Môđun con đóng m xyclic và môđun m cp nội xạ luận văn thạc sĩ toán học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ THỊ THANH HOA MÔĐUN CON ĐÓNG M-XYCLIC VÀ MÔĐUN M-cp NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN  2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ THỊ THANH HOA MÔĐUN CON ĐÓNG M-XYCLIC VÀ MÔĐUN M-cp NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS TS NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN  2013 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC………………………………………………………………… CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN…………………………… LỜI NÓI ĐẦU………………………………………………… ……….….5 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun cốt yếu………………………………………… 1.2 Môđun nội xạ………………………………………………….11 Chương 2: Môđun đóng M  xyclic môđun M  cp nội xạ 2.1 Môđun đóng M  xyclic 21 2.2 Môđun M  cp nội xạ…………………………… ……… 25 KẾT LUẬN……………………………………………………………… 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO…… ……………………………… ……… 32 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN m A  M : A môđun môđun M A * M : A môđun cốt yếu môđun M  : Quan hệ thứ tự bao hàm A  M : A tập hợp tập M  : Tổng trực tiếp môđun M N : Môđun thương M N  X : Thu hẹp  X M  N : Môđun M đẳng cấu với môđun N : Kết thúc chứng minh LỜI NÓI ĐẦU Cùng với phát triển Toán học, lí thuyết môđun quan tâm nghiên cứu đạt nhiều kết Trong lí thuyết môđun, môđun nội xạ đóng vai trò quan trọng nhiều người nghiên cứu Người ta mở rộng lớp môđun nội xạ tới lớp môđun M  nội xạ, môđun M  tựa nội xạ, môđun nội xạ chính, môđun M  nội xạ cốt yếu, môđun M  cp nội xạ… Theo hướng phát triển mở rộng môđun nội xạ dựa vào báo tác giả A K Chaturvedi, B M Pandeya, A J Gupta năm 2009: " Quasi-c-Principally Injective modules and Self-c-Principally Injective Rings " (xem  2 ) để nghiên cứu lớp môđun đóng M  xyclic môđun M  cp nội xạ Vì đề tài luận văn mà thực là: " Môđun đóng M  xyclic môđun M  cp nội xạ " Tiếp tục nghiên cứu lớp môđun M  cp nội xạ, luận văn trình bày cách hệ thống số tính chất môđun đóng M  xyclic môđun M  cp nội xạ Cấu trúc luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức môđun cốt yếu, môđun nội xạ Chương 2: Trình bày số khái niệm, tính chất môđun đóng M  xyclic môđun M  cp nội xạ Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn nhiệt tình PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy Đồng thời tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô môn Toán, phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Vinh hỗ trợ giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng trình làm luận văn lực cá nhân hạn chế nên luận văn gặp phải sai sót, kính mong quý thầy cô bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2013 Tác giả Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn luận văn vành