Tính dịch chuyển địa phương hóa của môđun đối đồng điều địa phương luận văn thạc sĩ toán học

1 MỞ ĐẦU Địa phương hóa công cụ quan trọng Đại số giao hoán Ở người ta tìm cách quy vành vành địa phương Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether, M R-môđun hữu hạn sinh Ta biết phạm trù môđun Noether, mối liên hệ tập iđêan nguyên tố liên kết môđun hữu hạn sinh M tập iđêan nguyên tố liên kết môđun địa phương hóa M iđêan nguyên tố p biểu thị hệ thức sau: AssRp M p ={qRp : q AssR M , q  p} Trong phạm trù môđun Artin, người ta muốn tìm công thức tương tự cho tập iđêan nguyên tố gắn kết Tuy nhiên đến người ta chưa tìm Ta biết môđun đối đồng điều địa phương với giá iđêan cực đại Artin Năm 1975, R.Y Sharp nghiên cứu tính chất sau môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) : R/ p Att Rp ( H piRdim ( M p ))={qRp : q Att R ( H mi ( M )), q  p} p với iđêan nguyên tố p  Spec(R) Ông gọi tính chất tính dịch chuyển địa phương hóa môđun đối đồng điều địa phương R.Y Sharp tính chất không trường hợp tổng quát trường hợp R vành thương vành Gorenstein Nói chung môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa yếu, nghĩa Att R ( H pi Rdim R/ p ( M p )) {qRp : q Att R ( H mi ( M )), q  p} p p Trong báo [3], Trần Nguyên An nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) để từ đưa số điều kiện để H mi ( M ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa Nội dung luận văn trình bày lại cách chi tiết kết báo [3] Trần Nguyên An Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm Đại số giao hoán nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Chương Ngoài trích dẫn số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương 2: Tính chất dịch chuyển địa phương hóa môđun đối đồng điều địa phương Trong chương trình bày lại kết báo [3] Trần Nguyên An Cụ thể trình bày vấn đề sau: - Giả giá môđun tính chất linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phương - Tính chất dịch chuyển địa phương hóa môđun đối đồng điều địa phương Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo nghiêm khắc suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Nhân dịp này, xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán học, phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh Trường Đại học Sài Gòn giúp đỡ suốt trình học tập Luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo đồng nghiệp Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số khái niệm Đại số giao hoán sử dụng luận văn như: Địa phương hóa, giá môđun, iđêan nguyên tố liên kết, chiều vành môđun, vành Gorenstein, vành địa phương đầy đủ theo tôpô m - adic, môđun đối đồng điều địa phương, biễu diễn thứ cấp tập iđêan nguyên tố gắn kết, đối ngẫu Matlis 1.1 Địa phương hóa 1.1.1 Vành thương Cho S tập nhân đóng vành R Trên tích Đề R x S ta xét quan hệ hai ngôi:  r, s  r,, s,  t  S : t rs,  sr,  Khi      quan hệ tương đương R x S Với (r,s)  R x S, ký hiệu r/s lớp tương đương chứa (r,s) S-1R tập thương R x S theo quan hệ tương đương : S-1R = {r/s | r R, s S} Trên S-1R trang bị hai phép toán phép cộng phép nhân, S-1R trở thành vành gọi vành thương R theo tập nhân đóng S Mỗi iđêan vành S-1R có dạng S-1I = {a /s | a I, s S}, I iđêan R Ta có S-1I = S-1R  I  S   Do S-1I iđêan thực S-1R I  S   Cho p iđêan nguyên tố vành R Khi S  R \ p tập nhân đóng vành R Vành S-1R trường hợp vành địa phương, ký hiệu Rp , với iđêan cực đại pRp  S 1p  a / s a  p, s  R \ p nên gọi vành địa phương hoá vành R iđêan nguyên tố p 1.1.2 Môđun thương Cho S tập nhân đóng vành R Khi ta có vành thương S-1R Trên tích Đề M x S ta xét quan hệ hai ngôi:  m, s   m,, s,   t  S : t  ms,  sm,   Khi  quan hệ tương đương M x S Do M x S chia thành lớp tương đương, ta ký hiệu tập thương M x S theo quan hệ tương đương  S-1M ký hiệu lớp tương đương chứa (m,s) m / s Như S-1 M = { m / s | m M, s S} Trên S-1M trang bị phép cộng phép nhân với vô hướng: m / s  m '/ s '   s ' m  sm '  / ss ', m / s; m '/ s '  S 1 M r / t m / s  rm / ts, r / t  S 1 R, m / s  S 1M Khi S 1 M có cấu trúc S 1 R -môđun gọi môđun thương M theo tập nhân đóng S S 1 M xem R-môđun với phép nhân vô hướng sau: r.x / s  rx / s , với r  R, x / s  S 1 M Cho p iđêan nguyên tố vành R S  R \ p Khi môđun S 1 M gọi môđun địa phương hoá M iđêan nguyên tố p , ký hiệu Mp Như Mp xem Rp -môđun R-môđun 1.2 Giá môđun 1.2.1 Phổ vành Ký hiệu SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi SpecR gọi phổ vành R.Với iđêan I R , ta ký hiệu V( I )  p  Spec R p  I 1.2.2 Giá môđun Cho M R-môđun Khi tập hợp p  Spec R M  0 p gọi giá R- môđun M ký hiệu Supp R ( M) Supp( M)   Như vậy: Supp( M)  p Spec R Mp  Với x  M ta ký hiệu: Ann R (x)  a  R ax  0; Ann R M  a  R aM  0  a  R ax  0,  x  M Ta có Ann R (x) Ann R M (hoặc viết Ann(x) Ann M không để ý đến vành R) iđêan vành R, Ann R M gọi linh hóa tử môđun M Hơn M R -môđun hữu hạn sinh thì: Supp M  V(Ann R M)   p Spec R Ann R M  p 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.3.1 Định nghĩa Cho M R-môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x  M, x  cho: p  Ann R (x)  a  R / ax  0 Tập iđêan nguyên tố liên kết M ký hiệu Ass R M ( Ass M không để ý đến vành R) Như vậy: Ass M  p Spec R p  Ann(x) víi x  M 1.3.2 Tính chất (i) p AssR ( M ) tồn môđun Q M, Q  cho Q  R / p (ii) Đặt  = Ann R (x) x  M, x  0 Khi p phần tử tối đại  theo quan hệ bao hàm p  AssR ( M ) (iii) R vành Noether M R- môđun Khi đó, Ass M    M  Suy AssM    M  (iv) Cho M R - môđun N môđun M Ass N  Ass M (v) Cho M R-môđun Khi đó: Ass M  Supp M Nếu p  Supp M p tối tiểu Supp M theo quan hệ bao hàm p  Ass M (vi) Nếu M R-môđun Noether tập AssR ( M ) hữu hạn (vii) Cho p  Spec R Ass R M p  Ass R M  qSpecR / q Íp 1.3.3 Bổ đề Giả sử  M  M  M  dãy khớp ngắn Rmôđun Khi (i) Ass M  Ass M  Ass M  Ass M; (ii) Supp M  Supp M  Supp M 1.4 Chiều vành môđun 1.4.1 Chiều Krull Cho R vành giao hoán Một dãy giảm iđêan nguyên tố R: p0  p1  p2   pn gọi xích nguyên tố có độ dài n (i) Cho p Spec R Cận tất độ dài xích nguyên tố p0  p gọi độ cao p , ký hiệu ht(p) Nghĩa ht (p)  sup ®é cao xÝch nguyªn tè víi p0  p (ii) Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, ký hiệu dimR Ta có dim R  sup ht (p) p  spec R (iii) Cho M R-môđun Khi dim( R /Ann R M) gọi chiều Krull môđun M, ký hiệu dim R M (hoặc dim M ta không tập trung ý đến vành R) Như vậy, dim R vô hạn ht (p) vô hạn dim M  dim R Chú ý dim M  dim M, M bao đầy đủ m – adic M 1.4.2 Chiều Noether Cho M R-môđun Chiều Noether M, ký hiệu N – dim M, định nghĩa sau: Khi M = ta đặt N  dim M   Cho số nguyên d  ta đặt N  dim M  d N  dim M  d sai với dãy tăng môđun M0  M1  M2  M, tồn số tự nhiên n0 cho N  dim ( Mn  / Mn )  d với n  n0 Như N  dim M  M  M Noether 1.5 Vành Gorenstein 1.5.1 Định nghĩa Cho M R - môđun Chiều nội xạ M số nguyên nhỏ n cho tồn lời giải nội xạ I  :  M  I  I   I n M mà I m  với m  n Chiều nội xạ R -môđun M kí hiệu inj.dimR M inj.dim M 1.5.2 Định nghĩa (i) Giả sử R vành địa phương, Noether Khi R gọi vành Gorenstein inj.dimR R   (ii) Nếu R vành Noether không thiết địa phương R gọi vành Gorenstein Rm vành Gorenstein với iđêan cực đại m 1.5.3 Mệnh đề Cho R vành Noether Giả sử R vành Gorenstein Khi với tập nhân đóng S R , vành thương Rs vành Gorenstein 1.5.4 Hệ Cho R vành Noether Khi R vành Gorenstein vành địa phương hóa Rp vành Gorenstein với iđêan nguyên tố pSpecR 1.5.5 Mệnh đề Giả sử R vành Noether, x phần tử quy vành R Nếu R vành Gorenstein vành thương R /  x  vành Gorenstein Điều ngược lại  R, m  R vành địa phương 1.5.6 Mệnh đề Giả sử  R, m  vành địa phương, Noether Nếu R vành quy R vành Gorenstein 1.6 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m -adic Vành R gọi vành địa phương có iđêan tối đại Cho  R, m  vành địa phương với iđêan tối đại m Ta xét R vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan m t , với t = 0,1,2 Chú ý sở lân cận phần tử tuỳ ý r  R gồm lớp ghép r  mt với t = 0, 1,2 Khi vành đầy đủ theo tôpô m - adic R ký hiệu R định nghĩa cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy sau: Một dãy Cauchy R dãy (rn) phần tử R cho với t > 0, tồn số tự nhiên n0 để S  R \ p với n, m  n0 Dãy (rn) gọi hội tụ dãy không với t > tồn số tự t nhiên n0 để rn   rn  m với n  n0 Hai dãy Cauchy  rn   sn  gọi hai dãy tương đương, ký hiệu  rn   sn  dãy  rn  sn  dãy không Khi quan hệ  tập dãy Cauchy quan hệ tương đương Ta ký hiệu R tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý  rn   sn  dãy Cauchy dãy  rn  sn  ,  rn sn  dãy Cauchy lớp tương đương dãy  rn  sn  ,  rn sn  không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp tương đương dãy  rn   sn  , tức  rn   rn  sn  r , n  sn,   rn sn   r s  Vì , , n n r  , n  sn  s  , n R trang bị hai phép toán hai + đồng thời với hai phép toàn này, R lập thành vành Mỗi phần tử r  R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành 10 R  R r  r ,  r  dãy mà tất phần tử r Định nghĩa tương tự cho môđun M với sở lân cận phần tử m M  Khi M t R -môđun với phép nhân vô hướng sau: Cho a   a1 , a2 ,   R , x   x1 , x2 ,   M Ta có ax   a1 x1 , a2 x2 ,   M 1.7 Môđun đối đồng điều địa phương 1.7.1 Định nghĩa Giả thiết R vành Noether địa phương, m iđêan tối đại R M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM = d (i) Đối đồng điều địa phương lần định nghĩa A Grothendick Cho I iđêan R Với R-môđun M, đặt  I (M ): nN   (0:M I n )  x  M | n  N , xI n  Ta có  I (M ) môđun M Với R-đồng cấu f : M  N , ta có f (I (M ))  I ( N ) Do tồn I ( f ): I (M )  I ( N ) x I ( f )( x)  f ( x), x I (M ) Khi  I hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái từ phạm trù Rmôđun vào phạm trù R-môđun  I gọi hàm tử xoắn Với số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i  I kí hiệu H Ii gọi hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá I Với R-môđun M, ta kí hiệu H Ii (M ) ‘ảnh’ môđun M qua tác động hàm tử H Ii Khi đó, H Ii (M ) gọi môđun đối đồng điều địa phương thứ i môđun M với giá I 15 CHƯƠNG TÍNH DỊCH CHUYỂN ĐỊA PHƯƠNG HÓA CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether, M R-môđun hữu hạn sinh Ta biết phạm trù môđun Noether, mối liên hệ tập iđêan nguyên tố liên kết môđun hữu hạn sinh M tập iđêan nguyên tố liên kết môđun địa phương hóa M iđêan nguyên tố p biểu thị hệ thức sau: AssRp M p ={qRp : q AssR M , q  p} Trong phạm trù môđun Artin, người ta muốn tìm công thức tương tự cho tập iđêan nguyên tố gắn kết Tuy nhiên đến người ta chưa tìm Ta biết môđun đối đồng điều địa phương với giá iđêan cực đại Artin Năm 1975, R.Y Sharp nghiên cứu tính chất sau môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) : R/ p Att Rp ( H piRdim ( M p ))={qRp : q Att R ( H mi ( M )), q  p} p với iđêan nguyên tố p  Spec(R) Ông gọi tính chất tính dịch chuyển địa phương hóa môđun đối đồng điều địa phương R.Y Sharp tính chất không trường hợp tổng quát trường hợp R vành thương vành Gorenstein Nói chung môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa yếu, nghĩa Att R ( H pi Rdim R/ p ( M p )) {qRp : q Att R ( H mi ( M )), q  p} p p 16 Trong báo [3], Trần Nguyên An nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) để từ đưa số điều kiện để H mi ( M ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa Dựa vào [3], chương này, trình bày lại cách chi tiết kết tính dịch chuyển địa phương môđun đối đồng điều địa phương Trong suốt chương này, ta giả thiết ( R, m) vành địa phương Noether, A R-môđun Artin M R- môđun hữu hạn sinh với dim M = d Với iđêan I R, ta ký hiệu V(I) tập iđêan nguyên tố R chứa I Tập giả giá tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) hai khái niệm quan trọng liên quan đến kết nên tiết Chương dành để trình bày hai vấn đề 2.1 Giả giá môđun tính chất linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phương Để trình bày kết sau ta cần khái niệm vành catenary 2.1.1 Định nghĩa Cho q  p i đêan nguyên tố R Một dãy iđêan nguyên tố q = p0  p1   pn = p cho pi  pi1 , i = 0, …, n – 1, gọi dãy iđêan bão hòa q p với i, không tồn iđêan nguyên tố chèn pi pi1 