họ R-môđun Họ gọi hệ thuận với 10 α ≤ β, (α, β ∈ I) có đồng cấu ϕαβ : Mα −→ Mβ thỏa mãn tính chất sau: (i) ϕαα = 1dMα (ii) Với ∀α ≤ β ≤ γ, (α, β, γ ∈ I) ta có biểu đồ giao hoán sau: Mα C CC CC ϕαγ CCC! ϕαβ Mγ /M β ϕβα } Ta xét tập M∞ = Mα α∈I hợp rời tập Mα Từ Mα ta xác định quan hệ ∼ sau: Với ∀x, y ∈ M∞ , x ∼ y ⇔ x ∈ Mα , y ∈ Mβ tồn γ ≥ α, α ≥ β để ϕαγ (x) = ϕβγ (y) Với cách xác định quan hệ ∼ ta có quan hệ ∼ quan hệ tương đương Đặt Mα / ∼:= lim Mα − → α gọi giới hạn thuận hệ thuận (Mα )α∈I 31 (i) IM = M (ii) HIi (M ) = 0, ∀i ∈ N (iii) gradeM (I) = ∞ Chứng minh Theo Định lí 3.2.3, cần chứng minh (i) ⇔ (ii) (i) ⇒ (ii) : Giả sử IM = M Vì M hữu hạn sinh nên tồn a ∈ I cho (1 − a)M = Do đồng cấu (1 − a)· : M −→ M m −→ (1 − a)m, ∀m ∈ M đồng cấu không Điều kéo theo với i ∈ N, đồng cấu (1 − a)· : HIi (M ) −→ HIi (M ) đồng cấu không Cố định i ∈ N giả sử HIi (M ) = Chọn m ∈ HIi (M ) \ {0} Vì HIi (M ) I-xoắn nên tồn n ∈ N cho I n m = Lại a ∈ I nên an m = Chọn n phần tử bé N cho an m = Ta có an−1 m = an−1 m − an m = an−1 (1 − a)m = Điều mâu thuẫn với giả thiết n phần tử bé N cho an m = Do HIi (M ) = (ii) ⇒ (i) : Giả sử ngược lại tồn R-môđun hữu hạn sinh M thoả mãn điều kiện IM = M HIi (M ) = 0, ∀i ∈ N (∗) Kí hiệu M tập tất môđun N M cho M/N thoả mãn (∗) Vì M thoả mãn (∗) nên môđun thuộc M Do M = ∅ Lại M hữu hạn sinh nên M Noether M có phần tử tối đại Ta kí hiệu phần tử tối đại M N Khi M := M/N thoả mãn (∗), M /U không thoả mãn (∗) với môđun U khác môđun không M Vì M hữu hạn sinh nên M hữu hạn sinh lại HI0 (M ) = nên tồn x ∈ I ∩ N ZDR (M ) Vì IM = M nên ta có M = Do x ∈ N ZDR (M ) 32 nên điều kéo theo xM = Do vậy, M /xM không thoả mãn (∗) Vì x ∈ I IM = M nên ta có I(M /xM ) = M /xM Vì M /xM không thoả mãn (∗) nên ta tìm i ∈ N cho HIi (M /xM ) = Ta có dãy khớp HIi (M ) −→ HIi (M /xM ) −→ HIi+1 (M ) Do HIi (M /xM ) = nên HIi (M ) = HIi+1 (M ) = 0, vô lý Vậy M không thoả mãn (∗) 3.2.5 Định lí Giả sử I iđêan vành Noether R M R-môđun hữu hạn sinh Khi HIi (M ) = 0, ∀i > dim(M ) Chứng minh Nếu M = dim(M ) = −∞, IM = M nên theo Mệnh đề 3.2.4, ta có điều phải chứng minh Nếu M = Khi dim(M ) ≥ Ta chứng minh định lí phương pháp quy nạp theo d := dim(M ) Với d = 0, ta cần HIi (M ) = 0, ∀i > Đặt M := M/ΓI (M ) Do H i (M ) ∼ = H i (M ), ∀i > nên để chứng minh H i (M ) = 0, ∀i > ta cần I I I chứng minh HIi (M ) = 0, ∀i > Vì M := M/ΓI (M ) nên ta có ΓI (M ) = Do HI0 (M ) = Vì tồn x ∈ I ∩ N ZDR (M ) Ta có dim(M ) ≤ dim(M ) = ⇒ dim(M /xM ) ≤ − ⇒ M /xM = ⇒ xM = M Vì x ∈ I nên IM = M Do đó, HIi (M ) = 0, ∀i ∈ N ⇒ HIi (M ) = 0, ∀i > Bây ta xét d = dim(M ) > Ta cần HIi (M ) = 0, ∀i > d Do H i (M ) ∼ = H i (M ) nên ta cần H i (M ) = 0, ∀i > d Đặt I I I 33 M := M/ΓI (M ), ta