giả thiết vành có đơn vị kí hiệu 1, môđun môđun trái unita vành R (nếu không nói thêm) 1.1 Môđun cốt yếu m 1.1.1 Định nghĩa Cho môđun M A  M Môđun A gọi môđun m cốt yếu M với môđun X  X  M A  X  Kí hiệu A * M (hay A e M ) Nếu A môđun cốt yếu M , ta nói M mở rộng cốt yếu A 1.1.2 Ví dụ Môđun M * M , n * , n 0 m 1.1.3 Tính chất (i) Cho A  M A * M  Với x  0, x  M A  Rx  m m (ii) Cho A  K  M Khi A * M  A * K K * M m (iii) Cho f : M   N đồng cấu R  môđun B  N Nếu B * N f 1  B  * M Điều ngược lại nói chung không (iv) Cho Ai , Bi môđun M Ai * Bi , i  1, n Khi n i 1 Ai * n Bi Nếu tập số vô hạn nói chung không i 1 m m (v) Cho A  K  M K A * M A Khi K * M m m (vi) Cho Ai  M i  M Ai * M i , i  I Nếu tồn  Ai tồn  M i I I  Ai *  M i I I Chứng minh (i) Điều kiện cần: Hiển nhiên theo định nghĩa m Điều kiện đủ: Ta có với x  0, x  M , A  Rx  với môđun B  M ta chứng minh A  B  Vì B  Lấy x  B, x  Xét x  Rx  rx r  R  B Theo giả thiết ta có A  Rx  nên với B  Rx ta có A  B  m (ii) Giả sử A * M Lấy môđun X K mà A  X  Do X  K m nên X  M A * M nên X  Vậy A * K Tương tự ta lấy môđun Y M mà K  Y  Do A * K nên A  Y  A * M nên Y  Vậy K * M Ngược lại, A * K K * M với môđun X M mà A  X  Đặt B  K  X , ta có A  B  A  K  X  A  X  Do A * K nên B  K * M nên X  , suy K  X  Vậy A * M m (iii) Với C  M , C  ta chứng minh f 1  B   C  m Trường hợp 1: f  C   M suy f  C   B  (vì B * N ), tồn y  f  C   B, y  Khi tồn x  C cho y  f  x  , x  (vì y  ) x  f 1  B  , suy C  f 1  B   Trường hợp 2: f  C   suy C  f 1  B  Vì x  C nên ta có f  x    B suy x  f 1  B  (iv) Sử dụng quy nạp ta cần chứng minh với n  Cho A1 * M1 , A2 * M Ta chứng minh A1  A2 * M1  M m Lấy X  0, X  M1  M X  M1 Do A1 * M1 nên X  A1  B  B  M Do A2 * M nên B  A2  X  A1  A2  , suy X   A1  A2   Trường hợp giao vô hạn nói chung không đúng, chẳng hạn: Xét  n 1  môđun: n * n * n i ( i , n * Ta có  , i  1,  ), suy * Điều vô lý n 1 Vậy trường hợp giao vô hạn không (v) Lấy X * M cho K  X  Khi K  A X   A nên K A   A  X  A  Mà K A * M A nên  A  X  A  hay A  X  A Vậy X  hay K * M (vi) Ta chứng minh hai trường hợp Trường hợp 1: I  n hữu hạn Sử dụng quy nạp cần chứng minh với n  Cho A1 * M1 , A2 * M tồn A1  A2 Ta cần chứng minh M1  M  Thật vậy, sử dụng tính chất 4) ta có: A1  A2 * M1  M mà A1  A2  nên M1  M  Bây ta chứng minh A1  A2 * M1  M Xét đồng cấu chiếu: f1 : M1  M   M1 x1  x2 x1 f : M1  M  M2 x1  x2 x2 Do A1 * M1 , A2 * M nên theo tính chất 3) ta có f11  A1  * M1  M f 21  A2  * M1  M Mà f11  A1   A1  M * M1  M f 21  A2   M1  A2 * 10 M1  M nên lấy giao hai vế ta A1  A2 * M1  M Trường hợp 2: Với I Đầu tiên ta chứng minh tồn  M i I Lấy x   M i suy x  x1  x2   xk , * xi  M i , i  1, k hữu hạn Theo I k trường hợp suy tồn M1  M   M k   M i , biểu diễn * i 1 nên tồn k  Mi   Mi i 1 I Bây ta cần chứng minh  Ai *  M i I I m Lấy X  0, X   M i