Nhóm galois của đa thức

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh dơng minh ngọc nhóm galois của đa thức Chuyên ngành: đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học TS. Mai Văn T Vinh 2007 1 mục lục Trang Mở đầu 2 Chơng 1 - Các kiến thức cơ sở 4 1.1. Mở rộng trờng 4 1.2. Trờng phân rã của đa thức 9 1.3. Trờng đóng đại số đặc số nguyên tố 13 Chơng I1 - Nhóm GALOIS của đa thức 17 2.1. Nhóm các tự đẳng cấu của mở rộng trờng 17 2.2. Mở rộng GALOIS 20 2.3. Nhóm GALOIS của đa thức 26 Chơng I1I - Tính toán các nhóm GALOIS cụ thể bằng MAPLE 32 3.1. Tính toán các nhóm GALOIS của đa thức bậc 3 32 3.2. Tính toán các nhóm GALOIS của đa thức bậc 4 34 Kết Luận 38 Tài liệu tham khảo 39 2 Mở đầu Đại số trừu tợng, một lĩnh vực đợc hình thành từ môn đại số quen thuộc đợc dạy trong nhà trờng phổ thông để giải phơng trình, đã đợc phát triển trong thế kỷ XIX. Trong lĩnh vực này, một lý thuyết đẹp nổi bật là lý thuyết Galois. Lý thuyết Galois đã tạo ra một bớc tiến quan trọng trên con đờng chinh phục định lý cuối cùng của Fermat. Nguồn gốc của lý thuyết Galois là vấn đề giải các phơng trình đại số bằng căn thức. Vấn đề này thực chất là mở rộng trờng bằng cách ghép thêm liên tiếp những căn thức. ý tởng cơ bản của Galois là cho tơng ứng mỗi phơng trình đại số với một nhóm hữu hạn, sau này đợc gọi là nhóm Galois của phơng trình đó. Tính chất giải đợc của nhóm Galois này xác định tính giải đợc bằng căn thức của phơng trình. Với các lý do đã nói ở trên, luận văn nhằm hệ thống lại một số khái niệm và kết quả cơ bản có liên quan đến lý thuyết trờng và lý thuyết Galois cùng với những ứng dụng khác nhau của nó về các phơng diện đại số, số học và hình học. Luận văn đợc chia làm 3 chơng, cùng với phần mở đầu , kết luân và tài liệu tham khảo. Chơng 1 của luận văn trình bày có hệ thống những kiến thức cơ sở về mở rộng trờng, trờng phân rã của một đa thức, trờng đóng đại số đặc số p. Nội dung chính của chơng 2 là xây dựng nhóm Galois của một số đa thức cụ thể và chứng minh đợc rằng mỗi tự đẳng cấu T của nhóm Galois của một đa thức xác định một hoán vị của tập hợp các nghiệm của đa thức đó. Nội dung cơ bản của chơng 3 là thực hành tính toán các nhóm Galois của đa thức bậc ba, bậc bốn trên Maple. Với khả năng tính toán hình thức rất mạnh, Maple cho phép chúng ta làm việc trên các khái niệm trừu tợng của lý thuyết trờng và lý thuyết Galois (mở rộng đại số của trờng số hữu tỉ, mở rộng đại số của trờng hữu hạn, trờng Galois, kiểm tra tính bất khả quy của đa thức, tìm đa thức tối tiểu của phần tử đại số). Đây cũng là một phơng hớng nghiên cứu mới kết hợp giữa đại số, số học với tin học đang đợc nhiều nhà toán học quan tâm, nhằm sử dụng rộng rãi máy tính trong các nghiên cứu của đại số và số học. Đối tợng hớng tới của luận văn là những sinh viên năm cuối các ngành cử nhân s phạm, cử nhân khoa học, học viên cao học và nghiên cứu sinh toán thuộc chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số, những ngời quan tâm đến lý thuyết trờng & lý thuyết Galois và ứng dụng của nó. 3 Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Mai Văn T đã có nhiều chỉ bảo và giúp đỡ quý báu dành cho tác giả trong quá trình học tập cũng nh khi viết luận văn này. Tác giả trân trọng cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, PGS.TS. Ngô Sĩ Tùng đã đọc toàn bộ luận văn và góp nhiều ý kiến quý báu. Tác giả rất biết ơn Bộ môn Đại số và Khoa Toán, Trờng Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả. Do nhiều nguyên nhân, luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong muốn nhận đợc sự góp ý, chỉ bảo của các nhà khoa học và các bạn. Vinh, ngày 25 tháng 11 năm 2007 Dơng Minh Ngọc 4 Chơng 1 Các kiến thức cơ sở 1.1. Mở rộng trờng 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử K là một trờng con của trờng E. Khi đó ta nói E là một trờng mở rộng hay là một mở rộng của trờng K. Mở rộng E của trờng K đợc ký hiệu là E/K. Ví dụ: Q R, Q C, R C là các mở rộng trờng. Trờng Q các số hữu tỷ là trờng con của mọi trờng có đặc số 0. 1.1.2. Định nghĩa. Cho K là một trờng con của trờng E, uE. Ký hiệu K(u) là tr- ờng con bé nhất của E chứa K và u. Ta gọi K(u) là mở rộng đơn của K sinh bởi u (hay ghép bởi u). Ví dụ: C = R(i) là một mở rộng đơn của R. 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử K là một trờng, u 1 , .,u n E với E là mở rộng bất kỳ của trờng K. Ta ký hiệu K(u 1 , .,u n ) là trờng con của E sinh bởi K và các phần tử u 1 , .,u n E. Mở rộng K(u 1 , .,u n ) của trờng K đợc gọi là mở rộng lặp hay mở rộng bội của tr- ờng K và các phần tử u 1 , .,u n E. Nhận xét: Mở rộng lặp K(u 1 , .,u n ) thu đợc nhờ cách lặp lại nhiều lần các mở rộng đơn của trờng K. Nói rõ hơn, ta có: K ( u 1 ,u 2 ) = K(u 1 )(u 2 ) . K (u 1 , .,u n ) = K(u 1 , .,u n-1 )(u n ) 1.1.4. Định nghĩa. Cho K là một trờng và E là một mở rộng của K. Phần tử u E đợc gọi là phần tử đại số trên K nếu tồn tại đa thức khác không f(x) K [ ] x sao cho f(u) = 0. Phần tử u E không đại số trên K, gọi là phần tử siêu việt trên K. Nói khác đi , một phần tử u E là phần tử siêu việt trên trờng K nếu và chỉ nếu từ hệ thức: a o + a 1 u + .+ a n u n = 0 ( a i K) kéo theo a i = 0, i = 0,1, ,n. Cho u E là phần tử đại số trên K.Ta chọn trong tất cả các đa thức khác không thuộc K[x] nhận u làm nghiệm một đa thức đơn hệ ( hệ số cao nhất bằng 1) có bậc nhỏ nhất kí hiệu là q(x). Với mỗi phần tử đại số u E, đa thức nh vậy đợc xác định duy nhất. Ta gọi q(x) là đa thức cực tiểu của phần tử đại số u E.Ta cũng 5 gọi bậc của đa thức cực tiểu q(x) của u là bậc của u trên K, và kí hiệu bởi [u:K]. Nh vậy ta có [u:K] = degq(x). Nhận xét: 1. Cho u E là phần tử đại số trên trờng K . Đa thức q(x) là đa thức bất khả quy trên trờng K. Ngợc lại mỗi đa thức đơn hệ q(x) bất khả quy trong K[x] nhận u E làm nghiệm là đa thức cực tiểu của u. 2. Với mọi đa thức f(x) K[x], nếu f(u) = 