Nhóm galois và trường con bất động luận văn thạc sĩ toán học

B GIO DC V O TO Tr ờng đại học Vinh O VN CHI NHểM GALOIS V TRNG CON BT NG Luận văn thạc sĩ toán học NGHệ AN 2012 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO VĂN CHI NHÓM GALOIS VÀ TRƯỜNG CON BẤT ĐỘNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. Nguyễn Thành Quang NGHÖ AN - 2012 2 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ CỦA MỞ RỘNG TRƯỜNG 4 1.1. Trường mở rộng 4 1.2. Trường nghiệm của một đa thức 7 1.3. Mở rộng tách được và mở rộng chuẩn tắc 10 CHƯƠNG 2 NHÓM GALOIS VÀ TRƯỜNG CON BẤT ĐỘNG 16 2.1. Nhóm Galois 16 2.2. Trường con bất động 18 2.3. Mở rộng Galois 22 2.4. Mở rộng xyclic và mở rộng căn 29 2.5. Tính giải được của nhóm Galois của mở rộng căn 31 2.6. Tiêu chuẩn giải được bằng căn thức của phương trình đại số 33 2.7. Ứng dụng của Lý thuyết Galois vào các bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa 40 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 MỞ ĐẦU Lý thuyết Galois là một trong những lý thuyết đẹp đẽ nhất của toán học, tập hợp nhiều kiến thức và phương pháp của ngành các toán học khác nhau, nhằm giải quyết các bài toán cổ điển và những vấn đề quan trọng khác của Toán học hiện đại. Một trong những ứng dụng chủ yếu của Lý thuyết Galois là giải quyết bài toán tìm nghiệm căn thức của phương trình 3 đa thức. Mặt khác, Lý thuyết Galois cho phép xác định đa giác đều n cạnh dựng được bằng thước kẻ và compa. Bên cạnh đó, chúng ta cũng nhận được Lý thuyết Galois lời giải cho bài toán dựng hình cổ điển. Lý thuyết Galois tạo ra một bước tiến quan trọng trong phương pháp được sử dụng, để một thế kỷ rưỡi sau đó, A. Wiles đã chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat. Nguồn gốc của Lý thuyết Galois là vấn đề giải phương trình đại số bằng căn thức, mà thực chất là mở rộng trường bằng cách ghép thêm liên tiếp những căn thức. Thành tựu của Galois (1811-1832) là đã chuyển vấn đề giải phương trình thành một nội dung của lý thuyết nhóm. Ý tưởng cơ bản của Galois là cho tương ứng mỗi phương trình đại số với một nhóm hữu hạn, sau này gọi là nhóm Galois của phương trình đó. Tính chất giải được của nhóm Galois này xác định tính giải được bằng căn thức của phương trình. Trường con bất động của mở rộng F của trường K là khái niệm đối ngẫu với khái niệm các nhóm K - tự đẳng cấu, đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết Galois. Với những lý do trình bày ở trên, luận văn này tập trung tìm hiểu nhóm Galois và trường con bất động dưới tác động của nhóm Galois cùng với những ứng dụng về phương diện hình học. Nội dung luận văn gồm 2 chương. Chương 1. Trình bày những kiến thức cơ sở của mở rộng trường: mở rộng đơn, mở rộng lặp, mở rộng đại số, mở rộng bậc hữu hạn, trường nghiệm của đa thức, mở rộng tách được, mở rộng chuẩn tắc, mở rộng xyclic, mở rộng căn. Luận văn đã trình bày một biểu đồ liên hệ của các lớp mở rộng trường cơ bản. Đối với các mở rộng bậc hữu hạn, luận văn tìm hiểu một số tiêu chuẩn sau: 1) Mở rộng chuẩn tắc ⇔ Trường nghiệm của đa thức. 4 2) Mở rộng đại số ⇔ Mở rộng tách được. Chương 2. Giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ sở của Lý thuyết Galois: Mở rộng Galois; Một số đặc trưng quan trọng của mở rộng Galois; Định lý cơ bản của Lý thuyết Galois; Nhóm Galois và tính giải được của nhóm Galois của đa thức; Trình bày chi tiết chứng minh trường nghiệm của một đa thức tách được chính là trường bất động của nhóm Galois của đa thức đó; Giới thiệu một số ứng dụng của Lý thuyết Galois trong một số bài toán dựng hình. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn khoa học, người đã dành cho tác giả sự hướng dẫn chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên Trường THPT Mai Kính, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh đã động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập. Mặc dù đã cố gắng hết sức, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đồng nghiệp. TÁC GIẢ 5 CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ CỦA MỞ RỘNG TRƯỜNG 1.1. Trường mở rộng 1.1.1. Định nghĩa. Nếu K là một trường con của trường ,E thì ta gọi E là một trường mở rộng (hay nói gọn hơn là một mở rộng) của trường .K Mở rộng E của trường K được ký hiệu là /E K . Giả sử E là một mở rộng của trường K , ta có thể xem E là một không gian vectơ trên K . Nếu 6 E là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K , thì ta nói E là mở rộng bậc hữu hạn của trường K . Số chiều n của không gian vectơ E trên K được gọi là bậc của mở rộng E trên K . Ta ký hiệu [ ] :E K là bậc của mở rộng E trên K . Như vậy, ta có [ ] : dim . K E K E n= = Mỗi hê ̣ sinh hoă ̣ c cơ sở của không gian vectơ E trên K được gọi là một hê ̣ sinh hoă ̣ c cơ sở của mở rộng E trên K . 1.1.2. Định lí. Với mọi đa thức ( )f x bất khả quy trên một trường K , tồn tại một trường mở rộng N của K trong đó ( )f x có ít nhất một nghiệm. Chứng minh. Xét vành thương [ ] /N K x I= của vành [ ] K x trên iđêan I sinh bởi ( )f x . Vì [ ] K x là một vành giao hoán nên N cũng là một vành giao hoán có đơn vị là 1 1 I= + . Rõ ràng ta có 1 0≠ , ta sẽ chứng minh rằng N là một trường. Thật vậy, giả sử ( ) g x = ( ) g x + I là một phần tử khác không của .N Vì ( ) g x ≠ 0 nên ( ) g x ∉ I , hay ( ) g x không chia hết cho ( ).f x Do ( )f x bất khả quy trên K , nên ( )f x và ( )g x nguyên tố cùng nhau trên .K Vì vậy, tồn tại các đa thức ( ) ( ) ,r x s x [ ] K x∈ sao cho ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) . . 1f x r x g x s x+ = . Chuyển sang các lớp chúng ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) . . 1f x r x g x s x+ = . Do ( ) 0f x = , nên ( ) ( ) . 1g x s x = . Điều này chứng tỏ rằng ( ) g x khả nghịch trong vành N, hay N là trường. Thiết lập ánh xạ : ,K N a a I a ϕ → + =a . Rõ ràng, ϕ là một đơn cấu trường. Vậy tập hợp các phần tử a của ,N với a K ∈ lập thành một trường 7 con đẳng cấu với K . Nếu đồng nhất K với ( )K ϕ , bằng cách đồng nhất , ,a a a K≡ ∀ ∈ thì ta có thể xem K như là một trường con của trường N . Ngoài ra, nếu ( ) 0 1 , n n i f x a a x a x a K= + + + ∈L thì ta có ( ) ( ) 0 1 0 1 0 0 . n n n n f x a a x a x a a x a x f x= = = + + + = + + + =L L Vậy phần tử x x I N= + ∈ là một nghiệm của đa thức ( )f x . ▄ 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử K là một trường con của trường ,E u E∈ . Ta ký hiệu ( )K u là trường con bé nhất của E chứa K và u. Ta gọi ( )K u là mở rộng đơn của trường K sinh bởi u hay ghép thêm phần tử u. 1.1.4. Định lý (xem [4]). Giả sử K là trường, E là mở rộng của trường K , u E ∈ , khi đó: i) Nếu u là phần tử siêu việt trên K thì mở rộng đơn ( )K u đẳng cấu với trường các phân thức hữu tỉ ( )K x qua đẳng cấu trường: : ( ) ( )K x K u ϕ ≅ sao cho ( ) , ( ) ;x u a a ϕ ϕ = = a K∀ ∈ . ii) Nếu u là phần tử đại số trên trường K thì mở rộng đơn ( )K u đẳng cấu với trường [ ] / ( )K x q qua đẳng cấu trường: [ ] : / ( ) ( )K x q K u ψ ≅ sao cho ( ( ))x q u ψ + = và ( ( )) ,a q a ψ + = a K ∀ ∈ , trong đó ( )q q x= là đa thức cực tiểu của phần tử u trên K và ( )q là iđêan sinh bởi đa thức q trong vành đa thức [ ] K x . 