suy tồn x  X , x  x  a1  a2   an ,  M i , I i  1, n Suy x  M1  M   M n nên Rx  M1  M   M n Theo trường hợp ta có A1  A2   An * M1  M   M n Suy A1  A2   An  Rx  Suy  Ai  Rx  nên  Ai  X  I I Vậy tồn  M i  Ai *  M i I I  I 1.1.4 Mệnh đề Với môđun A môđun M tồn môđun B M cho A  B cốt yếu M   m Chứng minh Đặt S  X  M : X  A  Vì  S nên S   Ta thứ tự S theo quan hệ bao hàm Lấy tập thứ tự tuyến tính S cho: m m m m X1  X   X n  * 18 1.2.7 Ví dụ (i)  môđun nội xạ (ii)  môđun không nội xạ 1.2.8 Định lí Môđun M nội xạ iđêan trái I R, đồng cấu f : I   M tồn a  M f  x   xa, x  I Chứng minh Điều kiện cần: Cho M môđun nội xạ Lấy I iđêan trái  M đồng cấu môđun Vì R R  môđun nên M R  nội xạ R, f : I  Do f mở rộng thành đồng cấu f * : R   M Đặt a  f * 1 Khi với x  I f  x   f  x.1  xf * 1  xa Điều kiện đủ: Giả sử có điều kiện đủ, ta chứng minh M N  nội xạ, với môđun N Lấy X môđun tùy ý N , g : X   M đồng cấu Ta chứng minh tồn đồng cấu g * mở rộng g  m m Thật vậy, xét họ S  T ,   X  T  N ,  : T  M,    X , g   S nên X   g  Ta thấy  S   Sắp thứ tự tập S theo quan hệ sau T1 ,1   T2 ,  T1  T2    T1  1 Ta chứng minh S thỏa mãn bổ đề Zorn Lấy tập thứ tự tuyến tính S cho T1 , 1   T2 ,     Tn ,  n   Đặt T    * m  M , với x  T suy tồn k cho Ti suy T  N Lấy  : T  i 1 x  Tk Ta định nghĩa   x    k  x  Dễ thấy  đồng cấu Khi T ,   cận dãy * Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại kí hiệu  B,    S Ta chứng minh B  N g *   19 Thật B  N tồn n  N \ B Đặt H  B  Rn n  B nên  M cho h  b  rn     b   B  H , ta xác định đồng cấu h : H  a xác định sau: gọi I  r  R rn  B Dễ dàng kiểm tra I iđêan trái R Xác địn đồng cấu g : I   M cho g  r     rn  , r  I Theo giả thiết tồn a  M để g  x   xa, x  I Như vậy, B  H theo cách xác định h nên h mở rộng  Điều mâu thuẫn với tính tối đại  B,   Do B  N g *   Vậy g * mở rộng g  1.2.9 Hệ Môđun M nội xạ M R R  nội xạ 1.2.10 Tính chất (i) Hạng tử trực tiếp môđun nội xạ nội xạ (ii) Tổng trực tiếp hữu hạn môđun nội xạ nội xạ n Chứng minh (i) Từ Mệnh đề 1.2.5   hữu hạn có  N i A  nội xạ i 1 N i A  nội xạ, i  1, n Khi cho M  X  Y , M nội xạ suy M A  nội xạ, A dẫn đến X A  nội xạ X  nội xạ (ii) Cho M1 , M , , M k nội xạ Khi M i A  nội xạ, A , i  1, k suy k n i 1 i 1  M i A  nội xạ, A , i  1, k Do  M i nội xạ 1.2.11 Định nghĩa Cho môđun M , môđun Q bao nội xạ M nếu: (i) Q nội xạ  Q Im f * Q (ii) M cốt yếu Q có đơn cấu f : M  Kí hiệu Q  E  M  1.2.12 Ví dụ (i) Với môđun nội xạ M E  M   M (ii) Xét  môđun ta có E     20 1.2.13 Định lí (i) Bao nội xạ môđun M tồn với môđun M (ii) E  M  lớn mở rộng cốt yếu M Tức M * T T  E  M  E  M  mở rộng nội xạ bé M Tức D nội xạ M  D E  M   D 21 CHƢƠNG MÔĐUN CON ĐÓNG M  XYCLIC VÀ MÔĐUN M  cp NỘI XẠ 2.1 Môđun đóng M  xyclic m 2.1.1 Định nghĩa Cho môđun M A  M gọi đóng M A mở rộng cốt yếu thật M Nói cách khác, A gọi