có dim(M ) ≤ dim(M ) = d Nếu dim(M ) < d theo quy nạp ta có HIi (M ) = 0, ∀i > dim(M ) Do đó, HIi (M ) = 0, ∀i > d Nếu dim(M ) = d tồn x ∈ I ∩ N ZDR (M ) Do ta có dim(M /xM ) ≤ dim(M ) − = d − < d Mặt khác, ta có dãy khớp / HIj (M /xM ) δj / HIj+1 (M ) x˙ / HIj+1 (M ) / ⇒ x˙ : HIi (M ) −→ HIi (M ) đơn ánh với i > d Vì x ∈ I, nên HII (M ) = 0, ∀i > d Vậy định lí chứng minh Một vành gọi vành địa phương có iđêan tối đại Hệ sau cho thấy (R, m) vành địa phương, Noether M R-môđun hữu hạn sinh môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) khác không với số nguyên i thỏa mãn depthM ≤ i ≤ dimM Chú ý (R, m) vành địa phương, Noether M hữu hạn sinh, gradeM (m) gọi độ sâu M kí hiệu depthM (hoặc depthR M ) 3.2.6 Hệ Cho (R, m) vành địa phương, Noether; M = Rmôđun hữu hạn sinh Khi đó, Hmi (M ) = số nguyên i phải thỏa mãn depthM ≤ i ≤ dimM Chứng minh Đây hệ trực tiếp Định lí 3.2.3 Định lí 3.2.5 3.2.7 Hệ Cho (R, m) vành địa phương, Noether M R-môđun hữu hạn sinh Khi Hm0 (M ) = ⇔ depthM > Chứng minh Kết hoàn toàn suy từ Định nghĩa 1.6.1 Định lí 3.2.3 Giả sử p iđêan nguyên tố vành R, M R-môđun Khi S = R−p tập nhân đóng R Trong trường hợp ta viết Rp thay cho S −1 R Mp thay cho S −1 M Việc chuyển từ vành R đến vành Rp gọi 34 địa phương hóa iđêan nguyên tố p Khi a ∈ R S = {an | n ≥ 0}, ta kí hiệu Ra thay cho S −1 R Ma thay cho S −1 M 3.2.8 Bổ đề Nếu I iđêan sinh phần tử a ∈ R M R-môđun HIi (M ) = 0, ∀i > Chứng minh Đặt M = M/ΓI (M ) ηa : M −→ Ma đồng cấu tự nhiên m xác định : m −→ , ∀m ∈ M Khi Ker(ηa ) = {m ∈ M | ∃n ∈ N : an m = 0} = ΓI (M ) Do tồn dãy khớp ngắn / M η / / Ma / Ma /η(M ) η xác định m + ΓI (M ) −→ ηa (m) Ta có dãy khớp sau HIj (Ma /η(M )) δj / HIj+1 (M ) / HIj+1 (Ma ) / HIj+1 (Ma /η(M )) (3.1) Do Ma /η(M ) I-xoắn nên ta có HIk (Ma /η(M ) = 0, ∀k > Do đó, từ dãy khớp (3.1), ta có H i (M ) ∼ = H i (Ma ), ∀i > Lại H i (M ) ∼ = H i (M ), ∀i > 0, I I I I i nên ta cần HI (Ma ) = 0, ∀i > Vì a˙ : Ma −→ Ma dẳng cấu nên a˙ : HIi (Ma ) −→ HIi (Ma ) đẳng cấu Kết hợp với a ∈ I HIi (Ma ) I-xoắn ta suy HIi (Ma ) = 0, ∀i > 3.2.9 Chú ý Giả sử I, J iđêan vành Noether R M R-môđun Khi tồn dãy khớp / / HI+J (M ) HI+J (M ) / / / H (M ) I i HI+J (M ) / HI0 (M ) ⊕ HJ0 (M ) i+1 HI+J (M ) / ⊕ HJ1 (M ) HIi (M ) ⊕ HJi (M ) / H i+1 (M ) I / / H (M ) I∩J HI∩J (M ) / / i HI∩J (M ) ⊕ HJi+1 (M ) / Dãy khớp gọi dãy Mayer -Vietoris M theo iđêan I J 35 3.2.10 Mệnh đề Giả sử I =< a1 , a2 , , ar > iđêan sinh r phần tử a1 , a2 , , ar vành Noether R M R-môđun Khi HIi (M ) = 0, ∀i > r Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề phương pháp quy nạp theo r Với r = 1, theo Bổ đề 3.2.8, ta có điều phải chứng minh Do đó, ta xét r > Đặt J =< a1 , a2 , , ar−1 > iđêan sinh phần