Về nhóm galois các mở rộng chuẩn và mở rộng phân nhánh của trường các số p adic

Mở đầu Lý thuyết trờng là một trong những vấn đề quan trọng của toán học hiện đại, nó đặt nền móng cho việc nghiên cứu mở rộng các cấu trúc đại số. Ngoài ra, các hiểu biết về lý thuyết trờng sẽ góp phần làm cho chúng ta hiểu sâu sắc hơn về toán học phổ thông. Đặc biệt là chơng trình toán PTTH, góp phần tích cực vào việc bồi dỡng học sinh giỏi. Chẳng hạn, khi xét các đa thức trên trờng số hữu tỷ Q ta nhận thấy có những đa thức, ví dụ x 2 -2, x 2 -3, , không có nghiệm trên Q, ngời ta đã tìm ra những trờng mới, mà trên đó các đa thức trên có nghiệm Vì vậy, mà chúng tôi cho rằng, việc tìm hiểu thêm về lí thuyết mở rộng trờng sẽ là một vấn đề phong phú, có nhiều thú vị. Nếu ta xét một mở rộng trờng trên trờng các số p adic R p thì ta thu đợc kết quả : [K: R p ] = n thì n = e.f, trong đó K là một mở rộng hữu hạn bậc n trên tr- ờng các số p adic R p , e là chỉ số phân nhánh của trờng K và f là bậc quán tính của trờng K. Khi đó nếu e = 1 thì trờng K đợc gọi là mở rộng không phân nhánh, nếu e = n thì trờng K đợc gọi là mở rộng hoàn toàn phân nhánh. Khi nghiên cứu các mở rộng hữu hạn của một trờng, bài toán nghiên cứu các nhóm GaLois Nhóm tạo thành từ các tự đẳng cấu của trờng đó, có một ý nghĩa rất quan trọng và khá phức tạp. Với ý đồ tìm hiểu thêm về cách vận dụng các kiến thức về lý thuyết trờng, lý thuyết nhóm, lý thuyết môđun, , vào giải quyết một bài toán cụ thể, chúng tôi chọn đề tài: Về Nhóm GaLois của các mở rộng chuẩn và mở rộng phân nhánh của trờng các số p adic Đây một trong những bài toán của lý thuyết mở rộng trờng. Trong phạm vi khả năng của mình, chúng tôi muốn góp phần làm sáng tỏ hơn về cấu trúc 1 nhóm GaLois của các mở rộng chuẩn và mở rộng phân nhánh của trờng các số p adic. Luận văn đợc chia làm hai chơng cùng với phần mở đầu và kết luận, danh mục một số tài liệu tham khảo Chơng 1 : Các khái niệm cơ sở Chơng 2: Nhóm GaLois của các mở rộng chuẩn và mở rộng phân nhánh của trờng các số p adic Luận văn đợc hoàn thành tại trờng đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Quý Dy. Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới thầy PGS.TS Nguyễn Quý Dy, ngời đã dành nhiều thời gian và công sức tận tình giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo thuộc tổ Đại số khoa Toán, khoa Sau đại học của trờng Đại học Vinh, đã giúp đỡ, động viên tác giả rất nhiều trong thời gian học tập, cũng nh thời gian làm luận văn. Trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận đợc nhiều sự động viên, góp ý trao đổi đặc biệt là thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang đã có nhiều ý kiến có giá trị giúp tác giả hoàn thành luận văn, tác giả rất biết ơn và ghi nhận về những sự giúp đỡ quý báu đó. Xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong BGH trờng THPT Tĩnh Gia 2, cùng bạn bè, đồng