đóng M môđun X  M mà A * X X  A 2.1.2 Ví dụ Nếu A B hai môđun môđun M thỏa mãn M  A  B A B môđun đóng M m 2.1.3 Định nghĩa Cho môđun M A  M Môđun X M gọi bao đóng môđun A M X môđun tối đại M cho A * X 2.1.4 Ví dụ Xét  môđun, môđun có bao đóng 2.1.5 Mệnh đề Bao đóng môđun tồn Chứng minh Gọi N môđun M , ta chứng minh tồn bao đóng N M Đặt S = { K  M N * K } Khi ta có S   N  S Sắp thứ tự S theo quan hệ bao hàm Gọi T tập thứ tự tuyến tính S Đặt A   Ki ta thấy A cận T , ta chứng minh A  S tức N  A Thật vậy, lấy x  A, x  suy tồn n để x  K n mà N * Kn nên Rx  N  Do đó, N * A Vậy tập thứ tự tuyến tính có 22 cận Theo bổ đề Zorn S có phần tử tối đại K , ta chứng minh K bao đóng N Thật vậy, K  S nên N * K , tồn B  M cho K * B B  S , điều mâu thuẫn với giả thiết tính tối đại K Vậy B  K  2.1.6 Định nghĩa Môđun K M gọi phần bù (hay phần bù giao) môđun M K môđun tối đại số môđun M có giao với B không K gọi phần bù M K phần bù môđun M 2.1.7 Bổ đề Nếu K phần bù B môđun M  K  B  K * M K m Chứng minh Giả sử X K  M K cho  K  B  K  X K  Ta có K  B   K  B   X  K Khi   K  B   X  B  X  B Do tính tối đại K nên X  K Vậy X K  hay  K  B  K * M K  m 2.1.8 Mệnh đề Cho B  M , K phần bù B M Khi (i) K đóng M (ii) K  B môđun cốt yếu M Chứng minh (i) Giả sử có môđun N M cho K * N Khi N  K , K  B  0, K tối đại nên N  B  Ta có K   N  B    K  N   B  K  B  mà Vậy K đóng M K * N nên N  B  Điều vô lý 23 (ii) Được suy từ Mệnh đề 1.1.4  2.1.9 Mệnh đề Cho M R  môđun Khi (i) Hạng tử trực tiếp M môđun đóng M (ii) Nếu K đóng L L đóng M K đóng M Chứng minh (i) Giả sử A hạng tử trực tiếp M tức M  A  B, với m B M m Lấy N  M cho A * N , ta có N  B  Gọi  : A  B   A phép chiếu Do Ker  B nên N  Ker  suy  N đơn cấu Vì N nhúng đơn cấu vào A mà A * N nên A  N hay A môđun đóng M (ii) Trước hết ta chứng minh môđun A đóng M m Q * M cho A  Q Q A * M A m m Thật vậy, lấy P  M cho A  P Q A  P A  Do Q * M nên A  Q  P * P Từ ta suy A  P Q A * M A Bây ta chứng minh K đóng M Lấy K  phần bù giao K L, L phần bù giao L M Theo Mệnh đề 2.1.8 ta có L  L * M theo kết chứng minh  L  L L * M L Theo Tính chất 1.1.3  L  L K * M K Ta có  K  K  K * L K  K  K   L K    K  K  K     K  L K  * M K m Lấy V  M cho K * V Khi K   K   L  nên V   K   L  suy V K    K  K   L K   Do V  K hay K đóng M 2.1.10 Định nghĩa Cho M R  môđun trái Môđun M gọi xyclic tồn phần tử sinh, nghĩa tồn m0  M cho  24 M  Rm0  rm0 r  R 2.1.11 Bổ đề Cho vành R, M R  môđun trái Nếu M môđun xyclic M đẳng cấu với R X , với X môđun R M  x Chứng minh Xét ánh xạ f : R  rx r Rõ ràng f đồng cấu môđun Hơn f toàn cấu Vì theo định lí đồng cấu môđun ta có R Kerf  M , Kerf  r rx  0  2.1.12 Định nghĩa Cho M R  môđun N môđun M Khi N gọi môđun M  xyclic M N  M X , với X môđun M Ví dụ: Xét vành số nguyên môđun  môđun Khi môđun  xyclic 2.1.13 Chú ý Môđun đóng môđun M  xyclic