tử a1 , a2 , , ar−1 ∈ R Theo Chú ý 3.2.9, ta có dãy khớp i−1 HJ∩ / HJi (M ) / i HJi (M ) ⊕ H (3.2) ∀i ∈ N Theo Mệnh đề 3.1.7, ta có i−1 i−1 i−1 HJ∩ i−1 Mặt khác, theo giả thiết quy nạp ta có HJ∩ r − r> HJi (M ) = 0, ∀i > r − Do i−1 HJ∩ r r> (3.3) Theo Bổ đề 3.2.8 ta có i H r> (3.4) Từ (3.2), (3.3) (3.4), ta suy HIi (M ) = 0, ∀i > r Cho I iđêan vành R Ta nhớ lại rằng, hạng số học (arithmetical rank) I kí hiệu ara(I), số tự nhiên nhỏ r cho tồn √ r I Mệnh đề sau cho ta thấy mối a1 , a2 , , ar ∈ R để a R = i i=1 quan hệ hạng số học với tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) 3.2.11 Định lí Giả sử I iđêan vành Noether R M Rmôđun Khi HIi (M ) = 0, ∀i > ara(I) 36 Chứng minh Đặt r = ara(I) √ √ Nếu r = I = nên theo Mệnh đề 3.1.7, ta có HIi (M ) = H0i (M ), ∀i ∈ N Theo Hệ 3.1.11 Mệnh đề 2.1.9, ta có H0i (M ) ∼ = H0i (M/Γ0 (M )) = H0i (M/M ) = H0i (0) = Nếu r > 0, ta tìm phần tử a1 , a2 , , ar ∈ R cho √ √ I = < a , a2 , , a r > Do đó, theo Mệnh đề 3.1.7 Mệnh đề 3.2.10, ta có i HIi (M ) = H r ,a2 , ,ar > 3.3 Địa phương hóa tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun HIi (M ) Cho S tập nhân đóng (khác rỗng) vành giao hoán R I iđêan R Khi đó, S −1 ΓI (·) ΓIS −1 R (S −1 ·) hàm tử từ phạm trù R-môđun đến phạm trù S −1 R-môđun Ta xem S −1 ΓI (·) hợp thành hàm tử địa phương hóa S −1 (·) hàm tử xoắn ΓI (·), tức S −1 ΓI (·) = (S −1 )◦ΓI ; ΓIS −1 R (S −1 ·) hợp thành hai hàm tử xoắn ΓIS −1 R hàm tử địa phương hóa S −1 , tức ΓIS −1 R (S −1 ·) = ΓIS −1 R ◦ (S −1 ) 3.3.1 Nhận xét (i) Từ Mệnh đề 2.1.7, ta thấy hàm tử S −1 ΓI ΓIS −1 R (S −1 ·) tương đương tự nhiên (ii) Nếu I · : −→ I −→ I −→ lời giải nội xạ R-môđun M S −1 I · : −→ S −1 I −→ S −1 I −→ lời giải nội xạ S −1 R-môđun S −1 M (iii) Cho F hàm tử phạm trù R-môđun, F hàm tử phạm trù S −1 R-môđun Đặt S −1 F := S −1 ◦ F F (S −1 ·) = F ◦ S −1 Giả sử β : S −1 F (·) −→ F (S −1 ·) biến đổi tự nhiên Với R-môđun M I · lời giải nội xạ M Đặt S −1 Ri F (M ) = H i (S −1 F (I · )) môđun đối đồng điều đối phức S −1 F (I · ) Ri F (S −1 M ) = H i (F (S −1 I · )) môđun đối đồng điều đối phức F (S −1 I · ) 37 Với i ∈ N, tương ứng β i : S −1 Ri F (M ) −→ Ri F (S −1 M ) xác định biến đổi tự nhiên β i : S −1 Ri F (·) −→ Ri F (S −1 ·) Ta viết dạng β i : S −1 ◦ Ri F −→ Ri F ◦ S −1 Nếu β đẳng cấu tự nhiên (tức S −1 F (·) F (S −1 ·) tương đương tự nhiên) β i đẳng cấu tự nhiên với ∀i ∈ N, tức S −1 ◦ Ri F Ri F ◦ S −1 hai hàm tử tương đương tự nhiên với i ∈ N 3.3.2 Định lí Giả sử I iđêan vành Noether R, S ⊆ R tập khác rỗng đóng kín phép nhân Với i ∈ N, tồn đẳng cấu tự nhiên ρi : S −1 (HIi (·) −→ HIS −1 R (S −1 ·) Chứng minh Đặt F = ΓI , F = ΓIS −1 R Khi đó, ta có S −1 Ri F = S −1 HIi , Ri F ◦ S −1 = Ri F (S −1 ·) = HIS −1 R (S −1 ·) ¸p dụng Nhận xét 3.3.1, ta có đẳng cấu tự nhiên ρ : S −1 F (·) −→ F (S −1 ·) Đặt ρiI : S −1 (Ri F (·)) −→ Ri F (S −1 ·) biến đổi tự nhiên thứ i ρ Từ Nhận xét 3.3.1, ta có ρi : S −1 (HIi (·)) −→ HIS −1 R (S −1 ·) đẳng cấu tự nhiên 3.3.3 Nhận xét Định lí 3.3.2 cho thấy rằng: Đối đồng điều địa phương giao hoán với địa phương hóa 3.3.4 Hệ quả.Giả sử I iđêan vành Noether R, S ⊆ R tập khác rỗng đóng kín phép nhân Với i ∈ N với R-môđun M , tồn đẳng cấu S −1 R-môđun i −1 ρiM : S −1 (HIi (M )) −→ HIS M ) −1 R (S Chứng minh ¸p dụng Định lí 3.3.2, ta có điều phải chứng minh 38 3.3.5 Hệ Cho I iđêan vành Noether R, p iđêan nguyên tố R M R-môđun Khi HI (M )p ∼ = HIRp (Mp ) Chứng minh Trong Hệ 3.3.4, thay S = R − p, ta có điều phải chứng minh Tiếp theo quan tâm đến tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) 3.3.6 Mệnh đề Giả sử I iđêan vành Noether R M Rmôđun hữu hạn sinh Giả sử i ∈ N cho HIj (M ) hữu hạn sinh với j ∈ {0, 1, , i − 1} N ⊆ HIi (M ) môđun hữu hạn sinh Khi AssR (HIi (M )/N ) < ∞ Chứng minh Trường hợp i = rõ ràng ta có HI0 (M ) = ΓI (M ) ⊆ M môđun hữu hạn sinh Do ta xét trường hợp i > Đặt M := M/ΓI (M ) Theo Mệnh đề 2.1.3, ta có HI0 (M ) = ΓI (M ) = Ngoài ra, theo Mệnh đề 2.1.9 Hệ 3.1.11, ta có HIk (M ) ∼ = HIk (M ), ∀k > Do đó, HIj (M ) môđun hữu hạn sinh với j ∈ {0, 1, , i − 1} HIi (M ) ∼ = HIi (M ) Vậy kết chứng minh, ta thay M M ta giả thiết HI0 (M ) = Theo cách chứng minh Mệnh đề 3.2.2, ta tìm phần tử x ∈ I ∩ N ZDR (M ) ¸p dụng mệnh đề 3.1.5, ta có sơ đồ giao hoán sau với dòng cột khớp HIi−1 (M ) / HIi−1 (M/xM ) δ / HIi (M ) x· HIi (M ) / ρ  (∗) / HIi−1 (M/xM ) δ −1 (N )  δ¨  / H i (M )/N ϕ I id  / HIi (M )  = HIi−1 (p) đồng cấu cảm sinh đồng cấu tự nhiên p : M −→ M/xM , ρ đồng cấu tự nhiên, δ đồng cấu nối, δ¨ xác định đó, 39 m + δ −1 (N ) −→ δ(m) (với m ∈ HIi−1 (M/xM )) ϕ xác định bởi: u + N −→ xu Ngoài ta có Ker(δ) = (HIi−1 (M )) môđun hữu hạn sinh R Noether, N hữu hạn sinh nên δ −1 (N ) hữu hạn sinh Theo Mệnh đề 3.1.5, ta có dãy khớp HIj−1 (M ) −→ HIj−1 (M/xM ) −→ HIj (M ), ∀j ∈ N Kết HIk (M/xM ) hữu hạn sinh với k < i − Vì vậy, theo quy nạp ta có HIi−1 (M/xM ) T := δ −1 (N ) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết Vì N hữu hạn sinh nên theo Bổ đề 1.5.2, ta có AssR (N ) < ∞ Do hợp hai tập hữu hạn tập hữu hạn nên để chứng minh AssR (HIi (M )/N ) < ∞ ta chứng minh AssR (HIi (M )/N ) ⊆ AssR (T ) ∪ AssR (N ) Để làm điều ta lấy p ∈ AssR (HIi (M )/N ) \ AssR (T ) p ∈ AssR (N ) Với p ∈ AssR (HIi (M )/N )\AssR (T ), cách chọn phần tử h ∈ HIi (M ) hợp lí ta có p = :R Rρ(h) Xét môđun U := δ¨−1 (Rρ(h)) T Khi đó, hàng thứ hai sơ đồ giao hoán (∗) cho ta dãy khớp (∗∗) / U δ˜ / Rρ(h) ϕ˜ / ϕ(Rρ(h)) / ¨ đó, δ˜ xác định u −→ δ(u), ∀u ∈ U ϕ˜ xác định v −→ ϕ(v), ∀v ∈ Rρ(h) Do U môđun T nên theo Bổ đề 1.5.2, ta có AssR (Rρ(h)) ⊆ AssR (U) ∪ AssR (ϕ(Rρ(h))) Lại do, p ∈ AssR (Rρ(h)) nên p ∈ AssR (ϕ(Rρ(h)) Vì ϕ(Rρ(h)) = Rϕ(ρ(h)) = R(ϕ ◦ ρ)(h) = R(id ◦ (x·))(h) = Rxh nên p ∈ AssR (Rxh) Điều chứng tỏ tồn s ∈ R cho p = :R Rxsh Vì x ∈ I HIi (M ) I-xoắn nên tồn n ∈ N cho xn (xsh) = 40 Do đó, xn ∈ :R Rxsh = p Vì I iđêan nguyên tố nên ta có x ∈ p = :R Rρ(h) Điều kéo theo xh + N = ρ(xh) = xρ(h) = Do đó, xh ∈ N kéo theo xsh ∈ N Vì p = :R Rxsh nên p ∈ AssR (N ) Vậy Mệnh đề chứng minh 3.3.7 Định lí Giả sử I iđêan vành Noether R M Rmôđun hữu hạn sinh, i ∈ N cho HIj (M ) hữu hạn sinh với j ∈ {0, 1, , i − 1} Khi AssR (HIi (M )) < ∞ Chứng minh Kết suy trực tiếp từ Mệnh đề 3.3.6 ta cho N = Đã từ lâu người ta đặt giả thuyết cho môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết với iđêan I vành R với i ∈ N Gần A Singh (trong trường hợp vành không địa phương) M Katzman (khi vành sở vành địa phương) phản ví dụ chứng tỏ nhìn chung AssHIi (M ) không tập hữu hạn Tuy nhiên, người ta biết tính hữu hạn tập AssHIi (M ) 3.3.8 Bổ đề.Cho I iđêan vành Noether R L R-môđun cho AssR (L) < ∞ Giả sử với p ∈ AssR (L), tồn np ∈ N cho (I np L)p = Khi đó, I n L = với n = max {np | p ∈ AssR (L)} Chứng minh Giả sử x ∈ L t1 , t2 , , tr ∈ L cho r n I x= Rti i=1 Lấy p ∈ AssR (L) Theo cách chọn n ta có (I n x)p ⊆ (I n L)p ⊆ (I np L)p 41 Do r Rti )p = (I n x)p = ( i=1 Do vậy, với i ∈ {1, 2, , r} tồn phần tử si,p ∈ R−p cho si,p ti = Đặt n sp = si,p i=1 Khi đó, sp ∈ R − p sp ti = với i = 1, 2, , r Điều kéo theo sp I n x = Xét iđêan b := Rsp p∈AssR (L) Ta có bI n x = Do b sp ∈ / p nên ta có b p với p ∈ AssR (L) Do tập AssR (M ) hữu hạn nên theo Mệnh đề 1.5.2, ta có b p = ZDR (L), với p ∈ AssR (L) Do đó, tồn b ∈ b ∩ N ZDR (L) Lại bI n x ⊆ bI n x = nên I n x = Ngoài ra, x ∈ L tùy ý nên ta có điều phải chứng minh 3.3.9 Bổ đề.Giả sử I iđêan vành Noether R, r ∈ N M Rmôđun hữu hạn sinh Khi phát biểu sau tương đương: (i)HIi (M ) hữu hạn sinh với i < r (ii) I ⊆ :R HIi (M ) với i < r Chứng minh (i) ⇒ (ii): Vì HIi (M ) I-xoắn hữu hạn sinh với i < r nên tồn n ∈ N cho I n HIi (M ) = Do đó, I ⊆ :R HIi (M ) với i < r (ii) ⇒ (i): Giả sử I ⊆ :R HIi (M ) với i < r Khi đó, với i < r, tồn ni ∈ N cho I ni ⊆ :R HIi (M ) với i < r Đặt n := max {ni | i = 0, 1, , r − 1} Khi I n HIi (M ) = 0, ∀i < r Ta chứng minh HIi (M ) hữu hạn sinh phương pháp quy nạp theo r Trường hợp r = ta có HI0 (M ) = ΓI (M ) ⊆ M hữu hạn sinh Do ta xét trường hợp r > Đặt M := M/ΓI (M ), ta có HI0 (M ) = HIi (M ) ∼ = HIi (M ), ∀i > 42 Trong trường hợp đặc biệt ta có I n HIi (M ) = 0, ∀i < r Ngoài ta hạn chế để HIi (M ) hữu hạn sinh