Cho R vành giao hoán, Noether R gọi vành catenary với cặp iđêan nguyên tố q  p R tồn dãy nguyên tố bão hòa p q dãy nguyên tố bão hòa p q có độ dài 2.1.2 Chú ‎ý (i) Khi R vành Noether địa phương dim R   Rõ ràng, dim R  R catenary (ii) Vành thương vành catenary vành catenary 17 Tiếp theo trình bày khái niệm giả giá giả chiều Hai khái niệm đưa M Brodmand R.Y Sharp năm 2002, nhằm xây dựng công thức bội cho môđun đối đồng điều địa phương 2.1.3 Định nghĩa Cho i≥ số nguyên Giả giá thứ i (pseudo-support) M, ký hiệu PsuppiR M , cho công thức  iR/  PsuppiR ( M )  pSpecR : H pRp p ( M p)  Giả chiều thứ i (pseudo dimension) M, ký hiệu psdiR M , cho công thức psdiR M  supdim R / p : p PsuppiR M  Khi R vành đầy đủ theo tôpô m - adic, đối ngẫu Matlis (Định lý 1.9.2) đối ngẫu địa phương (Định lý 1.9.3), ta có R/ p H pi Rdim ( M p )  DRp ( DR ( H mi ( M )))p ) p Do PsuppiR M  V(Ann R ( H mi ( M )) Trong trường hợp tổng quát ta có mối liên hệ tập giả giá PsuppiR ( M ) tập V(Ann R ( H mi ( M )) sau 2.1.4 Bổ đề Giả sử i≥ số nguyên Khi PsuppiR M  V(Ann R ( H mi ( M )) Chứng minh Lấy p PsuppiR M Khi H pi RpR/p ( M p)  Theo Mệnh đề 1.8.1, tồn iđêan nguyên tố gắn kết qR Att R ( HpiRpR / p ( Mp)) , với iđêan nguyên tố p q  p Suy qAtt R ( Hmi ( M)) theo Định lý 1.8.4 Do ta có p  q  Ann R ( H mi ( M )) Vì PsuppiR M  V(Ann R ( H mi (M )) 18 Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether với iđêan tối đại m; A R – môđun Artin Môđun A gọi thỏa mãn tính chất (*) AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p  AnnR A Tính chất (*) của môđun Artin đưa nghiên cứu lần vào năm 2002 N T Cường L T Nhàn [7] nhằm mục đích xét mối quan hệ chiều Krull chiều Noether môđun Artin Tính chất (  ) vành sở đầy đủ theo tôpô m-adic Khi vành R không đầy đủ, họ ví dụ tồn môđun Artin không thỏa mãn tính chất (  ) Cũng báo họ điều kiện cần đủ để môđun Artin A thỏa mãn tính chất (  ) chiều Noether A chiều Krull A Tính chất ngày quan tâm việc nghiên cứu môđun Artin, môđun hữu hạn sinh cấu trúc vành sở Đến năm 2007, N T Cường, N T Dung L T Nhàn [5] mối liên hệ tính chất (  ) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá iđêan cực đại tính catenary vành sở: Môđun đối đồng d điều địa phương cấp cao H m  M  thỏa mãn tính chất (  ) vành thương R/ AnnR( H m  M  ) catenary Tuy nhiên tồn vành catenary d tồn môđun đối đồng điều địa phương vành bậc nhỏ d không catenary Định lý sau cho thấy tính chất (*) điều kiện cần đủ để dấu “=” Bổ đề 2.1.4 xảy Phần chứng minh chi tiết Định lý xem tài liệu [8] 19 2.1.5 Định lý Giả sử i≥ số nguyên Khi điều kiện sau tương đương: (i) H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*); (ii) PsuppiR M  V(Ann R ( H mi ( M ))) Hơn (i) (ii) thỏa mãn psdiR M  psdiRˆ Mˆ  N  dimR ( H mi (M )) dim R / Ann R H mi (M ), {pSuppiR M :dim( R / p)  psdiR M }  {pˆ R : pˆ  PsuppiRˆ Mˆ ,dim( Rˆ / pˆ )  psdiRˆ Mˆ } i ( M )) cho ta đặc Như vậy, đẳng thức PsuppiR M  V(Ann R ( H m trưng môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*) Áp dụng Định lý 2.1.5, ta có hệ sau mối liên hệ cấu trúc vành catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay điều kiện môđun đối đồng điều địa phương thỏa mãn tính chất (*) 2.1.6 Hệ Nếu vành R / Ann R ( M) catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*) với i  d Áp dụng Định lý 2.1.5 với đặc trưng tính chất (*) cho môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá cực đại H md ( M ) qua tính catenary vành R / Ann R Hmd ( M) , ta có hệ sau điều kiện cần đủ để tập giả giá thứ i đóng 2.1.7 Hệ Các điều kiện sau tương đương: i) PsuppdR M đóng; ii) PsuppdR M đóng phép đặc biệt hóa; iii) Vành R / Ann R Hmd ( M) catenary; iv) Hmd ( M ) thỏa mãn tính chất (*); v) PsuppdR M  V(AnnR ( H md ( M )) 20 2.2.Tính chất dịch chuyển địa phương hóa môđun đối đồng điều địa phương Như trình bày phần đầu chương này, tính chất sau đây: R/ p Att Rp ( H piRdim ( M p ))={qRp : q Att R ( H mi ( M )), q  p} p với iđêan nguyên tố p  Spec(R) gọi tính chất