môđun khác F 0 (i) Giả sử R   FF F  , với F trường M R   F  0 FF  Khi  0 F  0 0 0 F  PR    , QR    môđun đóng M R không   0 0 môđun M  xyclic (ii) Xét vành số nguyên môđun  môđun Khi môđun  xyclic không môđun đóng 2.1.14 Mệnh đề Cho A môđun đóng B  xyclic B B môđun đóng M  xyclic R  môđun M Khi A môđun đóng M  xyclic M 25 Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.8 ii), A môđun đóng B B môđun đóng M A môđun đóng M Tương tự A môđun B  xyclic B B môđun M  xyclic M A môđun M  xyclic M Kết hợp hai điều kiện ta kết cần tìm  2.2 Môđun M  cp nội xạ 2.2.1 Định nghĩa (i) Cho M N hai R  môđun Khi môđun N gọi M  nội xạ ( M  p nội xạ) đồng cấu  từ môđun M  xyclic X M đến N mở rộng tới đồng cấu  từ M vào N X xyclic i M   N (ii) Cho M N hai R  môđun Khi môđun N gọi M  c nội xạ đồng cấu  từ môđun đóng X M đến N mở rộng tới đồng cấu  từ M vào N X đóng i M   N (iii) Cho M N hai R  môđun Khi môđun N gọi M  c nội xạ ( M  cp nội xạ) với môđun đóng M  xyclic M ,  N mở rộng từ M đến N đồng cấu f : X  N gọi c  nội xạ R  cp nội xạ 26 i X đóng, xyclic M   N Ví dụ: Xét vành số nguyên Khi  môđun -cp nội xạ Ta thấy, môđun M  p nội xạ M  cp nội xạ M  c nội xạ M  cp nội xạ điều ngược lại nói chung không 2.2.2 Ví dụ (i) Cho vành số nguyên Khi nội xạ không  môđun  cp  p nội xạ Hay môđun M  cp nội xạ không môđun M  p nội xạ (ii) Cho F R 0 FF , F F  trường Cho F MR   0 FF ,  0 F  0 0 0 F  0 F  F  0  PR    , QR    , P  QR    N R       0 0 0 0 F  Khi PR , QR , P  QR , N R môđun M  cp nội xạ không môđun M  c nội xạ Hay môđun M  cp nội xạ không môđun M  c nội xạ Chứng minh (i) Xét vành số nguyên Theo ý 2.1.13 ii) môđun môđun môđun  xyclic không môđun đóng Khi  xyclic Giả sử  :   đồng cấu cho   2a   a, 2a  Giả thiết có đồng cấu  :   đồ sau giao hoán  i  cho biểu 27 Khi ta có    2    i  2   2 1 Điều vô lý Vì  mở rộng thành đồng cấu  Do  môđun không ý 2.1.13 ii), môđun môđun không môđun đóng Vì môđun đóng Do  môđun  nội xạ Theo  xyclic  cp nội xạ F F  R  môđun phải Khi P Q  F 0 (ii) Cho M R   môđun đóng M R Giả sử  : Q   P đồng cấu 0  0  x,      x,   ,     0  x  F Dễ thấy  đẳng cấu Giả thiết đồng cấu khác 1    0  a      0,       x,   ,        với x  F không Lấy  : M  P a  0  b, c     F    0 Khi FF ,   b, c         0,     a  b, c      x,   a b, c      0,   Vì               0  0  0  0  0    suy  đồng cấu không Do  mở rộng thành đồng cấu từ M vào P nên P không M  c nội xạ Tương tự QR , P  QR , N R không môđun M  c nội xạ  2.2.3 Mệnh đề (i) Cho M R  môđun  Ni iI họ R  môđun Khi  iI Ni M  cp nội xạ N i M  cp nội xạ với i  I (ii) Cho X môđun đóng M  xyclic R  môđun M Nếu X M  cp nội xạ X hạng tử trực tiếp M (iii) Cho A, B X R  môđun có A đẳng cấu với B Nếu A 28 X  cp nội xạ B X  cp nội xạ (iv) Cho X , Y M R  môđun có X đẳng cấu với Y Nếu M Y  cp nội xạ M X  cp nội xạ Chứng minh (i) Chứng minh tương tự tài liệu [6, Mệnh đề 2.2] (ii) Cho I : X   X đồng thức ghép thêm ánh xạ i : X  M Vì X M  cp nội xạ, tồn đồng cấu f : M   X I  fi Vì X hạng tử trực tiếp M (iii) Hiển nhiên Vì A X  cp nội xạ mà A đẳng cấu với B nên B X  cp nội xạ (iv) Cho f : X  Y đẳng cấu C môđun đóng X  xyclic X Chúng ta thấy rằng, f  C  Y  xyclic đóng Y Giả sử  : C   M đồng cấu Khi  f 1  đồng cấu từ f  C  tới M , f 1 ánh xạ ngược từ Y đến X cho ff 1  I Vì   M M Y  cp nội xạ nên  f 1 mở rộng đồng cấu h : Y  Khi có đồng cấu hf : X   M mở rộng  Vậy M X  cp nội xạ  2.2.4 Hệ Cho M N i R  môđun, i  A A tập số hữu n hạn Khi với i, N i M  cp nội xạ  N i M  cp nội i 1 xạ 2.2.5 Mệnh đề Cho A M R  môđun Giả sử B môđun đóng A  xyclic A N hạng tử trực tiếp M Nếu M A  cp nội xạ ta có (i) N B  cp nội xạ 29 (ii) N A  cp nội xạ (iii) M B  cp nội xạ Chứng minh (i) Cho X môđun đóng B  xyclic B Khi theo Mệnh đề 2.1.14), X môđun đóng A  xyclic A Giả sử  M phép nội xạ tự nhiên, f : X   N đồng cấu bất kì, j1 : N   B i1 : B  1 : M   N phép chiếu, ghép thêm i : X   A Vì M A  cp nội xạ, tồn đồng cấu g : A   M cho j1 f  gi1i Tức 1 g1 f  1 gi1i Khi If  hi, I  1 j1 h  1 gi1 đồng cấu từ B đến N Do f  hi Vậy N B  cp nội xạ (ii) Ta có (ii) suy từ Hệ 2.2.4 (iii) Ta có M A  cp nội xạ N hạng tử trực tiếp M mà N B  cp nội xạ nên M B  cp nội xạ  2.2.6 Hệ Cho M N hai R  môđun Khi N M  cp nội xạ N X  cp nội xạ với môđun đóng M  xyclic X M 2.2.7 Hệ Cho M , A hai R  môđun M A  cp nội xạ Nếu N hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp A N B  cp nội xạ 2.2.8 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương cho R  môđun M : (i) M CMS  môđun (ii) Mọi R  môđun M  cp nội xạ (iii) Mọi môđun đóng M  xyclic M M  cp nội xạ 2.2.9 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương cho R  môđun M : (i) M nội xạ (ii) M N  c nội xạ với R  môđun N 30 (iii) M N  cp nội xạ với R  môđun N Chứng minh (i)  (ii): Hiển nhiên (ii)  (iii): Hiển nhiên (iii)  (i): Giả sử M không nội xạ Khi M  E, E bao nội xạ M Xét tổng trực tiếp M E , kí hiệu M  E Do M môđun đóng M  xyclic M  E Cho I : M   M đồng thức, i : M   E đơn cấu j2 : E   M  E phép nội xạ tự nhiên Từ giả thiết  iii  M M  E  cp nội xạ Do ta mở rộng đồng cấu f : M  E   M cho I  fj2i, tức I  gi, fj2  g đồng cấu từ E tới M Vì M hạng tử trực tiếp E Vậy M nội xạ  2.2.10 Mệnh đề Các phát biểu sau tương đương cho R  môđun M: (i) M mở rộng môđun (ii) Mỗi R  môđun M  c nội xạ (iii) Mỗi R  môđun M  cp nội xạ M đáp ứng tính chất CM 2.2.11 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương với môđun M xạ ảnh: (i) Mỗi ảnh đồng cấu M  cp nội xạ M  cp nội xạ (ii) Mỗi ảnh đồng cấu M  c nội xạ M  cp nội xạ (iii) Mỗi ảnh đồng cấu M  nội xạ M  cp nội xạ (iv) Mỗi ảnh đồng cấu R  môđun nội xạ M  cp nội xạ (v) Mỗi môđun đóng M  xyclic M xạ ảnh 