với i ∈ {1, 2, , r − 1} Do đó, ta thay M M giả thiết HI0 (M ) = Vậy tồn x ∈ I ∩ N ZDR (M ), kéo theo xn ∈ I n ∩ N ZDR (M ) Vì xn ∈ I n nên ta có xn HIi (M ) = 0, ∀i < r Lại xn ∈ N ZDR (M ) nên ta có dãy khớp / HIi−1 (M ) / HIi−1 (M ) δ i−1 / HIi (M ) / (3.5) ∀i ∈ {1, 2, , r − 1} Ta thấy I 2n HIi−1 (M/xn M ) = I ⊆ :R HIi (M ) với i ∈ {1, 2, , r − 1} Do theo quy nạp HIi−1 (M/xn M ) hữu hạn sinh với i ∈ {1, 2, , r − 1} Sử dụng (3.5), ta có HIi (M ) hữu hạn sinh với i ∈ {1, 2, , r − 1} Vậy Bổ đề chứng minh 3.3.10 Mệnh đề Giả sử I iđêan vành Noether R, r ∈ N M R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, phát biểu sau tương đương: (i) HIi (M ) hữu hạn sinh với i < r (ii) Rp -môđun HIi (M )p hữu hạn sinh với i < r p ∈ Spec(R) (iii) Rp -môđun HIRp (Mp ) hữu hạn sinh với i < r p ∈ Spec(R) Chứng minh (i) ⇒ (ii): Là tính chất địa phương hóa (ii) ⇔ (iii): Được suy trực tiếp từ Hệ 3.3.5 (ii) ⇒ (i): Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo r Trường hợp r = 1, ta có HI0 (M ) = ΓI (M ) ⊆ M hữu hạn sinh Do đó, ta xét trường hợp r > Theo giả thiết quy nạp ta có HIi (M ) hữu hạn sinh với i < r − Ta cần phải chứng minh L := HIr−1 (M ) hữu hạn sinh Theo Bổ đề √ 3.3.9, ta hạn chế để I ⊆ :R L Do đó, ta tìm phần tử n ∈ N cho I n L = Theo Định lí 3.3.2, ta có AssR (L) < ∞ Lấy p ∈ AssR (L) Theo giả thiết Lp hữu hạn sinh Rp -môđun Do L I-xoắn nên Lp IRp -xoắn Do đó, tồn np ∈ N cho (I np L)p = I np Rp Lp = (IRp )np Lp = ¸p dụng Bổ đề 3.3.8, ta có điều phải chứng minh Kết luận luận văn Tóm lại, luận văn dựa vào [1], [2] tài liệu liên quan hoàn thành việc sau Trình bày khái niệm hàm tử đối đồng điều địa phương chứng minh số tính chất Trình bày khái niệm môđun đối đồng điều địa phương chứng minh số tính chất Chứng minh định lí tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương Chứng minh tính giao hoán hàm tử đối đồng điều địa phương hàm tử địa phương hóa Chứng minh tính hữu hạn tập AssHIi (M ) HIj (M ) hữu hạn sinh với j ≤ i − Tài liệu tham khảo [1] M P BRODMANN, and R Y SHARP, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge studies in advanced mathematics, No 60 , Cambridge University Press, 1998 [2] M P BRODMANN, "Lectures on local cohomology", Autumn school held at the University of Quy Nhon in September 1999 [3] A GROTHENDIECK, "Local cohomology", Lect Notes in Math, 20, Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1966 [4] H MATSUMURA, Commutative ring theory, Cambridge studies in advanced mathematics, No 8, Cambridge University Press 1986 [5] H MATSUMURA, Commutative algebra, Benjamin, Reading 1980 [6] D G NORTHCOTT, "An introduction to homological algebra", Cambridge University Press, 1960 Mục lục