0 thì f(x) chia hết cho q(x) trong vành K[x], trong đó q(x) là đa thức cực tiểu của u. Ví dụ: 1). Các số hữu tỉ ( nghiệm của đa thức a 0 + a 1 x Q[x] ), các số có dạng n a , a Q ( nghiệm của đa thức x n - aQ[x] ) là các số đại số. 2). Các số e và là số siêu việt trên Q. Ngời đầu tiên phát hiện ra số siêu việt trên Q là nhà toán học Pháp Liouville 1851). Đến năm 1873, nhà toán học Pháp Hermite chứng minh đợc rằng số e, cơ số của hệ thống logarit tự nhiên, là số siêu việt. Nhà toán học Đức Lindemann chứng minh rằng số - tỉ số của độ dài đ- ờng tròn trên độ dài đờng kính của nó cũng là số siêu việt. 1.1.5. Định nghĩa. Ta gọi mở rộng E của trờng K là mở rộng đại số trên K nếu mọi phần tử u E đều là phần tử đại số trên K. Ta gọi mở rộng E của trờng K là mở rộng siêu việt trên K nếu mở rộng E không phải là mở rộng đại số trên K. Ví dụ: Trờng C các số phức là một mở rộng đại số của trờng R vì mọi số phức a + bi đều là nghiệm của phơng trình x 2 + 2ax + ( a 2 + b 2 ) = 0. 1.1.6. Định nghĩa. Cho E/ K là một mở rộng trờng. Khi đó, E có cấu trúc là một không gian véctơ trên K với phép nhân vô hớng là phép nhân trên E. Một cơ sở của E - không gian vectơ K cũng đợc gọi là cơ sở của mở rộng trờng E trên K. Bậc của mở rộng trờng E trên K là số chiều của E- không gian vectơ K, kí hiệu bởi [ E: K ]. Nếu [ E: K ] hữu hạn thì ta nói E là một mở rộng hữu hạn của K Ví dụ. 1. Xét mở rộng trờng C trên R. Ta biết mọi phần tử của C đợc viết một cách duy nhất dới dạng a + bi với a,b R. Do đó {1, i} là một cở sở của C: R. Suy ra [C: R] = 2. 2. Các mở rộng trờng R/ Q, C/ Q, K(x)/ K là các mở rộng bậc vô hạn. Nhận xét : Bậc của mở rộng K E bằng 1 khi và chỉ khi K = E. Nói cách khác bậc của mở rộng trờng bằng 1 khi và chỉ khi mở rộng là tầm thờng. Thật vậy, nếu E = K thì 1 = a ( a K ) kéo theo = a -1 K. Do đó E = K. 1.1.7. Định lý: Mọi mở rộng bậc hữu hạn của trờng K đều là mở rộng đại số trên K. 6 Chứng minh. Giả sử E là mở rộng hữu hạn bậc n trên K. Khi đó, với mỗi E ta xét hệ gồm (n+1) phần tử thuộc K sau đây: 1, , 2 , 3 , , n . Vì mọi hệ (n+1) vectơ trong không gian vectơ n chiều đều phụ thuộc tuyến tính, cho nên có một hệ thức tuyến tính không tầm thờng: c 0 + c 1 + c 2 2 + c 3 3 + +c n n = 0, (c i K) Nói khác đi tồn tại một đa thức khác không f(x) = [ ] = n i i i xKxc 0 để cho f() = 0, hay là phần tử đại số trên trờng K. Vậy E là mở rộng đại số trên K. 1.1.8. Định lý. Giả sử F là một mở rộng bậc hữu hạn của trờng K có một cơ sở là u 1 , u 2 , , u n và E là mở rộng bậc hữu hạn của trờng F có cơ sở là v 1 ,v 2 , v m .Thế thì E là mở rộng bậc hữu hạn của trờng K có một cơ sở gồm nm phần tử u i v j với ( 1 )1; mjni . Chứng minh. Giả sử K là trờng, F là mở rộng của trờng K có cơ sở là {u 1 , u 2 , , u n } và E là mở rộng của trờng F có cơ sở là { v 1 ,v 2 , v m }. Khi đó với E ta có: = = m j j va 1 ạ , a j F, j =1, ,m. Do a j F, nên ta có: a j = = n i ii ua 1 ạ , (j = 1, ,m), a