dịch chuyển địa phương hóa môđun đối đồng điều địa phương Tính chất dịch chuyển địa phương hóa không trường hợp tổng quát, chẳng hạn ta xét ( R, m) miền nguyên, địa phương Noether chiều xây dựng M.Frerand D Raynaud H m1 ( R) không thỏa mãn tính chất dịch chuyển địa phương hóa, tồn miền nguyên địa phương Noether, chiều mà biểu diễn ảnh đồng cấu vành địa phương Gorenstein Khi H mi ( N ) thỏa mãn tính chất (*) với N R- môđun hữu hạn sinh.Vấn đề đặt với điều kiện H mi ( M ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa? 2.2.1 Bổ đề Giả sử i ≥ số nguyên Nếu vành R / Ann R H mi ( M ) catenary i dim R p PsuppRp ( M p )  qRp | q  PsuppiR ( M ), q  p, với pSpec  R  Dấu đẳng thức xảy R / Ann R M catenary Chứng minh Lấy p,q Spec  R  q  q Nếu q  PsupiR ( M ) theo chứng minh (i)  (ii) Định lý 2.1.5, ta có q  V(Ann R H mi ( M )) Vì p  q  Ann R H mi ( M ) Vì R / Ann R H mi ( M ) catenary nên (i  dim R / p)  dim Rp / qRp  (i  dim R / p)  ht p/q  (i  dim R / p)  (dim R / q- dim R / p)  i  dim R / q 21 i dim R /q Ta có q  PsuppiR ( M ) suy H q Rq ( M q )  0, suy ( i dim R / p)dim Rp /qRp HqRq i dim R / p suy qRp  PsuppRp (Mq )  ( M p ) Vì PsuppiRdim R/p ( M p )  qRp | q  PsuppiR ( M ), q  p, p Nếu qRp  PsuppiRpdim R/ p ( M p ) Hq(Riqdim R/ p)ht p/q ( M p )  ( M p )qR  M q Điều p kéo theo q  PsuppiRdim R/qdim R/ pht p/q ( M ) Do chứng minh (i)  (ii) Định lý 2.1.5, ta có p  q  Ann R H midim R/qdim R/pht p/q ( M )  Ann R M Vì R / Ann R ( M ) catenary nên (i  dim R / p)  dim Rp / qRp  (i  dim R / p)  ht p / q  (i  dim R / p)  (dim R / q  dim R / p)  i  dim R / q Ta có qRp  PsuppiRpdim R/ p ( M p ) suy Hq(Riqdim R/ p)dim Rp /qRp ( M q )  , suy HqiRqdim R/q ( M q )  0, suy q  PsuppiR ( M ) Điều chứng tỏ PsuppiRdim R/p ( M p )  qRp | q  PsuppiR ( M ), q  p, p với pSpec( R) với i Nếu vành R / Ann R M catenary vành R / Ann R H mi ( M ) catenary Vì dấu đẳng thức xảy Mệnh đề sau mối liên hệ tính chất (*) cho môđun đối đồng điều địa phương M môđun đối đồng điều địa phương địa phương hóa nó, mối liên hệ giả giá M M 2.2.2 Mệnh đề Cho i≥ số nguyên Giả sử R / Ann R H mi ( M ) catenary Khi điều kiện sau tương đương: i) H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*); R/p ( M p ) thỏa mãn tính chất (*), với pSupp( M ) ; ii) H pi Rdim p 22 iii) PsuppiR ( M )  {pˆ R | pˆ  PsuppiRˆ ( Mˆ )} Chứng minh: (i)  (ii) Lấy pSupp(M ) Theo Định lý 2.1.5, ta cần chứng minh PsuppiRdim R/ p ( M p )  V(Ann R ( H pi Rdim R/ p ( M )) p p p p Theo Bổ đề 2.1.4, ta có PsuppiRdim R/ p ( M p )  V(Ann R ( H pi Rdim R/ p ( M )) p p p p R/ p Ngược lại lấy qRp  V(Ann R H piRdim ( M p )) Theo Bổ đề 1.8.1 tồn p p q ' Rp  Att Rp ( H piRdim R/ p ( M p ) thỏa mãn q ' Rp  qRp Vì p q  q'  Att R H mi ( M ) Định lý 1.8.4 Vì H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*) nên theo Định lý 2.1.5 ta có q  V(Ann R H mi ( M ))  PsuppiR ( M ) Vì theo Bổ đề 2.2.1, ta có qRp  PsuppiRdim R/ p (M p ) p (ii)  (i) hiển nhiên (i)  (iii) Giả sử p PsuppiR ( M ) Khi H piRdim R/ p ( M p )  Lấy p pˆ  AssRˆ / pRˆ , thỏa mãn dim Rˆ / pˆ = dim R / p ta có pˆ R  p đồng cấu tự nhiên Rp  Rˆpˆ hoàn toàn phẳng Do theo Định lý 1.6.4 ˆ R/p H pˆi Rˆdim R/ pˆ ( Mˆ pˆ )  H pi Rdim ( M p )  Rˆpˆ  , p pˆ Điều kéo theo pˆ  PsuppiRˆ ( Mˆ ) Vì PsuppiR ( M )  { pˆ ˆ  Psuppiˆ ( Mˆ )} R|p R 23 Ngược lại lấy pˆ  PsuppiRˆ ( Mˆ ) Vì PsuppiRˆ ( Mˆ )  V(Ann Rˆ ( H mi ( M ))), nên theo Bổ đề 1.8.1, tồn qˆ  Att Rˆ ( H mi ( M ) thỏa pˆ  qˆ Do theo Bổ đề 1.8.3 ta có pˆ R  qˆ R  Att R H mi ( M ) Vì theo Mệnh đề 1.8.1 (ii) Định lý 2.1.5 ta có pˆ R  V(Ann R ( H mi ( M ))  PsuppiR ( M ) (iii)  (i) Theo Định lý 2.1.5 Bổ đề 2.1.4, ta cần chứng minh V(Ann R ( H mi ( M ))  PsuppiR ( M ) Lấy p V(Ann R ( H mi ( M )) Khi theo ii) Mệnh đề 1.8.1, tồn q  Att R ( H mi ( M )); p  q , Theo Bổ đề 1.8.3 tồn qˆ  Att Rˆ ( H mi ( M )) thỏa ˆ ) nên qˆ  Psuppiˆ ( Mˆ ) Do R  q Vì V(Ann Rˆ ( H mi ( M ))  PsuppiRˆ ( M R mãn qˆ theo giả thiết, ta có q  PsuppiR ( M ) , tức HqiRdim R/q ( M q )  q Vì Rq mô đun, HqiRdim R/q ( M q ) mô đun Artin khác không nên phải có q iđêan nguyên tố gắn kết (xem 1.8.1), ý Rq  ( Rp )qRp , áp dụng Định lý 1.8.4 vành địa phương Rp ta có H piRdim R/qht( p/q) ( M q )  q Vì R / Ann R ( H mi ( M ) catenary nên dim R / q- ht(p / q)  dim R / p Do R/ pht( p/q)ht( p/q)) R/p  H piRdim R/qht( p/q) ( M p )  H piR(dim ( M p )  H piRdim (M p) p p q Vậy p PsuppiR ( M ) Kết sau cho ta điều kiện cần đủ để môđun đối đồng điều địa phương cấp cao thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa Đây kết [3] 24 Định lý 2.2.3 Các điều kiện sau tương đương: i) H md ( M ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa; ii) Vành R / Ann R ( H md ( M )) catenary; iii) H pdRdim R/p ( M p ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa với p pSupp( M ) Chứng minh (i)  (ii) Trước hết ta chứng minh H md ( M ) thỏa mãn tính chất (*) Theo Định lý 2.1.5 Bổ đề 2.1.4, ta cần chứng minh V(Ann R ( H md ( M ))  PsuppdR ( M ) Lấy p V(Ann R ( H md ( M ) Khi p  q  Ann R H md ( M ) Do q  Att R H md ( M ) theo Mệnh đề 1.8.1(ii) Khi theo giả thiết, ta có qRp  Att R H pdRdim R/ p ( M p ) p p Điều kéo theo H pdRdim R/p ( M p )  Do p PsuppdR ( M ) p Vì theo Hệ 2.1.6, ta có vành R / Ann R ( H md ( M )) catenary (ii)  (i) : Lấy pSpec( R) ta cần chứng minh Att Rp ( H pdRpdim R/p ( M p ))  {qRp : q Att R ( H dm ( M )), q  p} Theo Định lý 1.8.4, ta cần chứng minh Att Rp ( H pdRpdim R/p ( M p ))  {qRp : q Att R ( H md ( M )), q  p} Lấy q  p q Att R ( H md ( M )) Theo Định lý 1.8.6, q  AssR ( M ) dim R / q  d Điều kéo theo qRp  AssRp ( M p ) Vì vành R / Ann R ( H md ( M )) catenary nên dim Rp / qRp  ht(p / q)  dim R / q- dim R / p  d  dim R / p Từ theo Hệ 1.8.5, qRp  Att R H pdRdim R/ p ( M p ) p p 25 (iii)  (ii) Theo Định lý 2.1.4, điều kiện tương đương với điều kiện H md ( M ) thỏa mãn tính chất (*) Điều lại tương đương với H pdRdim R/p ( M p ) p thỏa mãn tính chất (*) theo Mệnh đề 2.2.2 Do (iii)  (ii) chứng minh tương tự (i)  (ii) Mặc dù định lý sau chưa đưa điều kiện cần đủ để môđun đối đồng điều địa phương cấp nhỏ d thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa phần cho cách tiếp cận Định lý kết [3] 2.2.4 Định lý Cho i≥ số nguyên Giả sử R / Ann R ( M ) catenary Khi điều kiện sau tương đương: R/p i) Att Rp ( H pi-dim ( M p ))  {qRp | q  Att R ( H mi ( M )), q  p}, pSpec( R); Rp ii) H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*) Chứng minh (i)  (ii) tương tự chứng minh (i)  (ii) Định lý 2.2.3 (ii)  (i) : Lấy qRp  Att Rp ( H piRdim R/p ( M p )) Vì H mi ( M ) thỏa mãn tính chất p (*) nên H piRdim R/p ( M p ) thỏa mãn tính chất (*) theo Mệnh đề 2.2.2 Do p theo Định lý 2.1.5, PsuppiRdim R/ p ( M p )  V(Ann R H piRdim R/p ( M p ) p p p Vì qRp  PsuppiR-dim R/ p ( M p ) theo Mệnh đề 1.8.1 Mặt khác theo Định lý p 1.8.4, ta có q  Att R H mi ( M ) , lấy q1  Att R H mi ( M ) thỏa mãn q  q1 Vì H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*) nên theo Định lý 2.1.5, PsuppiR ( M )  V(Ann R H mi ( M )) Do q1  PsuppiR ( M ) Theo Bổ đề 2.2.1 ta có q1Rp  PsuppiRdim R/ p ( M p ) p Vì qRp  q1Rp tính chất tối tiểu qRp , ta có q  q1 Vì 26 R/ p Att Rp ( H piRdim ( M p )  {qRp | q  Att R ( H mi ( M ), q  p} p Ngược lại lấy q  p thỏa mãn q  Att R ( H mi ( M )) Khi theo Mệnh đề 1.8.1, ta có q  V(Ann R ( H mi ( M )) Do q  PsuppiR ( M ) theo Định lý 2.1.5 Theo Bổ đề 2.2.1, ta có qRp  PsuppiRdim R/ p ( M p ) Giả sử p i dim R / p qRp  q1Rp  PsuppRp (M p ) Do q  q1 q1  PsuppiR ( M ) theo Bổ đề 2.2.1 Tính tối tiểu q kéo theo q = q1 Do i dim R / p qRp  q1Rp  PsuppRp (M p) Theo Mệnh đề 2.2.2, H piRdim R/ p ( M p ) thỏa mãn tính chất (*) Vì theo Định p lý 2.1.5 Mệnh đề 1.8.1, qRp  PsuppiRdim R/ p ( M p )  Att R ( H pi Rdim R/ p ( M p )) p p p Vậy ta có điều phải chứng minh 2.2.5 Hệ Các mệnh đề sau i) Nếu H mi ( M ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa với i vành R / Ann R ( M ) catenary phổ dụng R/ p không trộn lẫn với p Ass R M ii) Giả sử ( R, m) catenary phổ dụng có thớ hình thức CohenMacaulay Khi R/ p Att Rp ( H piRdim ( M p ))  {qRp | q  Att R ( H mi ( M ), q  p} i, pSpec( R) p Hơn nữa, Att R ( H mi ( M )  Att R H mi ( M );i H mi ( M ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa với i iii) H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*) với i H pi Rp ( M ) thỏa mãn tính chất (*) với i với pSupp( M ) 27 Chứng minh i) Vì H mi ( M ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa với i, nên theo (i)  (ii) Định lý 2.2.4, H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*) với i Vì R / Ann R ( M ) catenary phổ dụng R / p không trộn lẫn với p AssR (M ) ii) Vì ( R, m) catenary phổ dụng có thớ hình thức CohenMacaulay nên theo Hệ 2.1.6 Định lý 2.1.5, H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*) với i.Do khẳng định ii) suy theo (ii)  (i) Định lý 2.2.4 Với mệnh đề thứ hai ii), ta cần chứng minh Att R H pi Rdim R / p ( M p )  Att R ( H pi Rdim R/ p ( M p )) p p p p Lấy qRp  Att R ( H piRdim R/ p ( M p )) Khi p p i dim R / p qRp  q'Rp  Att Rp ( H p Rp ( M p )) Suy q  q'  Att R H mi ( M ) theo Định lý 1.8.4 Từ giả thiết, ta suy q  q ' Vì i dim R / p qRp  Att Rp ( H p Rp ( M p )) iii) Vì H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*) với i, nên theo Định lý 2.2.1 vành R / Ann R ( M ) catenary Vì theo Mệnh đề 2.2.2, ta có H pi R ( M ) p thỏa mãn tính chất (*) với i với pSupp( M ) Điều ngược lại hiển nhiên 28 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu báo [3] Trần Nguyên An tài liệu liên quan khác, luận văn trình bày tính chất dịch chuyển địa phương hóa môđun đối đồng điều địa phương Cụ thể hoàn thành việc sau đây: Trình bày tập giả giá tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) Đây hai khái niệm quan trọng liên quan đến kết Trình bày điều kiện cần đủ cho tính dịch chuyển địa phương hóa môđun đối đồng điều địa phương cấp cao H md ( M ) thông qua tính chất (*) tập giả giá (Định lý 2.2.3) Trình bày kết liên quan đến tính dịch chuyển địa phương hóa môđun đối đồng điều địa phương cấp nhỏ d (Định lý 2.2.4) 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia [2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sư phạm Tiếng Anh [3] T N An (2011), On the attached primes and shifted localization principle for local cohomology modules, Algebra Colloquium (to appear) [4] M F Atiyah and I.G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company [5] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [6] N T Cuong, N T Dung, L T Nhan (2007), On the top local cohomology modules and the catenary of the unmixed support of a finitely generated module, Comm Algebra (5) 35, 1691 - 1701 [7] N T Cuong and L T Nhan (2002), On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math., (2) 30, 121 – 130 [8] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11, 23-43 [9] L T Nhan and T N An (2009), On the unmixedness and universal catenaritciy of local rings and local cohomology modules, J Algebra, 321, 303-311 [10] L T Nhan and T N An (2010), On the catenaritciy of Noetherian local rings and quasi unmixed Artinian modules, Comm Algebra, 38, 3728-3736 [...]... ( H md ( M )) 20 2.2 .Tính chất dịch chuyển địa phương hóa của môđun đối đồng điều địa phương Như đã trình bày ở phần đầu chương này, tính chất sau đây: R/ p Att Rp ( H piRdim ( M p ))={qRp : q Att R ( H mi ( M )), q  p} p với mọi iđêan nguyên tố p  Spec(R) được gọi là tính chất dịch chuyển địa phương hóa của môđun đối đồng điều địa phương Tính chất dịch chuyển địa phương hóa không đúng trong trường... của môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) để từ đó đưa ra một số điều kiện để H mi ( M ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa Dựa vào [3], trong chương này, chúng tôi trình bày lại một cách chi tiết các kết quả về tính dịch chuyển địa phương của môđun đối đồng điều địa phương Trong suốt chương này, ta luôn giả thiết ( R, m) là vành địa phương Noether, A là một R -môđun