nghiệp lớp cao học 10 Đại số đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và trong quá trình làm luận văn. Vinh, tháng 11 năm 2004 Tác giả ch ơng1 : Các khái niệm cơ sở 2 1.1. Đặc số của trờng: Giả sử T là một trờng, với phần tử đơn vị đợc ký hiệu là1. Nếu n.1 0, với mọi số tự nhiên n 0, thì ta nói trờng T có đặc số 0 (Hoặc đặc số ). Trong tr- ờng hợp ngợc lại ta gọi số nguyên dơng bé nhất n sao cho n.1 = 0 là đặc số của trờng T. Chúng ta đã có kết quả : Mỗi trờng T tuỳ ý hoặc có đặc số 0, hoặc có đặc số là số nguyên tố . Ví dụ: - Các trờng Q, R, C đều có đặc số 0 Z p - trờng các lớp thặng d theo mô đun nguyên tố p là trờng có đặc số p 1.1.1 Định nghĩa. Ta gọi trờng T là trờng nguyên tố (trờng đơn ) nếu nó không có một trờng con thực sự nào cả. 1.1.3. Định lý. Cho K là một trờng và P là trờng con nguyên tố của K. Nếu K có đặc số 0 thì P đẳng cấu với trờng Q các số hữu tỷ .Nếu K có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với trờng Z p các số nguyên tố môđun p Chứng minh. Đơn vị của trờng K, thuộc trờng P. Xét đồng cấu vành KZh : xác định bởi h(m) = m.1 k , Zm vì 1 k P nên Im h P . Còn vì Kerh là một Iđean của vành Z nên có dạng Kerh = sZ, với một số nguyên s 0 bé nhất thuộc Kerh, sao cho h(s) = s.1 k = 0, nên s chính là đặc số của tr- ờng K hoặc s = 0 hoặc s = p (p nguyên tố ) vậy: Nếu K có đặc số s = 0 ta có Kerh = 0 và đẳng cấu với miền nguyên h: PhZ Im . Do đó trờng các thơng Q của Z đẳng cấu với trờng các thơng F D của miền nguyên D = Imh P. nhng vì F D là một trờng con của K, chứa trong trờng con nguyên tố KP nên F D = P. Vậy trong trờng hợp này Q P Nếu K có đặc số s = p (số nguyên tố ) thì Kerh = pZ và theo định lý cơ bản về đồng cấu vành cho đẳng cấu vành : 3 Ph pZ Z Kerh Z = Im Nhng vì p Z pZ Z p = là một trờng, nên Imh cũng là một trờng chứa trong trờng con nguyên tố KP do đó Ph p Z = Im Định lý 1 cũng cho ta thấy rằng trờng Q các số hữu tỷ và mỗi trờng Z p (p nguyên tố) đều là các trờng nguyên tố Hệ quả. Mỗi trờng chỉ có một và chỉ một trờng con nguyên tố 1.2. Mở rộng trờng: Giả sử T là một trờng con của U, khi đó ta nói U là một mở rộng của tr- ờng T. Chẳng hạn mọi trờng có thể xem là một mở rộng của trờng con nguyên tố của nó . Giả sử U là một mở rộng đã cho của trờng T và S là một tập con tuỳ ý của U. Họ trờng con của U chứa T và S là khác rỗng, vì U thuộc họ đó, giao của họ này là một trờng con của U chứa S và T. Hiển nhiên đó là trờng con bé nhất chứa T và S, ta ký hiệu T(S) và gọi nó là mở rộng thu đợc từ T bằng cách ghép thêm tập hợp S . Nếu { } n xxxS , ,, 2 1 = thì thay cho T(S) ta viết T(x 1 ,x 2 , .,x n ) Đặc biệt, với phần tử tuỳ ý thuộc U, ta gọi T( ) là mở rộng đơn của T ghép thêm phần tử 1.2.1. Định nghĩa. Cho T là một trờng và U là một mở rộng của T .phần tử U đợc gọi là đại số trên T nếu là nghiệm của một đa thức 0 f T[x]. Một phần tử U không đại số trên T gọi là siêu việt trên T. Ví dụ: T = Q - trờng số hữu tỷ, ta dễ dàng kiểm chứng đợc rằng các số phức nh: , . 