ij K. Từ đó = j m j n i n i m j iijii vuavua = = = = = 1 1 1 1 ạạ )( , (a ij K) Vậy với mọi E ta có: = = = n i m j jii vua 1 1 ạ , với a ij K Mặt khác, nếu = = n i m j jii vua 1 1 ạ = 0 thì = = = m j n i jii vua 1 1 ạ )( 0 , với a ij K. Do { } mi i v ,1 = là cơ sở của E trên F nên ta có = n i ii ua 1 ạ = 0 với a ij K ( j = m,1 ) Lại do { } ni i u ,1 = là cơ sở của F trên K nên ta có a ij = 0, ( i = mjn ,1,,1 = ) Vậy { } mjni ji vu ,1,,1 == là hệ độc lập tuyến tính và mọi phần tử thuộc E đều biểu thị đ- ợc qua nó, nên { } mjni ji vu ,1,,1 == là một cơ sở của E trên K. Từ định lý 1.11 vừa chứng minh ở trên ta suy ra 7 1.1.9. Hệ quả. Giả sử F là mở rộng hữu hạn trên trờng K có bậc [F : K] = n, khi đó với u F sao cho [u : K] = m, ta có m là ớc của n. Hơn nữa, với mỗi u F, ta có F = K(u) khi và chỉ khi [u : K] = [F : K]. Chứng minh. Giả sử F là mở rộng hữa hạn trên K với [F : K] = n. Với u F, ta có K(u) là mở rộng đơn sinh bởi trờng K và phần tử u. Do đó, theo định lý 1.1.8, ta có: [F : K] = [F : K(u)] [K(u) : K] = [F : K(u)] [u : K] Vì vậy, ta có n = [F : K(u)]m, hay n là bội của m. Hơn nữa, với mỗi phần tử u F, ta có: F = K(u) [F : K(u)] = 1 m = n [u : K] = [F : K]. 1.1.10. Hệ quả. Nếu F = K(u 1 , . , u r ) là một trờng sinh bởi K và r phần tử u 1 , ., u r sao cho mỗi u i (i =1, .,r) là đại số trên trờng K(u 1 , ., u i-1 ) sinh bởi K và i - 1 phần tử trớc u i , thì F là một mở rộng hữu hạn của trờng K và mọi phần tử của F là đại số trên K. Chứng minh. Theo hệ quả 1.1.9, với F = K(u 1 , , u r ), ta có: [F: K] = [F : K(u 1 , , u r-1 )] . [K(u 1 , u 2 ) : K(u 1 )] [K(u 1 ) : K]. Vì K(u 1 ) là mở rộng hữu hạn của trờng K; K(u 1 , u 2 ) là mở rộng hữu hạn của trờng K(u 1 ); K(u 1 , , u r ) là mở rộng hữu hạn của trờng K(u 1 ,,u r-1 ). Do đó, theo định lý 1.1.7, với v F thì v là phần tử đại số trên K. 1.1.11. Hệ quả. Nếu K là một trờng và F là một mở rộng hữu hạn trên trờng K có bậc [F : K] = 2 m (m 1), thì một đa thức bất khả quy bậc 3 của K[x] cũng là đa thức bất khả quy của F[x]. Chứng minh. Giả sử q là đa thức bậc 3 bất khả quy của K[x] và q là đa thức khả quy của F[x]. Khi đó, có một phần tử u F là nghiệm của q. Theo giả thiết, q là đa thức bất khả quy bậc 3 trên K[x], nên [u : K] = [K(u) : K] = 3. Mặt khác, có 2 m = [F : K] = [F : K(u)] [K(u) : K] = 3[F : K(u)]. Điều này kéo theo 3 là ớc của 2 m . Chúng ta gặp phải mâu thuẫn. 1.1.12. Mệnh đề. Cho K là một trờng và q là đa thức bất khả quy bậc n trong K[x]. Nếu F là mở rộng hữu hạn của K với bậc [F : K] = m sao cho (n, m) = 1, thì q là đa thức bất khả quy của F[x]. 