31 KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu trình bày lại phần kết đăng báo " Quasi-c-Principally Injective modules and Self-c-Principally Injective Rings " đăng Southeast Asian Bulletin of Mathemmatics năm 2009 (xem [2]) tác giả A K Chaturvedi, B M Pandeya, A J Gupta Cụ thể luận văn thực nội dung sau đây: Trình bày khái niệm số tính chất môđun cốt yếu, môđun nội xạ Trình bày số tính chất môđun đóng M  xyclic môđun M  cp nội xạ 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học Sư phạm Tiếng Anh [2] A K Chaturvedi, B M Pandeya, A J Gupta (2009), Quasi-c-Principally Injective modules and Self-c-Principally Injective Rings, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 33: 685-702 [3] N V Dung, D V Huynh, P S Smith, R Wisbauer (1994), Extending modules, Pitman London [4] F Kasch (1982), Modules and rings, Academic Press Inc (London) Ltd [5] S H Mohamed and B J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Notes Series 147, Cambridge University Press, Cambridge [6] D W Sharpe, P Vamos 1972  , Injective Modules, Cambridge University Press, Cambridge [...]... Khi đó A là m t m đun con đóng M  xyclic của M 25 Chứng minh Theo M nh đề 2.1.8 ii), nếu A là m t m đun con đóng của B và B là m t m đun con đóng của M thì A là m t m đun con đóng của M Tương tự nếu A là m t m đun con B  xyclic của B và B là m t m đun con M  xyclic của M thì A là m t m đun con M  xyclic của M Kết hợp hai điều kiện trên ta được kết quả cần t m  2.2 M đun M  cp nội xạ 2.2.1 Định... Cho M và N là hai R  m đun Khi đó m đun N được gọi là M  c nội xạ chính ( M  cp nội xạ) nếu với m i m đun con đóng M  xyclic của M ,  N có thể được m rộng từ M đến N m i đồng cấu f : X  N được gọi là c  nội xạ chính nếu nó là R  cp nội xạ 26 i X đóng, xyclic M   N Ví dụ: Xét vành số nguyên Khi đó  m đun là -cp nội xạ Ta thấy, m đun M  p nội xạ là M  cp nội xạ và M  c nội xạ là M  cp. .. và M  D thì E  M   D 21 CHƢƠNG 2 M ĐUN CON ĐÓNG M  XYCLIC VÀ M ĐUN M  cp NỘI XẠ 2.1 M đun con đóng M  xyclic m 2.1.1 Định nghĩa Cho m đun M và A  M được gọi là đóng trong M nếu A không có m rộng cốt yếu thật sự trong M Nói cách khác, A được gọi là đóng trong M nếu m i m đun con X  0 của M mà A * X thì X  A 2.1.2 Ví dụ Nếu A và B là hai m đun con của m đun M thỏa m n M  A  B thì A và. .. : (i) M là CMS  m đun (ii) M i R  m đun là M  cp nội xạ (iii) M i m đun con đóng M  xyclic của M là M  cp nội xạ 2.2.9 M nh đề Các điều kiện sau là tương đương cho m t R  m đun M : (i) M là nội xạ (ii) M là N  c nội xạ với m i R  m đun N 30 (iii) M là N  cp nội xạ với m i R  m đun N Chứng minh (i)  (ii): Hiển nhiên (ii)  (iii): Hiển nhiên (iii)  (i): Giả sử M không nội xạ Khi đó M  E,... trường và M R   F  0 FF  Khi đó 0  0 F  0 0 0 F  PR    , QR    là m đun con đóng của M R nhưng không là 0  0  0 0 