1.1.5. Định nghĩa. Giả sử E là một mở rộng của K và 1 2 , , ., s u u u E ∈ . Ta ký hiệu 1 2 ( , , ., ) s K u u u là trường con nhỏ nhất của E chứa K và chứa các phần tử 1 2 , , ., s u u u . Mở rộng 1 2 ( , , ., ) s K u u u của trường K được gọi là mở rộng lặp hay mở rộng bội của trường K ghép thêm (hoặc sinh bởi) các phần tử 1 2 , , ., s u u u . Ví dụ. ( ) ( ) a, b a b , a,b = + ∀ ∈ ¤ ¤ ¤ . 8 ● Do ( ) a, b a, b ∈ ¤ cho nên ( ) a b a, b + ∈ ¤ . ● Ngược lại, ta cần chứng minh: ( ) a, b a b ∈ + ¤ . Thật vậy: ( ) a b a b a b a b − − = ∈ + + ¤ . Từ đây suy ra: a b a b a ; 2 2 + − = + ( ) b a ( a b ) a b = − − ∈ + ¤ . Ví dụ. ( ) ( ) 2, 11, 13 2 11 13 = + + ¤ ¤ . Trước hết, ta có ( ) 2 11 13 2, 11, 13 + + ∈ ¤ . Do đó, ta chỉ cần chứng minh ( ) 2, 11, 13 K 2 11 13∈ = + +¤ . Ta có 2 2 ( 2 11 13 )( 2 11 13 ) ( 2 11 ) ( 13 ) . + + + − = + − Từ đó suy ra 2 2 2 2 2 2 ( 2 11 13 ) ( 2 11 13 ) [( 2 11 ) ( 13 ) ] ( 2 2 11 ) 88 K. + + + − = + − = = ∈ Do đó 2 ( 2 11 13 ) K + − ∈ . Từ đó 2 2 ( 2 11 13 ) ( 2 11 13 ) 52 4 22 K , + + + + − = + ∈ hay 22 K ∈ . Do đó 2 ( 2 11 ) 13 2 22 K + = + ∈ . Vì vậy: 2 (( 2 11 ) 13) 2 11 13 K 2 11 13 + − + − = ∈ + + . Bây giờ ta có 1 13 [( 2 11 13 ) ( 2 11 13 )] K. 2 = + + − + − ∈ Vì vậy 2 11 ( 2 11 13 ) 13 K + = + + − ∈ . Từ đó 2 11 2 11 K. 2 11 + − = ∈ + Suy ra 2 11 2 11 2 K, 2 2 + − = + ∈ 9 11 2 ( 2 11 ) K. = − − ∈ Vậy ( ) 2, 11, 13 K 2 11 13 ∈ = + + ¤ . ▄ 1.2. Trường nghiệm của một đa thức 1.2.1. Định nghĩa. Cho đa thức ( ) [ ]f x K x∈ với bậc 1n ≥ trên trường K . Trường mở rộng F của trường K được gọi là trường nghiệm (hay còn gọi là trường phân rã) của đa thức ( ) [ ]f x K x∈ trên K nếu ( )f x có thể phân rã thành tích các nhân tử tuyến tính trên :F 1 2 ( ) ( )( ) ( ), , n n n i f x a x u x u x u a K u F= − − − ∈ ∈L Nhận xét. 1 2 ( , , ., ) n F K u u u= là mở rộng lặp của trường K ghép thêm tất cả các nghiệm i u của đa thức ( )f x . 1.2.2. Mệnh đề. Mọi đa thức trên một trường tùy ý đều có trường nghiệm. Chứng minh. Giả sử ( ) [ ]f x K x∈ là một đa thức có bậc 1n ≥ . Ta chứng minh sự tồn tại trường nghiệm của ( )f x bằng quy nạp theo bậc của ( )f x . Với 1n = trường nghiệm của ( )f x chính là trường K . Với 1n > ta phân tích f(x) thành tích các nhân tử bất khả quy trên .K Nếu mọi nhân tử đều có bậc 1 thì trường nghiệm .K F = Ngược lại giả sử ( )f x có nhân tử ( )p x bất khả quy trên K có bậc 1> . Khi đó, theo Định lý 1.1.2 tồn tại trường mở rộng E của K , chứa một nghiệm u của ( )p x . Hơn nữa ( ).E K u= Trên trường [ ]K u ta có sự phân tích ( ) ( ) ( )f x x u g x= − với [ ] ( )g x E x∈ . Đa thức ( )g x có bậc 1n − nên theo giả thiết quy nạp có một trường F mở rộng của ( )K u và chứa mọi nghiệm của ( )g x . Hiển nhiên F là trường nghiệm của ( )f x . ▄ Về tính chất duy nhất của trường nghiệm ta có định lý sau. 10 . học Vinh O VN CHI NHểM GALOIS V TRNG CON BT NG Luận văn thạc sĩ toán học NGHệ AN 2012 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO VĂN CHI NHÓM GALOIS. 10 CHƯƠNG 2 NHÓM GALOIS VÀ TRƯỜNG CON BẤT ĐỘNG 16 2.1. Nhóm Galois 16 2.2. Trường con bất động 18 2.3. Mở rộng Galois 22 2.4. Mở rộng xyclic và mở rộng