8 Chứng minh. Gọi u là một nghiệm của đa thức q trong một mở rộng của F, khi đó ta có 1 [F(u): F] n, và [K(u) : K] = n (vì q là đa thức bất khả quy của K[x]). Theo hệ quả 1.1.9, ta có: [F(u) : K] = [F(u) : F] [F : K] = [F(u) : F]m. Mặt khác, ta cũng có: [F(u) : K] = [F(u) : K(u)] [K(u) : K] = [F(u) : K(u)]n. Do đó [F(u) : F]m = [F(u) : K(u)]n. Do (n, m) = 1 nên [F(u) : F] n hay [F(u) : F] n.Từ đó, ta có: [F(u) : F] = n Vậy, q là đa thức bất khả quy trong vành đa thức F[x]. Nhận xét. Mọi phơng trình đa thức bậc ba với hệ số hữu tỉ bất khả quy trên Q không thể giải đợc bằng những phép lấy căn bậc hai liên tiếp. Nói khác đi, lớp phơng trình này vô nghiệm trên các mở rộng bậc hai của trờng số hữu tỉ. Thật vậy, khi kết nối một căn bậc hai a , a Q thì ta sẽ thu đợc hoặc một mở rộng tầm thờng (chính Q) hoặc một mở rộng bậc hai của Q. Do đó, trờng mở rộng: E = Q( a , b , c , . , z ) thu đợc sau một số hữu hạn lần lấy căn bậc hai sẽ có bậc trên Q bằng một luỹ thừa 2 m của 2, (m 1). Mở rộng E này không thể chứa nghiệm của phơng trình bất khả quy bậc ba đã cho. 1.1.13. Định nghĩa. Một mở rộng đại số E của trờng K đợc gọi là mở rộng chuẩn tắc khi và chỉ khi với mọi đa thức bất khả quy f(x) trong vành đa thức K[x], nếu f(x) có một nghiệm trong E thì f(x) phân tích đợc thành tích các nhân tử tuyến tính trong vành đa thức E[x]. 1.1.14. Định nghĩa. Một đa thức f F[x] gọi là tách đợc trên F nếu mọi nhân tử bất khả quy của f đều không có nghiệm bội. Một phần tử u E đại số trên K gọi là phần tử tách đợc trên K nếu đa thức tối tiểu của u trên K là đa thức tách đợc trên K. Một mở rộng E của trờng K đợc gọi là mở rộng tách đợc trên K nếu mỗi phần tử u thuộc E là phần tử tách đợc trên K. 9 1.2. Trờng phân rã của một đa thức Trong các mở rộng đại số có bậc hữu hạn của một trờng K, các trờng nghiệm hay trờng phân rã của đa thức f(x) trên K, đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vấn đề này là cơ sở của Lý thuyết Galois. Ví dụ 1: Cho f = x 3 - 2 [ ] xQ . Ta có 3 nghiệm của f trong C là: x 1 = 3 2 3 2 2 = x 3 2 3 2 = x trong đó ( 2 3 2 1 3 2 ie +== chú ý rằng )1 3 = Rõ ràng tất cả các trờng con của C chứa 3 nghiệm của f đều phân rã f(x). Đặc biệt Q( ,2 3 3 2 3 2,2 ) = Q( ,2 3 ) là trờng nhỏ nhất chứa Q và các nghiệm của f(x). Ta có định nghĩa: 1.2.1. Định nghĩa. Cho K là một trờng, f(x) là đa thức bậc n 1 trên K. Khi đó, một trờng N đợc gọi là trờng phân rã hay trờng nghiệm của f(x) trên K nếu và chỉ nếu f(x) có n nghiệm trong N và N là trờng mở rộng cực tiểu của K. Ví dụ 2. Xét đa thức f(x) = x 2 - 2 Q[x] . Tìm trờng nghiệm của f(x) trên Q. Giải: Xét phơng trình x 2 - 2 = 0 x = 2 Trờng Q( 2 ) chứa 2 nghiệm của phơng trình trên. Bây giờ ta sẽ chứng minh đó cũng chính là trờng nghiệm của đa thức f(x) trên Q. Thật vậy, giả sử tr- ờng Q ' chứa Q và chứa 2 . Khi đó, với a, b Q thì a + b 2 Q ' Q ' Q( 2 ) Vậy N = Q( 2 ) là trờng nghiệm cần tìm. Ví dụ 3: Xây dựng trờng phân rã của f(x) = x 2 + x + 1 trên Z 2 . Giải: Rõ ràng f(x) bất khả quy trên Z 2 . Gọi N là trờng nghiệm của f(x) ta có: N = Z 2 ( , ) là mở rộng lặp của Z 2 sinh bởi các nghiệm , của f(x). Theo định lý Viet: + = -1 , do đó N = Z 2 () là mở rộng đơn của Z 2 sinh bởi . Vì vậy, N có bậc 2 trên Z 2 và N là trờng gồm bốn phần tử là: 0, 1, , 1 + . 10