m đun con M  xyclic (ii) Xét vành số nguyên m t m đun con như  m đun Khi đó m i m đun con của là  xyclic nhưng không là m đun con đóng 2.1.14 M nh đề Cho A là m t m đun con đóng B  xyclic của B và B là m t m đun con đóng M  xyclic của m t R  m đun M Khi đó... i 1 xạ 2.2.5 M nh đề Cho A và M là các R  m đun Giả sử B là m t m đun con đóng A  xyclic của A và N là hạng tử trực tiếp của M Nếu M là A  cp nội xạ thì ta có (i) N là B  cp nội xạ 29 (ii) N là A  cp nội xạ (iii) M là B  cp nội xạ Chứng minh (i) Cho X là m t m đun con đóng B  xyclic của B Khi đó theo M nh đề 2.1.14), X là m t m đun con đóng A  xyclic của A Giả sử  M là m t phép nội xạ tự... (i) Cho M và N là hai R  m đun Khi đó m đun N được gọi là M  nội xạ chính ( M  p nội xạ) nếu m i đồng cấu  từ m t m đun con M  xyclic X của M đến N có thể m rộng tới đồng cấu  từ M vào N X xyclic i M   N (ii) Cho M và N là hai R  m đun Khi đó m đun N được gọi là M  c nội xạ nếu m i đồng cấu  từ m t m đun con đóng X của M đến N có thể m rộng tới đồng cấu  từ M vào N X đóng i M   N (iii)... là m t hạng tử trực tiếp của E Vậy M là nội xạ  2.2.10 M nh đề Các phát biểu sau đây là tương đương cho m t R  m đun M: (i) M là m rộng m đun (ii) M i R  m đun là M  c nội xạ (iii) M i R  m đun là M  cp nội xạ và M đáp ứng tính chất CM 2.2.11 M nh đề Các điều kiện sau đây tương đương với m t m đun M xạ ảnh: (i) M i ảnh đồng cấu của M  cp nội xạ là M  cp nội xạ (ii) M i ảnh đồng cấu của M ...  M , trong đó Kerf  r rx  0  2.1.12 Định nghĩa Cho M là R  m đun N là m đun con của M Khi đó N được gọi là m đun con M  xyclic của M nếu N  M X , với X là m đun con nào đó của M Ví dụ: Xét vành số nguyên của là m t m đun con như  m đun Khi đó m i m đun con  xyclic 2.1.13 Chú ý M đun con đóng và m đun con M  xyclic của m t m đun là khác nhau F 0 (i) Giả sử R   FF F  , với F là m t... nội xạ nên M là B  cp nội xạ  2.2.6 Hệ quả Cho M và N là hai R  m đun Khi đó N là M  cp nội xạ khi và chỉ khi N là X  cp nội xạ với m i m đun con đóng M  xyclic X của M 2.2.7 Hệ quả Cho M , A là hai R  m đun và M là A  cp nội xạ Nếu N là m t hạng tử trực tiếp của M và B là m t hạng tử trực tiếp của A thì N là B  cp nội xạ 2.2.8 M nh đề Các điều kiện sau là tương đương cho m t R  m đun M : ... cp nội xạ (ii) M i ảnh đồng cấu M  c nội xạ M  cp nội xạ (iii) M i ảnh đồng cấu M  nội xạ M  cp nội xạ (iv) M i ảnh đồng cấu R  m đun nội xạ M  cp nội xạ (v) M i m đun đóng M  xyclic M xạ. .. R m đun M  cp nội xạ không m đun M  c nội xạ Hay m đun M  cp nội xạ không m đun M  c nội xạ Chứng minh (i) Xét vành số nguyên Theo ý 2.1.13 ii) m đun m đun m đun  xyclic không m đun đóng. ..  m đun M : (i) M CMS  m đun (ii) M i R  m đun M  cp nội xạ (iii) M i m đun đóng M  xyclic M M  cp nội xạ 2.2.9 M nh đề Các điều kiện sau tương đương cho R  m đun M : (i) M nội xạ (ii) M