Artin và M là một R- môđun. .. mọi iđêan nguyên tố p  Spec(R) Ông đã gọi tính chất này là tính dịch chuyển địa phương hóa của môđun đối đồng điều địa phương R.Y Sharp đã chỉ ra rằng tính chất này không đúng trong trường hợp tổng quát nhưng đúng trong trường hợp R là vành thương của vành Gorenstein Nói chung môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) luôn thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa yếu, nghĩa là Att R ( H pi Rdim R/ p... của môđun đối đồng điều địa phương Cụ thể là chúng tôi đã hoàn thành được những việc sau đây: 1 Trình bày về tập giả giá và tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) Đây là hai khái niệm quan trọng liên quan đến kết quả chính 2 Trình bày điều kiện cần và đủ cho tính dịch chuyển địa phương hóa của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất H md ( M ) thông qua tính chất (*) và tập... p Ass R M | dim( R / p)  d Môđun đối đồng điều địa phương cũng có thể được xây dựng là giới hạn trực tiếp của các môđun mở rộng Ext thông qua đối đồng điều của phức Cech, thông qua giới hạn trực tiếp của các môđun đồng điều phức Koszul (xem [6]) Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương cần sử dụng cho các chứng minh ở chương sau 1.7.5 Định lý (Tính độc lập với vành cơ sở) Cho... EXt nR''i ( M , R ') 15 CHƯƠNG 2 TÍNH DỊCH CHUYỂN ĐỊA PHƯƠNG HÓA CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, M là một R -môđun hữu hạn sinh Ta biết rằng trong phạm trù các môđun Noether, mối liên hệ giữa tập các iđêan nguyên tố liên kết của một môđun hữu hạn sinh M và tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun địa phương hóa của M tại một iđêan nguyên tố p được... (  ) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá là iđêan cực đại và tính catenary của vành cơ sở: Môđun đối đồng d điều địa phương cấp cao nhất H m  M  thỏa mãn tính chất (  ) khi và chỉ khi vành thương R/ AnnR( H m  M  ) là catenary Tuy nhiên tồn tại vành catenary d và tồn tại môđun đối đồng điều địa phương của vành đó bậc nhỏ hơn d không catenary Định lý sau đây cho thấy tính chất... dim M = d Với mỗi iđêan I của R, ta ký hiệu V(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I Tập giả giá và tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) là hai khái niệm quan trọng liên quan đến kết quả chính nên tiết đầu tiên của Chương chúng tôi dành để trình bày về hai vấn đề này 2.1 Giả giá của môđun và một tính chất về linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương Để trình bày các kết...  PsuppiR ( M ) Điều này chứng tỏ PsuppiRdim R/p ( M p )  qRp | q  PsuppiR ( M ), q  p, p với mọi pSpec( R) và với mọi i Nếu vành R / Ann R M là catenary thì vành R / Ann R H mi ( M ) cũng là catenary Vì vậy dấu đẳng thức xảy ra Mệnh đề sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa tính chất (*) cho môđun đối đồng điều địa phương của M và môđun đối đồng điều địa phương của địa phương hóa của nó, mối liên... Noether và A  DR ( DR ( A)) Định lý đối ngẫu địa phương sau đây cho ta mối liên hệ giữa đối đồng điều địa phương và hàm tử Ext 1.9.3 Định lý (Định lý đối ngẫu địa phương) Giả sử (R, m ) là ảnh đồng cấu của vành địa phương Gorenstein (R’, m' ) chiều n’ và EXt Rj ' ( M , R ') là toàn cấu vành Giả sử M là một R- môđun hữu hạn sinh Khi đó EXt Rj ' ( M , R ') là R- môđun hữu hạn sinh và ta có đẳng cấu: ... sau: - Giả giá môđun tính chất linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phương - Tính chất dịch chuyển địa phương hóa môđun đối đồng điều địa phương Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn... Spec(R) gọi tính chất dịch chuyển địa phương hóa môđun đối đồng điều địa phương Tính chất dịch chuyển địa phương hóa không trường hợp tổng quát, chẳng hạn ta xét ( R, m) miền nguyên, địa phương Noether... giá tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) Đây hai khái niệm quan trọng liên quan đến kết Trình bày điều kiện cần đủ cho tính dịch chuyển địa phương hóa môđun đối đồng điều địa