Chương1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến đổi tự nhiên 1.2 Hàm tử khớp 1.3 Lời giải nội xạ 1.4 Hàm tử dẫn xuất phải 1.5 Iđêan nguyên tố liên kết 1.6 Dãy quy độ sâu 1.7 Chiều Krull vành môđun 1.8 Giới hạn thuận Chương2 Hàm tử đối đồng điều địa phương 11 2.1 Môđun xoắn 11 2.2 Hàm tử xoắn 19 2.3 Hàm tử đối đồng điều địa phương 20 Chương3 Môđun đối đồng điều địa phương 23 3.1 Định nghĩa tính chất 23 3.2 Tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương 28 3.3 Địa phương hóa tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun HIi (M ) 36 Tài liệu tham khảo 44 [...]... phải nên hàm tử đối đồng điều địa phương HIi có đầy đủ các tính chất của một hàm tử dẫn xuất phải Sau đây là một số tính chất của hàm tử đối đồng điều địa phương 2.3.3 Mệnh đề Với mỗi i ∈ N, hàm tử đối đồng điều địa phương HIi là hàm tử hiệp biến, tuyến tính Chứng minh Do ΓI là hàm tử hiệp biến, tuyến tính nên với mỗi i ∈ N, hàm tử đối đồng điều địa phương HIi cũng hiệp biến, tuyến tính 21 2.3.4 Mệnh... 3 Môđun đối đồng điều địa phương 3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 3.1.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của vành giao hoán, có đơn vị, Noether R Ta có các hàm tử đối đồng điều địa phương HIi (·), i ∈ N Cho M là một R -môđun Khi đó HIi (M ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M có giá là I 3.1.2 Nhận xét Với mỗi R -môđun M , từ định nghĩa trên ta có thể xác định môđun đối đồng điều địa. .. tử đối đồng điều địa phương 2.1 Môđun xoắn 2.1.1 Định nghĩa Cho I là một iđêan của vành giao hoán, có đơn vị, Noether R Với mỗi R -môđun M , đặt (0 :M I n ) ΓI (M ) = n≥0 Khi đó, ΓI (M ) là một môđun con của M Môđun ΓI (M ) được gọi là môđun con I-xoắn của R -môđun M Sau đây ta sẽ chứng minh một số tính chất của môđun xoắn 2.1.2 Mệnh đề Giả sử I, J là hai idêan của vành giao hoán Noether R và M là một. .. được chứng minh Một vành được gọi là vành địa phương nếu nó có duy nhất một iđêan tối đại Hệ quả sau cho thấy khi (R, m) là vành địa phương, Noether và M là R -môđun hữu hạn sinh thì các môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) chỉ khác không với những số nguyên i thỏa mãn depthM ≤ i ≤ dimM Chú ý rằng khi (R, m) là vành địa phương, Noether và M là hữu hạn sinh, gradeM (m) được gọi là độ sâu của M và kí... ∀i > r Cho I là một iđêan của vành R Ta nhớ lại rằng, hạng số học (arithmetical rank) của I được kí hiệu bởi ara(I), là số tự nhiên nhỏ nhất r sao cho tồn √ r I Mệnh đề sau cho ta thấy mối tại a1 , a2 , , ar ∈ R để a R = i i=1 quan hệ giữa hạng số học với tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) 3.2.11 Định lí Giả sử I là iđêan của vành Noether R và M là một Rmôđun Khi đó HIi... của vành Noether