2 3 2 1 ,5,2 3 + i , là đại số trên Q. 4 Có những số thực nh: =3,1415 hay e = 2,71828 , chúng không phải là nghiệm của bất kỳ đa thức 0 f Q[x] nào, đó là những số siêu việt. Một mở rộng đơn T( ) của trờng T đợc gọi là mở rộng đại số hay siêu việt tuỳ theo phần tử sinh U là đại số hay siêu việt trên T. Một mở rộng đơn đại số K(u) của một trờng K sinh bởi một nghiệm u của một đa thức bất khả quy bậc n của K[x], ( K(u) là mở rộng đơn của phần tử đại số u), thì i/ 1, u, u 2 , ., u n-1 là độc lập tuyến tính trên K, với n là bậc của u ii/ Mỗi phần tử K(u) đều biểu diễn đợc duy nhất dới dạng: = a 0 + a 1 u +a 2 u 2 + . + a n-1 u n-1 , a i K. Từ đó ta có : K(u) là một không gian véc tơ n chiều trên K 1.2.2. Định nghĩa. Một mở rộng F của trờng K đợc gọi là mở rộng bậc hữu hạn của K nếu K không gian véc tơ F là hữu hạn chiều. Khi đó n = dim K F Số chiều của không gian véc tơ F trên K, đợc gọi là bậc của mở rộng F của K và đợc ký hiệu n = [F: K] Ví dụ: Trờng C các số phức gồm tất cả các biểu thức dạng: x = a + b.i, a, b R nên C là một không gian véc tơ 2 chiều trên R và do đó là mở rộng bậc 2 trên R, [C: R] = 2 Hệ quả. Mọi mở rộng đơn đại số đều có bậc hữu hạn 1.2.3. Định lý. Cho F là một mở rộng bậc hữu hạn trên trờng K. Khi đó mỗi phần tử F là đại số và thoả mãn một đa thức bất khả quy bậc không vợt quá bậc [F: K] của một mở rộng Chứng minh. Do F là không gian véc tơ n chiều trên K nên mọi hệ n+1 véc tơ 1, u, u 2 , ,u n với u F là phụ thuộc tuyến tính, từ đó suy ra sự tồn tại của các phần tử a i K, i = 0, 1, , n không đồng thời bằng 0 sao cho a 0 + a 1 u + + a n u n = 0 5 Điều này chứng tỏ u là nghiệm của đa thức f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n K[x] Nh vậy u là phần tử đại số. Bây giờ nếu q(x) là đa thức bất khả quy trên K, nhận u làm nghiệm thì theo [13] q(x) chia hết f(x) do đó bậc của q(x) là không vợt quá bậc của f(x) deg q deg f n = [F:K] Hệ quả. Mọi phần tử của mở rộng đơn đại số trên trờng K, đều là đại số trên K. 1.2.4. Định nghĩa. Mở rộng F của trờng K đợc gọi là mở rộng đại số tạp của F nếu có một dãy tăng các trờng con của F. K = L 0 L 1 L k = F (k >1 ) Sao cho với mỗi chỉ số i, trờng L i là mở rộng đại số đơn của trờng L i-1 , số k đợc gọi là độ dài của mở rộng F. Ví dụ: [Q(i)]( 2 ) là mở rộng đại số tạp của trờng Q có độ dài 2 1.2.5. Định lý. Cho dãy mở rộng các trờng K E F. Nếu tập hợp các phần tử { } m uuu , .,, 21 là một cơ sở cho mở rộng F của E và tập hợp các phần tử { } n vvv , ,, 21 là một cơ sở cho mở rộng E của K thì m.n tích u i v j là một cơ sở cho mở rộng F của K Chứng minh. Giả sử x là phần tử tuỳ ý thuộc F, khi đó x = a 1 u 1 + a 2 u 2 + + a m u m , a i F a i = b i1 v 1 + b i2 v 2 + .+ b in v n , b ịj K từ đó : ji ji iji m i n i jij vubuvbx == = = ,1 1 )( Điều này chứng tỏ {u i v j / i = 1, 2, , m, j = 1, 2, .,n. } là hệ sinh của không gian véc tơ F trên K. Bây giờ ta sẽ chứng minh hệ {u i v j } là độc lập tuyến tính. Giả sử có đẳng thức. 6 = ji jiij vub , 0 Khi đó hệ {u i } độc lập tuyến tính nên 0 1 = = j n j ij vb với i = 1, 2, , n . Từ đây ta có b ij = 0 j = 1, 2, , n. Do hệ {v j } độc lập tuyến tính điều phải chứng minh . Hệ quả 1. Nếu F là mở rộng hữu hạn của trờng K và E là mở rộng hữu hạn của trờng F thì E là mở rộng hữu hạn của trờng K và bậc của E trên K là: [E: K] = [E: F].[F: K] (E F K) Hệ quả 2. Nếu F là một mở rộng hữu hạn của K có bậc [F: K] = n thì mọi phần tử u F có bậc trên K là ớc số của n . Hơn nữa , một phần tử u F sinh trên K toàn thể mở rộng F nếu và chỉ nếu (bậc của U trên K ) [U: K] = n = [F: K] Hệ quả 3 . Nếu F = K (u 1 , .,u r ) là một trờng sinh bởi trờng K và r phần tử u 1 , ., u r sao cho mỗi u i là đại số trên trờng K (u 1 , ,u i-1 ) sinh bởi K và i-1 phần tử trớc u i thì F là mở rộng hữu hạn của trờng K , và mọi phần tử của F là đại số trên K. 1.2.6. Định nghĩa. Một mở rộng đại số F của trờng K là mở rộng chuẩn tắc trên K nếu mọi đa thức bất khả quy p(x) K[x] có một nghiệm trong F thì có tất cả nghiệm trong F (ta nói p(x) phân rã hoàn toàn trong F ) Hai phần tử đại số trên K đợc gọi là liên hợp (trên K) nếu các đa thức tối tiểu của chúng trùng nhau . Nh vậy, mở rộng F của K là chuẩn tắc nếu mọi phần tử liên hợp với phần tử của F thì cũng thuộc F. 1.2.7. Định lý. Một mở rộng có bậc hữu hạn trên trờng K là chuẩn tắc trên K nếu và chỉ nếu nó là trờng nghiệm của một đa thức nào đó trên K. 7 Ví dụ: E = Q( 2 ) là trờng nghiệm của x 2 2 nên E là mở rộng chuẩn tắc trên Q. F = E( 4 2 ) là trờng nghiệm của x 2 - 2 , nên F là chuẩn tắc trên E nhng F không chuẩn tắc trên Q vì F chỉ gồm các số thực trong khi đó đa thức bất khả quy x 4 - 2 ngoài nghiệm = 4 2 F còn có những nghiệm phức . Hệ quả. Mọi mở rộng có bậc hữu hạn, chuẩn tắc và tách đợc đều là tr- ờng nghiệm của một đa thức tách đợc Lu ý rằng: Nếu K là trờng có đặc số 0 thì mọi mở rộng chuẩn tắc F của đều là mở rộng tách đợc. 1.2.8. Định lý. Cho L/K là một mở rộng đại số trong K (Bao đóng đại số của K ) Những điều kiện sau là tơng đơng: i/ L/K là một mở rộng chuẩn ii/ Tồn tại một hệ D K[x] sao cho L = K(s), với s là tập nghiệm của các đa thức của D iii/ Mọi K đồng cấu từ L vào K đều là một tự đẳng cấu của L/K 1.2.9. Định lý. Cho K Z L. Nếu L là mở rộng chuẩn trên K thì L là mở rộng chuẩn trên Z 1.3. Nhóm GaLois: Một song ánh từ một trờng F lên chính nó đợc gọi là một tự đẳng cấu nếu : )()()( baba +=+ )().().