R và M là một Rmôđun Khi đó HIi (M ) ∼ ExtiR (R/I n , M ) = lim − → n Chứng minh Định lí này là hệ quả trực tiếp của Định lí 2.3.6 3.2 Tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương 3.2.1 Bổ đề Giả sử I là một iđêan của vành Noether R, M là một Rmôđun và x1 , x2 xr ∈ I là một M -dãy Khi đó, HIi (M ) = 0, ∀i < r Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo r Với r... + N = 0 Vậy M/N là I-xoắn 2.1.11 Bổ đề Nếu I là một iđêan của vành Noether R và M là R -môđun nội xạ thì ΓI (M ) cũng là môđun nội xạ 16 Chứng minh Giả sử J là một iđêan của R Khi đó J là một R -môđun Giả sử f : J −→ ΓI (M ) là một đồng cấu của các R -môđun Do M là môđun nội xạ nên tồn tại R -đồng cấu h : R −→ M sao cho f = h ◦ i, trong đó i : J −→ R là đồng cấu bao hàm Đặt k := h(1) Ta có f (b) = (h... Điều đó kéo theo ΓI không phải là hàm tử khớp 2.3 Hàm tử đối đồng điều địa phương 2.3.1 Định nghĩa Cho I là một iđêan của vành giao hoán, có đơn vị, Noether R Ta có hàm tử xoắn ΓI là một hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái trên phạm trù các R -môđun Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử ΓI được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i đối với iđêan I và được kí hiệu là HIi Vậy HIi (·) = Ri ΓI... là một hàm tử trong phạm trù các R -môđun, F là hàm tử trong phạm trù các S −1 R -môđun Đặt S −1 F := S −1 ◦ F và F (S −1 ·) = F ◦ S −1 Giả sử β : S −1 F (·) −→ F (S −1 ·) là một biến đổi tự nhiên Với mỗi R -môđun M và I · là lời giải nội xạ của M Đặt S −1 Ri F (M ) = H i (S −1 F (I · )) là môđun đối đồng điều của đối phức S −1 F (I · ) và Ri F (S −1 M ) = H i (F (S −1 I · )) là môđun đối đồng điều của. .. = 0, ∀i > r 1 ,a2 , ,ar > 3.3 Địa phương hóa và tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của các môđun HIi (M ) Cho S là tập nhân đóng (khác rỗng) của vành giao hoán R và I là một iđêan của R Khi đó, S −1 ΓI (·) và ΓIS −1 R (S −1 ·) là các hàm tử từ phạm trù các R -môđun đến phạm trù các S −1 R -môđun Ta có thể xem S −1 ΓI (·) như là hợp thành của các hàm tử địa phương hóa S −1 (·) và hàm tử ... hàm tử đối đồng điều địa phương chứng minh số tính chất Trình bày khái niệm môđun đối đồng điều địa phương chứng minh số tính chất Chứng minh định lí tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương. .. trình bày môđun đối đồng điều địa phương, tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương, địa phương hóa tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết AssR (HIi (M )) môđun đối đồng điều địa phương. .. tử đối đồng điều địa phương 20 Chương3 Môđun đối đồng điều địa phương 23 3.1 Định nghĩa tính chất 23 3.2 Tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương 28 3.3 Địa phương