( baba = Tập hợp tất cả các tự đảng cấu của một trờng F, lập thành một nhóm với phép toán hợp thành ánh xạ, gọi là nhóm các tự đẳng cấu của trờng F. Đơn vị của nhóm này là ánh xạ đồng nhất id Nhận xét: Mọi phần tử của trờng con nguyên tố P, P F giữ nguyên đối với mọi tự đẳng cấu của F. 8 Giả sử K là trờng con của F, các tự đẳng cấu của trờng F đợc gọi là tự đẳng cấu trên K hay, K - tự đẳng cấu nếu nó giữ nguyên mọi phần tử trên K, tức là: (c) = c , c K Tập hợp các tự đẳng cấu trên K là một nhóm con của nhóm các tự đẳng cấu của trờng F. 1.3.1. Định nghĩa. Nhóm tự đẳng cấu của trờng F trên trờng con K là nhóm các tự đẳng cấu của F giữ nguyên mọi phần tử của K 1.3.2. Bổ đề. Cho F là một mở rộng đại số trên K, là một tự đẳng cấu của F trên K, khi đó với mỗi c F ảnh (c) liên hợp với c . 1.3.3. Định nghĩa. Cho F là một mở rộng chuẩn tắc của trờng K, tập hợp mọi tự đẳng cấu của F giữ nguyên mọi phần tử của K lập thành một nhóm, gọi là nhóm GaLois của F trên K và ký hiệu bởi G(F/K) . G(F/K) = { } KaaaFF = ,)(/: Ví dụ: Xét mở rộng F = Q ( 2 ) của K = Q . Số thực 2 là ngiệm của đa thức p (x) = x 2 - 2 bất khả quy trên Q, đa thức này có 2 nghiệm 2 và - 2 do đó F = Q ( 2 ) là trờng nghiệm của đa thức x 2 2 trên Q . theo định lý (1.2.7) F là chuẩn tắc trên Q . Nếu là tự đẳng cấu thuộc nhóm GaLois G = G(F/Q) thì biến 2 thành 2 hoặc - 2 , nh vậy nhóm GaLois G có 2 phần tử : G = {id F , } trong đó 22 : baba FF + 1.3.4. Định lý. Nếu F là trờng nghiệm của một đa thức tách đợc f(x) K[x] thì cấp của nhóm GaLois G = G(F/K) bằng bậc của mở rộng [F: K] 1.3.5. Định nghĩa. Mở rộng hữu hạn F của trờng K đợc gọi là mở rộng GaLois nếu nó là chuẩn tắc và tách đợc . 9 1.3.6. Định lý. Cho F là mở rộng bậc hữu hạn trên K với nhóm GaLois G, khi đó các điều kiện sau tơng đơng: i/ F là mở rộng GaLois trên K ii/ K = F G ( nghĩa là tập các phần tử của F bất biến dới mọi tự đẳng cấu của nhóm GaLois G đúng bằng K ) iii/ Cấp của nhóm GaLois G đúng bằng bậc của mở rộng [ F: K] Ta đã biết có sự tơng ứng giữa nhóm con và trờng con: 1.3.7. Định lý. Nếu K là một trờng, f K[x] là một đa thức tách đợc trên K và G là nhóm GaLois đối với trờng nghiệm N của f trên K, thì tồn tại song ánh H F từ các nhóm con H của G đến các trờng con F của N chứa K. Khi cho nhóm con H, trờng con tơng ứng F = F(H) gồm tất cả các phần tử của N đợc giữ bất biến bởi mọi tự đẳng cấu thuộc H. Khi cho trờng con F, nhóm con tơng ứng H = H(F) gồm tất cả các tự đẳng cấu trong G giữ cố định mỗi phần tử của F và H(F) là nhóm GaLois của N trên F có cấp là bậc [N:F] 1.3.8. Định lý. Một trờng trung gian F, K F N là một trờng chuẩn tắc trên K nếu và chỉ nếu nhóm tơng ứng H(F) là nhóm con chuẩn tắc cuả nhóm GaLois G của N. Nếu F là chuẩn tắc thì nhóm GaLois của F trên K đẳng cấu với nhóm thơng G/H(F) 1.3.9. Mệnh đề. G(L/K) là một nhóm hữu hạn và G(L/K) = [L:K] 1.3.10. Định nghĩa. Một nhóm G đợc gọi là giải đợc nếu tồn tại một dây chuyền giảm những nhóm con G = G 0 G 1 G 2 G s = 1 Sao cho G i là ớc chuẩn của G i-1 và các nhóm thơng G i-1 /G i với i = 1, 2, 3, ., s là Aben 1.3.11. Định lý. Mỗi nhóm con của nhóm giải đợc là giải đợc 1.3.12. Định lý. ảnh đồng cấu của một nhóm giải đợc là giải đợc 10